2026届高三数学一轮复习课时作业30：三角函数的图象与性质

4.5　三角函数的图象与性质 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.函数f(x)=的定义域为(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 2.已知函数f(x)=cos，则f(x)在[-2，0]上(　　) A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增 3.已知函数f(x)=2cos，设a=f，b=f ，c=f ，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c 4.(2025·永州模拟)已知函数f(x)=sin(3x+φ)(0<φ<2π)在区间上单调递增，则φ等于(　　) A. B. C. D.π 5.(2024·商丘模拟)已知函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称，则f(x)在上的最小值为(　　) A.-2 B.- C.-1 D.- 6.(2024·铜川模拟)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(0<ω<10，0<φ<π)图象的一个对称中心是A，点B在f(x)的图象上，下列说法错误的是(　　) A.f(x)=cos B.直线x=是f(x)图象的一条对称轴 C.f(x)在上单调递减 D.f 是奇函数 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2024·新课标全国Ⅱ)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin，下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 8.(2025·岳阳模拟)若函数f(x)=sin (ω∈N*，ω≤6)的图象关于直线x=对称，则下列说法正确的是(　　) A.f(0)= B.f(x)的图象关于点对称 C.f(x)在区间(0，π)上有2个极值点 D.f(x)在区间上单调递增 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.函数y=的定义域为　　　 　　　　　　　　　　　　　.  10.函数f(x)=-2cos2x+2sin x+3，x∈的值域为　　　　　　　.  四、解答题(共27分) 11.(13分)已知f(x)=sin. (1)求函数y=的最小正周期；(6分)(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值.(7分) 12.(14分)已知函数f(x)=asin-2cos2(a>0)，且满足　　　　.  从①f(x)的最大值为1；②f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π；③f(x)的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面　　　　　　中并作答下列问题.  (1)求函数f(x)的解析式及最小正周期；(6分) (2)若关于x的方程f(x)=1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围.(8分) 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【提升练】 13.(多选)已知函数f(x)=sin |x|-cos 2x，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)为偶函数 B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)的最小值为- D.f(x)的最大值为2 14.(2024·郑州模拟)已知函数f(x)=2sin2x+asin x(a∈R)，且f'=0，则下列结论正确的是(　　) A.a=3 B.f(x)在区间(-π，π)上有3个零点 C.f(x)在上单调递减，在上单调递增 D.-<f(x)<4 15.已知函数满足：①f(3-x)=-f(x)；②f(x)=f(1-x)；③函数f(x)在上单调递减. 写出一个同时具有以上性质①②③的函数：　　　　　　　　　　　　　　　　.  16.已知f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R的奇函数，且当x=3时，f(x)取得最小值-3，当ω取得最小正数时，f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)的值为　　　　　　.  答案精析 1.A　2.D 3.A　[a=f=2cos b=f =2cos  c=f =2cos 因为y=cos x在[0，π]上单调递减， 又0<<<<π， 所以a>b>c.] 4.D　[根据题意，函数f(x)=sin(3x+φ)，其周期T= 又由f(x)在区间上单调递增， 而-= 必有3×+φ=2kπ-且3×+φ=2kπ+k∈Z， 变形可得φ=2kπ-π，k∈Z， 又由0<φ<2π，必有k=1， 此时φ=π.] 5.A　[因为函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称， 所以2×+φ=kπ+(k∈Z)， 解得φ=kπ+(k∈Z)， 又0<φ<所以当k=0时，φ= 所以f(x)=2sin 因为x∈ 所以2x+∈ 所以当2x+=即x=时，f(x)在上的最小值为-2.] 6.B　[因为点B在f(x)的图象上， 所以f(0)=cos φ=. 又0<φ<π，所以φ=因为f(x)图象的一个对称中心是A 所以+=+kπ，k∈Z， 则ω=2+8k，k∈Z. 又0<ω<10，所以ω=2， 则f(x)=cosA正确； f =cos =0， 则直线x=不是f(x)图象的一条对称轴，B不正确； 当x∈时，2x+∈[2π，3π]，f(x)单调递减，C正确； f =cos=-sin 2x，是奇函数，D正确.] 7.BC　[A选项，令f(x)=sin 2x=0， 解得x=k∈Z，即为f(x)的零点， 令g(x)=sin=0， 解得x=+k∈Z，即为g(x)的零点， 显然f(x)，g(x)零点不同，A选项错误； B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确； C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为=π，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x=kπ+k∈Z， 解得x=+k∈Z， g(x)的对称轴满足2x-=kπ+k∈Z， 解得x=+k∈Z， 显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误.] 8.ABC　[因为函数f(x)=sin (ω∈N*，ω≤6)的图象关于直线x=对称， 可得ω·+=+kπ，k∈Z， 解得ω=2+6k，k∈Z， 又ω∈N*，且ω≤6，所以ω=2， 即f(x)=sin. A中，f(0)=sin =所以A正确； B中，因为2×+=π，所以f(x)的图象关于点对称，所以B正确； C中，因为x∈(0，π)， 所以2x+∈ 令2x+=解得x= 令2x+=解得x= 所以极值点为所以C正确； D中，因为x∈所以2x+∈则函数不单调，所以D不正确.] 9. 解析　要使函数有意义， 则 即 故函数的定义域为 . 10. 解析　f(x)=-2cos2x+2sin x+3 =-2(1-sin2x)+2sin x+3 =2sin2x+2sin x+1 =2+. 因为x∈所以≤sin x≤1. 当sin x=1时，f(x)max=5； 当sin x=时，f(x)min=. 所以函数f(x)的值域为. 11.解　(1)因为f(x) =sin 所以f =sin =sin =-sin 2x-cos 2x， 所以y= =(-sin 2x-cos 2x)2=1+sin 4x， 所以函数y=的最小正周期T==. (2)当x∈时， ≤2x+≤ 所以-1≤sin≤ 所以-≤f(x)≤1， 所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为-. 12.解　(1)函数f(x) =asin-2cos2 =asin-cos-1 =asin -cos-1 =asin+sin-1 =(a+1)sin-1. 若选择条件①f(x)的最大值为1， 则a+1=2，解得a=1， 所以f(x)=2sin-1， 则函数f(x)的最小正周期T==π. 若选择条件②f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π， 且f(x)的最小正周期T==π， 所以-(a+1)-1=-3，解得a=1， 所以f(x)=2sin-1. 若选择条件③f(x)的图象过点 则f =(a+1)sin-1=0，解得a=1. 所以f(x)=2sin-1， 则函数f(x)的最小正周期T==π. (2)令f(x)=1，得sin=1， 则2x-=+2kπ，k∈Z， 即x=+kπ，k∈Z. 若关于x的方程f(x)=1在区间[0，m]上有两个不同解，则x=或x= 所以实数m的取值范围是. 13.ACD　[因为f(-x)=sin |-x|-cos(-2x)=sin |x|-cos 2x=f(x)，所以f(x)是偶函数，则A正确； 若f(x)的最小正周期为π，则f(x+π)=f(x)恒成立，即sin |x+π|-cos 2(x+π)=sin |x|-cos 2x，即sin |x+π|=sin |x|恒成立，而当x=时，sin ≠sin 所以“f(x)的最小正周期为π”是错误的，则B错误； 由f(x)是偶函数，只需考虑x≥0时的最值即可，当x≥0时，f(x)=sin x-cos 2x=2sin2x+sin x-1=2-因为sin x的值域为[-1，1]，所以f(x)的值域为则C，D正确.] 14. C [因为f(x)=2sin2x+asin x(a∈R)， 所以f'(x)=4sin xcos x+acos x=cos x(a+4sin x)， 则f'=(a-2)=0，即a=2，A错误； 由f(x)=2sin2x+2sin x=2sin x(1+sin x)=0可得sin x=0或sin x=-1， 因为-π<x<π，所以x=0或x=-，B错误； f'(x)=cos x(2+4sin x)，当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增，C正确； 令t=sin x，则-1≤t≤1，所以f(t)=2t2+2t=2-， 根据二次函数的性质可知，-≤f(t)≤4，即-≤f(x)≤4，D错误.] 15.f(x)=2sin(答案不唯一) 解析　对于①，若f(3-x)=-f(x)，则f(x)的图象关于点对称， 对于②，若f(x)=f(1-x)，则f(x)的图象关于直线x=对称， 设f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)， 则T=4×=4，ω= 又f(x)的图象关于直线x=对称， 且函数f(x)在上单调递减， 则+φ=+2kπ，k∈Z， 得φ=+2kπ，k∈Z. 所以可令f(x)=2sin(答案不唯一). 16. - 解析　因为f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R的奇函数， 所以φ=+kπ，k∈Z， 则φ=，则f(x)=-Asin ωx. 当x=3时，f(x)取得最小值-3， 故A=3，sin 3ω=1， 所以3ω=+2k'π，k'∈Z， 即ω=+，k'∈Z. 所以ω的最小正数为， 所以f(x)=-3sin x，所以f(x)的周期为12， 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0， 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)=168×0+f(1)+f(2)+…+f(8)=-[f(9)+f(10)+f(11)+f(12)]=-. 学科网（北京）股份有限公司 $$