精品解析：内蒙古自治区赤峰市赤峰第四中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

赤峰第四中学2024-2025学年第二学期月考试题 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果随机变量，则等于 (注：) A. 0.210 B. 0.02275 C. 0.0456 D. 0.0215 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性即可得到答案. 【详解】由已知，，所以， 故. 故选：B 【点睛】本题考查正态分布中求在指定区间的概率问题，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 2. 对具有线性相关关系的变量，，测得一组数据如表所示，由最小二乘法求得回归方程为，则表中看不清的数据为（ ） 0 1 3 4 3.3 4.6 5.7 A. 2.1 B. 1.4 C. 1.6 D. 1.8 【答案】C 【解析】 【分析】先求出样本中心，再利用线性回归方程必过样本中心，求解即可. 【详解】设看不清的数据为m， 由题意可知，，， 则样本中心在回归方程上， 所以，解得. 故选：C. 3. 在等比数列中，，且，，成等差数列，则公比（ ） A. 2 B. 2或 C. 3 D. 3或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到方程，并得到，求出公比即可. 【详解】由题意得，即， 因为，所以，故可得， 解得（负值舍去）. 故选：A 4. 函数的极小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导分析函数单调性即可求出极小值. 【详解】， 令或，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极小值为. 故选：D. 5. 下列关于回归分析的说法中错误的是（ ） A. 回归直线一定过样本中心 B. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适 C. 甲、乙两个模型的分别约为和，则模型乙的拟合效果更好 D. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 【答案】C 【解析】 【分析】 根据回归直线过样本中心点可判断A选项的正误；利用残差图与模型的拟合效果的关系可判断B选项的正误；利用相关指数与模型拟合效果的关系可判断C选项的正误；利用残差平方和与模型拟合效果之间的关系可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，回归直线一定过样本中心，A选项正确； 对于B选项，残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，B选项正确； 对于C选项，甲、乙两个模型的分别约为和，则模型甲的拟合效果更好，C选项错误； 对于D选项，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，D选项正确. 故选：C. 6. 已知的展开式中的系数为40，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先变形得，然后利用二项式展开式的通项公式求出的系数即可. 【详解】由题意可得， 在的展开式中，由， 令无解，即的展开式没有项； 在的展开式中，由， 令解得，即的展开式中的项的系数为，又的系数为40，所以，解得. 故选：B 7. 有6名志愿者，分配到甲、乙、丙三所学校支教，每个学校至少一名志愿者，每个志愿者只能到一所学校支教.分配到甲学校志愿者的人数不少于乙、丙学校.则不同的分配方法种数为（ ） A. 150 B. 240 C. 690 D. 180 【答案】B 【解析】 【分析】根据甲学校志愿者人数的不同情况进行分类讨论，再结合排列组合的知识分别计算出每类情况的分配方法种数，最后将各类情况的种数相加，即可得到总的分配方法种数. 【详解】当甲学校安排名志愿者时，从名志愿者中选名安排到甲学校，有种选法；剩下名志愿者安排到乙、丙两所学校，有种排法. 根据分步乘法计数原理，此时的分配方法种数为种.  当甲学校安排名志愿者时，从名志愿者中选名安排到甲学校，有种选法； 剩下名志愿者安排到乙、丙两所学校，可分为和两种情况，有种排法. 根据分步乘法计数原理，此时的分配方法种数为种.  当甲学校安排名志愿者时，从名志愿者中选名安排到甲学校，有种选法； 剩下名志愿者安排到乙、丙两所学校，由条件乙校与丙校各安排两人，有种排法. 根据分步乘法计数原理，此时的分配方法种数为种.  将上述三种情况的分配方法种数相加，可得总的分配方法种数为种.  故选：B. 8. 已知函数在上可导，导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，可得，将所求不等式等价转化为，利用单调性即得. 【详解】设，则，故函数在上为增函数， 因为，则， 于是等价于， 即，由函数的单调性可得， 即不等式的解集为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. ； B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 D. 从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋子中一次抽出2个球，取到白球的个数记为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由均值和方差的性质可判断A，由正态分布的对称性可判断B，由二项分布的期望和方差公式可判断C，由超几何分布的概率公式可判断D. 【详解】对于A，由均值和方差的性质知：，，故A错误； 对于B，因为随机变量服从正态分布，， 所以，所以，故B正确； 对于C，由于随机变量服从二项分布，，， 所以，，解得，故C正确； 对于D，由题意可得，故D错误. 故选：BC. 10. 已知二项式的展开式中所有项的二项式系数和为256，则下列说法正确的是（ ） A. 第5项的二项式系数最大 B. 有理项共4项 C. 第6、7项的系数绝对值最大 D. 所有项的系数和为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二项式系数的性质求得，可求出二项式系数的最大项可判断A；由的指数为整数可得有理项个数可判断B；写出二项展开式通项公式，由第的系数绝对值不小于前后两项的系数绝对值可求得，得系数绝对值最大的项可判断C；令可求得展开式中所有项系数和可判断D. 【详解】由题意，， 对于A，展开式中共有9项，二项式系数最大的项为第5项，A正确； 对于B，，， 显然时，是有理项，共5项，B错误； 对于C，由，解得，所以， 第6、7项的系数绝对值最大，C正确； 对于D，所有项的系数和为，D正确. 故选：ACD． 11. 已知函数（，且），则（ ） A. 当时，恒成立 B. 若有且仅有一个零点，则 C. 当时，有两个零点 D. 存在，使得有三个极值点 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，将不等式变形，构造函数根据函数的单调性以及最值得出结论； 对于B、C，都是在A的构造函数的基础之上，由其图象的性质得到的相关结论； 对于D，构造函数，判断新函数的性质进一步推断原函数的性质. 【详解】对于A，即，两边取对数，， 令，， 单调递增；单调递减； 的最大值为，，A正确； 对于B，若有且仅有一个零点，则，两边取对数，有：， 由A选项知，即时此时也有一个零点，B错误. 对于C，，，两边取对数，有：，由A选项知：， ，C正确； 对于D，，令得：，两边取对数可得： ，设 则，令得：， 在上单调递减，在上单调递增； 最多有两个零点，最多有两个极值点，D错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查函数零点、方程根与图象交点的等价，考查函数的单调性、极值与最值的应用，本题的难点在于对式子的变形以及构造函数，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，属于难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线过点的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知点在曲线上，根据指数型曲线的特点，点即是切点，然后利用导数的几何意义求解即可. 【详解】由题可知点在曲线上，根据指数型曲线的特点，点即是切点， ，切线斜率，又过点， 所以切线方程为， 故答案为：. 13. 由0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位偶数的个数是________（用数字作答） 【答案】156 【解析】 【分析】利用两个计数原理结合排列知识可得答案. 【详解】分为两类，第一类个位数是0时，前三位数共有排法； 第二类个位数是2或4时，千位数有4种选择，百位数和十位数共有种排法， 由分步计数原理可得共有个， 综上可得，没有重复数字的四位偶数的个数为. 故答案：156. 14. 玻璃杯成箱出售，每箱10只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看2只，若无残次品，则买下该箱，否则退回．试求顾客买下该箱的概率________．在顾客买下的一箱中，求无残次品的概率________（用数字作答） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求出一箱玻璃中有i件残次品的概率（，1，2），再求查看的有i件残次品的概率，进而利用条件概率的公式求解即可；利用条概率的公式求解顾客买下的一箱中无残次品的概率. 【详解】解：设事件A＝“顾客买下该箱”，事件B＝“箱中恰有i件残次品”，，1，2． ． . 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某5G科技公司对某款5G产品在2020年1月至6月的月销售量及月销售单价进行了调查，月销售单价x和月销售量y之间的一组数据如表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 月销售单价x(百元) 9 8.8 8.6 8.4 8.2 8 月销售量y(万件) 68 75 80 83 84 90 （1）由散点图可知变量y与x具有线性相关关系，根据1月至6月的数据，求出y关于x的回归直线方程； （2）预计在今后的销售中，月销售量与月销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种产品的成本是350元/件，则该产品的月销售单价应定为多少元才能获得最大月利润？(注：利润=销售收入-成本) 参考公式和部分数据：，. 【答案】（1）；（2）该产品的月销售单价定为800元时，获得最大约利润. 【解析】 【分析】（1）通过参考公式算出每一个值，再套用公式即可得到答案. （2）先表达出z和x的关系，再通过二次函数的角度得出答案. 【详解】解：（1） ， ， 则， ∴y关于x的回归直线方程为； （2）设月利润为z百万元，则由 得， 当时，(百万元). 故该产品的月销售单价定为800元时，获得最大约利润. 16. 某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答道相关题目．根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级有名选手.现从每个班级的名选手中随机抽取人回答这道题目.已知甲班的名选手中只有人可以正确回答这道题目，乙班的名选手能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每名学生题目的回答是否正确都是相互独立的. （1）设甲班被抽取的选手能正确回答的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好. 【答案】（1）分布列见解析，数学期望 （2）甲班代表更好 【解析】 【分析】（1）分析可知，随机变量的可能取值有、、，结合超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可得出的值； （2）设乙班被抽取的选手能正确回答的人数为，则，计算出、的值，并求出的值，比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 故. 【小问2详解】 设乙班被抽取的选手能正确回答的人数为，则， 所以，， 由方差公式可得， 所以， 因此，派甲班代表更好. 17. 已知函数. （1）当时，求的最大值； （2）若对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可求得函数的最大值； （2）由参变分离法可得对任意的恒成立，利用导数求出的最大值，即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，该函数的定义域为， 则， 由，得；由，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值为. 【小问2详解】 对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立. 设，其中，则， 由，得，由，得， 则在上单调递增，上单调递减， 从而，故， 即的取值范围是. 18. 为等差数列，，记，分别为数列，的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2）当为偶数时，；当为奇数时，. 【解析】 【分析】（1）设等差数列公差为，由题意用表示出，再由，，列式解方程即可求出，进而求出的通项公式； （2）先考虑为偶数时，由等差数列的前项和公式求出，当为奇数时，利用进行求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则， 则， 解得：，， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知，， 当为偶数时， . 当为奇数时，. 所以当为偶数时，；当为奇数时，. 19. 体育课上，甲、乙两名同学向丙发起乒乓球挑战.挑战规则如下： ①第一局甲挑战丙； ②若一人挑战成功，则下一局继续由该同学挑战，否则换另一名同学挑战.已知每一局甲挑战成功的概率为，乙挑战成功的概率为，每一局甲、乙是否能挑战成功相互独立. （1）求前4局甲、乙两人恰好各挑战成功1次的概率. （2）求第局比赛是甲挑战丙的概率，并判断当比赛局数足够大时的值是否趋近于一个常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2），，趋近于常数 【解析】 【分析】（1）设每一局，设甲、乙挑战成功分别为事件和事件，前4局甲、乙两人恰好各挑战成功1次为事件，根据题意可得，利用独立事件的概率乘法公式求解即可； （2）根据题意求出及，之间的递推关系，利用待定系数法和等比数列的性质求出，再根据极限思想求解即可. 【小问1详解】 设每一局，设甲、乙挑战成功分别为事件和事件，前4局甲、乙两人恰好各挑战成功1次为事件， 则，，，，， 因为每一局甲、乙是否能挑战成功相互独立， 所以 ， 所以前4局甲、乙两人恰好各挑战成功1次的概率为. 【小问2详解】 由题意可知且，即， 令，则，所以，解得， 所以， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，， 当足够大时，故， 所以当比赛局数足够大时的值趋近于一个常数，该常数是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰第四中学2024-2025学年第二学期月考试题 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果随机变量，则等于 (注：) A. 0.210 B. 0.02275 C. 0.0456 D. 0.0215 2. 对具有线性相关关系的变量，，测得一组数据如表所示，由最小二乘法求得回归方程为，则表中看不清的数据为（ ） 0 1 3 4 3.3 4.6 5.7 A. 2.1 B. 1.4 C. 1.6 D. 1.8 3. 在等比数列中，，且，，成等差数列，则公比（ ） A. 2 B. 2或 C. 3 D. 3或 4. 函数的极小值为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 下列关于回归分析的说法中错误的是（ ） A. 回归直线一定过样本中心 B. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适 C. 甲、乙两个模型的分别约为和，则模型乙的拟合效果更好 D. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 6. 已知的展开式中的系数为40，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 7. 有6名志愿者，分配到甲、乙、丙三所学校支教，每个学校至少一名志愿者，每个志愿者只能到一所学校支教.分配到甲学校志愿者的人数不少于乙、丙学校.则不同的分配方法种数为（ ） A. 150 B. 240 C. 690 D. 180 8. 已知函数在上可导，导函数为，满足，且，则不等式解集为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. ； B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 D. 从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋子中一次抽出2个球，取到白球的个数记为，则 10. 已知二项式的展开式中所有项的二项式系数和为256，则下列说法正确的是（ ） A. 第5项的二项式系数最大 B. 有理项共4项 C. 第6、7项的系数绝对值最大 D. 所有项的系数和为1 11. 已知函数（，且），则（ ） A. 当时，恒成立 B. 若有且仅有一个零点，则 C. 当时，有两个零点 D. 存在，使得有三个极值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线过点的切线方程为________． 13. 由0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位偶数的个数是________（用数字作答） 14. 玻璃杯成箱出售，每箱10只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看2只，若无残次品，则买下该箱，否则退回．试求顾客买下该箱的概率________．在顾客买下的一箱中，求无残次品的概率________（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某5G科技公司对某款5G产品在2020年1月至6月的月销售量及月销售单价进行了调查，月销售单价x和月销售量y之间的一组数据如表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 月销售单价x(百元) 9 8.8 8.6 8.4 8.2 8 月销售量y(万件) 68 75 80 83 84 90 （1）由散点图可知变量y与x具有线性相关关系，根据1月至6月数据，求出y关于x的回归直线方程； （2）预计在今后的销售中，月销售量与月销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种产品的成本是350元/件，则该产品的月销售单价应定为多少元才能获得最大月利润？(注：利润=销售收入-成本) 参考公式和部分数据：，. 16. 某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答道相关题目．根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级有名选手.现从每个班级的名选手中随机抽取人回答这道题目.已知甲班的名选手中只有人可以正确回答这道题目，乙班的名选手能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每名学生题目的回答是否正确都是相互独立的. （1）设甲班被抽取的选手能正确回答的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好. 17. 已知函数. （1）当时，求的最大值； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围． 18. 为等差数列，，记，分别为数列，的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）求数列前项和． 19. 体育课上，甲、乙两名同学向丙发起乒乓球挑战.挑战规则如下： ①第一局甲挑战丙； ②若一人挑战成功，则下一局继续由该同学挑战，否则换另一名同学挑战.已知每一局甲挑战成功的概率为，乙挑战成功的概率为，每一局甲、乙是否能挑战成功相互独立. （1）求前4局甲、乙两人恰好各挑战成功1次概率. （2）求第局比赛是甲挑战丙的概率，并判断当比赛局数足够大时的值是否趋近于一个常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $