第07讲 确定圆的条件-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第07讲 确定圆的条件 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 确定圆的条件 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 知识点2 三角形的外接圆与外心 1.三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 2.三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 教材习题01 解题方法 圆的性质 【答案】 教材习题02 解题方法 判断点在圆上 【答案】 / 考点一 判断确定圆的条件 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ． 考点二 求能确定的圆的个数 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 2．（23-24九年级上·河北张家口·期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点三 确定圆心(尺规作图) 1.（2025九年级下·全国·专题练习）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点、、，其中，点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，．圆心为，则的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·甘肃·阶段练习）要将如图所示的破圆轮残片复制完成，请你先帮忙找出这个圆轮残片的圆心．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 4．（2025·河北石家庄·一模）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图，是水平放置的破裂管道有水部分的截面． (1)请找出截面的圆心O．（尺规作图不写画法，保留作图痕迹．） (2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深的地方为，求这个圆形截面的半径． 5．（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：，．求（1）中所作圆的半径． 考点四 求三角形外心坐标 1．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期末）图中的外心坐标是 ． 3．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，．圆心为，则的坐标是 ． 考点五 求特殊三角形外接圆的半径 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是 ． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图所示，的三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆半径的长为 ． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在中，，则它的外接圆的半径为 ． 4．（2025·江苏南京·一模）已知等边三角形的边长为，则它的外接圆半径长为 ． 知识导图记忆 知识目标复核 1. 确定圆的条件 2.确定圆心 3.求三角形外心坐标 4.求特殊三角形外接圆的半径 一、单选题 1．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）下列命题中，其中正确的是（   ） A．经过三个点一定可以作圆 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 C．度数相等的弧是等弧 D．相等的圆周角所对的弧相等 2．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 3．（24-25九年级上·陕西延安·期末）三角形的外心是（   ） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 4．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（2023九年级下·全国·专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 二、填空题 7．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，，则它的外心到顶点A的距离为 ． 8．（22-23九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，点是的外心，连接、，若，则的度数为 ． 三、解答题 9．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，．求证：四点在同一个圆上．    10．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中的网格中，有一个格点（即三角形的顶点都在格点上），其中点，点，点． (1)填空：的外心的坐标为______；的外接圆半径长为______； (2)仅用无刻度的直尺，作出的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 11．（24-25九年级下·河南新乡·开学考试）如图，在中，． (1)请用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求此外接圆的半径． 12．（23-24九年级上·甘肃平凉·期中）如图，在中，．    (1)求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的面积． 13．（2025·福建泉州·一模）如图，已知，，是高． (1)求作的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，．求外接圆的半径． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 确定圆的条件 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 确定圆的条件 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 知识点2 三角形的外接圆与外心 1.三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 2.三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 教材习题01 解题方法 圆的性质 【答案】 教材习题02 解题方法 判断点在圆上 【答案】 / 考点一 判断确定圆的条件 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得，解题的关键是熟练掌握圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，只要有一段弧，即可确定圆心和半径， ∴小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是， 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了确定圆的条件及一次函数图象与点的关系，解题的关键是了解“不在同一直线上的三点确定一个圆”，难度不大．利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，由于在直线上，可知答案． 【详解】解：设直线的解析式为， ， 解得， ， A、当，，故不在直线上，根据不在同一直线三点确定一个圆得与，可以确定一个圆，故本选项不符合题意； B、当，，同理，故本选项不符合题意； C、当，，故在直线上，故不能确定一个圆，故本选项符合题意； D、，，同理，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟知经过线段最小的圆即为以AB为直径的圆是解答此题的关键． 