精品解析：广东佛山市第一中学2026届高考适应性测试（一）数学试卷

佛山市第一中学2026届高考适应性测试（一） 数 学 请注意：满分150分， 考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的模的计算公式计算即可. 【详解】因为，所以. 故选：B 2. 如图所示，向量，，，在一条直线上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解. 【详解】由题意可得：， 即. 故选：B. 3. 已知且满足，，互不相同，集合，集合，则满足的集合的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由，两类情况讨论求解即可. 【详解】因为，， 所以， 由，可知且， 所以，或 当时，或 ， 由和的图象可知，它们在有且仅有一个交点， 即有唯一，使得成立， 此时集合的个数为1， 当时，即， 若，令， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理和函数单调性可知，在 上存在唯一零点， 即有唯一，使得成立， 此时集合的个数为1， 综上可知：集合的个数为2， 故选：B 4. 已知数列满足：，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由a1＝3，，利用递推思想，求出数列的前11项，推导出数列{an}从第6项起是周期为3的周期数列，由此能求出a2022． 【详解】解：∵数列{an}满足：a1＝3，， ∴a2＝3a1+1＝10，5，a4＝3a3+1＝16， a58，4，a72，a81， a9＝3a8+1＝4，a102，a111， ∴数列{an}从第6项起是周期为3的周期数列， ∵2022＝5+672×3+1， ∴a2022＝a6＝4． 故选：A． 5. 已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ） x 2 4 6 8 y 6 m 3 2 A. 变量之间呈现负相关关系 B. 变量之间的相关系数 C. m的值等于5 D. 由表格数据知，该回归直线必过点 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性回归方程的概念，和经过样本中心的性质，计算出参数值，分别判断ACD三个选项的正误，根据相关系数公式，计算相关系数大小，判断B的正误. 【详解】由，可知，呈现负相关，所以A正确； 由题意可知，，样本中心点， 代入得，解得，所以C正确， 所以样本中心点为，所以D正确； 样本相关系数，所以B不正确. 故选：B. 6. 已知抛物线C：（）的焦点为，点是C上一点，点是其准线上一点，若，，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过作垂直于的准线，垂足为，过作轴，垂足为D.通过，得到，进而求得，即可求解. 【详解】如图， 过作垂直于的准线，垂足为， 由抛物线的定义可知，，,所以， 所以. 设，则.所以. 因为轴，所以，过作轴，垂足为. 因为，又， 解得：，， 又， 所以.所以，解得. 故选：B. 7. 若函数与图象上存在关于y轴对称的点，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对称性，将问题化为函数和的图象在y轴右侧有交点，数形结合确定参数范围. 【详解】若函数与的图象上存在关于y轴对称的点， 则函数关于y轴对称后的图象与的图象有交点， 即有正根，即有正根， 即函数和的图象在y轴右侧有交点，如图所示， 当时的定义域为，且定义域上单调递增，值域为R， 而在上单调递减，其值域为， 所以函数和的图象在y轴右侧必有交点，则满足； 当时，当时，，且， 由，得， 综上，，所以实数t的范围是. 故选：A 8. 已知，函数的值等于除以6得到的余数，．设，若存在，使得对于任意的，都不满足，则函数的个数是（ ） A. 729 B. 189 C. 378 D. 540 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定定义合理转化问题，再利用组合数性质求解即可. 【详解】，函数与的关系如下图所示： 可以看出，由于函数的对应关系固定， 函数的个数只取决于的到的对应关系． 因为存在，使得对于任意的，都不满足， 所以的没有对应满中的所有元素． 考虑其反面，即对于任意的，总存在，使得， 即的对应满了中的所有元素． 求满足反面的的个数的问题等价于“6名工人到3间工厂应聘， 每名工人只去一间工厂，每间工厂至少有一名工人前来应聘，求应聘情况的总数”， 一共有种情况， 即满足反面的有540个，没有限制条件的有个， 因此满足题目条件的有个，故B正确． 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后合理转化为等价问题，利用排列组合得到所要求的结果即可． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知的展开式的第2项与第3项系数的和为3，则（ ） A. B. 展开式的各项系数的和为 C. 展开式中奇数项的二项式系数的和为128 D. 展开式的常数项为第5项 【答案】ACD 【解析】 【分析】A写出展开式的通项，即可列关系式求得；B赋值法令即可；C根据公式奇数项的二项式系数的和为可得；D根据通项公式，令即可. 【详解】因为的展开式的通项为， ， 则根据题意可得，即， 解得或（舍去），故A正确； 由A选项得，， 则当，即时，为常数项，故D正确； 令，则，则展开式的各项系数的和为，故B错误； 展开式中奇数项的二项式系数的和为，故C正确． 故选：ACD． 10. 已知圆，则（ ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上恰好存在3个点到直线的距离都等于 C. 若圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，、为切点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：求出该直线所过定点可得该直线与圆相交，即可得解；对于B：求出圆心到直线的距离后即可判断；对于C：由公切线条数可得两圆位置关系，利用两圆位置关系即可得解；对于D：计算可得，则只需计算的最小值即可得解. 【详解】对于A，直线化为，则该直线必过点， 又，故点在圆内部， 故直线与圆相交， 即圆与直线必有两个交点，故A正确； 对于B，圆的圆心为，半径为 圆心到直线的距离为， 因为， 所以劣弧上只有一个点到该直线的距离等于，优弧上有两个点到该直线的距离等于， 故圆上存在个点到直线的距离都等于，故B正确； 对于C，若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切， 圆可为， 则该圆圆心为，半径为， 则有，解得，故C错误； 对于D，由切线性质及切线长定理可得、，， 四边形的面积， 又，故取最小时，最小， 又，则， 故，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，中，，，是中点，是边上靠近的四等分点，将沿着向上翻折，使点到点处，得到四棱锥，则（ ） A. 四棱锥体积的最大值为 B. 不存在点使得平面平面 C. 中点的运动轨迹长度为 D. 当平面平面时，四棱锥外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由面面垂直得到何时四棱锥体积最大，并求出此时四棱锥体积，判断A选项；取中点，由等腰三角形和中位线得到线线的位置关系，从而得到线与平面的位置关系，从而得到线线的位置关系，然后得到线与平面的位置关系.假设存在这样的点，由三角形的边角关系建立方程，由方程是否存在解判断B选项；建立坐标系得到点坐标，设线段的中点坐标为，，然后建立方程组求得点坐标，由建立等量关系，从而得到轨迹方程，从而求得轨迹长度，判断C选项；由面面垂直得到线面垂直，再证明四点共圆，得到四棱锥的外接球，求出外接球的半径，从而知道外接球的表面积，判断D选项. 【详解】平面平面时，易知平面，此时体积最大，，故A正确； 对于B，连接点与中点，连接，因为，所以， 由题意可得为中点，是中点，故， 所以，故，， 又，、平面，故平面， 又平面，所以 ，则当时， 又、平面，，故有平面， 又平面，故平面平面，即需，由题意可得 ， ，， 即当时，有， 由，故存在点，使，故B不正确； 对于C，如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， ，，设线段的中点坐标为，，， 由，得 ，所以，即， 由，得，整理得， 所以中点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆， 所以中点的运动轨迹长度为，故C正确； 对D: 平面平面时，平面，又由，故， 由，故 ，即四边形四点共圆，故四棱锥的外接球即三棱锥的外接球， 分别以、、为长、宽、高作长方体， 则该长方体的外接球即三棱锥的外接球，， 此时表面积为， 即四棱锥外接球表面积的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求和向量坐标再应用平行的坐标关系得出，最后应用模长公式计算即可. 【详解】由，且，得， 所以. 故答案为: . 13. 已知函数，若存在，使得，则的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得. 【详解】函数，由，得， 由存在，使得，得，解得， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且，，，若数列和的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列，数列的前项和为，则使得成立的的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，则等差数列的公差为，根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可得出数列的通项公式；设满足不等式的正整数的最小值为，推导出，设，其中且，根据可得出关于的不等式，求出的最小值，即可得出的值，即为所求. 【详解】设等比数列的公比为，则等差数列的公差为， 则，，， 解得，，， 所以，，， 由，整理可得， 数列的各项分别为：、、、、、、、、、， 其中前若干项中，数列有项，数列有项， 所以，是数列的第项， 所以， ， 所以，， 令，整理可得， 令，则有，解得， 因为，所以，，可得， 所以，满足不等式的正整数的最小值为， 同理可知，满足不等式的正整数的最大值为， 所以满足不等式的正整数的最小值，即， 设，其中且， 则 ， ， 由，整理可得，解得， 所以自然数的最小值为，所以. 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于确定满足条件的正整数的最小值所在的区间，并引入合适的参数，求出相应的参数的值，进而得解, 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，为的中点，为的中点，为的中点，. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）连接、、. 因为、分别为、的中点，所以，，， 因为，，所以，，， 所以，四边形是平行四边形，所以，， 因为平面，平面，则平面， 又因为、分别为、的中点，则， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接、、，推导出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立； （2）设，计算得出，证明出平面，可知为三棱锥的高，结合锥体的体积公式可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，因为，则，则， 所以，，所以，. 由（1）知，平面，所以， 因为为的中点，则，则， 因为平面，平面，所以，， 因为，，所以，， 因为，、平面，所以，平面， 即为三棱锥的高. 所以，，故. 16. 在中，角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）若，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的余弦公式、二倍角的余弦公式可得出关于的方程，结合可求得的值，再结合角的取值范围可求得角的值； （2）由正弦定理结合三角恒等变换化简得出，结合正弦型函数的有界性可求得的最大值. 【小问1详解】 解：由已知可得 ， 即， ，则，解得，因此，. 【小问2详解】 解：由正弦定理可得， 所以， ， 其中为锐角，且， 因为，则，， 所以，当时，即当时，取得最大值. 17. 机器人甲、乙分别在两个不透明的箱子中取球，甲先箱子中取2个或3个小球放入箱子，然后乙再从箱子中取2个或3个小球放回箱子，这样称为一个回合．已知甲从箱子中取2个小球的概率为，取3个小球的概率为；乙从箱子中取2个小球的概率为，取3个小球的概率为．现两个箱子各有除颜色外其它都相同的6个小球，其中箱子中有3个红球，3个白球；箱子中有2个红球，4个白球． （1）求第一个回合甲从箱子取出的球中有2个红球的概率； （2）求第一个回合后箱子和箱子中小球个数相同的概率； （3）两个回合后，用表示箱子中小球个数，用表示箱子中小球个数，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） （3）的分布列为 0 2 4 【解析】 【分析】（1）根据离散型随机变量的性质结合条件概率求解即可. （2）根据概率公式进行求解即可. （3）先求出随机变量的值，再分别求出各自的概率，列出分布列，求出数学期望. 【小问1详解】 在第一个回合中，记事件表示“甲从箱子中取出2个球”， 事件表示“甲从箱子中取出3个球”， 事件表示“甲从箱子取出的球中有2个红球”， 则 【小问2详解】 第一个回合后，箱子和箱子中小球个数相同，即甲从箱子中取出小球的个数与乙从箱子中取出小球的个数一样，所以，． 【小问3详解】 每一个回合后，两个箱子小球数都保持不变的概率， 箱子小球数减少1个，箱子小球数增加1个的概率， 箱子小球数增加1个，箱子小球数减少1个的概率 两个回合后，的所有可能值为 所以随机变量的分布列为 0 2 4 所以． 18. 已知过点且焦距为2的椭圆，过点且斜率存在的直线交椭圆于P，Q两点. （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线AP，AQ的斜率之积是否为值？若是，求出定值；若不是，请说明理由； （3）过点作直线l与椭圆E交于C，D两点（点C在x轴上方），椭圆E的左顶点为，右顶点为，求证：直线与直线的交点在一条定直线上. 【答案】（1） （2）定值， （3）证明：由题意可知：直线的斜率不为0，设直线CD的方程为， 与的方程联立得，消去可得， AI    设，则，， 即，直线， 直线， 联立上述两方程消去可得， 整理得， 因为，所以， 由，得， ， 综上所述，动点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）根据焦距和，得到，，求出椭圆方程； （2）设过点A的直线为，联立直线与椭圆方程，求出两根之和，两根之积，计算出； （3）设出直线的方程，，联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，并得到，表达出直线和直线，联立消去整理得到，将代入，求出，得到答案. 【小问1详解】 根据题意可得，，又，则， 所以椭圆方程为 【小问2详解】 设过点A的直线为， 联立，消去整理得， 易得， 则， 所以 . 所以直线BM与直线BN的斜率之积为定值. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中，针对非对称韦达，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，并两者相除，得到两者的关系，再代入后续的计算中，达到化简的目的. 19. 近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就．以小米SU7、问界M9等为代表的国产新能源汽车，正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流，某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下： 时间 2023年12月 2024年1月 2024年2月 2024年3月 2024年4月 月份代码x 1 2 3 4 5 销量y/千辆 14 15 16 18 19 （1）已知y与x线性相关，求出y关于x的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量； （2）该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为．该企业规定：员工至少两期培训达到“优秀”标准．才能使用人工智能工具， （i）记某员工经过培训后，恰好两期达到“优秀”标准的概率为．求的最大值点； （ii）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润12万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润16万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，以（i）中确定的作为p的值．预计最多可以调多少人到其他部门？ 参考公式：，． 【答案】（1），20.3千辆； （2）（i）；（ii）12人 【解析】 【分析】（1）由题意，先求出，利用公式求出，即可求出y关于x的线性回归方程，将代入回归方程，可得2024年5月份的销量； （2）（i）求出恰好两期达到“优秀”标准的概率为，应用导数求出的最大值点； （ⅱ）设“员工经过培训，能使用人工智能工具”为事件B，可得，设宣传部调人至其他部门，则参加培训的人数为，为培训后能使用人工智能工具的人数， 则，求出调整后年利润，根据调整后年利润不低于调整前的年利润，得到不等式，可解出，则得到答案. 【小问1详解】 由题意得，， ， ， ， 所以y关于x的线性回归方程为， 当时，， 所以估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量是20.3千辆； 【小问2详解】 （i）恰好两期达到“优秀”标准的概率为，， 因此， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，的最大值点． （ⅱ）设“员工经过培训，能使用人工智能工具”为事件B， 所以， 设宣传部调人至其他部门，则参加培训的人数为， 为培训后能使用人工智能工具的人数， 则，因此， 调整后年利润万元， 令，解得， 所以最多可以调12人到其他部门． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佛山市第一中学2026届高考适应性测试（一） 数 学 请注意：满分150分， 考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 如图所示，向量，，，在一条直线上，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知且满足，，互不相同，集合，集合，则满足的集合的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知数列满足：，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ） x 2 4 6 8 y 6 m 3 2 A. 变量之间呈现负相关关系 B. 变量之间的相关系数 C. m的值等于5 D. 由表格数据知，该回归直线必过点 6. 已知抛物线C：（）的焦点为，点是C上一点，点是其准线上一点，若，，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 若函数与图象上存在关于y轴对称的点，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数的值等于除以6得到的余数，．设，若存在，使得对于任意的，都不满足，则函数的个数是（ ） A. 729 B. 189 C. 378 D. 540 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知的展开式的第2项与第3项系数的和为3，则（ ） A. B. 展开式的各项系数的和为 C. 展开式中奇数项的二项式系数的和为128 D. 展开式的常数项为第5项 10. 已知圆，则（ ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上恰好存在3个点到直线的距离都等于 C. 若圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，、为切点，则的最小值为 11. 如图，中，，，是中点，是边上靠近的四等分点，将沿着向上翻折，使点到点处，得到四棱锥，则（ ） A. 四棱锥体积的最大值为 B. 不存在点使得平面平面 C. 中点的运动轨迹长度为 D. 当平面平面时，四棱锥外接球表面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ，且，则__________. 13. 已知函数，若存在，使得，则的最小值为________. 14. 已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且，，，若数列和的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列，数列的前项和为，则使得成立的的最小值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，为的中点，为的中点，为的中点，. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 16. 在中，角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）若，求的最大值． 17. 机器人甲、乙分别在两个不透明的箱子中取球，甲先箱子中取2个或3个小球放入箱子，然后乙再从箱子中取2个或3个小球放回箱子，这样称为一个回合．已知甲从箱子中取2个小球的概率为，取3个小球的概率为；乙从箱子中取2个小球的概率为，取3个小球的概率为．现两个箱子各有除颜色外其它都相同的6个小球，其中箱子中有3个红球，3个白球；箱子中有2个红球，4个白球． （1）求第一个回合甲从箱子取出的球中有2个红球的概率； （2）求第一个回合后箱子和箱子中小球个数相同的概率； （3）两个回合后，用表示箱子中小球个数，用表示箱子中小球个数，求的分布列及数学期望． 18. 已知过点且焦距为2的椭圆，过点且斜率存在的直线交椭圆于P，Q两点. （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线AP，AQ的斜率之积是否为值？若是，求出定值；若不是，请说明理由； （3）过点作直线l与椭圆E交于C，D两点（点C在x轴上方），椭圆E的左顶点为，右顶点为，求证：直线与直线的交点在一条定直线上. 19. 近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就．以小米SU7、问界M9等为代表的国产新能源汽车，正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流，某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下： 时间 2023年12月 2024年1月 2024年2月 2024年3月 2024年4月 月份代码x 1 2 3 4 5 销量y/千辆 14 15 16 18 19 （1）已知y与x线性相关，求出y关于x的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量； （2）该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为．该企业规定：员工至少两期培训达到“优秀”标准．才能使用人工智能工具， （i）记某员工经过培训后，恰好两期达到“优秀”标准的概率为．求的最大值点； （ii）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润12万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润16万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，以（i）中确定的作为p的值．预计最多可以调多少人到其他部门？ 参考公式：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $