第05讲 圆的基本概念和性质-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第05讲 圆的基本概念和性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 圆的定义和性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个长端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 备注：圆心确定圆的位置，半径度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2） 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 3） 知识点2 圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 知识点3 点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。 教材习题01 解题方法 ①勾股定理 ②点与圆的位置关系 【答案】 教材习题02 解题方法 ①矩形的性质 ②勾股定理 【答案】 / 考点一 圆的有关概念 1．（2025·湖南娄底·三模）“转化”是一种重要的解决问题策略，在我们数学学习中经常会运用到．例如探索圆的面积计算公式时，许多同学会将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的平行四边形（如图①），然后推导出圆的面积计算方法．小亮在研究时，将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的梯形（如图②）．请仔细观察拼成的这个梯形，梯形的上底与下底的和与梯形的高分别是（    ） A．圆周长，圆的半径 B．圆周长，圆的直径 C．圆周长的一半，圆的半径 D．圆周长的一半，圆的直径 2．（2025·江苏连云港·二模）一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．4 D．8 3．（2025·云南西双版纳·一模）如图，是的直径，，，则（    ） A． B． C． D． 考点二 求圆中弦的条数 1．（2025·湖南张家界·一模）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 4．（22-23九年级上·北京·单元测试）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 考点三 求过圆内一点的最长弦 1．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 2．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ． 考点四 求一点到圆上点距离的最值 1.如图，正方形的边长为，点分别在、上，且，与相交于点，连接，则的最小值为 ． 2.如图，四边形为矩形，，．点E是线段上一动点，连接，点F为线段上一点，连接，若，则的最小值为 ． 3.如图，正方形的边长为8，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ． 4.如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 考点五 求圆弧的度数 1．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 考点六 点与圆的位置关系 1．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如果的半径为3，，则点在（   ） A．外 B．内 C．上 D．不确定 2．（24-25九年级上·山西忻州·阶段练习）已知的半径为，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定 3．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（   ） A．都不在 B．只有 C．只有 D． 4.（22-23九年级下·上海·阶段练习）在直角坐标平面内，，圆M的半径为4，那么点与圆M的位置关系是（   ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 考点七 利用点与圆的位置关系求半径 1．（24-25九年级上·河南商丘·期中）已知圆外一点到圆的最大距离为，最小距离为，则圆的半径为（   ） A．或 B．或 C． D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．若点B在圆上，则a值为（　　） A．2或3 B．或3 C．或1 D．或2 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 4．（24-25九年级上·浙江台州·期末）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（   ） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 知识导图记忆 知识目标复核 1. 圆的有关概念 2.点与圆的位置关系 3.圆弧角度的计算 4.点到圆距离的最值问题 一、单选题 1．（2025·吉林·二模）在中，，，以为圆心，长为半径画圆，则点和的位置关系，下列说法正确的是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·云南保山·模拟预测）如图，是的直径，为弦，，垂足为E．如果，，那么的半径是（    ） A．5 B．7 C．12 D．13 5．（24-25九年级上·河南郑州·期末）的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（  ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．点在上或外 6．（24-25九年级上·天津·期中）如图，在中，，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，连接，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·青海西宁·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．圆中最长的弦是经过圆心的弦 C．一条弦把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧 D．平分弦的直径垂直于弦 二、填空题 8．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 9．（2025·甘肃陇南·三模）已知矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径上．若，则矩形的面积为 ． 10．（2025·河南·模拟预测）如图，正方形的顶点A，B分别与数轴上表示数0，2的点重合，点C在上，则与数轴正半轴的交点E表示的数为 ． 11．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是 ． 12．（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，为的直径，点在上，连接，在上截取，连接并延长交于点．若，，则的长为 ． 13．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，直线l与相交于点A，B，点A的坐标为，则点B的坐标为 ． 14．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为 ． 三、解答题 15．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，是的半径，点C在上，，求的度数． 16．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，，，，是斜边上的中线． (1)若以点为圆心，以为半径作，且点，，中有两个点在内，有一个点在外，求的取值范围； (2)若以点为圆心，以为半径作，且点，，都在上，求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 圆的基本概念和性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 圆的定义和性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个长端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 备注：圆心确定圆的位置，半径度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2） 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 3） 知识点2 圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 知识点3 点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。 教材习题01 解题方法 ①勾股定理 ②点与圆的位置关系 【答案】 教材习题02 解题方法 ①矩形的性质 ②勾股定理 【答案】 / 考点一 圆的有关概念 1．（2025·湖南娄底·三模）“转化”是一种重要的解决问题策略，在我们数学学习中经常会运用到．例如探索圆的面积计算公式时，许多同学会将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的平行四边形（如图①），然后推导出圆的面积计算方法．小亮在研究时，将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的梯形（如图②）．请仔细观察拼成的这个梯形，梯形的上底与下底的和与梯形的高分别是（    ） A．圆周长，圆的半径 B．圆周长，圆的直径 C．圆周长的一半，圆的半径 D．圆周长的一半，圆的直径 【答案】D 【分析】本题考查圆的面积的推算，观察图形可知梯形的上底与下底的和为圆周长的一半，梯形的高为圆的直径，据此解答． 【详解】解：由图可得梯形的上底与下底的和为圆周长的一半，梯形的高为圆的直径， 故选：D． 2．（2025·江苏连云港·二模）一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了找圆心，沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心，据此可得答案． 【详解】解：∵圆的圆心一定在其直径上， ∴沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心， ∴一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折2次， 故选：B． 3．（2025·云南西双版纳·一模）如图，是的直径，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明，则，结合是的直径，列式计算，得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 故选：C． 考点二 求圆中弦的条数 1．（2025·湖南张家界·一模）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 4．（22-23九年级上·北京·单元测试）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】A 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有，共2条． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键． 考点三 求过圆内一点的最长弦 1．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为， 的直径的长为， 的半径为． 故选B． 2．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 3．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键． 利用直径是圆内最长的弦即可求解． 【详解】解： 的半径为5， 的弦的长度的取值范围为：， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的最大弦是解题的关键． 根据直径是圆中最大的弦解答即可． 【详解】解：如图，设圆的圆心为点O， ∵直径是圆中最大的弦， ∴过P，O作圆的直径，则，， ∴， ∴圆的直径为， 故答案为：6． 考点四 求一点到圆上点距离的最值 1.如图，正方形的边长为，点分别在、上，且，与相交于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键．通过证明，可证，则点在以为直径的一段弧上运动，当点在与弧的交点处时，最短，然后根据勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解∶四边形是正方形， ， 在和中 ， ， ， ， ∴， 点在以为直径的一段弧上运动， 设的中点为，则当点在与弧的交点处时，最短， ， ， ∴， ， 故答案为：． 2.如图，四边形为矩形，，．点E是线段上一动点，连接，点F为线段上一点，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆外一点到圆上各点的最小距离，勾股定理，矩形的性质，关键是构造圆．由可得，，点在以为直径的圆弧上，点在圆外，可求的最小值． 【详解】解：作的中点，连接． 矩形中，， ， ， ， ， 当点移动时，点在以为直径的圆弧上移动，当点在上时，有最小值． ，，， ， ， 有最小值为4． 故答案为：4． 3.如图，正方形的边长为8，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了圆的性质，正方形和折叠的性质，勾股定理，确定当点G、F、A三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度． 由翻折知，得点F在以B为圆心，8为半径的圆上运动，可知当点G、F、A三点共线时，最小，连接，再勾股定理求出的长，然后利用等面积法即可求出． 【详解】解：∵正方形的边长为8， ∴，， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴点F在以B为圆心，8为半径的圆上运动， ∴当点G、F、A三点共线时，最小，如图，连接     ∵点G是边的中点， ∴， 由勾股定理得， ， ∵ ∴ ∴ 解得． 故答案为：． 4.如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，为的中点，可得，则在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当四点共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵正方形，， ∴，， ∵分别，的中点， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 当四点共线时，最小， 此时，， ∴， ∴， 即的最小值为：， 故选B 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的确定，熟练的确定P的运动轨迹是解本题的关键． 考点五 求圆弧的度数 1．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对顶角相等得，由得到，由得到，即可求出，得到的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B 【点睛】此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形性质，求圆弧度数，等腰三角形性质，解题的关键在于恰当的作出辅助线解决问题．连接，利用直角三角形性质得到，结合圆的特点和等腰三角形性质得到，进而即可求得的度数． 【详解】解：连接， 在中，， ， ， ， ， 即的度数为， 故选：A． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了考查了圆的有关性质，等腰三角形的有关性质，平行线的性质，根据题意画图分情况分析即可，熟练掌握知识点的应是解题的关键． 【详解】如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 综上可知：的度数是或， 故选：． 考点六 点与圆的位置关系 1．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如果的半径为3，，则点在（   ） A．外 B．内 C．上 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离为d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为3，，且， ∴点A在内， 故选：B． 2．（24-25九年级上·山西忻州·阶段练习）已知的半径为，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系． 若的半径为，一点和圆心的距离为，当时，点在上；当时，点在内；当时，点在外．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵ ， ∴点A在外 故选：A 3．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（   ） A．都不在 B．只有 C．只有 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，点与圆的位置关系，根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质得，以点为圆心，长为半径画圆，再根据图形即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， 取中点，连接，则， 以点为圆心，长为半径画圆，如图所示： 由图可知，点都在内， ∴这三栋楼中在该基站覆盖范围内， 故选：． 4.（22-23九年级下·上海·阶段练习）在直角坐标平面内，，圆M的半径为4，那么点与圆M的位置关系是（   ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．求得线段的长后与圆的半径比较即可确定正确的选项． 【详解】解：∵，， ∴， ∵圆M的半径为4， ∴点在圆外， 故选：C． 考点七 利用点与圆的位置关系求半径 1．（24-25九年级上·河南商丘·期中）已知圆外一点到圆的最大距离为，最小距离为，则圆的半径为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差等于圆的直径是解题关键．将最大距离与最小距离作差，进而求解即可． 【详解】解：圆外一点到圆的最大距离为，最小距离为， 圆的半径为， 故选：C． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．若点B在圆上，则a值为（　　） A．2或3 B．或3 C．或1 D．或2 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点与圆的位置关系是解题的关键．根据点A的坐标和圆A的半径以及两点之间的距离即可求出答案． 【详解】，圆A的半径为2， ， ， 解得或3． 故选：B． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．首先确定的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出b的取值范围，即可得到正确选项． 【详解】解：∵半径为4．若点A在内， ∴， ∵点A所表示的实数为6， ∴， 故选：D． 4．（24-25九年级上·浙江台州·期末）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（   ） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点与圆的位置关系是解题的关键．根据点与圆的位置关系，即可求得，由此即可判断答案． 【详解】解：点A在内， ， 点B在外， ， ， 只有符合题意． 故选：B． 知识导图记忆 知识目标复核 1. 圆的有关概念 2.点与圆的位置关系 3.圆弧角度的计算 4.点到圆距离的最值问题 一、单选题 1．（2025·吉林·二模）在中，，，以为圆心，长为半径画圆，则点和的位置关系，下列说法正确的是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，点与圆的位置关系，先证明，可得即可得到结论. 【详解】解：如图，∵在中，，， ∴， ∴， ∴以为圆心，长为半径画圆，则点在上， 故选：B． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，圆的相关定义，掌握相关知识点是解题关键．先证明，推出，再根据等边对等角的性质求解即可． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 3．（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边对等角，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．利用等边对等角得到，由得到，利用三角形的外角的性质得到，结合即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 故选：B． 4．（2025·云南保山·模拟预测）如图，是的直径，为弦，，垂足为E．如果，，那么的半径是（    ） A．5 B．7 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查圆的性质、勾股定理的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接， 为半径，在中根据勾股定理可得出的值． 【详解】解：连接， ． ， ． ． ， ，解得：． 故选：D． 5．（24-25九年级上·河南郑州·期末）的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（  ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．点在上或外 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 运用勾股定理得到，根据点与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：点的坐标为， ∴， ∵的半径为，圆心的坐标为， ∴点与的位置关系是点在上， 故选：B ． 6．（24-25九年级上·天津·期中）如图，在中，，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，是基础知识比较简单．先求得，再由等腰三角形的性质求出，则与互余． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 7．（24-25九年级上·青海西宁·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．圆中最长的弦是经过圆心的弦 C．一条弦把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧 D．平分弦的直径垂直于弦 【答案】B 【分析】本题考查了命题，圆中的有关概念，熟练掌握圆的概念和性质是解题的关键。 根据圆的概念和性质分析即可． 【详解】解：A．在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故原说法错误，是伪命题，不符合题意； B．圆中最长的弦是经过圆心的弦，说法正确，是真命题，符合题意； C．一条弦（非直径）把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧，故原说法错误，是伪命题，不符合题意； D．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，是伪命题，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 8．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 【答案】/150度 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 9．（2025·甘肃陇南·三模）已知矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径上．若，则矩形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆的有关概念，掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 连接，可由勾股定理求得，再证明，则，那么，即可求解矩形面积． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：24． 10．（2025·河南·模拟预测）如图，正方形的顶点A，B分别与数轴上表示数0，2的点重合，点C在上，则与数轴正半轴的交点E表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要查了圆的基本性质，正方形的性质，勾股定理，实数与数轴．连接，根据正方形的性质可得，，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形的顶点A，B分别与数轴上表示数0，2的点重合， ∴，， ∴， ∵点C在上， ∴的半径为， ∴与数轴正半轴的交点E表示的数为． 故答案为： 11．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角，圆的性质，等腰三角形的性质，解题的关键掌握相关知识．由，可得，再根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 即弦所对的圆心角的度数是， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，为的直径，点在上，连接，在上截取，连接并延长交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．先证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接． ， ． ， ， ． ， ． ， 则是等腰直角三角形． ， ． ． 故答案为：． 13．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，直线l与相交于点A，B，点A的坐标为，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，据此解答即可． 【详解】解：由图可以发现：点A与点B关于原点对称， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】根据，，可得四边形是菱形，则可得，进而可得是等边三角形，，由可得，进而可得是等边三角形，则可得． 本题考查了菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，以及圆的相关知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】 解：连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵, ∴四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：1 三、解答题 15．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，是的半径，点C在上，，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和，先根据半径相等得，再运用三角形内角和得，故，然后由得，即可作答． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 答：的度数为． 16．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，，，，是斜边上的中线． (1)若以点为圆心，以为半径作，且点，，中有两个点在内，有一个点在外，求的取值范围； (2)若以点为圆心，以为半径作，且点，，都在上，求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查点和圆的位置关系及勾股定理，熟练掌握点和圆的位置关系及勾股定理是解题关键． （1）利用勾股定理可得，根据直角三角形的性质得，进而根据点与圆的位置关系即可得答案； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及圆的定义，可得答案． 【详解】（1）解： ，，， ． ∵是斜边上的中线． ∴， 点，，中有两个点在为，有一个点在外，， ； （2）解：是斜边上的中线，， ． 点，，都在上， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$