2026届高三数学一轮复习课时作业29：简单的三角恒等变换

4.4　简单的三角恒等变换 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·大连模拟)设θ∈，若cos θ=，则sin 2θ等于(　　) A. B. C. D. 2.的值等于(　　) A.-2 B.2 C.-1 D.1 3.化简等于(　　) A.1 B.-1 C.cos α D.-sin α 4.(2024·齐齐哈尔模拟)已知cos=，则sin等于(　　) A.- B. C. D.- 5.(2024·福州模拟)若θ∈，tan 2θ=，则cos θ等于(　　) A.- B.- C. D. 6.已知<θ<，若a=，b=-cos 2θ，c=-cos θ，则a，b，c的大小关系是(　　) A.c>a>b B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·中山模拟)下列选项中，与sin的值相等的是(　　) A.2sin 15°cos 15° B.cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42° C.2cos215°-1 D. 8.已知函数f(x)=sin2，若a=f(lg 5)，b=f，则(　　) A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=sin(2lg 5) 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知sin=，则sin 2α=　　　　　.  10.已知α，β均为锐角，cos α=，sin β=，则cos 2α=　　　　，2α-β=　　　　.  四、解答题(共28分) 11.(13分)化简： (1)；(6分) (2).(7分) 12.(15分)某城市一扇形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在该扇形空地建设公园.经过测量，扇形空地的半径为600 m，∠AOB=120°.在其中圈出一块矩形场地CDEF设计成林荫跑步区，且OC=OD. (1)求扇形空地的面积；(4分) (2)求矩形场地CDEF的最大面积.(11分) 【提升练】 13.(2025·湖北名校联盟联考)已知函数f(x)=cos 2x+cos 3x，x∈(0，π)，若f(x)有两个零点x1，x2(x1<x2)，则(　　) A.∈{x1，x2} B.x2=2x1 C.cos x1+cos x2= D.cos x1cos x2= 14.在△ABC中，若sin2Ccos 2B+sin 2Csin 2B=0，且cos 2C+cos C=0，则△ABC是(　　) A.直角非等腰三角形 B.等腰非等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 15.(2025·莆田模拟)中华人民共和国国旗是五星红旗，为中华人民共和国的象征和标志.每个五角星的一个内角都是36°，利用三倍角公式等恒等变换可以求得cos 36°的值.先利用sin 3α=sin(2α+α)可求得sin 3α=　　　　　　　　　　(用单角α的正弦值表示)；再求得cos 36°=　　　　　　.  16.已知关于x的方程2sin2x-sin 2x+m-1=0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是　　　　　　.  答案精析 1.D　2.B　3.A 4.B　[∵cos= 可得sin =-cos =-cos=1-2cos2 =1-2×=.] 5.B　[因为tan 2θ===θ∈ 所以4sin θ-2sin2θ=3-6sin2θ， 即4sin2θ+4sin θ-3=0， 解得sin θ=或sin θ=-(舍去)， 又因为θ∈ 所以cos θ=-=-.] 6.C　[a===sin θcos θ， b=(1-cos 2θ)=sin2θ， c=-cos θ==sin θtan θ， 又<θ<则sin θ∈ 且tan θ>1>sin θ>>cos θ> 所以c=sin θtan θ>b=sin2θ>a=sin θcos θ.] 7.ABD　[根据题意，可得 sin=sin =sin =. 因为2sin 15°cos 15°=sin 30°=故A项正确； 因为cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42°=cos(18°+42°)=cos 60°=故B项正确； 因为2cos215°-1=cos 30°=故C项不正确； 因为=tan 45°=1，所以=故D项正确.] 8.CD　[由题意可得 f(x)=sin2 ==. 因为a=f(lg 5)， b=f =f(-lg 5)， 所以a+b =+=1， a-b=- =sin(2lg 5).] 9. 解析　sin =-sin= 所以sin=- 所以sin 2α=cos =cos 2=1-2sin2 =1-2×=. 10.　 解析　因为cos α= 所以cos 2α=2cos2α-1=. 又因为α，β均为锐角，sin β= 所以sin α=cos β= 因此sin 2α=2sin αcos α= 所以sin(2α-β) =sin 2αcos β-cos 2αsin β =×-×=. 因为α为锐角，所以0<2α<π. 又cos 2α>0，所以0<2α< 又β为锐角，所以-<2α-β< 又sin(2α-β)=所以2α-β=. 11.解　(1)原式= =· =·=. (2)原式 = = = ==cos 2x. 12.解　(1)扇形空地面积S=×6002×=120 000π(m2). (2)如图，记的中点为G，连接OG，分别与EF，CD交于点M，N，连接OF， 设∠FOG=α， 则EF=2OFsin α， CF=MN=OM-ON =OM- =OFcos α-. 所以矩形面积S1=EF·CF =2OFsin α· =6002× =6002× =360 000 =360 000. 所以当α=30°时，矩形场地CDEF的面积取得最大值， 且最大值为120 000 m2. 13.C　[A，B选项，令f(x)=0得cos 2x=-cos 3x，故cos 2x=cos(π-3x)或cos 2x=cos(π+3x)，所以2x=π-3x+2k1π，k1∈Z或2x=π+3x+2k2π，k2∈Z，解得x=+k1∈Z或x=-π-2k2π，k2∈Z，由x∈(0，π)，故当k1=0，1时，解得x1=x2=A，B错误； C选项，cos x1+cos x2=cos +cos =2cos cos = ===C正确； D选项，因为cos>0，cos <0，所以cos x1cos x2=cos cos <0，D错误.] 14. D [因为cos 2C+cos C=0， 所以2cos2C+cos C-1=0，C∈(0，π)， cos C∈(-1，1)，解得cos C=， 所以C=. 又因为sin2Ccos 2B+sin 2Csin 2B=0， 所以cos 2B+sin 2B=0， 化为sin=0， 因为B∈，所以2B+=π， 解得B=，所以A=π-B-C=. 所以△ABC是等边三角形.] 15.3sin α-4sin3α　 解析　sin 3α=sin(2α+α) =sin 2αcos α+cos 2αsin α =2sin αcos2α+(1-2sin2α)sin α =2sin α(1-sin2α)+(1-2sin2α)sin α =3sin α-4sin3α， 因为sin 72°=sin 108°， 从而2sin 36°cos 36° =3sin 36°-4sin336°， 即2cos 36°=3-4sin236° =3-4(1-cos236°)， 令cos 36°=x>0，则4x2-2x-1=0， 解得x=或x=(舍去). 16. (-2，-1) 解析　方程2sin2x-sin 2x+m-1=0可转化为m=1-2sin2x+sin 2x =cos 2x+sin 2x =2sin，x∈. 设2x+=t，则t∈， ∴题目条件可转化为=sin t，t∈有两个不同的实数根. 即直线y=和函数y=sin t，t∈的图象有两个不同的交点，作出y=，y=sin t的图象，如图中实线部分所示. 由图象观察知，的取值范围是， 故m的取值范围是(-2，-1). 学科网（北京）股份有限公司 $$