经过线段最小的圆即为以为直径的圆，求出半径即可． 【详解】解：根据题意得：经过线段最小的圆即为以为直径的圆，则此时半径为． 故答案为：2． 考点二 求能确定的圆的个数 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可． 【详解】解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆， 若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆， 故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个． 故选：D． 2．（23-24九年级上·河北张家口·期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可． 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 考点三 确定圆心(尺规作图) 1.（2025九年级下·全国·专题练习）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点、、，其中，点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由弧确定所在圆的圆心，涉及垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．熟练掌握通过圆弧，由垂径定理的推论确定弧所在圆的圆心方法是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 、， 与关于直线对称， 即垂直平分； ， 中点坐标是， 则连接与，刚好是正方形的对角线， 即这条正方形对角线垂直平分； 如图所示：    则圆心是， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，．圆心为，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理，点的坐标，通过作图，确定圆心的位置是解题的关键． 找到，的垂直平分线的交点即为圆心，再求其坐标即可． 【详解】解：如图，连接，分别作，的垂直平分线交于点， 由图可得点坐标为， 故答案为：； 3．（24-25九年级上·甘肃·阶段练习）要将如图所示的破圆轮残片复制完成，请你先帮忙找出这个圆轮残片的圆心．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了确定圆的圆心位置，一个圆的圆心一定在该圆一条弦的垂直平分线上，则在弧上任取一点C，作线段的垂直平分线，二者交于点O，则点O即为所求． 【详解】解：如图所示，在弧上任取一点C，作线段的垂直平分线，二者交于点O，则点O即为所求． 4．（2025·河北石家庄·一模）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图，是水平放置的破裂管道有水部分的截面． (1)请找出截面的圆心O．（尺规作图不写画法，保留作图痕迹．） (2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深的地方为，求这个圆形截面的半径． 【答案】(1)见解析； (2)这个圆形截面的半径 【分析】此题考查了作图-应用与设计作图，垂径定理的应用和勾股定理． （1）任取一条弦，分别作，的垂直平分线交点即为圆心，根据尺规作图的步骤和方法做出图即可； （2）连接，交于点E，交弧于点D，利用垂径定理求出，设半径为，则，再根据勾股定理列方程计算即可． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求， （2）解：如图，连接，交于点E，交弧于点D， ∴， 由题意得，， 设半径为，则， 在中，， ∴， 解得， ∴这个圆形截面的半径． 5．（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：，．求（1）中所作圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)此残片所在圆的半径为10． 【分析】本题考查圆的垂径定理，勾股定理，熟练掌握通过垂径定理找圆心，通过勾股定理构造方程求边长是解题的关键． （1）由于是弦的垂直平分线，则圆心在直线上，因此连接，圆心在的垂直平分线上，故作的垂直平分线，交于点O，则点O就是所求的圆心； （2）连接，设半径为x，即，则，根据是的垂直平分线，得到，，因此在中，根据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径． 【详解】（1）解：如图，点O为所求的圆心． （2）解：连接，    设半径为x，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ， ∴在中，， 即， 解得：， ∴此残片所在圆的半径为10． 考点四 求三角形外心坐标 1．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点．由两点的坐标可以得到直线轴，则直线BC的垂直平分线为直线，再由外心的定义可知外心的纵坐标为1，设的外心为，利用两点距离公式和外心的性质求解，即可解题． 【详解】解： B点坐标为，C点坐标为， 直线轴， 直线的垂直平分线为直线， 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点， 外心的纵坐标为1， 设的外心为， ， ， 解得， 外心的坐标为， 故选：D． 2．（24-25九年级上·全国·期末）图中的外心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义，根据三角形外心的定义作三角形两边的垂直平分线，根据网格的特点，很容易作出与的垂直平分线，则它们交点的坐标为所求． 【详解】解：作，的垂直平分线交点P，如图， 则点P为的外心， P点坐标为． 故答案为∶． 3．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，．圆心为，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理，点的坐标，通过作图，确定圆心的位置是解题的关键． 找到，的垂直平分线的交点即为圆心，再求其坐标即可． 【详解】解：如图，连接，分别作，的垂直平分线交于点， 由图可得点坐标为， 故答案为：； 考点五 求特殊三角形外接圆的半径 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，确定圆心，作的垂直平分线交于点，连接，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图所示，的三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆半径的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，勾股定理，能够根据三角形外心的性质来判断出外心的位置是解答此题的关键． 三角形的外心是三边中垂线的交点，由B、C的坐标知：圆心M（设的外心为M）必在直线上，由图知：的垂直平分线正好经过，由此可得到，连接，过M作作于点，由勾股定理即可求得M的半径长． 【详解】解：设的外心为， ∵，， ∴在直线上， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴由图可知的垂直平分线经过点， ∴， 过点作于点，连接， ∵在中，， ∴由勾股定理得：， ∴外接圆半径的长为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在中，，则它的外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外接圆，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理；由勾股定理求得斜边，由斜边上中线性质得三角形外接圆半径． 【详解】解：由勾股定理得：， 由于直角三角形外接圆圆心在斜边的中点，半径为斜边的一半， 所以外接圆的半径为， 故答案为：． 4．（2025·江苏南京·一模）已知等边三角形的边长为，则它的外接圆半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形外接圆半径的计算，解题的关键是利用等边三角形的性质和三角函数关系求解． 如图，连接、，过点作于，利用等边三角形的性质，由圆周角定理得，得，再借助和三角函数求出外接圆半径． 【详解】如图，连接、，过点作于， ∵为等边三角形， ∴， 由圆周角定理得： ， ， ， ， 故答案为：． 知识导图记忆 知识目标复核 1. 确定圆的条件 2.确定圆心 3.求三角形外心坐标 4.求特殊三角形外接圆的半径 一、单选题 1．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）下列命题中，其中正确的是（   ） A．经过三个点一定可以作圆 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 C．度数相等的弧是等弧 D．相等的圆周角所对的弧相等 【答案】B 【分析】本题考查了命题，根据圆的基本知识点，三角形外心的性质，逐一判断即可． 【详解】解：A、同一平面内，不共线的三个点一定可以作圆，故原说法错误，不符合题意； B、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故原说法正确，符合题意； C、同圆或等圆中，度数相等的弧是等弧，故原说法错误，不符合题意； D、同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，进而求得圆的半径． 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴的半径为， 故选：C． 3．（24-25九年级上·陕西延安·期末）三角形的外心是（   ） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知三角形外心的定义是解答此题的关键．直接根据外心的定义进行解答即可． 【详解】解：∵三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心， ∴三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点． 故选：A． 4．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，解题的关键是掌握三角形的外心的定义．根据三角心的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，分别作、的垂直平分线交于点，即可求解． 【详解】解：如图，分别作、的垂直平分线交于点，点即为所求， 故选：C． 6．（2023九年级下·全国·专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置． 【详解】解：∵的外心为O， ∴， ∵， ∴， ∵B、C是方格纸格线的交点， ∴B、C的位置如图所示，    ∴． 故选：D． 二、填空题 7．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，，则它的外心到顶点A的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形外心，等腰三角形的性质，勾股定理．根据题意画出图形，设的外心为O，连接 ，，并延长交于H，由等腰三角形的性质得到，，由勾股定理求出，由外心性质得，再设，则，由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设的外心为O，连接 ，，并延长交于H， ，O是的外心，    ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， 设，则， 在中，由勾股定理，得 ， 解得：， ∴， 故答案为：． 8．（22-23九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，点是的外心，连接、，若，则的度数为 ． 【答案】/140度 【分析】根据三角形外心的性质，等腰三角形的性质，再结合三角形内角和定理计算即可． 【详解】点是的外心 是等腰三角形 故答案为： 【点睛】本题主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形外心的性质解题的关键． 三、解答题 9．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，．求证：四点在同一个圆上．    【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，圆的确定，熟练掌握知识点是解题的关键．连接，先由勾股定理得出的长度，再根据勾股定理逆定理得出，取的中点O，连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可证明． 【详解】证明：连接，      ∵， ∴， 又， ， ， 取的中点O，连接， ∴， ∴点在同一个圆上． 10．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中的网格中，有一个格点（即三角形的顶点都在格点上），其中点，点，点． (1)填空：的外心的坐标为______；的外接圆半径长为______； (2)仅用无刻度的直尺，作出的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)； (2)见详解 【分析】本题考查的是画三角形的外接圆的圆心，垂径定理的应用，勾股定理的应用； （1）根据外心是三角形的三边的垂直平分线的交点，以及运用网格特征作图，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）结合网格特征，取格点记为，连接，与弧的交点为，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，外心的定义：三边的垂直平分线的交点， 故的外心在和的垂直平分线的交点上， 如图所示： ∴的外心的坐标为， 则的外接圆半径长为； 故答案为：， （2）解：依题意，的中点如图所示． 11．（24-25九年级下·河南新乡·开学考试）如图，在中，． (1)请用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求此外接圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）作线段，的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作即可； （2）证明是等边三角形，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求作． （2）解：连接，交 于E，连接． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的外接圆的半径为． 12．（23-24九年级上·甘肃平凉·期中）如图，在中，．    (1)求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，三角形外接圆的定义，勾股定理，掌握直角三角形外接线圆心为斜边中点时解题的关键． （1）作出的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径画圆，即为所求； （2）先根据勾股定理求出，进而得出，最后根据圆的面积公式，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：∵，，， ∴根据勾股定理可得， ∴， ∴的面积． 13．（2025·福建泉州·一模）如图，已知，，是高． (1)求作的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，．求外接圆的半径． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求； （）连接，由等腰三角形的性质得，即由勾股定理得，设的半径为，则，在中由勾股定理得，解方程即可求解； 本题考查了画三角形的外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理，正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：连接， ∵，， ∴，， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴外接圆的半径为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$