第01讲 集合（七大题型精讲精练）讲义-2026届高三数学一轮复习（新高考地区适用）

第01讲 集合 目录： 01复习目标 02考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 03网络构建 04必备基础知识梳理 考点1：集合与元素 考点2：集合的基本关系 考点3：集合的基本运算 考点4：集合的运算性质 05必考题型精讲精练 题型一：集合的表示：列举法、描述法、Venn图 题型二：集合元素的三大特征 题型三：元素与集合的关系 题型四：集合与集合之间的关系 命题点1：判断集合间的关系 命题点2：由集合间的关系求参数 题型五：集合的交、并、补运算 命题点1：集合的运算 命题点2：利用集合的运算求参数的值（范围） 题型六：容斥原理 题型七：集合的新定义 06真题呈现（2025年--2021年真题） 07易错分析 ⑴对集合中元素的属性认识不明致误； ⑵忽视集合元素的互异性致误； ⑶忽视讨论空集致错 ⑷集合运算结果书写错误 复习目标 1.了解集合的定义，了解全集、空集的含义； 2.理解元素于集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系； 3.会求两个集合的并集、交集与补集； 4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算. 考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 考题示例 考点分析 考情分析 2025年全国Ⅰ卷 集合的补集运算 高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大. 重点是集合间的基本运算，主要考查集合的交、并、补运算，常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解法结合. 2025年全国Ⅱ卷 集合的交集运算 2024年全国Ⅰ卷 集合的交集运算 2023年全国Ⅰ卷 交集运算 2023年全国Ⅱ卷 集合的包含关系 2022年全国Ⅰ卷 交集运算 2022年全国Ⅱ卷 交集运算 2021年全国Ⅰ卷 交集运算 2021年全国Ⅱ卷 交集、补集运算 网络构建 必备基础知识梳理 1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和. （）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 2、集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3、集合的基本运算 （1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即． （2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即． （3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即． 4、集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． 【常用结论】 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． （4）,． 必考题型精讲精练 题型一：集合的表示：列举法、描述法、Venn图 例1．⑴（2025·宁夏银川·一模）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【详解】由题，可得，所以集合含有6个元素. 故选：C. ⑵（24-25高三上·四川南充·阶段练习）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】描述法表示集合、列举法求集合中元素的个数 【详解】由，消整理得到，解得或， 当时，，当时，，所以， 故选：C. 【解题总结】解决集合表示法问题的关键点： ⑴一是确定构成集合的元素； ⑵确定元素的限制条件； ⑶依据元素的特征（满足的条件）构成关系式解决相应问题. 练习：1．（2025·辽宁·三模）已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】根据题意，联立方程组，可得， 所以，解得，即集合， 所以集合的子集个数为2个． 故选：C． 2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合，，，则集合C的子集有（   ）个 A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 【答案】C 【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】由集合，，且， 因为，，可得集合，所以集合的子集有个. 故选：C. 3．（2025·山西吕梁·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】描述法表示集合、交集的概念及运算 【详解】，又，所以. 故选：B 4．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，若集合且，则的子集的个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】由条件可知，，，，，，， 所以集合，集合的子集的个数为个. 故选：C 题型二：集合元素的三大特征 例2．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 【解题方法总结】 1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。 2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。 练习：1.（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则 . 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数、利用集合元素的互异性求参数 【详解】在中，，则且，而，，显然，因此，解得，所以. 故答案为： 2．（2025·山东威海·三模）已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 【答案】B 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数 【详解】由，得，因为，所以， 因为集合， 所以或，解得或（不合题意舍去）， 所以或2. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则 ． 【答案】1 【知识点】根据两个集合相等求参数、利用集合元素的互异性求参数 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以． 故答案为：1. 题型三：元素与集合的关系 例3．⑴（2025·辽宁·二模）设集合. 若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【详解】因为，所以，所以. 故选：C 【解题方法总结】 1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是与*的区别． 2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数． 练习：1．（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系 【详解】因为， 设,则：有理数部分：，无理数部分， , ,符合条件，所以，故A错误； 设,则有理数部分，无理数部分:， , ,符合条件，故，故B错误； 设,则：有理数部分，无理数部分： ，故,故C正确； 设,则有理数部分： (非整数，矛盾)，故，故D错误． 故选：C. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【详解】由集合有且仅有1个真子集，可得集合中有且只有一个元素，所以方程有2个相等的实数解， 即，解得， 所以实数的取值集合为， 故选：B. 3.（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【知识点】描述法表示集合、列举法求集合中元素的个数 【详解】因为，所以， 又，所以，可得，所以x可能取值为 当时：代入得，又， 所以，此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，.，， 此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，所以， 此时得到元素； 满足条件的元素分别为： ，，，，共11个， 故选：C 4．（多选）（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【答案】BC 【知识点】判断元素与集合的关系 【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. 5．（多选）（2025·四川绵阳·三模）已知集合，对于中的任意两个元素都有，则集合的元素个数可以为（    ） A．4个 B．7个 C．9个 D．10个 【答案】AB 【知识点】判断元素与集合的关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【详解】当时，不满足集合元素的互异性，排除. 不妨设（效果一样），已知，则. 将其变形为关于的表达式： ，移项可得，进一步得到. 因为且，所以，那么. 由此可知，所以集合至多有中的一个整数，若有两个，取较小者为，会与不等式矛盾. 令，对求导，可得，所以在上是递增函数. 假设存在且，令，， 由的单调性可知，这与矛盾， 所以中至多只有中的一个整数. 因为，所以集合至多只有中的一个整数. 因为，所以集合至多有中的一个整数. 因为，所以集合至多有中的一个整数. 又因为，，，所以集合中可以同时存在，，.   综上，集合至多有个元素. ，符合条件，说明集合的元素个数可以是个或个. 故选：AB. 题型四：集合与集合之间的关系 命题点1：判断集合间的关系 例4：⑴（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系 【详解】， 因为奇数集，为整数集， 则，故. 故选：B: ⑵（2025·山东枣庄·二模）已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断两个集合的包含关系、交并补混合运算、利用Venn图求集合 【详解】作出Venn图，如图， 对于A，，故A错误； 对于B，与集合交集是空集，所以不是的子集，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，不是的子集，故D错误； 故选：C. 练习：1．（2025·湖南·三模）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、交并补混合运算、判断两个集合的包含关系 【分析】解一元二次不等式化简集合，由集合的关系、运算即可判断. 【详解】集合，，， 则，都是的真子集，故，故C正确，ABD均错误. 故选：C. 2.（2025·山东·二模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、并集的概念及运算、交集的概念及运算、判断两个集合的包含关系 【详解】解不等式，可得；所以集合. 对于选项A，已知集合，集合，所以，故选项A正确. 对于选项B，已知集合，集合，所以，故选项B错误. 对于选项C， 已知集合，所以或. 显然中的元素不都属于集合，比如的部分，所以，故选项C错误. 对于选项D，由前面分析可知，故选项D错误. 故选：A. 命题点2：由集合间的关系求参数 例5．⑴（24-25高三下·山东德州·阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【详解】因为，，所以，所以， 故选：B ⑵（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【详解】由题得，因为，所以. 当时，，满足； 当时，，因为，所以或，解得1或， 综上的取值构成的集合为. 故选：D. 【解题方法总结】 ⑴空集是任何集合的子集，在设计集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解； ⑵已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 练习：1.（2025·河南·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【详解】①当时，解得，此时，满足题意， ②当时，解得，此时，满足题意， 故选：C. 2．（2025·四川成都·三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【详解】由于，所以， 故选：D 3.（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【详解】由题意可得，又，， 所以，解得. 故选：B. 题型五：集合的交、并、补运算 命题点1：集合的运算 例6．⑴（2025·安徽合肥·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【详解】由题得，，或，则， 故选：A． ⑵（2025高三·全国·专题练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合、解不含参数的一元二次不等式 【详解】由，解得， 所以， 又因为，所以，图中阴影部分表示的集合为， 故选：A 【解题方法总结】 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示，如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况. 练习：1．（2025·湖南长沙·一模）已知集合，若，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【知识点】列举法表示集合、根据交集结果求集合或参数 【详解】集合，因此. 故选：C. 2.（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式、几何意义解绝对值不等式 【详解】由，即，解得， 所以， 由，即，解得， 所以， 所以，则. 故选：B 3.（2025·广东·模拟预测）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、利用Venn图求集合、交并补混合运算 【详解】由，即，解得， 所以， 又，所以， 所以如图所示的阴影部分表示的集合为. 故选：C 4.（24-25高三下·云南·阶段练习）已知集合，，若，，则集合的个数为（   ） A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据交集结果求集合或参数 【详解】由题意知，则集合为，，，共4个. 故选：B． 5．（多选）（2025·贵州黔东南·一模）已知集合，，，则（   ） A． B．中元素的个数为8 C．是A的一个真子集 D．从中取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有20种 【答案】ABD 【知识点】列举法表示集合、交集的概念及运算、并集的概念及运算 【详解】， 由条件可得，正确； ，有8个元素，正确； ，，显然C错误； 由条件可知中有个整数，其中有6个奇数， 所以取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有，正确； 故选：ABD 命题点2：利用集合的运算求参数的值（范围） 例7．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，，若，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【详解】因为，，， 所以，或，解得，或. 故选：D. 【解题方法总结】利用集合的运算求参数的值（范围）： ⑴将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系； ⑵利用数轴进行直观表示，注意端点的取舍； 特别注意对空集的讨论. 练习：1.（24-25高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知集合，若∅，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据交集结果求集合或参数、补集的概念及运算 【详解】由∅得，. 由得，， ∴， ∴，解得. 故选：A. 2.（2025·河南·模拟预测）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【详解】由题意得，又因为， 所以，解得． 故答案为：. 题型六：容斥原理 例8．（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（    ） A．700 B．800 C．900 D．1000 【答案】C 【知识点】容斥原理的应用 【详解】设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为， 则楼下食堂用午餐的学生数大约为， 原本在楼上食堂且留下的学生：占比，即， 从楼下食堂转来的学生：楼下食堂人数的，即， 所以，解得. 所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为. 故选：C 【解题方法总结】 容斥定理是数学中用于计算多个集合并集元素数量的基本原理.其核心思想是通过加减交集的元素数来避免重复计数，它适用于两个或多个集合的并集计算. 容斥定理的核心在于解决多个集合元素重复计数的问题. 当直接相加各集合元素数时，交集部分会被多次计算，导致结果偏大. 通过逐步减去交集元素的数量（并根据集合数量调整加减次数），可得到精确的并集元素总数. 练习．1.（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知全集，，则集合B的元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．不确定 【答案】B 【知识点】容斥原理的应用、根据并集结果求集合元素个数、根据交集结果求集合元素个数 【详解】因为全集，，所以中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，和中都有可能有0，2，4，6，8，9，10，且除了1，3，5，7，中有的其他数字，中也一定会有，中没有的数字，中也一定会有，所以， 故选：B 2.（多选）（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】ABD 【知识点】根据交集结果求集合元素个数、容斥原理的应用 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}， {是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人， 只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人. 故选：ABD 题型八：集合的新定义 例9．（24-25高三下·山东青岛·开学考试）设集合，A是S的一个子集．若对任意，总有，则A中元素个数的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【详解】因为A是S的一个子集，记， 而奇数一奇数＝偶数，偶数－偶数＝偶数，奇数与偶数的差为奇数， 若对任意总有， 要使A中元素的个数最多，则集合A中应可以取所有的奇数即可， 即，得集合A中元素个数的最大值为：5． 故选：A 【解题方法总结】 集合新定义问题的“三定” ⑴定元素：确定已知集合中所包含的元素，利用列举法写出所有元素； ⑵定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题； ⑶定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素. 练习：1.（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）设为两个实数集，定义集合，若，则的子集个数为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【详解】由题意，所以的子集个数为， 故选：B 2.