精品解析：湖南省邵阳市邵东市创新高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

创新高级中学2025年上学期创高杯考试高一 数学试卷 （命题人：林老师） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 内角，，的对边分别为，，，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 8 B. C. D. 3. 已知复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 化简的结果等于（ ） A. B. C. D. 5. 从编号为01，02，…，49，50的50个个体中利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次抽取，则选出来的第4个个体的编号为（ ） 7816 6572 0812 1463 0782 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A. 14 B. 07 C. 32 D. 43 6. 如图，点分别是正方体的面对角线的中点，则异面直线和所成的角为 A. B. C. D. 7. 已知向量是与向量方向相同的单位向量，且，若在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 8. 正方体的棱长为3，则点C到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部是 B. |z|=1 C. 复数z的共轭复数是 D. 复数z对应的点位于第一象限 10. 在中，，为中点，交于点，则（ ） A. B. C. 四边形的面积是面积的 D. 和的面积相等 11. 在长方体中，，，点P为线段上的一动点，则（ ） A. 所在的直线与所在的直线为异面直线 B. AC平行于平面内无数条直线 C. 的最小值为 D. 三棱锥的体积为定值 第Ⅱ卷（填空题和解答题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，其中为虚数单位，则______. 13. 若三个球的体积之比为，则这三个球的表面积之比为______. 14. 已知是边长为4的正三角形，点P为内一点，且，则等于______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： （1）位于第四象限； （2）位于第一象限或第三象限； （3）位于直线上．求实数的取值范围． 16. 在平面直角坐标系xoy中，已知点. （1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； （2）在中，设AD是边BC上的高线，求点D的坐标. 17. 为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在50kW·h至350kW·h之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示． （I）求a的值； （Ⅱ）求被调查用户中，用电量大于250kW·h的户数； （III）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使80%的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：kW·h）的建议，并简要说明理由． 18. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目. 在△中，内角A，B，C所对的边分别为.且满足_________. （1）求； （2）已知，△的外接圆半径为，求△的边AB上的高. 19. 如图1所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点E满足.现将沿折起到的位置，使平面平面，如图2所示. （1）求证：； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 创新高级中学2025年上学期创高杯考试高一 数学试卷 （命题人：林老师） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 内角，，的对边分别为，，，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件直接利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为在中，， 所以的面积为. 故选：A 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为向量，且， 所以，解得. 故选：C 3. 已知复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用代数形式的复数运算，结合复数的定义计算即得. 【详解】依题意，复数，由是纯虚数，得， 所以. 故选：B 4. 化简的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用平面向量加法运算性质进行求解即可. 【详解】， 故选：B 5. 从编号为01，02，…，49，50的50个个体中利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次抽取，则选出来的第4个个体的编号为（ ） 7816 6572 0812 1463 0782 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A. 14 B. 07 C. 32 D. 43 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机数表法一一列出即可. 【详解】依题意选出的个体编号依次为：，，，，……， 所以选出来的第4个个体的编号为. 故选：B. 6. 如图，点分别是正方体的面对角线的中点，则异面直线和所成的角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】连接,中,,又,所以直线和所成的角即与所成角，故选C. 7. 已知向量是与向量方向相同的单位向量，且，若在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义可得出，再利用平面向量数量积的定义可求得的值. 【详解】因为在方向上的投影向量为，即，故， 由平面向量数量积的定义可得. 故选：A. 8. 正方体的棱长为3，则点C到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等体积法有,可求出答案. 【详解】设点到平面的距离为是，如图， 易知， 在正方体中，为等边三角形，且， 所以， 所以， 由，得，解得：. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部是 B. |z|=1 C. 复数z的共轭复数是 D. 复数z对应的点位于第一象限 【答案】AD 【解析】 【分析】首先化简复数，再根据复数的定义，性质和几何意义，判断选项. 【详解】， A.复数z的虚部是，故A正确； B.，故B错误； B.复数z的共轭复数是,故C错误； D. 复数z对应的点是，复数z对应的点位于第一象限，故D正确. 故选：AD 10. 在中，，为中点，交于点，则（ ） A. B. C. 四边形的面积是面积的 D. 和的面积相等 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量的运算法则，可判定A正确；设，求得，结合三点共线，求得，可判定B正确；设的面积为，根据三角形的面积公式，求得四边形的面积为，可判定C不正确；根据题意，得到，可判定D错误. 【详解】对于A，因为，即为（靠近点）的三等分点， 所以，所以A正确； 对于B，设， 由点为的中点，可得， 可得， 因为三点共线，可得， 所以，可得且， 解得，即，所以B正确； 对于C，设的面积为，因为，可得， 又因为为中点，且，可得， 所以四边形的面积为，所以C错误； 对于D，由，可得，所以， 所以和的面积不相等，所以D错误. 故选：AB 11. 在长方体中，，，点P为线段上的一动点，则（ ） A. 所在的直线与所在的直线为异面直线 B. AC平行于平面内无数条直线 C. 的最小值为 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由异面直线的定义判断，对于B，根据线面平行的性质判断，对于C，将矩形和沿展开为矩形，再判断，对于D，由于∥平面，从而可得结论. 【详解】对于A，由异面直线的定义可知，所在的直线与所在的直线为异面直线，A正确. 对于B，由正方体性质可知//，在平面内与平行的直线有无数条， 根据基本事实4可知，AC平行于平面内无数条直线，B正确. 对于C，将矩形和沿展开为矩形， 则，C错误. 因为//平面，所以P到平面的距离等于A到平面的距离，为定值， 又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（填空题和解答题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，其中为虚数单位，则______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据复数的乘法法则及复数相等求出即可得解. 【详解】因为， 所以，所以. 故答案为：7 13. 若三个球的体积之比为，则这三个球的表面积之比为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据球的体积公式得到半径比，进而利用球的表面积公式求解即可. 【详解】设三个球的体积为，半径分别为，表面积分别为， 由题意得，， 解得， 所以. 故答案为： 14. 已知是边长为4的正三角形，点P为内一点，且，则等于______. 【答案】 【解析】 【分析】设的中点为，以为原点，边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，根据求出的坐标，从而利用数量积的坐标运算得解. 【详解】设的中点为，以为原点，边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图，则，，，设， ∵， ∴，∴，∴，则， ∴. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： （1）位于第四象限； （2）位于第一象限或第三象限； （3）位于直线上．求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）结合复数的几何意义与第四象限的点的特点计算即可得； （2）结合复数的几何意义与第一象限或第三象限的点的特点计算即可得； （3）由题意可得，计算即可得. 【小问1详解】 由题意，复数在复平面内对应的点为． 当点位于第四象限时，则，即， 故或； 【小问2详解】 当点位于第一象限或第三象限时， 则， 即， 故或或． 【小问3详解】 当点位于直线上，则，解得． 16. 在平面直角坐标系xoy中，已知点. （1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； （2）在中，设AD是边BC上的高线，求点D的坐标. 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）对角线长为，利用模长公式直接计算即可. （2）设点的坐标为，利用高线建立方程求坐标. 【小问1详解】 由题意，可得，，则 ， 所以， 即两条对角线的长为和 . 【小问2详解】 设点的坐标为，由点在上，设， 则，∴，即， ∴，∵， ∴，即，解得， 即点D的坐标为. 17. 为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在50kW·h至350kW·h之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示． （I）求a的值； （Ⅱ）求被调查用户中，用电量大于250kW·h的户数； （III）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使80%的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：kW·h）的建议，并简要说明理由． 【答案】（I）；（Ⅱ）；（III） kW·h. 【解析】 【分析】 （1）根据频率和为计算出的值； （2）根据频率分布直方图计算出“用电量大于250kW·h”的频率，再将该频率乘以对应的总户数即可得到结果； （3）根据频率分布直方图计算出频率刚好为时对应的月用电量，由此可得到第一档用电标准. 【详解】（1）因为，所以； （2）根据频率分布直方图可知：“用电量大于250kW·h”的频率为， 所以用电量大于250kW·h的户数为：， 故用电量大于250kW·h有户； （3）因为前三组的频率和为：， 前四组的频率之和为， 所以频率为时对应的数据在第四组， 所以第一档用电标准为：kW·h. 故第一档用电标准为 kW·h. 【点睛】本题考查频率分布直方图的综合应用，主要考查利用频率分布直方图进行相关计算，对学生读取图表信息和计算能力有一定要求，难度一般. 18. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目. 在△中，内角A，B，C所对的边分别为.且满足_________. （1）求； （2）已知，△的外接圆半径为，求△的边AB上的高. 【答案】 选择条件①：,; 选择条件②：,; 选择条件③：,. 【解析】 【分析】选择条件①:(1)利用正弦定理将边化角,再利用化简,及可求出,即可得出的值. (2)利用正弦定理结合外接圆半径与的值求出,代入角的余弦定理结合,可得到,再利用等面积法: ,即可求出答案. 选择条件②:(1)利用正弦定理将边化角,再利用化简,及可求出,即可得出的值. (2)利用正弦定理结合外接圆半径与的值求出,代入角的余弦定理结合,可得到,再利用等面积法: ,即可求出答案. 选择条件③:(1)利用正弦定理将边化角,再利用化简,及可求出,即可得出的值. (2)利用正弦定理结合外接圆半径与的值求出,代入角的余弦定理结合,可得到,再利用等面积法: ,即可求出答案. 【详解】选择条件①： （1）因为, 所以由正弦定理得, 即, 故. 又, 所以. 由 所以. （2）由正弦定理得, 由余弦定理得, 所以. 于是得的面积, 所以. 选择条件②： （1）因为, 由正弦定理得, 即, 于是. 在, 所以, . （2）由正弦定理得, 由余弦定理得, 所以, 于是得的面积, 所以. 选择条件③： （1）因为, 所以由正弦定理得, 所以, 因为, 所以, 又, 所以, 所以. （2）由正弦定理得, 由余弦定理得, 所以. 于是得的面积, 所以. 【点睛】本题考查解三角形相关知识.属于基础题.熟练掌握正余弦定理、三角形的面积公式是解本题的关键. 19. 如图1所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点E满足.现将沿折起到的位置，使平面平面，如图2所示. （1）求证：； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】 （1）证明：在图1中，连接，易求. ∴四边形为菱形. 连接交于点O，则. ∴在图2中，，. 又， ∴平面. 又平面， ∴. （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，连接交于点O，证明平面即可； （2）延长，，设，连接，可得是平面与平面的交线，作，垂足为H，连接，然后证明为平面与平面所成锐二面角的平面角，然后求出即可. 【详解】（1）略 （2）解：在图2中延长，，设，连接. ∵平面，平面. 又平面，平面. ∴是平面与平面的交线. ∵平面平面，，平面平面， ∴平面. 又平面，∴. 作，垂足为H，连接. 又， ∴平面，又平面， ∴. ∴即为平面与平面所成锐二面角的平面角. 由（1）知，，为等边三角形， ∴. ∵，∴， 解得 在中，. ∴ ∴平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【点睛】本题考查的是线面垂直的证明和面面垂直的性质、二面角的求法，考查了学生的空间想象能力和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $