第05讲 圆的对称性（知识清单+7大题型+好题必刷）【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第05讲 圆的对称性（知识清单+7大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 利用垂径定理求值 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 题型三 利用垂径定理求解其他问题 题型四 垂径定理的推论 题型五 垂径定理的实际应用 题型六 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型七 利用弧、弦、圆心角的关系求证 知识清单 知识点1：垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点2：垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点3：圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 注意： （1）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （2）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 题型方法 【题型一】利用垂径定理求值 【例1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，如果，则的长为（　　）       A．1 B．2 C．4 D．8 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，为的直径，弦交于点，且，若，，则的半径为 ． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试求： (1)拱桥所在的圆的半径； (2)通过计算说明是否需要采取紧急措施． 【题型二】利用垂径定理求平行弦问题 【例2】已知⊙O的半径为5，两条平行弦AB、CD的长分别为6和8，求这两条平行弦AB与CD之间的距离（　　） A．3 B．4 C．1或7 D．10 【举一反三】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 2．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ． 3．（九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，AB=8，CD=6，弦AB、CD之间的距离为7． （1）求证：弧AD=弧BC． （2）求图中阴影部分的面积． 【题型三】利用垂径定理求解其他问题 【例3】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）下列语句中正确的说法是（   ） A．垂直于弦的直径平分弦 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 C．长度相等的弧是等弧 D．圆内接矩形是正方形 【举一反三】 1．（九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点是的中点，在同侧分别以为直径作半半．直线，与两个半圆依次相交于不同的四点．若，，则与之间的函数表达式为 ． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，以为直径的半圆O上有一点C，过点C作，垂足为点D，过点A作，垂足为点E（不与点O，C重合），的延长线交半圆O于点F．求证：． 【题型四】垂径定理的推论 【例4】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）下列语句中正确的有（ ） 相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； 半圆是弧． A．个 B．个 C．个 D．个 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）下列命题中，正确的命题是（   ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．两条弦相等，它们所对的弧也相等 D．等弧对等弦 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，的弦在直线的上方，且，以为直径向下作半圆（圆心为M）交于E、F两点，若则 ． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）近期，考古学家在一次考古工作中发现了一块古代圆形残片玉佩，如图所示，需要找出其圆心．已知弧上三点． (1)请用尺规作图画出该残片的圆心； (2)若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R 【题型五】垂径定理的实际应用 【例5】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图所示，工程上常用钢珠来测量零件上槽孔的宽口，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，则这个槽孔的宽的大小为（   ）    A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺10寸）．这根圆柱形木材的直径是（    ） A．6寸 B．寸 C．13寸 D．26寸 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，摩天轮最高处离地面的距离是米，最低处离地面的距离是米．摩天轮旋转一周需分钟．若游客从处乘摩天轮旋转一周，则该游客在离地面的距离米以上的时间有 分钟． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 经过A，B，C三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图．（保留画图痕迹，不写画法） (1)在图1中，画出劣弧的中点D： (2)在图2的上找一点E，使（点E与点A不重合）． 【题型六】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例6】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，以为直径的半圆与分别相交于点D，E，则弧的度数（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，、、均为半径，，，点为弧中点，则 ．    3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，以的顶点A为圆心，为半径作，分别交、于E、F两点，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 【题型七】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【例7】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【举一反三】 1．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．相等的弦所对的弧相等 B．长度相等的两条弧是等弧 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是同一圆中最长的弦 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 已知：如图，是的直径，__________________． 求证：__________________．    3．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，是的弦，是弧的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 好题必刷 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的弦相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．相等的圆心角所对的弦相等 2．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（　　） A．42° B．48° C．21° D．16° 3．如图，点在上，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形内接，平分，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在⊙O中，若C是的中点，则图中与∠BAC相等的角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图,过点、，圆心在等腰的内部,，，，则的半径为（   ）    A． B． C． D． 7．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，OE＝3，CD＝8，AB＝（　　） A． B．10 C． D．5 8．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕的长为（    ） A． B． C．3 D． 9．已知的半径为，弦∥弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 10．一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：将圆形纸片左右对折、折痕为AB，将圆形纸片上下折叠使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，将圆形纸片沿EF折叠使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N．连结AE、AF，经过以上操作小芳得到了以下结论：①CDEF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形④ ．以上结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图，A、B、C、D是上的点，如果，，那么 ．    12．如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度为8cm，则槽的深度为 cm. 13．已知的半径为，弦，是上任意一点，则线段的最小值为 ． 14．垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧． 符号语言： ∵①CD是直径，②CD⊥AB ∴③AE＝ ，④＝ ，⑤＝ ． 15．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的 ． 16． 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是 ． 17．如图是一条直径为2米的圆形污水管道横截面，其水面宽1.6米，则此时污水的最大深度为 米． 18．如图，的半径是4，点A是圆上一个定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是 ． 三、解答题 19．点A、B、C、D在⊙O上，AB∥CD，AB=24，CD=10，⊙O的半径为13，求梯形ABCD的面积． 20．如图所示,某地有一座圆弧形的拱桥,桥下的水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现有一宽3米,船顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗? 21．如图，是的直径，，，求的度数．    22．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF． （1）求证：△AFO≌△CEB； （2）若BE＝4，CD＝8，求： ①⊙O的半径； ②求图中阴影部分的面积． 23．已知：如图，⊙O中，==，OB、OC分别交AC、BD于点E、F. 试比较∠OEF与∠OFE的大小，并证明你的结论. 24．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时． （1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离； （2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．    25．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD. （1）求证：∠DAC=∠DBA； （2）求证：PD=PF； （3）连接CD，若CD=3，BD=4，求⊙O的半径 26．【教材回顾】（1）如图①，点、分别是的边、边的中点，连结，则是的一条中位线．则和的数量关系是____，位置关系是_____． 【提出问题】如图④，是以为直径的⊙的一条弦，连结、，点在的上方，点在的下方，于，于，点、均在弦上．已知，，求的值．为了解决上面的问题，进行了如下的探究： 【分析问题】先看两种特殊情况： （2）如图②，当点与点重合时，点也与点重合，点与点重合，此时，（点看成是长度为0的线段），则_____．（写出具体的数值） （3）如图③，当时，、重合，此时与的数量关系是____，先根据条件易求的长度，则____．（写出具体的数值） 【解决问题】（4）结合图④对应的一般情况和你的感知，请用严谨的数学方法求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 圆的对称性（知识清单+7大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 利用垂径定理求值 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 题型三 利用垂径定理求解其他问题 题型四 垂径定理的推论 题型五 垂径定理的实际应用 题型六 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型七 利用弧、弦、圆心角的关系求证 知识清单 知识点1：垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点2：垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点3：圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 注意： （1）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （2）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 题型方法 【题型一】利用垂径定理求值 【例1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，如果，则的长为（　　）       A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理，根据垂径定理得出即可得到答案 【详解】解：∵是的直径，弦于点E， ∴， 故选B 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知这两个定理的用法是正确解答此题的关键． 根据垂径定理得出的长，根据勾股定理得，即可求解． 【详解】解：的直径垂直弦于点E，且，， ， 在中，， ， 故答案为：B． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，为的直径，弦交于点，且，若，，则的半径为 ． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理和等腰直角三角形，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 过点作于点，连接，由垂径定理得出，再由得出，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵是的直径，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试求： (1)拱桥所在的圆的半径； (2)通过计算说明是否需要采取紧急措施． 【答案】(1) (2)不需要，见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查垂径定理的应用以及勾股定理的应用，利用勾股定理求得圆弧所在的半径是解题的关键，注意方程思想的应用． （1）由垂径定理可知、，再在中，由勾股定理得出方程，即可求出半径； （2）求出，再由勾股定理可得，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：设圆弧所在圆的圆心为，连接、，则O、P、M三点共线， 设半径为， 则， 由垂径定理可知，， ， ， 在中，， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， 即拱桥所在的圆的半径为； （2）解：， ， 在中，由勾股定理可得， ， 不需要采取紧急措施． 【题型二】利用垂径定理求平行弦问题 【例2】已知⊙O的半径为5，两条平行弦AB、CD的长分别为6和8，求这两条平行弦AB与CD之间的距离（　　） A．3 B．4 C．1或7 D．10 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题 【分析】先根据题意画出符合条件的两种情况，过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，再根据垂径定理和勾股定理即可求出OE、OF，然后结合图形求出EF即可． 【详解】解：分为两种情况：①当AB和CD在O的同旁时，如图1， 过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC， ∵AB∥CD，∴OF⊥CD， 则由垂径定理得：AE=AB=3，CF=CD=4， 在Rt△OAE中，由勾股定理得：OE=， 同理可求出OF=3， ∴EF=4－3=1； ②当AB和CD在O的两侧时，如图2，同法求出OE=4，OF=3， 则EF=4+3=7； 即AB与CD的距离是1或7. 故选C. 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是能正确求出符合条件的两种情况、熟练掌握垂径定理. 【举一反三】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【答案】2或14 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题 【分析】作于E，延长交于F，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图       ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 2．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ． 【答案】17或7/7或17 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求平行弦问题 【分析】根据题意画出图形，由于AB、CD在圆心的同侧或异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：①当AB、CD如图（一）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC， ∵ABCD，OE⊥CD， ∴OF⊥AB， 由垂径定理可知AF=AB=×24=12，CE=CD=×10=5， 在Rt△CEO中，OE==12； 同理，OF==5， 故EF=OE﹣OF=12﹣5=7； ②当AB、CD如图（二）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC， 同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17； 故答案为：17或7． 【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 3．（九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，AB=8，CD=6，弦AB、CD之间的距离为7． （1）求证：弧AD=弧BC． （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题、利用弧、弦、圆心角的关系求证、求弓形面积 【分析】（1）过点O作，延长MO交CD于点N，连接OA、OB、OC、OD，通过证明≌推出，，根据相等的圆心角所对的弧相等即可得出结论； （2）根据代入数值求解即可． 【详解】解：（1）过点O作，延长MO交CD于点N，连接OA、OB、OC、OD， ， ， ，，， 在中，， ①， 在中，， ②， ②①得， ， ， ，， ，，， 在和中，， ∴≌， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； （2）． 【点睛】本题考查圆的基本性质、不规则图形的面积、勾股定理等内容，作出辅助线是解题的关键． 【题型三】利用垂径定理求解其他问题 【例3】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）下列语句中正确的说法是（   ） A．垂直于弦的直径平分弦 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 C．长度相等的弧是等弧 D．圆内接矩形是正方形 【答案】A 【知识点】圆的基本概念辨析、利用垂径定理求解其他问题、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质，解题的关键是熟练掌握相关基本知识．根据垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、垂直于弦的直径平分弦，说法正确，符合题意； B、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误，不符合题意； C、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原说法错误，不符合题意； D、圆内接矩形是不一定是正方形，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【举一反三】 1．（九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、坐标与图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形，连接，作线段的垂直平分线，其交点即为圆心，根据点A的坐标即可求得答案． 【详解】解：如图所示， 连接，作出的垂直平分线，其交点即为圆心． ∵点A的坐标为， ∴该圆弧所在圆的圆心坐标是． 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点是的中点，在同侧分别以为直径作半半．直线，与两个半圆依次相交于不同的四点．若，，则与之间的函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、利用垂径定理求解其他问题 【分析】本题考查垂径定理，矩形的判定和性质，求函数表达式，过B点作，过D点作平H点，连接，得到，四边形为矩形，进而得到，推出，再根据，进行求解即可． 【详解】解：过B点作，过D点作平H点，连接，如图，则， ∵， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，以为直径的半圆O上有一点C，过点C作，垂足为点D，过点A作，垂足为点E（不与点O，C重合），的延长线交半圆O于点F．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用垂径定理求解其他问题 【详解】本题主要考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．利用垂径定理，得到，证明，得到，即可． 【解答】证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【题型四】垂径定理的推论 【例4】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）下列语句中正确的有（ ） 相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； 半圆是弧． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆的基本概念辨析、垂径定理的推论 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理推论，圆的对称性，弧的定义，根据圆心角、弧、弦的关系即可判断；根据垂径定理推论，即可判断；根据对称轴是直线，即可判断；根据弧的定义，即可判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故不正确； 平分不是直径的弦的直径垂直于弦；故不正确； 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；故不正确； 半圆是弧，故正确； 综上可知正确的有，共个， 故选：． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）下列命题中，正确的命题是（   ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．两条弦相等，它们所对的弧也相等 D．等弧对等弦 【答案】D 【知识点】垂径定理的推论、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】此题考查了圆的垂径定理的推论，圆心角、弧、弦之间的关系．根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A. 同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误，符合题意； C. 同圆或等圆中两条弦相等，它们所对的弧也相等，故选项错误，不符合题意； D. 等弧对等弦，故选项正确，符合题意； 故选：D 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，的弦在直线的上方，且，以为直径向下作半圆（圆心为M）交于E、F两点，若则 ． 【答案】10 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的推论、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理等知识，应用好垂径定理及其推论是解题的关键； 设，则得，，；连接，过点M作于N；由垂径定理得，从而；由M是的中点，则得，在中，由勾股定理求得，在中由勾股定理得，在中，由勾股定理得：，由此建立方程求得k的值，即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴，； 如图，连接，过点M作于N； ∴，； ∵为的一条弦，且， ∴， ∴； 由题意知，M是的中点，且为的直径， ∴， 由垂径定理推论知：； 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为：10． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）近期，考古学家在一次考古工作中发现了一块古代圆形残片玉佩，如图所示，需要找出其圆心．已知弧上三点． (1)请用尺规作图画出该残片的圆心； (2)若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R 【答案】(1)见解析 (2)圆片的半径R为 【知识点】作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形、垂径定理的推论 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握这些性质和定理，学会利用参数构建方程解决问题，是解题的关键； （1）作线段的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）连接交于点T，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）如图，作线段的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）连接交于点T， ， 在中， 整理得 所以 即圆片的半径R为． 【题型五】垂径定理的实际应用 【例5】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图所示，工程上常用钢珠来测量零件上槽孔的宽口，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，则这个槽孔的宽的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理的应用、垂径定理，掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．设点O为圆心，过点O作，垂径定理可得，再利用勾股定理可求得，进而可求得答案． 【详解】解：如图，设点O为圆心，过点O作于C，连接，，    根据垂径定理可得：， ∵直径是， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺10寸）．这根圆柱形木材的直径是（    ） A．6寸 B．寸 C．13寸 D．26寸 【答案】D 【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可得，由垂径定理可得，设半径，则，然后根据勾股定理列出方程解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得， 是的半径， 设半径 则 在中：，即 解得： 木材的直径为寸 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，摩天轮最高处离地面的距离是米，最低处离地面的距离是米．摩天轮旋转一周需分钟．若游客从处乘摩天轮旋转一周，则该游客在离地面的距离米以上的时间有 分钟． 【答案】 【知识点】垂径定理的实际应用 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，先根据摩天轮的最高处到地面的距离是米，最低处到地面的距离是2米得出的长，进而求出的半径，再根据游客从处乘摩天轮到地面的距离是米时、的长，证明为等边三角形，得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：摩天轮的最高处到地面的距离是42米，最低处到地面的距离是2米， ， ， 设当到点或点时游客从处乘摩天轮到地面的距离是米，连接，，，，则， 处乘摩天轮到地面的距离是米时， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ， ， 摩天轮旋转一周需分钟， 该游客在离地面的距离米以上的时间有（分钟）． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 经过A，B，C三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图．（保留画图痕迹，不写画法） (1)在图1中，画出劣弧的中点D： (2)在图2的上找一点E，使（点E与点A不重合）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】垂径定理的实际应用、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】此题考查了垂径定理、弧和弦之间关系等知识． （1）根据垂径定理作图即可； （2）根据弧和弦之间关系作图即可． 【详解】（1）解：取格点K，连接交于点D，根据网格图可知，，由垂径定理可知，，点D即为所求； （2）作直径交于点E，点E即为所求． 【题型六】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例6】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关键，根据得到时解决问题的关键， 由可得，再由等腰三角形的性质可得，进而即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选C 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，以为直径的半圆与分别相交于点D，E，则弧的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查等腰三角形的性质，弧与圆心角的关系，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，进而求得即可． 【详解】解：连接， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴弧的度数为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，、、均为半径，，，点为弧中点，则 ．    【答案】/度 【知识点】几何图形中角度计算问题、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题主要考查了弧与圆心角的关系，角的和差等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先求得的度数，然后根据等弧所对的圆心角相等得到，进而可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点为弧中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，以的顶点A为圆心，为半径作，分别交、于E、F两点，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用平行四边形的性质求解、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】（1）连接，由平行四边形的性质可得，从而得出，，由等边对等角得出，从而得出，即可得证； （2）先求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理得出，最后再由平行四边形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵的度数为， ∴的度数为， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【题型七】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【例7】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据等弧对等角，进行判断即可． 【详解】解：取的中点，连接，则： ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．相等的弦所对的弧相等 B．长度相等的两条弧是等弧 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是同一圆中最长的弦 【答案】D 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、垂径定理的推论 【分析】根据垂径定理、等弧的定义及圆的有关性质判断求解即可． 【详解】解：A、同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故错误，不合题意； B、同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故错误，不合题意； C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误，不合题意； D、直径是同一圆中最长的弦，故正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了垂径定理，等弧等知识，熟练掌握垂径定理、等弧的定义及圆的有关性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 已知：如图，是的直径，__________________． 求证：__________________．    【答案】见解析 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、根据三线合一证明 【分析】先根据已知画图，然后写出已知和求证，再根据圆心角、弧、弦的关系及三线合一进行证明即可． 【详解】解：已知：如图，是的直径，是的弦，． 求证：，，． 证明：连接、，    在中，，， ，， ， ，． 【点睛】本题考查的是垂径定理及圆心角、弧、弦的关系，三线合一，解答此题的关键是掌握推理论证的一般方法． 3．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，是的弦，是弧的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【知识点】线段垂直平分线的判定、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理及垂径定理，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）由是弧的中点可知，故，再由可得出结论； （）设与交于点，由（）知，垂直平分，得出，根据勾股定理求出的长，设的半径为r，则，，在中利用勾股定理求出的值即可； 【详解】（1）证明：∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：设与交于点，如图， 由（）知，垂直平分， ∴， ， ∵， ∴， 设的半径为，则，， 在中由勾股定理得，即， 解得：， ∴的半径为． 好题必刷 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的弦相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．相等的圆心角所对的弦相等 【答案】A 【分析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等,即可解答． 【详解】解：A、等弧所对的弦一定相等；故原说法正确； B、在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等，故原说法错误； C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误； D、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．故原说法错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．此题比较简单，注意掌握定理的条件（在同圆或等圆中）是解此题的关键． 2．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（　　） A．42° B．48° C．21° D．16° 【答案】C 【分析】根据弦相等可得，再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案． 【详解】解： 点A、B、C、D、E在上，，， ， ， 故选：C． 【点睛】题目主要考查同圆中，弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系，熟练运用圆周角定理及四者之间的关系是解题关键． 3．如图，点在上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案． 【详解】解： 点在上，， 故选： 【点睛】本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键． 4．如图，四边形内接，平分，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、与的大小关系不确定，与不一定相等，故本选项错误； B、平分，，，，故本选项正确； C、与的大小关系不确定，与不一定相等，故本选项错误； D、与的大小关系不确定，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 5．如图，在⊙O中，若C是的中点，则图中与∠BAC相等的角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵点C是弧BD的中点， ∴， ∴∠BAC=∠CAD， ∠BAC=∠BDC， ∠CAD=∠CBD， ∴∠CAD=∠BDC=∠CBD=∠BAC， 于是图中与∠BAC相等的角共有3个， 故选C． 【点睛】本题考查圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系． 6．如图,过点、，圆心在等腰的内部,，，，则的半径为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AO并延长，交BC于D，连接OB，根据垂径定理得到BD=BC=3，根据等腰直角三角形的性质得到AD=BD=3，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接AO并延长，交BC于D，连接OB，    ∵AB=AC， ∴AD⊥BC， ∴BD=BC=3， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AD=BD=3， ∴OD=2， ∴OB=， 故选：A． 【点睛】本题考查的是垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 7．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，OE＝3，CD＝8，AB＝（　　） A． B．10 C． D．5 【答案】B 【分析】求圆的直径的长，只需要求圆的半径的长即可，作辅助线，根据垂径定理构造直角三角形，求出半径的长. 【详解】解：连接OC， ∵CD⊥AB，OE=3，CD=8 ∴CE=CD=4， 在Rt△OCE中,CE²+OE²=OC²,即4²+3²=OC²，解得OC=5， ∴AB=2OC=2×5=10 故选B. 【点睛】本题考查垂径定理.作辅助线，构造直角三角形是解决本题的关键. 8．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，过点O作于点D，连接，由题可得，，再根据勾股定理可得，从而求得的长． 【详解】如图，过点O作于点D，连接． 根据题意，得，． 在中，由勾股定理，得， ． 故选：D． 9．已知的半径为，弦∥弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 【详解】如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时，过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF．      如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时，过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF．    综上，，之间的距离为或， 故选D． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握圆的垂径定理是解题的关键，解题中注意分类讨论． 10．一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：将圆形纸片左右对折、折痕为AB，将圆形纸片上下折叠使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，将圆形纸片沿EF折叠使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N．连结AE、AF，经过以上操作小芳得到了以下结论：①CDEF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形④ ．以上结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据折叠的性质得，则，故①正确；根据垂径定理，BM垂直平分EF，根据折叠的性质得BM、EF互相垂直平分，即可得四边形MEBF是菱形，故②正确；连接ME，MF，则，，根据直角三角形的性质得，，则，，根据三角形内角和定理得，即可得是等边三角形，故③正确；设圆的半径为r，则，，即，，即可得，故④正确；即可得． 【详解】解：∵纸片上下A、B两点重合， ∴， ∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合， ∴， ∴， ∴，故①正确； 根据垂径定理，BM垂直平分EF， ∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合， ∴BM、EF互相垂直平分， ∴四边形MEBF是菱形，故②正确； 如图，连接ME，MF， 则，， ∴，， ∴， ， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴是等边三角形，故③正确； 设圆的半径为r，则，， ∴，， ，故④正确； 综上，结论正确的是①②③④正确共4个， 故选D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，垂径定理，等边三角形的判定，菱形的判定，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． 二、填空题 11．如图，A、B、C、D是上的点，如果，，那么 ．    【答案】 【分析】根据圆心角、弧、弦三者的关系可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等． 12．如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度为8cm，则槽的深度为 cm. 【答案】2 【分析】根据垂径定理得到，再利用勾股定理即可求解. 【详解】由题可得， 在中，由勾股定理得，∴. 故答案为2. 【点睛】此题主要考查垂径定理的应用，解题的关键是熟知垂径定理的内容. 13．已知的半径为，弦，是上任意一点，则线段的最小值为 ． 【答案】4 【分析】由点到直线的距离，垂线段最短，连接作ON⊥AB，直接利用垂径定理得出AN的长，再结合勾股定理得出答案． 【详解】解：连接 作ON⊥AB， 根据垂径定理，AN=AB=×6=3， 根据勾股定理，ON=， 即线段OM的最小值为：4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，垂径定理，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题关键． 14．垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧． 符号语言： ∵①CD是直径，②CD⊥AB ∴③AE＝ ，④＝ ，⑤＝ ． 【答案】 平分 平分 BE 【解析】略 15．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的 ． 【答案】或 【分析】如图，由AB=OA的△OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，根据圆心角定理可得弧AB所对的角为60°，由于一条弦所对的度数为60°，分别计算他们与180°的比值即可． 【详解】解：如图， 连接OA、OB， ∵AB=OA， ∴△OAB为等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴的度数为60°， ∴弧AB所对的弧的度数为60°或300°， ∵，， ∴弧AB所对的弧是半圆的或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆的认识，掌握与圆有关的概念是解决本题的关键． 16． 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是 ． 【答案】6 【分析】根据垂径定理求出BC，根据勾股定理求出OC即可． 【详解】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点， ∴BC=AC=AB=×16=8， 在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC===6， 故答案为：6． 【点睛】此题考查勾股定理，垂径定理的应用，由垂径定理求出BC是解题的关键． 17．如图是一条直径为2米的圆形污水管道横截面，其水面宽1.6米，则此时污水的最大深度为 米． 【答案】0.4 【分析】连接，过点作于点，根据垂径定理求出AD，再根据勾股定理计算即可； 【详解】如图，连接，过点作于点， ∵，米， ∴（米）， ∵圆形污水管道的直径为2米， ∴米， 在中，根据勾股定理得，（米）， ∴（米）． 故答案是0.4． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理，准确计算是解题的关键． 18．如图，的半径是4，点A是圆上一个定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】设交于，连接、、，过作于，连接，由题意易证明是等边三角形，即得出，，从而由勾股定理可求出．再根据直角三角形斜边中线的性质可知，最后利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：设交于，连接、、，过作于，连接， ， ， ， 是等边三角形， ，， 由勾股定理得：． ， ． ， ， 在中，， ， 的最小值是， 故答案为： 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质和三角形三边关系的应用．圆的基本性质，正确的作出辅助线是解题关键． 三、解答题 19．点A、B、C、D在⊙O上，AB∥CD，AB=24，CD=10，⊙O的半径为13，求梯形ABCD的面积． 【答案】289或119 【分析】要求梯形的面积就要先求出梯形的高，然后利用梯形的面积公式计算；求梯形的高，先利用垂径定理和勾股定理求出圆心到梯形两底的距离，进而得到梯形的高，由此结合梯形的面积公式即可得到其面积． 【详解】   解：连接OA、OD，作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，在Rt△AOE中，OA=13，AE=12，OE==5；同理可得OF=12 分两种情况：如图1．EF=OF+OE=12+5=17 如图2．EF=OF-OE=12-5=7 因此梯形的面积为（AB+CD）EF=（24+10）EF=289或119． 故答案为289或119. 【点睛】本题考查面积计算，勾股定理，垂径定理及推论，注意本题需分情况求解梯形的面积，即分圆心在梯形的内部与外部两种情况求解. 20．如图所示,某地有一座圆弧形的拱桥,桥下的水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现有一宽3米,船顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗? 【答案】能通过 【分析】先求出弧形所在圆的半径；根据船宽，在Rt△OCH中，利用勾股定理可以求出此拱桥可以通过的船的高度，与船的实际高度比较一下就可以知道能否通过． 【详解】 解：AB=7.2米,CD=2.4米,EF=3米．D为AB、EF的中点,且CD,ME,NF均垂直于AB,MN交CD于H．弧AB所在的圆心为O,连接OA,ON．设OA=r,则OD=OC-DC=r-2.4,AD=AB=3.6 有OA2=AD2+OD2即在Rt△OAD中，r2=3.62+（r-2.4）2 ∴r=3.9（米） 在Rt△ONH中，有OH=（米）． 所以FN=DH=OH-OD=3.6-（3.9-2.4）=2.1（米）这里2米＜2.1米,故可以通过该桥．但是余量较小,要非常小心才好． 故答案为能通过. 【点睛】本题考查垂径定理的应用, 勾股定理，解本题的关键是求出此拱桥可以通过的船的高度，再与船的实际高度比较一下就可以知道能否通过． 21．如图，是的直径，，，求的度数．    【答案】 【分析】根据圆的性质进行计算即可得． 【详解】解：在中，AB是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握同弧所对的圆心角相等． 22．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF． （1）求证：△AFO≌△CEB； （2）若BE＝4，CD＝8，求： ①⊙O的半径； ②求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）①8；② 【分析】（1）根据垂径定理知BC＝BD，再利用圆周角定理知∠A＝∠DCB，而∠AFO＝∠CEB，故可证明△AFO≌△CEB；（2）①利用垂径定理得出CE=4，设 OC＝r，则 OE＝r﹣4，根据勾股定理可得r2＝（r﹣4）2+（4）2，即可求出r；②根据阴影部分等于扇形OABD的面积减去△CDO的面积即可求出. 【详解】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD， ∴BC＝BD， ∴∠A＝∠DCB， ∴OF⊥AC， ∴∠AFO＝∠CEB， ∵BE＝OF， ∴△AFO≌△CEB（AAS）． （2）①∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD， ∴CE＝CD＝4 设 OC＝r，则 OE＝r﹣4， ∴r2＝（r﹣4）2+（4）2 ∴r＝8． ②连结 OD． ∵OE＝4＝OC， ∴∠OCE＝30°，∠COB＝60°， ∴∠COD＝120°， ∵△AFO≌△CEB， ∴S△AFO＝S△BCE， ∴S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD ＝﹣ ＝﹣16. 【点睛】此题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理、扇形面积求法及圆内的勾股定理的使用. 23．已知：如图，⊙O中，==，OB、OC分别交AC、BD于点E、F. 试比较∠OEF与∠OFE的大小，并证明你的结论. 【答案】∠OEF=∠OFE 【分析】根据==，可得OB⊥AC，OC⊥BD，∠AOE=∠DOF；根据全等三角形的判定定理可得△AOE≌△DOF；由全等三角形对应边相等可得OE=OF，结合等腰三角形的定义可得结论. 【详解】解：∠OEF=∠OFE，理由如下： 连接OA，OD. ∵==， ∴OB⊥AC，OC⊥BD，∠AOE=∠DOF， ∵∠AEO=∠DFO=90°， ∵OA=OD， ∴△AOE≌△DOF， ∴OE=OF， ∴∠OEF=∠OFE. 故答案为∠OEF=∠OFE. 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理． 24．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时． （1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离； （2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．    【答案】（1）40；（2）卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为0.2分钟． 【分析】（1）直接利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半求出即可； （2）根据题意可知，图中AB=50m，AD⊥BC，且BD=CD，∠AOD=30°，OA=80m；再利用垂径定理及勾股定理解答即可． 【详解】（1）过点A作AD⊥ON于点D， ∵∠NOM=30°，AO=80m， ∴AD=40m， 即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米； （2）由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，AD⊥BC，BD=CD=BC，OA=80m， ∵在Rt△AOD中，∠AOB=30°， ∴AD=OA=×80=40m， 在Rt△ABD中，AB=50，AD=40， 由勾股定理得：BD==30m， 故BC=2×30=60米， 即重型运输卡车在经过BD时对学校产生影响． ∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即18000÷60=300米/分钟， ∴重型运输卡车经过BC时需要60÷300=0.2（分钟）． 答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为0.2分钟．    【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理的应用，正确画出图形，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 25．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD. （1）求证：∠DAC=∠DBA； （2）求证：PD=PF； （3）连接CD，若CD=3，BD=4，求⊙O的半径 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2.5 【分析】(1)利用角平分线定义得出∠CBD=∠DBA，进而得出∠DAC=∠CBD，进而得出∠DAC=∠DBA； (2)利用直径所对圆周角性质得出∠ADB=90°，进而求出∠PDF=∠PFD，则PD=PF； (3)根据角平分线得出∠CBD=∠DBA，根据弧弦圆周角关系，进而得出CD=AD，得出利用勾股定理得出AB的长即可． 【详解】(1)证明：∵BD平分∠CBA， ∴∠CBD=∠DBA， ∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角， ∴∠DAC=∠CBD， ∴∠DAC=∠DBA， (2)证明：∵AB为直径， ∴∠ADB=90°， ∵DE⊥AB于E， ∴∠DEB=90°， ∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°， ∴∠ADE=∠DBA， ∴∠DAC=∠DBC=∠DBA=∠ADE， ∴∠ADE+∠EDB=∠DFA+∠DAC =90°， ∴∠PDF=∠PFD， ∴PD=PF， (3)连接CD， ∵∠CBD=∠DBA， ∴， ∴CD=AD， ∵CD﹦3， ∴AD=3， ∵∠ADB=90°，BD=4， ∴AB==5， ∴2r=5， ∴r=2.5， 故⊙O的半径为2.5． 【点睛】本题主要考查了圆的综合以及圆周角定理，弦、弧、圆周角关系，直径所对圆周角性质，角平分线定义和勾股定理以等知识，难度一般．熟练利用圆周角定理得出各等量关系是解题关键． 26．【教材回顾】（1）如图①，点、分别是的边、边的中点，连结，则是的一条中位线．则和的数量关系是____，位置关系是_____． 【提出问题】如图④，是以为直径的⊙的一条弦，连结、，点在的上方，点在的下方，于，于，点、均在弦上．已知，，求的值．为了解决上面的问题，进行了如下的探究： 【分析问题】先看两种特殊情况： （2）如图②，当点与点重合时，点也与点重合，点与点重合，此时，（点看成是长度为0的线段），则_____．（写出具体的数值） （3）如图③，当时，、重合，此时与的数量关系是____，先根据条件易求的长度，则____．（写出具体的数值） 【解决问题】（4）结合图④对应的一般情况和你的感知，请用严谨的数学方法求的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）；；（4） 【分析】（1）直接用中位线性质定理得出结论； （2）由等边三角形判定得出△为等边三角形，得到，即可得到答案； （3）由直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半，得到，即，计算即可得知答案； （4）过圆O作直径CD⊥AB交于点E，连接PM与CD交于点F，由中位线定理得出OF是△MNP的中位线，EF是△PNQ的中位线，得到，，即，计算即可得出答案． 【详解】解：（1）∵点、分别是的边、边的中点， ∴是的一条中位线， ∴，， 故答案为：，． （2）∵MN为直径，O为圆心，当点与点重合时，点也与点重合，点与点重合， ∴∠MAB＝90°，O为MN的中点， ∴在Rt△MAB中，，， ∴， ∴， ∴△为等边三角形， ∵ ∴，， ∴， 故答案为： （3）当时，、重合， ∵， ∴在Rt△AOP中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． （4）∵于，于， ∴过圆O作直径CD⊥AB交于点E，连接PN与CD交于点F，如图： ∴点O为MN的中点，， ∴点F为PN的中点，点E为PQ的中点， ∴在△MNP中，OF是△MNP的中位线， ∴， 在△PNQ中，EF是△PNQ的中位线， ∴， ∴， ∵在Rt△AOE中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了中位线定理，圆的垂径定理，直角三角形中30°所对的边是斜边的一半等知识点，根据题意作出辅助线是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$