（2025·湖南·三模）已知集合且中至少含有2个元素，若对于中的任意两个不同元素，都有，则称具有性质，若，且同时具有性质和，则中至多有 个元素. 【答案】921 【知识点】判断两个集合的包含关系、集合新定义 【详解】先说明连续11项中集合中最多选取5项， 以为例. 构造抽屉，，，，，，. ①同时选，因为具有性质和， 所以选5则不选；选6则不选；选7则不选； 则只剩，故中属于集合的元素个数不超过5个. ②选2个， 若只选，则不可选，又只能选一个元素， 可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个. 若选，则只能从中选，但不能同时选， 故中属于集合的元素个数不超过5个. 若选，则不可选，又只能选一个元素， 可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个. ③中只选1个， 又四个集合，，，每个集合至多选1个元素， 故中属于集合的元素个数不超过5个. 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合的元素至多只有5个， 如取. 因为，则把每11个连续自然数分组，前184组每组至多选取5项，余一个数2025. 给出如下选取方法：从中选取； 然后在这5个数的基础上每次累加11，构造184次. 此时集合的元素为：；；；； ，共个元素，而取也满足题意， 经检验可得该集合符合要求，故集合的元素最多有个. 故答案为：921. 真题呈现（2025年--2021年真题） 1．（2025年全国Ⅰ卷高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【知识点】补集的概念及运算 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 2．（2025年全国Ⅱ卷高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算 【详解】，故， 故选：D. 3．（2024年新高考全国Ⅰ卷高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算、由幂函数的单调性解不等式 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 5．（2023年新课标Ⅰ卷高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 6．（2023年新课标Ⅱ卷高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 7．（2022年新高考全国Ⅱ卷高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、公式法解绝对值不等式 【详解】[方法一]：直接法 因为，故，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法 代入集合，可得，不满足，排除A、D； 代入集合，可得，不满足，排除C. 故选：B. 8．（2022年全国Ⅰ卷高考真题）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算 【详解】，故， 故选：D 9．（2021年全国Ⅱ卷高考真题）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算 【详解】由题设可得，故， 故选：B. 10．（2021年全国Ⅰ卷高考真题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算 【详解】由题设有， 故选：B . 易错分析 ⑴对集合中元素的属性认识不明致误； 例．（2025·湖北黄冈·二模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】描述法表示集合、交集的概念及运算 【详解】因为集合表示直线上所有点的集合，其元素是点， 集合表示直线上所有点的横坐标的集合，其元素是数， 所以. 故选：D. 【易错警示】此题易错选A，忽视了集合为点集，而集合是数集. 【解决方法】解决集合问题的关键是确定集合中的元素是什么.对于描述法给出的集合，要先明确集合中的代表元素是什么，再确定元素所满足的条件，特别要分清是数集还是点集. ⑵忽视集合元素的互异性致误； 例．（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【答案】C 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【详解】由题设，可得或， 当时，，满足题设； 当时，，不符合集合元素的互异性；所以. 故选：C 【易错警示】此题易错选A，忽视了集合元素的互异性. 【解决方法】集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征. 在解决集合基本概念问题时一般利用确定性列出方程，利用互异性进行检验. ⑶忽视讨论空集致错 例．（2025·全国·模拟预测）已知集合，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算、分式不等式 【详解】因为，所以，所以或， 所以或，所以， 当时，，解得，满足； 当时，要使，则，解得， 综上，，即的取值范围是. 故选：D 【易错警示】此题易忘记讨论的情况. 【解决方法】解决含有参数的集合问题时，要充分注意当参数在某范围内取值时所给的集合是否为空集的情况，必要时需分类讨论. ⑷集合运算结果书写错误 1．（22-23高一上·安徽·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】描述法表示集合、交集的概念及运算 【详解】由，解得，所以． 故选：B． 【易错警示】此题容易错选D，而忽视了集合运算的结果需要写成集合或区间的形式. 【解决方法】在进行集合的基本运算后，最后运算结果需要写成集合或区间的形式. . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 集合 目录： 01复习目标 02考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 03网络构建 04必备基础知识梳理 考点1：集合与元素 考点2：集合的基本关系 考点3：集合的基本运算 考点4：集合的运算性质 05必考题型精讲精练 题型一：集合的表示：列举法、描述法、Venn图 题型二：集合元素的三大特征 题型三：元素与集合的关系 题型四：集合与集合之间的关系 命题点1：判断集合间的关系 命题点2：由集合间的关系求参数 题型五：集合的交、并、补运算 命题点1：集合的运算 命题点2：利用集合的运算求参数的值（范围） 题型六：容斥原理 题型七：集合的新定义 06真题呈现（2025年--2021年真题） 07易错分析 ⑴对集合中元素的属性认识不明致误； ⑵忽视集合元素的互异性致误； ⑶忽视讨论空集致错 ⑷集合运算结果书写错误 复习目标 1.了解集合的定义，了解全集、空集的含义； 2.理解元素于集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系； 3.会求两个集合的并集、交集与补集； 4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算. 考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 考题示例 考点分析 考情分析 2025年全国Ⅰ卷 集合的补集运算 高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大. 重点是集合间的基本运算，主要考查集合的交、并、补运算，常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解法结合. 2025年全国Ⅱ卷 集合的交集运算 2024年全国Ⅰ卷 集合的交集运算 2023年全国Ⅰ卷 交集运算 2023年全国Ⅱ卷 集合的包含关系 2022年全国Ⅰ卷 交集运算 2022年全国Ⅱ卷 交集运算 2021年全国Ⅰ卷 交集运算 2021年全国Ⅱ卷 交集、补集运算 网络构建 必备基础知识梳理 1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和. （）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 2、集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3、集合的基本运算 （1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即． （2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即． （3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即． 4、集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． 【常用结论】 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． （4）,． 必考题型精讲精练 题型一：集合的表示：列举法、描述法、Venn图 例1．⑴（2025·宁夏银川·一模）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 ⑵（24-25高三上·四川南充·阶段练习）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 【解题总结】解决集合表示法问题的关键点： ⑴一是确定构成集合的元素； ⑵确定元素的限制条件； ⑶依据元素的特征（满足的条件）构成关系式解决相应问题. 练习：1．（2025·辽宁·三模）已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合，，，则集合C的子集有（   ）个 A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 3．（2025·山西吕梁·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，若集合且，则的子集的个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 题型二：集合元素的三大特征 例2．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【解题方法总结】 1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。 2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。 练习：1.（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则 . 2．（2025·山东威海·三模）已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则 ． 题型三：元素与集合的关系 例3．⑴（2025·辽宁·二模）设集合. 若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是与*的区别． 2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数． 练习：1．（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 4．（多选）（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 5．（多选）（2025·四川绵阳·三模）已知集合，对于中的任意两个元素都有，则集合的元素个数可以为（    ） A．4个 B．7个 C．9个 D．10个 题型四：集合与集合之间的关系 命题点1：判断集合间的关系 例4：⑴（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． ⑵（2025·山东枣庄·二模）已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（    ） A． B． C． D． 练习：1．（2025·湖南·三模）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2.（2025·山东·二模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 命题点2：由集合间的关系求参数 例5．⑴（24-25高三下·山东德州·阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ⑵（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 练习：1.（2025·河南·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 2．（2025·四川成都·三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五：集合的交、并、补运算 命题点1：集合的运算 例6．⑴（2025·安徽合肥·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． ⑵（2025高三·全国·专题练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示，如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况. 练习：1．（2025·湖南长沙·一模）已知集合，若，则（    ） A．1 B． C． D．0 2.（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3.（2025·广东·模拟预测）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 4.（24-25高三下·云南·阶段练习）已知集合，，若，，则集合的个数为（   ） A．2 B．4 C．7 D．8 5．（多选）（2025·贵州黔东南·一模）已知集合，，，则（   ） A． B．中元素的个数为8 C．是A的一个真子集 D．从中取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有20种 命题点2：利用集合的运算求参数的值（范围） 例7．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，，若，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题方法总结】利用集合的运算求参数的值（范围）： ⑴将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系； ⑵利用数轴进行直观表示，注意端点的取舍； 特别注意对空集的讨论. 练习：1.（24-25高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知集合，若∅，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 2.（2025·河南·模拟预测）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 题型六：容斥原理 例8．（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（    ） A．700 B．800 C．900 D．1000 【解题方法总结】 容斥定理是数学中用于计算多个集合并集元素数量的基本原理.其核心思想是通过加减交集的元素数来避免重复计数，它适用于两个或多个集合的并集计算. 容斥定理的核心在于解决多个集合元素重复计数的问题. 当直接相加各集合元素数时，交集部分会被多次计算，导致结果偏大. 通过逐步减去交集元素的数量（并根据集合数量调整加减次数），可得到精确的并集元素总数. 练习．1.（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知全集，，则集合B的元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．不确定 2.（多选）（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 题型八：集合的新定义 例9．（24-25高三下·山东青岛·开学考试）设集合，A是S的一个子集．若对任意，总有，则A中元素个数的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【解题方法总结】 集合新定义问题的“三定” ⑴定元素：确定已知集合中所包含的元素，利用列举法写出所有元素； ⑵定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题； ⑶定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素. 练习：1.（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）设为两个实数集，定义集合，若，则的子集个数为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 2.（2025·湖南·三模）已知集合且中至少含有2个元素，若对于中的任意两个不同元素，都有，则称具有性质，若，且同时具有性质和，则中至多有 个元素. 真题呈现（2025年--2021年真题） 1．（2025年全国Ⅰ卷高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 2．（2025年全国Ⅱ卷高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 3．（2024年新高考全国Ⅰ卷高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023年新课标Ⅰ卷高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023年新课标Ⅱ卷高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 6．（2022年新高考全国Ⅱ卷高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（2022年全国Ⅰ卷高考真题）若集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2021年全国Ⅱ卷高考真题）设集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（2021年全国Ⅰ卷高考真题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 易错分析 ⑴对集合中元素的属性认识不明致误； 例．（2025·湖北黄冈·二模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【易错警示】此题易错选A，忽视了集合为点集，而集合是数集. 【解决方法】解决集合问题的关键是确定集合中的元素是什么.对于描述法给出的集合，要先明确集合中的代表元素是什么，再确定元素所满足的条件，特别要分清是数集还是点集. ⑵忽视集合元素的互异性致误； 例．（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【易错警示】此题易错选A，忽视了集合元素的互异性. 【解决方法】集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征. 在解决集合基本概念问题时一般利用确定性列出方程，利用互异性进行检验. ⑶忽视讨论空集致错 例．（2025·全国·模拟预测）已知集合，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【易错警示】此题易忘记讨论的情况. 【解决方法】解决含有参数的集合问题时，要充分注意当参数在某范围内取值时所给的集合是否为空集的情况，必要时需分类讨论. ⑷集合运算结果书写错误 1．（22-23高一上·安徽·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【易错警示】此题容易错选D，而忽视了集合运算的结果需要写成集合或区间的形式. 【解决方法】在进行集合的基本运算后，最后运算结果需要写成集合或区间的形式. . 学科网（北京）股份有限公司 $$