专题1.5 充分条件与必要条件（11类必考点）-2025-2026学年高一数学（人教A版2019必修第一册）

专题1.5 充分条件与必要条件 【知识梳理】 1 【考点1：命题的概念与真假】 2 【考点2：充分条件的判定及性质】 3 【考点3：必要条件的判定及性质】 4 【考点4：充分不必要条件的判断与证明】 5 【考点5：根据充分不必要条件求参数】 5 【考点6：必要不充分条件的判断与证明】 6 【考点7：根据必要不充分条件求参数】 7 【考点8：充要条件的判断与证明】 7 【考点9：根据充要条件求参数】 9 【考点10：既不充分也不必要条件的判断与证明】 9 【考点11：充分、必要、充要条件与集合的关系】 10 【知识梳理】 1．命题 （1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． （2）分类：判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． （3）结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中，称为命题的条件，称为命题的结论． 2．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 3．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【重要提醒】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 4．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 5. 充分、必要、充要条件与集合的关系 p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 A⊆B p是q的必要条件 B⊆A p是q的充分不必要条件 AÜB p是q的必要不充分条件 BÜA p是q的充要条件 A＝B 【方法技巧】 充分、必要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件． 【考点1：命题的概念与真假】 1．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 3．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列语句中，真命题有（   ） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 4．（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 5．（24-25高三上·宁夏吴忠·阶段练习）关于的方程，有下列四个命题： 甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是 . 【考点2：充分条件的判定及性质】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）两个三角形全等的充分条件是（    ） A．两个三角形的两角对应相等 B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C．两个三角形的三边对应成比例 D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等 2．（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）若“”是“或”的充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）若“”是“”的充分条件，则实数a的取值范围为 ． 5．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）若“”是“”的充分条件，则实数的值为 . 6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，，若是的充分条件，求的取值范围． 【考点3：必要条件的判定及性质】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（    ） A．“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件 B．“两个三角形的周长相等”是“这两个三角形全等”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的必要条件 2．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若mn为无理数，则m，n为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 3．（多选）（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则方程有实根 D．若，则 4．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 5．（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列哪些命题中p是q的必要条件． （1）在中，p：，q：； （2）已知x，，p：，q：． 6．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：，q：； (3)p：，q：. 【考点4：充分不必要条件的判断与证明】 1．（24-25高一上·安徽·期中）使成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）“或”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·模拟预测）使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．x<2 D． 4．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一上·贵州·期中）方程有两个不相等的正实数根的一个充分不必要条件是（   ） A．或 B． C． D． 【考点5：根据充分不必要条件求参数】 1．（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北黄石·阶段练习）若“a＜x＜a＋2”是“x＞3”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（　　） A．a＞3 B．a≥3 C．a＜1 D．a≤1 3．（24-25高二上·江西吉安·阶段练习）已知命题，命题或，若的充分不必要条件是非，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．不存在 4．（多选）（24-25高一下·贵州·期中）命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【考点6：必要不充分条件的判断与证明】 1．（2025年全国第八届章鱼杯I卷（高中组）数学试题）“不来参加的同学，你们不会受到任何处分！”那么在这些同学中“来参加”是“会受到处分”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·陕西西安·期末）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高三下·天津·阶段练习）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（多选）（24-25高一上·海南儋州·期中）以下是的必要条件但不是充分条件的是（    ） A．：“是分数”，：“是有理数” B．：“”，：“” C．：“”，：“” D．：“”，：“” 【考点7：根据必要不充分条件求参数】 1．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）设：，：，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 2．（24-25高一上·上海·期中）命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 3．（24-25高一上·广东肇庆·期末）已知，若是的必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 【考点8：充要条件的判断与证明】 1．（24-25高一上·河南郑州·期中）在下列哪些命题中p是q的充要条件（    ） A．四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分 B．两个三角形相似，两个三角形三边成比例 C．为空集，与B之一为空集 D．三角形是等腰三角形，三角形是等边三角形 2．（2024·山东·一模）已知实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高三上·浙江·阶段练习）“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二·福建福州·阶段练习）求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 5．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 【考点9：根据充要条件求参数】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 2．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）关于的方程的解为的充要条件是 ． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【考点10：既不充分也不必要条件的判断与证明】 1．（24-25高一下·广东湛江·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·安徽·期中）设，则“”是“关于x的方程有两个负实根”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）已知a，b是实数，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（多选）（24-25高一上·江苏·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．“”是“”的既不充分又不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 【考点11：充分、必要、充要条件与集合的关系】 1．（24-25高一上·四川眉山·期中）若，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知A，B是全集I的真子集，有下列四个命题： ①；②；③；④“”是“”的必要且不充分条件. 其中与等价的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 5．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 6．（24-25高一上·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 7．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 充分条件与必要条件 【知识梳理】 1 【考点1：命题的概念与真假】 2 【考点2：充分条件的判定及性质】 4 【考点3：必要条件的判定及性质】 6 【考点4：充分不必要条件的判断与证明】 8 【考点5：根据充分不必要条件求参数】 10 【考点6：必要不充分条件的判断与证明】 12 【考点7：根据必要不充分条件求参数】 14 【考点8：充要条件的判断与证明】 15 【考点9：根据充要条件求参数】 18 【考点10：既不充分也不必要条件的判断与证明】 19 【考点11：充分、必要、充要条件与集合的关系】 22 【知识梳理】 1．命题 （1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． （2）分类：判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． （3）结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中，称为命题的条件，称为命题的结论． 2．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 3．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【重要提醒】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 4．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 5. 充分、必要、充要条件与集合的关系 p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 A⊆B p是q的必要条件 B⊆A p是q的充分不必要条件 AÜB p是q的必要不充分条件 BÜA p是q的充要条件 A＝B 【方法技巧】 充分、必要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件． 【考点1：命题的概念与真假】 1．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【分析】根据全等三角形的定义即可判断命题，对A,B,C,D进行判断即可. 【详解】解：对命题，全等三角形的形状和大小均相同， 故周长相等，故命题为真命题, 对命题，只要三角形三边和相等，则周长相等， 对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等， 故命题为假命题； 对A,命题为真命题,命题为假命题，故A错； 对B，命题为真命题,命题为假命题，故B错； 对C, 命题为真命题,命题为假命题，故C对， 对D, 命题为真命题,命题为假命题,故D错. 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 【答案】D 【详解】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形；B是真命题，或能得到；C是真命题，因为当时，任意奇数，所以一个奇数是两个整数的平方差；D是假命题，不满足． 3．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列语句中，真命题有（   ） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 【答案】AD 【详解】A，D是真命题，B中同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故B错误；C中平行四边形不是梯形，故C错误． 4．（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】通过取反例即可判断. 【详解】取，满足， 显然不成立，所以命题为假命题. 故答案为：假 5．（24-25高三上·宁夏吴忠·阶段练习）关于的方程，有下列四个命题： 甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是 . 【答案】甲 【分析】根据韦达定理再结合题意即可判断. 【详解】解：若甲、乙两命题均正确，且，， 则丙、丁均为假命题，与题意不符，故甲、乙必有一个是假命题. 若甲为真命题，由丙命题可知，方程的另一根为1，这样方程两根同号，与丁命题矛盾. 故甲命题为假命题； 若乙为真命题，可知方程的另一根为，此时丁命题也为真命题，符合题意. 故答案为：甲 【考点2：充分条件的判定及性质】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）两个三角形全等的充分条件是（    ） A．两个三角形的两角对应相等 B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C．两个三角形的三边对应成比例 D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等 【答案】D 【分析】由全等三角形的判定定理可得结果. 【详解】根据全等三角形的判定定理可得， 当两个三角形的两边及其夹角对应相等时，两个三角形全等． 故选：D. 2．（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）若“”是“或”的充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解出的取值，再根据充分条件确定m的取值. 【详解】，则， 因为“”是“或”的充分条件， 所以，解得， 故选：C. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 【答案】D 【分析】举特殊值，可排除A、B、C选项，由0不是无理数可知D正确. 【详解】若，则为有理数，A错误； 若，则为有理数，B错误； 若，则为有理数，C错误； 若为无理数，则，所以，D正确． 故选：D. 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）若“”是“”的充分条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据充分条件的定义结合题意即可求解. 【详解】“”是“”的充分条件，则. 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）若“”是“”的充分条件，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】根据充分条件的知识列方程，从而求得的值. 【详解】依题意，“”是“”的充分条件， 所以， 所以，解得或. 故答案为：或 6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，，若是的充分条件，求的取值范围． 【答案】 【分析】将命题对应集合，命题对应集合，再根据充分条件，转化为集合与集合的子集关系，根据子集关系求得参数的取值范围即可. 【详解】命题对应的集合为， 命题对应的集合为， 因为是的充分条件，所以， 所以，解不等式组得： 故实数的取值范围是． 【考点3：必要条件的判定及性质】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（    ） A．“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件 B．“两个三角形的周长相等”是“这两个三角形全等”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可解. 【详解】对于A中，平行四边形的对角线互相垂直是菱形的判定定理，即，所以A正确； 对于B中，三边分别为3，4，5的三角形是周长为12的直角三角形， 三边为4，4，4的三角形是等边三角形，两三角形周长相等但不全等，即，所以B错误； 对于C中，例如：当时，满足，但， 所以是的充分条件，所以C错误； 对于D中，若，满足，但不成立，所以D错误． 故选：A. 2．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若mn为无理数，则m，n为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】AB 【详解】若，则，即是的必要条件，故A正确；由“”可以推出“”，故B正确；取，，满足mn为无理数，但m为有理数，故C错误；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故D错误. 3．（多选）（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则方程有实根 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用必要条件的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，，则是的必要条件，A是； 对于B，，又，则是的充分不必要条件，B不是； 对于C，方程有实根，则，解得， 而，因此是方程有实根的必要条件，C是； 对于D，，则是的必要条件，D是. 故选：ACD 4．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据必要条件的定义直接求解即可. 【详解】由题意，“若，则”为真命题， 故实数的取值范围是. 故答案为： 5．（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列哪些命题中p是q的必要条件． （1）在中，p：，q：； （2）已知x，，p：，q：． 【答案】（1）（2）命题中p是q的必要条件． 【分析】（1）（2）根据必要条件的定义分析判断即可. 【详解】（1）在中，由大角对大边知，， 所以p是q的必要条件． （2）由，故p是q的必要条件． 故（1）（2）命题中p是q的必要条件． 6．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：，q：； (3)p：，q：. 【答案】(1)q是p的必要条件 (2)q是p的必要条件 (3)q不是p的必要条件 【分析】根据必要条件的定义判断即可. 【详解】（1）因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件． （2）由，可得， 所以，所以q是p的必要条件． （3）当时，推不出， 故，所以q不是p的必要条件. 【考点4：充分不必要条件的判断与证明】 1．（24-25高一上·安徽·期中）使成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】设，则使成立的一个充分不必要条件是集合的真子集． 对照选项知只有B符合题意. 故选：B． 2．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）“或”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的关系即可判断. 【详解】解：因为集合是集合或的真子集，其余均不满足， 所以“”是“或”的一个充分不必要条件. 故选：D 3．（2025·四川成都·模拟预测）使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．x<2 D． 【答案】B 【分析】根据分式不等式的解法以及充分不必要条件的概念求解. 【详解】由得， 所以“”是“”的即不充分也不必要条件，故A错误； “”是“”的充分不必要条件，故B正确； “”是“”的即不充分也不必要条件，故C错误； “”是“”的充要条件，故D错误. 故选：B. 4．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分性和必要性的定义求解即可. 【详解】若且，可得成立，所以充分性成立； 当，，此时满足，但且不成立，所以必要性不成立； 所以“且”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 5．（24-25高一上·贵州·期中）方程有两个不相等的正实数根的一个充分不必要条件是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次方程根的分布列不等式求出充要条件，再根据充分不必要条件的性质求解即可. 【详解】方程有两个不相等的正实数根，当且仅当， 且两根之和时取得，解得. 故其一个充分不必要条件是. 故选：B 【考点5：根据充分不必要条件求参数】 1．（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系求出的范围. 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，得， 所以. 故选：B 2．（24-25高二上·湖北黄石·阶段练习）若“a＜x＜a＋2”是“x＞3”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（　　） A．a＞3 B．a≥3 C．a＜1 D．a≤1 【答案】B 【分析】根据题意，求得对应集合之间的关系，即可列出关于参数的不等式，进而求解. 【详解】因为“a＜x＜a＋2”是“x＞3”的充分不必要条件， 故可得集合是的真子集，故. 故选：. 3．（24-25高二上·江西吉安·阶段练习）已知命题，命题或，若的充分不必要条件是非，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】先求非：，由题意得非，非，解不等式即可. 【详解】已知命题或，则非：，因为的充分不必要条件是非， 所以非，非，得，解得. 故选：B 【点睛】本题考查了命题之间的关系、充分不必要条件和命题否定的应用，考查了推理能力，属于基础题． 4．（多选）（24-25高一下·贵州·期中）命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用一元二次不等式的成立问题结合必要不充分条件的定义判断各个选项. 【详解】存在，使得为真时， 当时，显然成立； 当时，有，解得， 当时，存在，使得； 所以存在，使得为真时，， 命题“存在，使得”为假命题时， 时，不一定成立，不合题意； 时，不一定成立，不合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是； 故选：CD. 【考点6：必要不充分条件的判断与证明】 1．（2025年全国第八届章鱼杯I卷（高中组）数学试题）“不来参加的同学，你们不会受到任何处分！”那么在这些同学中“来参加”是“会受到处分”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分性和必要性的概念求解即可. 【详解】由“不来参加的同学，你们不会受到任何处分！”可知“来参加”不一定“会受到处分”，“受到处分”的一定是“来参加”的同学， 所以“来参加”是“会受到处分”的必要不充分条件， 故选：C. 2．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件关系判断. 【详解】因为， 所以不能推出，而由可以推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】因为，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（24-25高一上·陕西西安·期末）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】由，得，反之不成立，则“”是“”的必要不充分条件． 故选：C. 5．（24-25高三下·天津·阶段练习）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】，得，得或，所以“”不是“”的充分条件， 反过来，能推出，“”是“”的必要条件. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6．（多选）（24-25高一上·海南儋州·期中）以下是的必要条件但不是充分条件的是（    ） A．：“是分数”，：“是有理数” B．：“”，：“” C．：“”，：“” D．：“”，：“” 【答案】BD 【分析】根据充分条件与必要条件的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，一方面若“是分数”，则必定有“是有理数”； 另一方面若“是有理数”，则不一定有“是分数”， 因为“可能是整数”， 所以“是分数”是“是有理数”的充分条件但不是必要条件，故A不符合题意； 对于B，若，则， 所以“”是“”的必要条件但不是充分条件，故B符合题意； 对于C，因为当且仅当，而当且仅当， 所以“”是“”的充要条件，故C不符合题意； 对于D，一方面设，则，但， 这说明了“”不是“”的充分条件， 另一方面若，则，这说明了“”是“”的必要条件， 结合以上两方面可知“”是“”的必要条件但不是充分条件，故D符合题意． 故选：BD. 【考点7：根据必要不充分条件求参数】 1．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）设：，：，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据必要非充分条件，列式运算即可求解. 【详解】因为是的必要非充分条件， 则，即实数的取值范围为. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·期中）命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将必要不充分条件转化为，即可求解. 【详解】由于是的必要非充分条件，故， 因此或，解得， 故答案为： 3．（24-25高一上·广东肇庆·期末）已知，若是的必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出的范围即可. 【详解】是的必要条件，，. 故选：B. 4．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 【答案】D 【详解】解法1  ．因为p是q的必要条件，所以．当，即时，符合题意；当时，由，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或． 解法2（代入法）  ，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意． 【考点8：充要条件的判断与证明】 1．（24-25高一上·河南郑州·期中）在下列哪些命题中p是q的充要条件（    ） A．四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分 B．两个三角形相似，两个三角形三边成比例 C．为空集，与B之一为空集 D．三角形是等腰三角形，三角形是等边三角形 【答案】B 【分析】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质定理，结合集合交集的性质、等腰三角形的性质、充要条件的定义逐一判断即可. 【详解】A：菱形的对角线互相平分，但是当菱形的邻角不相等时，此时四边形不是正方形，所以此命题：p不是q的充要条件，因此本选项不符合题意； B：当两个三角形相似，这两个三角形三边成比例， 当两个三角形三边成比例，这两个三角形相似，所以此命题：p是q的充要条件，因此本选项符合题意； C：当时，显然为空集，但是与B都不为空集， 所以此命题：p不是q的充要条件，因此本选项不符合题意； D：因为等边三角形是特殊的等腰三角形， 所以此命题：p不是q的充要条件，因此本选项不符合题意， 故选：B 2．