第03讲 等式与不等式性质（六大题型精讲精练）讲义-2026届高三数学一轮复习（新高考地区适用）

第03讲 等式与不等式性质 目录： 01复习目标 02考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 03网络构建 04必备基础知识梳理 考点1：比较大小的方法 考点2：不等式的性质 05必考题型精讲精练 题型一：不等式性质的应用 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 题型三：已知不等式的关系求目标式的取值范围 题型四：由不等式的性质证明不等式 题型五：不等式的综合问题 题型六：糖水不等式 06真题呈现（2025年--2021年真题） 07易错分析 ⑴不等式两边同乘以一个数时，没有考虑该数的取值范围而致误； ⑵求相关式子的取值范围时，常常因变形不等价致误； 复习目标 1.掌握等式的性质； 2.会比较两个数的大小； 3.理解不等式的性质，并能简单应用. 考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 考题示例 考点分析 考情分析 2024年全国Ⅰ卷 函数性质和不等式的性质 高考对不等式的性质的考查单独考查的题目虽然不多，但不等式的性质几乎可以渗透到高考的每一个考点，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，所以它不仅是数学中的不 可或缺的工具，也是高考考查的一个重点内容． 2024年北京卷 判断不等式是否成立、指数函数的性质 2022年全国Ⅱ卷 由已知条件判断所给不等式是否正确、条件等式求最值 网络构建 必备基础知识梳理 1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 2、不等式的性质 （1）基本性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 【常用结论】 不等式的两类常用性质： ⑴倒数性质 ①，； ②； ③，； ④或. ⑵有关分数的性质 若，，则 ①真分数的性质：，； ②假分数的性质：，. 必考题型突破 题型一：不等式性质的应用 例1．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【详解】因为，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，不妨取，，，，则，B错； 对于C选项，取，则，C错； 对于D选项，由题意可知，，由不等式的基本性质可得，D对. 故选：D. 【解题方法总结】 应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率． 练习：1．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【详解】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错. 故选：C. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，则下列不等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【详解】因为，所以，故选项A正确； 因为，所以，故选项B正确； 因为，所以，故选项C错误； 因为，所以，所以，故选项D正确． 故选：C. 3．（2025·上海长宁·二模）已知非零实数，则下列命题中成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、比较函数值的大小关系 【详解】由已知当，，所以，故错误； 因为，当时，所以，故错误； 当非零实数，一正一负时，无意义，故错误； 因为在上单调递增，且， 所以，故正确. 故选：. 4．（多选）（24-25高三下·山西·阶段练习）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】因为，，故，所以，故A正确； 不妨取，，则，故B错误； 因为，，所以，即，即，故C正确； 不妨取，，则，故D错误． 故选：AC. 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 例2．（多选）（2025·山东聊城·二模）已知实数满足，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小、基本不等式求和的最小值 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因，则，，则， 等号成立时，故B正确； 对于C，因且，则，则，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：BC 【解题方法总结】 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 练习：1．（多选）（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）设，则下列结论正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【知识点】求指数函数在区间内的值域、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、基本不等式求和的最小值 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，，，则，当且仅当时取等号，D正确. 故选：AD 2.（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】作差法比较代数式的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、由基本不等式证明不等关系 【详解】选项A：因为，所以，故A正确. 选项B： 因为，所以，，则，所以，故B错误. 选项C：因为，所以，， 所以，又，所以，故C正确. 选项D：  ， 当等号成立，但是，故等号不成立，故D正确. 故选：ACD 3．（多选）（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质证明不等式 【详解】A项，由，得，故A错误； B项，由，得，故B正确； C项，由已知，得，， 则，且， 所以， 则，故C正确； D项， 因为，则， 所以， 即，故D错误. 故选：BC. 题型三：已知不等式的关系求目标式的取值范围 例3．⑴（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【详解】由可得， 故， 故选：D ⑵（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【详解】设，则有， 即，解得， 所以由，可得, 两同向不等式相加得： 化简得 故选：C. 【解题方法总结】 在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系． 练习：1．（多选）（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【答案】D 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【详解】A选项，，故，即，A正确； B选项，因为，所以， 又，故，故，B正确； C选项，，故，即的取值范围为，C正确； D选项，因为，所以， 又，故，即，D错误. 故选：D 2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【详解】因为，所以， 则，又，所以， 从而． 故选：B． 3．（2025·广西南宁·模拟预测）由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（）的中国初创公司．其模型于2024年年底发布，此模型足以媲美，一经推出便成为全球热门话题．利用进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种模型运算参差不齐．技术人员对n个模型进行测试，测试由m道题组成，每个模型都对这道题逐一进行求解．若一道题至少有个模型未解对，则称此题为难题；若一个模型至少解出了道题，则该模型测试成绩合格．如果测试至少有个模型成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 【答案】B 【知识点】独立事件的乘法公式、利用不等式求值或取值范围 【详解】设有个模型合格，道题为难题，则， 依题意有， 所以，所以， 同理，， 要使两式有整数解，则，所以． 当时，若3个模型生答题情况如下表： 题目1 题目2 题目3 1 √ √ × 2 √ × √ 3 √ × × 则有2个模型合格，2个难题，符合题意，所以的最小值为9． 故选：B 4．（2025·四川自贡·二模）已知实数a，b，c满足，，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用不等式求值或取值范围 【详解】因为，所以，因为，所以， 所以，整理得， 因为， 解得， ， 设，则， 令得或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，， ，， 所以，， 所以的取值范围是. 故答案为：. 题型四：由不等式的性质证明不等式 例4．（2024高三·全国·专题练习）已知三个不等式（1）；（2）；（3），以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成的真命题个数为 个. 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质证明不等式、判断命题的真假 【分析】可组成3个命题，利用不等式的性质逐一判断即可. 【详解】命题：若（1）；（2），则（3）． 因为，， 所以不等式两边同时除以可得，即， 所以由（1）；（2）可得（3）成立； 命题：若（1），（3），则（2）. 因为，，所以，即， 所以由（1），（3），可得（2）成立； 命题：若（2）；（3），则（1）. 因为，所以. 因为，所以，所以， 所以由（2）；（3），可得（1）成立． 所以组成的3个命题都是真命题. 故答案为：3. 【解题方法总结】 ⑴简单不等式的证明可直接由已知条件、利用不等式的性质，通过对不等式变形得证. ⑵对于不等式两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定因式的符号. 练习：1．（2024·四川成都·模拟预测）命题“”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、由不等式的性质证明不等式 【详解】若， ，即， ，即，则充分性成立； 若且， 当时，， 当时，， 则必要性成立； 综上所述：“”是“，且”的充分必要条件. 故选：C. 2．（24-25高三上·山西大同·阶段练习）在四个数中（    ） A．任意三个数不能同时等于0 B．任意两个数之和不等于另两个数之和 C．至少有一个数不大于3 D．至少有一个数不小于1 【答案】D 【知识点】由不等式的性质证明不等式、绝对值的三角不等式应用 【详解】当时，，A错误； 令，则，， 若，即，则四个数相等，B错误； 不妨取， 则，C错误； 记为四个数中最大的数， 当时， 故， 当时，，（时的条件不唯一）； 当时， 不妨设，则只需考虑且的情况， 此时，故，故当时，， 综上所述，，D正确； 故选：D. 3．（多选）（24-25高三下·湖南永州·开学考试）若实数，满足则下列选项一定正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由基本不等式证明不等关系 【详解】令，满足，但是，A选项错误； 因为，所以，当且仅当时取等号，B选项正确； 因为，又因为，所以，C选项正确； 因为， 所以，当且仅当时取等号， 又因为，且， 所以 故选：BCD. 4．（多选）（2025·广东佛山·二模）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，如图所示．已知点是上一点，则（    ） A． B． C．当时，的最大值为 D．曲线在轴左侧所围成的区域面积大于2 【答案】ABD 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、由不等式的性质证明不等式、由方程求曲线的图形、由方程研究曲线的性质 【详解】将方程，整理为，从而可解得. 讨论自变量 的取值要使 为实数且，需. 结合  并对分母、分子作符号分析，可得可行解域为. 故 A 正确； 由可见，当给定 时，实数满足. 为判断成立，只需验证足成立， 当时两边都是0，显然成立； 当时平方并利用化简得，这显然成立. 故 B正确； 当  时求的最大值，必然在区间之间存在最大值. 设， ， 令，得， 时，单调递增；时，单调递减. ， 因此，函数 的最大值为， 这实际上是 y² 的最大值，故最大 y 应为， 而选项 C 把最大 y 直接写成 （未开平方）显然有误，故C错误； 对于选项D 首先，我们分析曲线的对称性. 曲线方程为：， 注意到方程中 的幂次均为偶数，因此曲线关于 轴对称. 接下来，我们找到曲线与 轴的交点。 令 ，代入方程解得，因此曲线与 轴的交点为 。 在 轴左侧，我们取以下几个关键点： ，代入方程解得，得. 取，代入方程求得，得 和 取，代入方程求得，得 和 . 如图连接各线段，由题图可知多边形在曲线内部，面积小于曲线左侧部分的面积. 计算这个四边形的面积： 所以曲线在轴左侧所围成的区域面积大于2， 故选项 D 正确. 故选：ABD. 题型五：不等式的综合问题 例5．（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】作差法比较代数式的大小 【详解】由，且可得，即， 则， 又，即，化简可得， 即，其中， 所以，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 综上所述，. 故选：A 【解题方法总结】 综合利用等式与不等式的性质 练习：1．（2025·北京丰台·一模）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、比较指数幂的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【详解】选项A： 举反例：取，，，，则 ，，显然 不成立，因此A不恒成立； 选项B： 举反例：取 ，，，，则 ，，显然 不成立，故B不恒成立； 选项C： 由于指数函数 是严格递增函数， 和 分别推出 和 ，因此 恒成立，因此C恒成立； 选项D： 举反例：取，，，，则 ，，显然 不成立，因此D不恒成立. 故选：C. 2．（多选）（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、作差法比较代数式的大小、比较对数式的大小 【详解】由题意可得，对于函数， 则在R上单调递增，结合，可得. 对于A，，故A正确； 对于B，由不能判断与1的大小，故B错误； 对于C，取，此时C不成立，故C错误； 对于D，因为，由指数函数的单调性易得，故D正确. 故选：AD. 题型六：糖水不等式 例6．（24-25高一上·福建莆田·期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，，则，B错误. 对于C，由，得，C正确； 对于D，，D错误； 故选：C 【解题方法总结】 糖水不等式：若，，则一定有，或者． 练习：1．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】这一事实表示为一个不等式为． 证明：，， 又，， ，即， 即. 故选： 2.（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 【答案】(1)，证明见解析；(2)；(3)证明见解析 （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【详解】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以①， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以②， 综合①②，得. 真题呈现（2025年--2021年真题） 1．（2024年新课标全国Ⅰ卷高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 2．（2024年北京高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 3．（多选）（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、条件等式求最值 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 易错分析 ⑴不等式两边同乘以一个数时，没有考虑该数的取值范围而致误； 例.（多选）（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】作差法比较代数式的大小 【详解】对于A，，因为， 所以，即，所以，故A正确； 对于B，取，此时，故B错误； 对于C，取，则，故C错误， 对于D，若，则显然成立， 若，则成立， 若，则成立， 综上所述，只要，就一定有，故D正确. 故选：AD. 【易错警示】此题易错选B，忽略了的情况. 【提示】不等式两边同乘以一个数时，需要考虑该数的正负以及是否等于零. ⑵求相关式子的取值范围时，常常因变形不等价致误； 例．（20-21高一上·河北石家庄·阶段练习）若实数，满足，，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【详解】设， 则且，解得，， 所以. 又，， 所以，， 所以. 则的取值范围为. 故答案为：. 【易错警示】利用几个代数式的取值范围来确定某个代数式的取值范围时，要注意“同向不等式的两边可以相加”. 但这种转化不是可逆的，在解题时，多次使用这种转化时，就有可能“扩大”取值范围. 【提示】解决此类问题可用待定系数法先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，如例题中，再通过“一次性”不等式的关系的运算，求得待求式的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 等式与不等式性质 目录： 01复习目标 02考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 03网络构建 04必备基础知识梳理 考点1：比较大小的方法 考点2：不等式的性质 05必考题型精讲精练 题型一：不等式性质的应用 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 题型三：已知不等式的关系求目标式的取值范围 题型四：由不等式的性质证明不等式 题型五：不等式的综合问题 题型六：糖水不等式 06真题呈现（2025年--2021年真题） 07易错分析 ⑴不等式两边同乘以一个数时，没有考虑该数的取值范围而致误； ⑵求相关式子的取值范围时，常常因变形不等价致误； 复习目标 1.掌握等式的性质； 2.会比较两个数的大小； 3.理解不等式的性质，并能简单应用. 考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 考题示例 考点分析 考情分析 2024年全国Ⅰ卷 函数性质和不等式的性质 高考对不等式的性质的考查单独考查的题目虽然不多，但不等式的性质几乎可以渗透到高考的每一个考点，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，所以它不仅是数学中的不 可或缺的工具，也是高考考查的一个重点内容． 2024年北京卷 判断不等式是否成立、指数函数的性质 2022年全国Ⅱ卷 由已知条件判断所给不等式是否正确、条件等式求最值 网络构建 必备基础知识梳理 1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 2、不等式的性质 （1）基本性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 【常用结论】 不等式的两类常用性质： ⑴倒数性质 ①，； ②； ③，； ④或. ⑵有关分数的性质 若，，则 ①真分数的性质：，； ②假分数的性质：，. 必考题型突破 题型一：不等式性质的应用 例1．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率． 练习：1．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，则下列不等式错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海长宁·二模）已知非零实数，则下列命题中成立的是（   ）． A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高三下·山西·阶段练习）设，，则（    ） A． B． C． D． 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 例2．（多选）（2025·山东聊城·二模）已知实数满足，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【解题方法总结】 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 练习：1．（多选）（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）设，则下列结论正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2.（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 题型三：已知不等式的关系求目标式的取值范围 例3．⑴（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． ⑵（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系． 练习：1．（多选）（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广西南宁·模拟预测）由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（）的中国初创公司．其模型于2024年年底发布，此模型足以媲美，一经推出便成为全球热门话题．利用进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种模型运算参差不齐．技术人员对n个模型进行测试，测试由m道题组成，每个模型都对这道题逐一进行求解．若一道题至少有个模型未解对，则称此题为难题；若一个模型至少解出了道题，则该模型测试成绩合格．如果测试至少有个模型成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 4．（2025·四川自贡·二模）已知实数a，b，c满足，，则的取值范围是 . 题型四：由不等式的性质证明不等式 例4．（2024高三·全国·专题练习）已知三个不等式（1）；（2）；（3），以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成的真命题个数为 个. 【解题方法总结】 ⑴简单不等式的证明可直接由已知条件、利用不等式的性质，通过对不等式变形得证. ⑵对于不等式两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定因式的符号. 练习：1．（2024·四川成都·模拟预测）命题“”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·山西大同·阶段练习）在四个数中（    ） A．任意三个数不能同时等于0 B．任意两个数之和不等于另两个数之和 C．至少有一个数不大于3 D．至少有一个数不小于1 3．（多选）（24-25高三下·湖南永州·开学考试）若实数，满足则下列选项一定正确的有（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2025·广东佛山·二模）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，如图所示．已知点是上一点，则（    ） A． B． C．当时，的最大值为 D．曲线在轴左侧所围成的区域面积大于2 题型五：不等式的综合问题 例5．（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 综合利用等式与不等式的性质 练习：1．（2025·北京丰台·一模）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 题型六：糖水不等式 例6．（24-25高一上·福建莆田·期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 糖水不等式：若，，则一定有，或者． 练习：1．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 真题呈现（2025年--2021年真题） 1．（2024年新课标全国Ⅰ卷高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024年北京高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 易错分析 ⑴不等式两边同乘以一个数时，没有考虑该数的取值范围而致误； 例.（多选）（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【易错警示】此题易错选B，忽略了的情况. 【提示】不等式两边同乘以一个数时，需要考虑该数的正负以及是否等于零. ⑵求相关式子的取值范围时，常常因变形不等价致误； 例．（20-21高一上·河北石家庄·阶段练习）若实数，满足，，则的取值范围为 . 【易错警示】利用几个代数式的取值范围来确定某个代数式的取值范围时，要注意“同向不等式的两边可以相加”. 但这种转化不是可逆的，在解题时，多次使用这种转化时，就有可能“扩大”取值范围. 【提示】解决此类问题可用待定系数法先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，如例题中，再通过“一次性”不等式的关系的运算，求得待求式的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$