重难点培优03 柯西不等式与权方和不等式（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优03 柯西不等式与权方和不等式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 二维柯西不等式直接使用（★★★★） 3 题型二 二维柯西不等式变式型（★★★★★） 5 题型三 二维柯西不等式三角型（★★★） 8 题型四 三维（多维）柯西不等式（★★★★★） 10 题型五 权方和不等式基本型（★★★★） 13 题型六 权方和不等式的推广型（★★★★★） 15 题型七 权方和不等式三角型（★★★） 16 03 实战检测・分层突破验成效 17 检测Ⅰ组 重难知识巩固 17 检测Ⅱ组 创新能力提升 25 一、柯西不等式 1、二维形式的柯西不等式 2、二维形式的柯西不等式的变式 3.扩展：，当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了. 二、权方和不等式 权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 证明1： 要证 只需证 即证 故只要证 ，当且仅当时，等号成立 即，当且仅当时，等号成立. 证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立． 推广1：当时，等号成立． 推广:2：若，则，当时，等号成立. 推广3：若，则，当时，等号成立. 题型一 二维柯西不等式直接使用 【技巧通法·提分快招】 1、二维形式的柯西不等式 2、记忆方法：口诀：平和城，城和平 平：平方 城：同“乘”，相乘的意思 1．（24-25高三下·河北·期中）柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在函数图象和直线上得到与的关系，然后对所求式子进行变形，利用柯西不等式来求解最值即可. 【详解】设直线与曲线相切的切点为， 由得，则，即， 则，得， 所以，代入得， 因为，所以 ， 因为， 所以，当且仅当，即等号成立. 故选：B. 2．已知，，，则的最大值是 . 【答案】2 【分析】利用柯西不等式即可求解 【详解】由柯西不等式得 所以，当, 即时等号成立. 所以，即的最大值是2 3．中角，，所对的边分别为，，，已知，为的点，且，，则的最大值为 【答案】 【分析】根据在中根据互补，余弦和为0，由余弦定理可得，再结合柯西不等式或者利用三角换元方法求得. 【详解】 由得，即， 解法一：柯西不等式法 由柯西不等式可得，得， 当且仅当时，等号成立. 故的最大值为. 解法二：三角换元方法 ， ， 最大值为. 故答案为：. 题型二 二维柯西不等式变式型 1．的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】运用Aczel不等式即可解. 【详解】 当且仅当即时取等号， 故的最小值为． 故答案为：. 2．若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 . 【答案】/ 【分析】运用柯西不等式进行求解即可. 【详解】由柯西不等式的变形可知，整理得， 当且仅当，即时等号成立， 则k的最小值为. 故答案为： 3．（24-25高三上·辽宁·月考）已知空间向量，若，在上的正投影数量分别为1和3，且，则与所成角余弦的最大值等于 . 【答案】 【分析】由向量垂直得到，由投影得到，表达出与所成角余弦值，利用柯西不等式求出最值，得到答案. 【详解】因为，所以， 其中，故， ， 则与所成角余弦值为， 由柯西不等式得，当且仅当时，等号成立， 故， 所以与所成角余弦的最大值为. 故答案为： 【点睛】柯西不等式：，当且仅当时，等号成立. 4．（2024·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由柯西不等式求解即可. 【详解】，由，解得， 当时，，当，， 当，则， 此时且， 由柯西不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时，即， 所以函数的最大值为2. 故选：C. 5．（23-24高三上·上海奉贤·期中）对于平面曲线S上任意一点P和曲线T上任意一点Q，称的最小值为曲线S与曲线T的距离.已知曲线和曲线，则曲线S与曲线T的距离为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先根据距离公式算出，然后利用柯西不等式代入求解即可. 【详解】解：由题意得： 设 则 根据柯西不等式： 于是 于是 令，则 故 故 故选：A 题型三 二维柯西不等式三角型 1．（2024·浙江·一模）若，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】先把已知整理成的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进行放缩，得到关于的一元二次不等式进行求解. 【详解】由已知整理得 ， 由柯西不等式得 ， 当时取等号， 所以，即， 解得，所以的最小值为. 故选：C． 2．的最小值为 . 【答案】/ 【分析】，进而利用权方和不等式可求最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，，，由三角形面积公式得到，再由余弦定理得到，令，得到，结合柯西不等式进而可求解. 【详解】设， 易知为的重心， 又，由重心为中线三等分点可得：， 同时， 设，， 则， 则， 所以， 由余弦定理可得：， 令，求其最小值即可， 上式化简可得：， 也即当且仅当时取得等号， 所以， 故答案为： 题型四 三维（多维）柯西不等式 【技巧通法·提分快招】 ，当且仅当时，等号成立. 1．柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】根据柯西不等式的三元形式，构造求解即可. 【详解】因为， 根据题目中柯西不等式的三元形式可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是， 故选：A 2．已知a，b，，满足，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据柯西不等式的等号成立条件，即可求出的最大值. 【详解】设，，，可得， 所以． 因为， 所以， 当且仅当，取得最大值6， 此时， 所以的最大值为． 故选：B. 3．（23-24高三上·陕西咸阳·月考）若）（n为偶数），则的最小值为（    ） A．25 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】利用柯西不等式求解. 【详解】由柯西不等式，得， ∴， ∴， 当且时， 即，且与异号时， ， 则的最小值为. 选：C. 4．（2024高二下·北京·竞赛）对于 ，若非零实数 满足 ，且使 最大，则 的最小值为 . 【答案】 【分析】根据等式先配方出平方和，再利用柯西不等式，凑出，以等号成立的条件为依据，把转化为一个变量的函数，求最值即可. 【详解】因为，所以， 由柯西不等式得，， 当最大时，有，所以，， 所以， 当，即时，上式取得最小值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查柯西不等式，关键在于用柯西不等式凑出，当反推柯西不等式时，需要结合不等式两边已有的式子，对相同未知数的系数进行分析配凑. 5．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知平面向量，，满足，，且．记平面向量在，方向上的数量投影分别为，，向量在方向上的数量投影为，则对任意满足条件的向量，代数式的最小值是 ． 【答案】/0.4 【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解. 【详解】令，因为，故，， 令平面向量在方向上的投影分别为， 设，则：， 从而：，故 由柯西不等式可得 化简得，当且仅当， 即时取等号，故的最小值为． 故答案为： 6．（2024·四川成都·模拟预测）已知，且． (1)求的最小值m； (2)证明：． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 【分析】（1）将等式变形为，再利用基本不等式， （2）对已知条件两边同除可得，再利用柯西不等式求证. 【详解】（1）由均值不等式可知，即，（当且仅当时，“=”成立）. 整理得，故的最小值为4． （2）由（1）知，即证，由可得， 即有， 由柯西不等式可知， 取等条件为，即．故， 即：得证. 题型五 权方和不等式基本型 【技巧通法·提分快招】 1、很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形. 2、权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件. 1．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【详解】因为，，，，则，当且仅当时等号成立， 又，即，于是得， 当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为49．故选：D 2．（24-25高三下·辽宁葫芦岛·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 【答案】B 【分析】根据权方和不等式的定义，将函数变形为：，再根据权方和不等式求出最小值即可. 【详解】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数解析式变形，从而利用权方和不等式求最值. 3．已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是____. 【详解】：；当，即时，等号成立. 4．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 【答案】 【详解】 权方和不等式：， ， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：． 题型六 权方和不等式的推广型 1．已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】D 【分析】利用柯西不等式可求最小值. 【详解】根据柯西不等式，有 ， 等号当时取得，因此所求最小值为． 故选：D. 2．已知正数，，满足，则的最小值为 【答案】 【分析】根据权方和不等式可得解. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为：. 3．已知，求的最小值为 【答案】 【分析】应用权方和不等式即可求解. 【详解】 当且仅当时取等号 故答案为：60 题型七 权方和不等式三角型 1．函数的最小值是 . 【答案】9 【详解】由， 当时，等号成立. 所以函数的最小值是9. 故答案为：9. 2．已知正实数、且满足，求的最小值 . 【答案】 【分析】设，，，由权方和不等式计算可得. 【详解】设，，， 由权方和不等式，可知， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 3．（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由给定的权方和不等式定义处理即可. 【详解】由题意得，， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以． 故选：C． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．实数，，，满足，，那么的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据柯西不得式，直接计算结果. 【详解】由柯西不等式 等号成立的条件是 ， 所以的最大值是. 故选：B 【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型. 2．实数x、y满足，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】由得，运用柯西不等式有，进而得解. 【详解】解：实数x、y满足， ， ， ， 当且仅当时取等号， 的最小值是. 故选：A. 【点睛】考查柯西不等式的应用，基础题. 3．已知a，，，则的最大值为（    ） A．18 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】利用柯西不等式，即可求出的最大值. 【详解】由题意，， 当且仅当时等号成立， 当，时， 故的最大值为. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题. 4．若实数，则的最小值为（    ） A．14 B． C．29 D． 【答案】B 【分析】直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】根据柯西不等式：，即， 当且仅当，，时等号成立. 故选：B. 【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力. 5．柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】利用柯西不等式求出即可. 【详解】由题干中柯西不等式可得， 所以的最大值为，当且仅当时取等号. 故选：A 6．（23-24高三下·山东烟台·月考）已知空间向量，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由空间向量的坐标表示计算，然后由柯西不等式求解即可. 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当时等号成立，即时等号成立. 所以，所以的最小值为. 故选：B 7．（23-24高三上·山西晋中·月考）已知是直角三角形三边，是斜边且.且的最小值为.如图，在三棱锥中，，两两垂直，，则平面与平面所成角的夹角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由柯西不等式结合题目条件可得，后取中点为D，连接AD，OD，则为平面与平面所成角，即可得答案. 【详解】，由柯西不等式， ， 当且仅当时取等号，故. 取中点为D，连接AD，OD. 因,两两垂直，， 则，，. 则为平面与平面所成角，则. 故选：C    8．已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】/0.5 【详解】由柯西不等式知 ， 且，所以， 且当时取到等号． 故答案为：. 9．已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】直接根据权和不等式即可得结果. 【详解】由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 10．已知实数满足：，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】本题解法较多，具体可考虑采用距离问题、柯西不等式法，判别式法，整体换元法，三角换元法进行求解，具体求解过程见解析 补充知识：二元柯西不等式 已知两组数；，则 已知两组数；，则 所以，所以. 11．（23-24高三上·安徽·月考）为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据不等式构造不等式左侧求解即可. 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，则， 所以，最小值为，此时． 故答案为：. 12．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据分离常量法可得，结合权方和不等式计算可得，即，即可求解. 【详解】， ， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以，得， 所以或（舍去）， 即的最小值为. 故答案为： 13．（24-25高三上·陕西西安·月考）已知 ，，则 的最小值为 ． 【答案】10 【分析】利用已知条件将，化简为，然后利用柯西不等式求解最小值即可． 【详解】由,得 所以 当且仅当,即时,等号成立, 故的最小值为10. 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：结合条件特点,将目标函数转化为满足柯西不等式的形式,从而利用柯西不等式,当且仅当时,等号成立)求最小值,技巧性较强. 14．已知为锐角，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用权方和不等式：求解. 【详解】 当且仅当即，时取“”. 故答案为： 15．（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）设角、均为锐角，则的范围是 ． 【答案】 【分析】由将函数化为，结合三角函数的性质求出函数的最小值，再由柯西不等式求出函数的最大值，即可得出答案. 【详解】因为角、均为锐角，所以的范围均为， 所以， 所以 因为， 所以， ， 当且仅当时取等， 令，，， 所以. 则的范围是：. 故答案为： 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．已知，且，则的最小值为（      ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】令，则原不等式等价于，应用柯西不等式得，再两次应用基本不等式求的最小值，注意最小值的取值条件. 【详解】令，即，则， 当且仅当时等号成立， 又， 当且仅当且，即时等号成立， 综上，，即， 当时等号成立. 故选：D 【点睛】关键点点睛：令，应用柯西不等式求得，再利用基本不等式求的最值即可. 2．已知，，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】根据柯西不等式求解最小值即可. 【详解】∵ ∴,当且仅当时等号成立，即， ∵ ，当且仅当时等号成立，可取 故答案为：9 3．（23-24高三上·河北衡水·期末）若⊙C：，⊙D：，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，最小值为4，则取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据的最小值求出，即，再使用柯西不等式求出取值范围. 【详解】由于最小值为4，圆C的半径为1，圆D的半径为2，故两圆圆心距离， 即， 由柯西不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立， 即，解得：. 故答案为： 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立. (1)请你写出柯西不等式的二元形式； (2)设是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值； (3)已知正数数列满足：①存在，使得（）；②对任意正整数、（），均有.求证：对任意，，恒有. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用柯西不等式的定义，写出时的形式； （2）由体积法求出，构造柯西不等式求的最小值； （3）时，由，有，由柯西不等式得，进而可得. 【详解】（1）柯西不等式的二元形式为： 设，则， 当且仅当时等号成立. （2）由正四面体的体积， 将正四面体放入到棱长为为正方体中， 则, 得，所以， 又由柯西不等式得 ， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以的最小值为. （3）对，记是的一个排列， 且满足, 由条件②得：. 于是，对任意的， 都有， 由柯西不等式得 ， 所以 ， 从而，对任意，，恒有， 因为对任意，，， 所以，对任意，，恒有， 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优03 柯西不等式与权方和不等式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 二维柯西不等式直接使用（★★★★） 3 题型二 二维柯西不等式变式型（★★★★★） 3 题型三 二维柯西不等式三角型（★★★） 4 题型四 三维（多维）柯西不等式（★★★★★） 4 题型五 权方和不等式基本型（★★★★） 5 题型六 权方和不等式的推广型（★★★★★） 6 题型七 权方和不等式三角型（★★★） 6 03 实战检测・分层突破验成效 6 检测Ⅰ组 重难知识巩固 6 检测Ⅱ组 创新能力提升 8 一、柯西不等式 1、二维形式的柯西不等式 2、二维形式的柯西不等式的变式 3.扩展：，当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了. 二、权方和不等式 权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 证明1： 要证 只需证 即证 故只要证 ，当且仅当时，等号成立 即，当且仅当时，等号成立. 证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立． 推广1：当时，等号成立． 推广:2：若，则，当时，等号成立. 推广3：若，则，当时，等号成立. 题型一 二维柯西不等式直接使用 【技巧通法·提分快招】 1、二维形式的柯西不等式 2、记忆方法：口诀：平和城，城和平 平：平方 城：同“乘”，相乘的意思 1．（24-25高三下·河北·期中）柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，则的最大值是 . 3．中角，，所对的边分别为，，，已知，为的点，且，，则的最大值为 题型二 二维柯西不等式变式型 1．的最小值为 ． 2．若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 . 3．（24-25高三上·辽宁·月考）已知空间向量，若，在上的正投影数量分别为1和3，且，则与所成角余弦的最大值等于 . 4．（2024·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（23-24高三上·上海奉贤·期中）对于平面曲线S上任意一点P和曲线T上任意一点Q，称的最小值为曲线S与曲线T的距离.已知曲线和曲线，则曲线S与曲线T的距离为（    ） A． B． C． D．2 题型三 二维柯西不等式三角型 1．（2024·浙江·一模）若，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 2．的最小值为 . 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为 ． 题型四 三维（多维）柯西不等式 【技巧通法·提分快招】 ，当且仅当时，等号成立. 1．柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 2．已知a，b，，满足，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（23-24高三上·陕西咸阳·月考）若）（n为偶数），则的最小值为（    ） A．25 B．8 C． D． 4．（2024高二下·北京·竞赛）对于 ，若非零实数 满足 ，且使 最大，则 的最小值为 . 5．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知平面向量，，满足，，且．记平面向量在，方向上的数量投影分别为，，向量在方向上的数量投影为，则对任意满足条件的向量，代数式的最小值是 ． 6．（2024·四川成都·模拟预测）已知，且． (1)求的最小值m； (2)证明：． 题型五 权方和不等式基本型 【技巧通法·提分快招】 1、很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形. 2、权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件. 1．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 2．（24-25高三下·辽宁葫芦岛·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 3．已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是____. 4．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 题型六 权方和不等式的推广型 1．已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 2．已知正数，，满足，则的最小值为 3．已知，求的最小值为 题型七 权方和不等式三角型 1．函数的最小值是 . 2．已知正实数、且满足，求的最小值 . 3．（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．实数，，，满足，，那么的最大值为（    ）． A． B． C． D． 2．实数x、y满足，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．4 3．已知a，，，则的最大值为（    ） A．18 B．9 C． D． 4．若实数，则的最小值为（    ） A．14 B． C．29 D． 5．柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 6．（23-24高三下·山东烟台·月考）已知空间向量，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 7．（23-24高三上·山西晋中·月考）已知是直角三角形三边，是斜边且.且的最小值为.如图，在三棱锥中，，两两垂直，，则平面与平面所成角的夹角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 8．已知正实数满足，则的最小值为 ． 9．已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 10．已知实数满足：，则的最小值为 . 11．（23-24高三上·安徽·月考）为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是 ． 12．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 . 13．（24-25高三上·陕西西安·月考）已知 ，，则 的最小值为 ． 14．已知为锐角，则的最小值为 . 15．（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）设角、均为锐角，则的范围是 ． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．已知，且，则的最小值为（      ） A． B． C． D．1 2．已知，，则的最小值为 . 3．（23-24高三上·河北衡水·期末）若⊙C：，⊙D：，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，最小值为4，则取值范围为 ． 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立. (1)请你写出柯西不等式的二元形式； (2)设是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值； (3)已知正数数列满足：①存在，使得（）；②对任意正整数、（），均有.求证：对任意，，恒有. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$