第05讲 一元二次方程、不等式（六大题型精讲精练）讲义-2026届高三数学一轮复习（新高考地区适用）

第05讲 一元二次方程、不等式 目录： 01复习目标 02考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 03网络构建 04必备基础知识梳理 考点1：一元二次不等式 考点2：分式不等式 考点3：绝对值不等式 05必考题型精讲精练 题型一：不含参数的一元二次不等式的解法 题型二：含参数的一元二次不等式的解法 题型三：一元二次不等式与韦达定理和判别式 题型四：其它不等式的解法 题型五：二次函数根的分布问题 题型六：一元二次不等式恒成立问题 06真题呈现（2025年--2021年真题） 07易错分析 ⑴忽略对二次项系数为的讨论致误； ⑵忽略对二次项系数的正负的讨论致误； ⑶解决不等式恒成立问题时，忽略二次函数开口方向致误； ⑷利用分离常数法解决恒成立问题时忽略系数的符号致误； ⑸没有区分谁是主元谁是次元致误. 复习目标 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式； 2.结合二次函数的图像，会判断一元二次方程的根的个数以及解一元二次不等式； 3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法； 考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 考题示例 考点分析 考情分析 2025年全国Ⅱ卷 分式不等式的解法 从近几年高考命题来看，三个 “二次” 的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中． 2025年天津卷 一元二次不等式在某区间上恒成立问题 2023年新高考全国Ⅰ卷 交集运算、一元二次不等式的解法 网络构建 必备基础知识梳理 1、一元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1） 当时，二次函数图象开口向上． ①若，解集为；②若，解集为． ③若，解集为． （2） 当时，二次函数图象开口向下． ①若，解集为；②若，解集为. 2、分式不等式 （1）；（2） （3）；（4） 3、绝对值不等式 （1） （2）； ； （3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 【常用结论】 1、 一元二次不等式恒成立问题 ⑴不等式，恒成立； 不等式，恒成立； 不等式的解集为，则一定满足； 不等式的解集为，则一定满足． ⑵若可以为，需要分类讨论，一般优先考虑的情形. 2、对于不等式或，求解时不要忘记的情形. 必考题型突破 题型一：不含参数的一元二次不等式的解法 例1．⑴（2025·广东·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D．R ⑵（2024·上海长宁·一模）设全集为，集合，则 ． 【解题方法总结】 解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集. 练习：1．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·上海闵行·期中）设，若，则实数的取值范围是 . 3．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，函数的定义域为 ；函数的单调增区间为 ． 题型二：含参数的一元二次不等式的解法 例2．（2026高三·全国·专题练习）若，解关于的不等式. 【解题方法总结】对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： ⑴根据二次项系数为正、负及零进行分类； ⑵根据判别式与的关系判别根的个数； ⑶有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 练习：1．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若⫋，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）若，解关于的不等式. 3．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知：存在，使得不等式成立，：不等式． (1)若命题是假命题，求实数的取值范围； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 题型三：一元二次不等式与韦达定理和判别式 例3．（2025高三·全国·专题练习）已知二次函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【解题方法总结】 1、一定要牢记二次函数的基本性质． 2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换． 练习：1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·安徽亳州·期末）已知，且是关于的方程的一个根，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D．8 3．（多选）（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 4．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 5．（2024高三·全国·专题练习）设二次函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c.若a＋b＋c＝0，f(1)f(0)＞0. (1)求证：方程f(x)＝0有实根； (2)设x1，x2是方程f(x)＝0的两个实数根，求|x1－x2|的取值范围. 题型四：其它不等式的解法 例4．（24-25高一上·河北唐山·期末）已知，若，，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题方法总结】 1、分式不等式化为二次或高次不等式处理． 2、根式不等式绝对值不等式平方处理． 练习：1．（2025·天津河西·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·上海·三模）不等式的解集为 . 3．（2025·北京·模拟预测）不等式的解集为 . 4．（2025·江苏宿迁·二模）设函数，其中．若对任意的恒成立，则 ． 题型五：二次函数根的分布问题 例5．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两根都大于0； (2)一根大于，另一根小于； (3)一根在内，另一根在内； (4)一根在内，另一根不在内； (5)一根小于1，另一根大于2； (6)两根都在区间内； (7)在内有解． 【解题方法总结】解决由一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解. ⑴判别式的符号；⑵对称轴与所给区间的位置关系； ⑶区间端点处函数值的符号. 练习．1．（多选）（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，则 3.（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）若，是关于x的方程的解，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 4．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 5．（2024·安徽合肥·模拟预测）函数在上有两个零点，则的取值范围是 . 题型六：一元二次不等式恒成立问题 例6．（15-16高二上·湖南常德·期中）设函数． (1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于，恒成立，求实数的取值范围． 【解题方法总结】恒成立问题求参数的范围的解题策略 （1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． （2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论． 练习：1．（23-24高二上·浙江·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（   ） A．9 B．6 C． D．5 2.（23-24高一上·北京·期中）已知函数的定义域是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为 . 6．（2025高三·全国·专题练习）已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ． 真题呈现（2025年--2021年真题） 1．（2025年全国Ⅱ卷高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（2025年天津高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 3．（2023年新课标Ⅰ卷高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 易错分析 ⑴忽略对二次项系数为的讨论致误； 例．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ． 【易错警示】此题易错之处在于忽视讨论的情况，从而得到错误答案. 【提示】对于不等式或，求解时不要忘记的情形. ⑵忽略对二次项系数的正负的讨论致误； 例．（20-21高一上·辽宁沈阳·阶段练习）解关于的不等式. 【易错警示】此题易错之处在于忽略讨论和的情况，同时，在讨论时，也容易忽略一元二次不等式的解应取两根之间，即，而不是或. 【提示】对于不等式或，若二次项系数的符号不确定，应按，和三种情况分类讨论. ⑶解决不等式恒成立问题时，忽略二次函数开口方向致误； 例．（15-16高二上·湖南常德·期中）设函数． (1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于，恒成立，求实数的取值范围． 【易错警示】此题第一问易错之处在于只限制，而忽略开口需向上. 【提示】不等式，恒成立； 不等式，恒成立 ⑷利用分离常数法解决恒成立问题时忽略系数的符号致误； 例．（21-22高一·全国·课后作业）若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【易错警示】此题易错之处在于利用分离参数解决不等式恒成立问题时忽略讨论的符号. 【提示】采用分离参数时，若所除项的符号不确定，需讨论所除项的符号. ⑸没有区分谁是主元谁是次元致误 例．（2025高三·全国·专题练习）已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ． 【易错警示】此题易错之处在于没有区分谁是主元谁是次元，此题给出了的范围，所以为主元，为次元. 【提示】解决不等式恒成立问题时，给出范围的量为主元，要求范围的量为次元. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一元二次方程、不等式 目录： 01复习目标 02考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 03网络构建 04必备基础知识梳理 考点1：一元二次不等式 考点2：分式不等式 考点3：绝对值不等式 05必考题型精讲精练 题型一：不含参数的一元二次不等式的解法 题型二：含参数的一元二次不等式的解法 题型三：一元二次不等式与韦达定理和判别式 题型四：其它不等式的解法 题型五：二次函数根的分布问题 题型六：一元二次不等式恒成立问题 06真题呈现（2025年--2021年真题） 07易错分析 ⑴忽略对二次项系数为的讨论致误； ⑵忽略对二次项系数的正负的讨论致误； ⑶解决不等式恒成立问题时，忽略二次函数开口方向致误； ⑷利用分离常数法解决恒成立问题时忽略系数的符号致误； ⑸没有区分谁是主元谁是次元致误. 复习目标 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式； 2.结合二次函数的图像，会判断一元二次方程的根的个数以及解一元二次不等式； 3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法； 考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 考题示例 考点分析 考情分析 2025年全国Ⅱ卷 分式不等式的解法 从近几年高考命题来看，三个 “二次” 的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中． 2025年天津卷 一元二次不等式在某区间上恒成立问题 2023年新高考全国Ⅰ卷 交集运算、一元二次不等式的解法 网络构建 必备基础知识梳理 1、一元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1） 当时，二次函数图象开口向上． ①若，解集为；②若，解集为． ③若，解集为． （2） 当时，二次函数图象开口向下． ①若，解集为；②若，解集为. 2、分式不等式 （1）；（2） （3）；（4） 3、绝对值不等式 （1） （2）； ； （3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 【常用结论】 1、 一元二次不等式恒成立问题 ⑴不等式，恒成立； 不等式，恒成立； 不等式的解集为，则一定满足； 不等式的解集为，则一定满足． ⑵若可以为，需要分类讨论，一般优先考虑的情形. 2、对于不等式或，求解时不要忘记的情形. 必考题型突破 题型一：不含参数的一元二次不等式的解法 例1．⑴（2025·广东·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D．R 【答案】C 【详解】由，或， 所以. 故选：C. ⑵（2024·上海长宁·一模）设全集为，集合，则 ． 【答案】 【详解】由，则． 故答案为：. 【解题方法总结】 解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集. 练习：1．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解不等式，得到集合或. 由于 集合或. 所以. 已知，，所以，即. . 故选：B. 2．（24-25高三上·上海闵行·期中）设，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，函数在上单调递减， 不等式，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 3．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，函数的定义域为 ；函数的单调增区间为 ． 【答案】； 【详解】由题意可得，即，解得， ∴的定义域为． 令， ∴在上单调递增；在上单调递减， 又在上单调递减， ∴的单调增区间为． 故答案为：；． 题型二：含参数的一元二次不等式的解法 例2．（2026高三·全国·专题练习）若，解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【详解】移项得，对应的方程的两根为和1， 当时，，解得； 当时，，原不等式无解； 当时，，解得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解题方法总结】对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： ⑴根据二次项系数为正、负及零进行分类； ⑵根据判别式与的关系判别根的个数； ⑶有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 练习：1．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若⫋，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，， 因为⫋，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 2．（2026高三·全国·专题练习）若，解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【详解】移项得，对应的方程的两根为和1， 当时，，解得； 当时，，原不等式无解； 当时，，解得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 3．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为：，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为：， 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为， 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：. 故选：B. 4．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知：存在，使得不等式成立，：不等式． (1)若命题是假命题，求实数的取值范围； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）若命题是假命题，则是真命题， 所以任意，使得不等式成立， 所以，解得：， 故实数的取值范围为：. （2）若，：存在，使得不等式成立， 则，解得：，设集合， 若，不等式可得：， 解得：，设设集合， 若是的充分不必要条件，则⫋, 则，则， 若，不等式可得：， 解得：，设设集合， 若是的充分不必要条件，则⫋, 则，则， 综上所述，实数的取值范围为：. 题型三：一元二次不等式与韦达定理和判别式 例3．（2025高三·全国·专题练习）已知二次函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】C 【详解】由图可知，二次函数图象的对称轴为，又图象开口向上， 所以在区间上单调递减，A对； 由图知：不等式的解集为，B对； 由图知：，C错； 根据二次函数与一元二次方程的关系，是的两个根， 所以，，且， 所以，解集为，D对. 故选：C. 【解题方法总结】 1、一定要牢记二次函数的基本性质． 2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换． 练习：1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以且， 解得，所以的取值范围是. 故选：. 2．（24-25高三上·安徽亳州·期末）已知，且是关于的方程的一个根，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】D 【详解】中，，故方程有两个不等实根， 设另一个根为， 由题意得，由得，故，即， 故， 因为，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 3．（多选）（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】AD 【详解】由题意得是方程的两根，且，A正确； 故，即，， 所以，B错误； ，C错误； ， 解得，D正确. 故选：AD 4．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为二次不等式的解集为， 则的两根为，则， 所以，整理得，等价于， 解得或， 故答案为：或. 5．（2024高三·全国·专题练习）设二次函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c.若a＋b＋c＝0，f(1)f(0)＞0. (1)求证：方程f(x)＝0有实根； (2)设x1，x2是方程f(x)＝0的两个实数根，求|x1－x2|的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）证明：∵ a＋b＋c＝0，∴ f(x)＝3ax2＋2bx＋c中， Δ＝4b2－12ac＝4b2＋12a(a＋b)＝12(a2＋ab＋b2)＝12[(a＋b)2＋b2]≥0，∴ 方程f(x)＝0有实根. （2） 解：|x1－x2|＝＝. ∵ f(1)f(0)＞0，∴ c(3a＋2b＋c)＞0. 又a＋b＋c＝0，∴ (a＋b)(2a＋b)＜0. 又a2＞0，∴ (＋1)(＋2)＜0，∴ －2＜＜－1. 设g(x)＝x2＋3x＋3，g(x)在(－∞，－)上单调递减，在(－，＋∞)上单调递增， ∴ |x1－x2|∈[，). 题型四：其它不等式的解法 例4．（24-25高一上·河北唐山·期末）已知，若，，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由得，解得，则， 由得，则， 所以若成立，则成立， 但成立，但不一定成立， 则是的充分不必要条件. 故选：B. 【解题方法总结】 1、分式不等式化为二次或高次不等式处理． 2、根式不等式绝对值不等式平方处理． 练习：1．（2025·天津河西·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】易知不等式的解集为， 不等式的解集也为， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C 2．（2025·上海·三模）不等式的解集为 . 【答案】 【详解】不等式等价于，且， 解得，所以不等式的解集为， 故答案为： 3．（2025·北京·模拟预测）不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由得，即， 整理得：，即， 即，解得或， 故不等式的解集为. 故答案为： 4．（2025·江苏宿迁·二模）设函数，其中．若对任意的恒成立，则 ． 【答案】 【分析】令，求出方程、的根，假设，结合穿根法可得出，进而得出，分析可知对任意的恒成立，可求出的值，由此可得出的值. 【详解】因为，则， 令，可得或或， 由于，则， ， 令， 令可得或或， 由于，则， 由可得， 若，取，，， 当时，，，此时，， 当时，由穿根法可知，，矛盾， 所以，，即，则， 所以， 因为对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立，则，解得， 因此，. 故答案为：. 题型五：二次函数根的分布问题 例5．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两根都大于0； (2)一根大于，另一根小于； (3)一根在内，另一根在内； (4)一根在内，另一根不在内； (5)一根小于1，另一根大于2； (6)两根都在区间内； (7)在内有解． 【答案】(1)；(2) 或 ；(3)；(4) (5)；(6)；(7) 【详解】（1）设 两根都大于0，应满足解得 （2）一根大于，另一根小于，应满足 , 即 , 解得 或 （3）一根在内,另一根在内,应满足 即 解得 （4）一根在内，另一根不在内， 应满足或或 可得 或 ，又． ∴m的取值范围为． （5）一根小于1，另一根大于2，应满足 即，解得． （6）两根都在内，应满足 解得． （7）在内有解，应满足 或或或解得． 【解题方法总结】解决由一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解. ⑴判别式的符号；⑵对称轴与所给区间的位置关系； ⑶区间端点处函数值的符号. 练习．1．（多选）（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，因为方程在区间上有两个不相等的实数解， 所以，即，解得， 所以的取值范围是． 故选：A． 2．（多选）（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，则 【答案】AB 【详解】对于A：因为，当时， 所以方程有两实数根，故A正确； 对于B：若方程有两异号的实数根，则，解得， 即当时，方程有两异号的实数根，故B正确； 对于C：当时，方程无实数根，故C错误； 对于D：若方程有两个实数根，，则，即， 当时，方程的两根，，显然无意义，故D错误. 故选：AB 3.（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）若，是关于x的方程的解，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】因为，是关于x的方程的解，且满足， 所以在上有两个零点， 所以，解得，则， 所以的取值范围是. 故选：D. 4．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 【答案】 【详解】因为方程的两根一个比大另一个比小， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 5．（2024·安徽合肥·模拟预测）函数在上有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意，在中， 当时，，函数单调递增， 在上，，无零点，舍去， 当时，， ， ， 对称轴，∴图象过，， ∴函数图象开口向下， ，解得：， 故答案为：. 题型六：一元二次不等式恒成立问题 例6．（15-16高二上·湖南常德·期中）设函数． (1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）分和两类情况，当时采用验证法即可；当时根据一元二次不等式和二次函数之间的关系建立不等式组即可求出实数的取值范围. （2）方法一：先利用分离参数法得出；再求出函数在上的最小值即可求解.方法二：先将问题转化为在上恒成立；再分类讨论，利用函数的单调性求出函数的最大值即可求解. 【详解】（1）要使恒成立， 若，显然； 若，则，解得． 综上：实数的取值范围是． （2）方法一： 由得：，即. 因为，所以． 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 当时，函数在上取得最小值，最小值为， 所以只需即可，所以的取值范围是． 方法二： 由，得，即. 令， 当时，在上是增函数， 则，解得，所以； 当时，恒成立； 当时，在上是减函数， 则，解得，所以． 综上所述，的取值范围是． 【解题方法总结】恒成立问题求参数的范围的解题策略 （1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． （2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论． 练习：1．（23-24高二上·浙江·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（   ） A．9 B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】把问题转化为在区间上有解，利用基本不等式求解. 【详解】关于的不等式在区间上有解， 等价于在区间上有解， 即在区间上有解， 又，当且仅当时，取最小值6． 故，可得，则实数的最小值为5． 故选：D． 2.（23-24高一上·北京·期中）已知函数的定义域是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：对任意恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：的取值范围是. 故选：B. 3．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得命题：“，”为真命题，讨论是否为0，解不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知命题“，”为假命题， 则命题“，”为真命题， 故当时，，即为，符合题意； 当时，需满足解得. 综上，实数的取值范围是. 故选：D. 4．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 【答案】 【详解】可以将不等式的左边视为一元二次函数，对函数求导，判断函数的单调区间，保证该函数在内的最小值大于等于0，就能满足题意，此时可求出的取值范围，进而得出其最小值.根据已知条件，令对任意的成立. 对函数求导得：. 当时，，即， 此时，该函数在上单调递增； 当时，，即， 此时，该函数在上单调递减. 若，即时，该函数在上单调递增，在上单调递减. 此时函数在内的最小值为. 解得：，因为， 所以此时的范围为：. 若，即时，该函数在上的最小值为，符合题意. 综上所述，的取值范围为. 所以的最小值为. 故答案为：. 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】一元二次不等式的恒成立问题可采用参变分离来求解，本题解得在上的最大值即可. 【详解】因对任意恒成立， 则对任意恒成立， 因在上单调递减，在上单调递增，且，， 则在上的最大值为， 则， 故实数a的取值范围为. 故答案为： 6．（2025高三·全国·专题练习）已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，原题意化为对恒成立，利用二次函数性质列不等式组，解一元二次不等式组即可． 【详解】设， 则不等式对满足的一切实数m恒成立 对恒成立． 当时， 即解得 故x的取值范围是． 故答案为： 真题呈现（2025年--2021年真题） 1．（2025年全国Ⅱ卷高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式不等式 【详解】即为即，故， 故解集为， 故选：C. 2．（2025年天津高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 3．（2023年新课标Ⅰ卷高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 易错分析 ⑴忽略对二次项系数为的讨论致误； 例．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将原不等式变形，然后分和两种情况进行讨论，当时直接判断不等式是否恒成立，当时，根据二次函数的性质列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】原不等式等价于， 当时，对，不等式恒成立； 当时，则有，解得： 综上所述，实数的取值范围是 故答案为：. 【易错警示】此题易错之处在于忽视讨论的情况，从而得到错误答案. 【提示】对于不等式或，求解时不要忘记的情形. ⑵忽略对二次项系数的正负的讨论致误； 例．（20-21高一上·辽宁沈阳·阶段练习）解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【详解】当时，不等式化为； 当时，. 当时，若，不等式解为或； 若，不等式解为； 若，不等式解为或； 当时，此时，， 不等式解为. 综上，时，不等式解为；时，不等式解为或； 时，不等式解为；时，不等式解为或； 时，不等式解为. 【易错警示】此题易错之处在于忽略讨论和的情况，同时，在讨论时，也容易忽略一元二次不等式的解应取两根之间，即，而不是或. 【提示】对于不等式或，若二次项系数的符号不确定，应按，和三种情况分类讨论. ⑶解决不等式恒成立问题时，忽略二次函数开口方向致误； 例．（15-16高二上·湖南常德·期中）设函数． (1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）要使恒成立， 若，显然； 若，则，解得． 综上：实数的取值范围是． （2）方法一： 由得：，即. 因为，所以． 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 当时，函数在上取得最小值，最小值为， 所以只需即可，所以的取值范围是． 方法二： 由，得，即. 令， 当时，在上是增函数， 则，解得，所以； 当时，恒成立； 当时，在上是减函数， 则，解得，所以． 综上所述，的取值范围是． 【易错警示】此题第一问易错之处在于只限制，而忽略开口需向上. 【提示】不等式，恒成立； 不等式，恒成立 ⑷利用分离常数法解决恒成立问题时忽略系数的符号致误； 例．（21-22高一·全国·课后作业）若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】法一：，， 令，，依题意，，， 而函数是二次项系数为正的二次函数，因此有，即，解得， 所以实数m的取值范围是. 法二：当时，，因为在上为增函数，所以，所以； 当时，，因为在上为增函数，所以，所以； 当时，，. 综上，， 所以实数m的取值范围是. 故答案为： 【易错警示】此题易错之处在于利用分离参数解决不等式恒成立问题时忽略讨论的符号. 【提示】采用分离参数时，若所除项的符号不确定，需讨论所除项的符号. ⑸没有区分谁是主元谁是次元致误 例．（2025高三·全国·专题练习）已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，原题意化为对恒成立，利用二次函数性质列不等式组，解一元二次不等式组即可． 【详解】设， 则不等式对满足的一切实数m恒成立 对恒成立． 当时， 即解得 故x的取值范围是． 故答案为： 【易错警示】此题易错之处在于没有区分谁是主元谁是次元，此题给出了的范围，所以为主元，为次元. 【提示】解决不等式恒成立问题时，给出范围的量为主元，要求范围的量为次元. 学科网（北京）股份有限公司 $$