精品解析：四川省雅安中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：三角函数、平面向量及其应用、复数. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个扇形的弧长为2，圆心角为1，则该扇形的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 复数的三角形式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知三点共线，则（ ） A. 10 B. 8 C. 7 D. 6 4. 已知是关于的方程的根，则（ ） A. －9 B. －1 C. 1 D. 9 5. 已知的内角的对边分别为．若，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 6. （ ） A B. C. D. 7. 位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距30海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援．甲船以15海里/小时的速度前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏东方向的处的乙船，此时处的乙船测得渔船位于自己的北偏东方向，得到消息的乙船前往救援．若甲、乙两船同时到达救援处，则乙船的速度为（ ） A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 8. 如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角的终边过点，则（ ） A. 为第二象限角 B. C. D. 10. 对于任意复数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知的内角的对边分别为，则的面积，这个公式为海伦公式，是以古希腊数学家海伦的名字命名的．下列结论正确的是（ ） A. 若内切圆的半径为，则 B. 若不是正三角形，则的面积满足 C. 的面积 D. 若，则面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的虚部为__________． 13. 已知是平面内的两个单位向量，且其夹角为，则向量在向量上的投影向量的模为__________． 14. 已知函数满足恒成立，且在上单调，则最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若，求值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求不等式在上的解集． 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若的面积为12，求的周长． 18. 如图，在等边三角形中，是的中点，，记． （1）设． （i）用表示； （ii）求． （2）否存在，使得？若存在，求出；若不存在，说明理由． 19. 定义：函数为向量的“跟随函数”，向量为函数的“原向量”． （1）设函数的“原向量”分别为，若的夹角为锐角，求实数的取值范围． （2）已知的内角的对边分别为，其中平分并与交于点，向量的“跟随函数”为，且． （i）若，求的长； （ii）求长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：三角函数、平面向量及其应用、复数. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个扇形的弧长为2，圆心角为1，则该扇形的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用扇形的弧长公式和面积公式即可求解. 【详解】由扇形的弧长公式可得：，代入弧长为2，圆心角为1，可得， 再由扇形的面积公式可得：， 故选：A. 2. 复数的三角形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对应象限角的三角函数值及诱导公式，写出复数的三角形式即可求解. 【详解】∵，， ∴，，故选项A，C错误； ∵，， ∴，，故选项B正确，选项D错误. 故选：B. 3. 已知三点共线，则（ ） A. 10 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线，结合向量的坐标运算，即可求解. 【详解】由可得， 因为，所以， 故选：D. 4. 已知是关于的方程的根，则（ ） A. －9 B. －1 C. 1 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先由实系数一元二次方程复数根的共轭性，得到方程的另一根为，再由韦达定理求出的值，即可得解. 【详解】因为关于的方程的系数为实数， 且是方程的根，所以由复数根的共轭性可知另一根为， 由韦达定理可知，得， ， 所以. 故选：C 5. 已知的内角的对边分别为．若，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理来求出，再利用，可判断为钝角，即可得选项. 详解】由余弦定理代入已知可求得：， 由于，可以得， 即为钝角，则是钝角三角形, 故选：A. 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用，结合两角差正切公式即可求得答案. 【详解】由于， 故， 则， 故选：A 7. 位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距30海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援．甲船以15海里/小时的速度前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏东方向的处的乙船，此时处的乙船测得渔船位于自己的北偏东方向，得到消息的乙船前往救援．若甲、乙两船同时到达救援处，则乙船的速度为（ ） A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作图，利用正弦定理解三角形求即可得解. 【详解】由题意，如图， 由正弦定理可得， 且， 所以， 因为甲、乙两船同时到达救援处， 所以，解得（海里/小时）， 故选：B 8. 如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】利用极化恒等式，取中点化数量积为，从而转化为动点到定点的最大值问题，然后借助图形分两类来求最大值，通过比较可产生最大值. 【详解】 取中点为，由， 因为，所以， 若在围成的区域内一动点（含边界），当与重合时取到最大值，, 若在以为直径的半圆区域内一动点（含边界）， 此时，当P为直线OM与半圆的交点时等号成立， 因为， 所以， 故的最大值为， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角的终边过点，则（ ） A. 为第二象限角 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据象限角概念，三角函数的定义逐项判断即可. 【详解】因为角的终边过点， 所以角为第四象限，， ，， 故选：BD 10. 对于任意的复数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先设出复数的代数形式，再结合复数的模共轭复数及乘法运算逐项判断即可. 【详解】设复数，则， ，故A错误； ，故B正确； ,故C正确； ， ，故D错误； 故选：BC 11. 已知的内角的对边分别为，则的面积，这个公式为海伦公式，是以古希腊数学家海伦的名字命名的．下列结论正确的是（ ） A. 若内切圆的半径为，则 B. 若不是正三角形，则的面积满足 C. 的面积 D. 若，则面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据内切圆半径与面积的关系计算判断A，应用余弦定理结合辅助角公式及基本不等式取等条件判断B，应用数量积定义计算判断C，应用海伦公式结合基本不等式判断D. 【详解】若内切圆的半径为，则 则，A选项正确； 由余弦定理得， 且， 所以， 因为，， 所以，即得， 当且仅当且时取等号，又因为不是正三角形，所以不能取等号，所以，B选项正确； 因为，所以，C选项错误； 若，则， 当且仅当取等号，取面积的最大值为，D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的虚部为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，即可判断. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故答案为： 13. 已知是平面内的两个单位向量，且其夹角为，则向量在向量上的投影向量的模为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据投影向量公式结合模长公式及数量积定义计算求解. 【详解】是平面内的两个单位向量，且其夹角为， 则向量在向量上的投影向量的模为． 故答案为：. 14. 已知函数满足恒成立，且在上单调，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数在区间上单调，求出的取值范围，再由得到，即可求出的取值集合，从而求出的最大值. 【详解】因为在区间上单调，所以，得到， 所以，解得， 又，所以， 则由的图象与性质知， 所以，得到，所以， 当，解得， 又，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若，求值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据复数的除法法则求出，由题意列出相应方程，即可求得答案； （2）求出的表达式，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案. 【小问1详解】 ， 因为，所以，即； 【小问2详解】 ， 复数在复平面内对应的点位于第四象限，则， 解得或. 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求不等式在上的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用图象可看出振幅和周期，再代入最低点可求出初相，最后根据已知的范围可确定参数. （2）利用平移和伸缩变换可求出，再结合范围利用正弦函数图象可求解不等式. 【小问1详解】 由图可得，因为，即可得， 因为，由图可得，此时， 当时，， 因为，所以，故； 【小问2详解】 将的图象向右平移个单位长度，可得， 再将所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 则， 由，可得， 因为，所以， 则满足可得：或， 解得：或， 故不等式在上的解集 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若的面积为12，求的周长． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理、二倍角公式及平方关系求解即可； （2）由（1）可得，，进而结合三角形的面积公式、余弦定理求出，进而求解即可. 【小问1详解】 由，根据正弦定理得， 则， 因为，，则，， 所以，即，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 由，则， 由余弦定理得，则， 则，即， 所以的周长为. 18. 如图，在等边三角形中，是的中点，，记． （1）设． （i）用表示； （ii）求． （2）是否存在，使得？若存在，求出；若不存在，说明理由． 【答案】（1）（i），；（ii） （2）存在，使得 【解析】 【分析】（1）（i）根据平面向量的线性运算求解即可； （ii）根据平面向量的数量积定义及运算律求解即可； （2）先表示出，，进而根据平面向量的数量积定义及运算律求解即可. 小问1详解】 由，则， 所以 ， . 由题意，， 则 【小问2详解】 由 ， ， 若，则，则， 则， 则， 则，解得， 所以存在，使得. 19. 定义：函数为向量的“跟随函数”，向量为函数的“原向量”． （1）设函数的“原向量”分别为，若的夹角为锐角，求实数的取值范围． （2）已知的内角的对边分别为，其中平分并与交于点，向量的“跟随函数”为，且． （i）若，求的长； （ii）求长度的取值范围． 【答案】（1）且 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）将函数展开为形式，确定原向量和，利用向量夹角为锐角的条件(点积大于且不共线)求解的范围； （2）（i）由得，结合及，结合正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，解得 （ii）先利用三角函数恒等变换求出，结合正弦定理以及三角形面积公式，用表示，从而可得AD的取值范围. 【小问1详解】 所以原向量， 因为，所以其原向量， 因为的夹角为锐角， 所以， 若共线，则即，故需排除， 所以且； 【小问2详解】 向量的“跟随函数”为， 所以 由， 可得，而，故 由，，外接圆半径， 边长，。 又， 即， 因为平分，所以， 可得， （i）因为， 所以， 所以； （ii） ， 因为， 所以，即， ， 因为，所以， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$