（2024·山东·一模）已知实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】实数，则， 当时，，因此， 当时，而，则， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3．（24-25高三上·浙江·阶段练习）“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合题意判断“身正”和“令行”之间的逻辑关系，即得答案. 【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件； 又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件， 综合知“身正”是“令行”的充要条件， 故选：C． 4．（24-25高二·福建福州·阶段练习）求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】由题意得，代入方程，因式分解可得方程有一个根为1，可证充分性；把代入方程，可得，可证必要性. 【详解】证明：充分性：因为，所以， 代入方程，得， 即． 所以方程有一个根为1． 必要性：因为方程有一个根为1， 所以满足方程， 所以，即． 故关于的方程有一个根为1的充要条件是． 5．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)既非充分又非必要条件 (3)必要非充分条件 (4)充要条件 (5)充分非必要条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可. （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可. （3）利用矩形的性质判断即可. （4）解根式方程证明即可. （5）利用一元二次方程的判别式判断即可. 【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件． （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件． （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分，∴是的必要非充分条件． （4）或； 或，所以是的充要条件． （5），即方程有实根； 而方程有实根，即， 所以是的充分非必要条件． 【考点9：根据充要条件求参数】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 2．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）关于的方程的解为的充要条件是 ． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解法，以及充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由必要性得，若方程的解为，把代入方程解得， 当时，方程为，解得，充分性成立， 所以方程的解为的充要条件为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得，所以． 4．（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 【考点10：既不充分也不必要条件的判断与证明】 1．（24-25高一下·广东湛江·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义结合举反例说明. 【详解】当，，时，满足，此时，即不能推出； 当，，时，满足，此时，即不能推出. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解法1  设，，由题意可知和都不成立，所以． 解法2  若，则，故不成立，排除A，C；若，则，故不成立，排除D． 3．（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义可得. 【详解】当时，取，，得不到 “且” 故“”不是“且”的充分条件， 当且时，取，，得不到， 故“”不是“且”的必要条件， 故“”是“且” 既不充分也不必要条件， 故选：D 4．（24-25高一上·安徽·期中）设，则“”是“关于x的方程有两个负实根”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】以为条件，判断方程是否有两个负实根；以方程有两个负实根为条件，判断是否成立，即可得出正确答案. 【详解】方程的判别式，当时，的符号可正可负，即由推不出方程有两个负实根． 反之，若方程有两个负实根，则，且，因此．由不能推出． 所以“”是“方程有两个负实根”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 5．（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）已知a，b是实数，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件，必要条件的定义判断即可. 【详解】先判断充分性：若，满足且，但， 故充分性不成立； 再判断必要性：若，满足，但且， 故必要性不成立. 所以“且”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 6．（多选）（24-25高一上·江苏·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．“”是“”的既不充分又不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A，由于与互相不能推出，所以A正确; 对于B，正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形， 即“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分而不必要条件，所以B错误； 对于C，“关于的方程有实数根”的充要条件是“”，所以C错误； 对于D，因为可以等于零，所以由不能推出，故充分性不成立，由可得且，即必要性成立， 所以“”是“”的必要而不充分条件，所以D正确. 故选：AD. 【考点11：充分、必要、充要条件与集合的关系】 1．（24-25高一上·四川眉山·期中）若，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，求得满足条件的集合A，再根据必要不充分条件定义即可得解. 【详解】由可得， 因为集合是集合的真子集， 所以是的必要不充分条件. 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知A，B是全集I的真子集，有下列四个命题： ①；②；③；④“”是“”的必要且不充分条件. 其中与等价的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】由得图： 或 对于①，等价于，故①正确；对于②，等价于，故②错误；对于③，等价于，故③正确；对于④，“”是“”的必要且不充分条件等价于，故④错误.所以与等价的有①③，共2个. 3．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意得，建立不等式即可求解的取值范围； 【详解】因为“”是 “”的充分条件， 所以， 所以， 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 5．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 6．（24-25高一上·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由构造不等式即可求解； （2）由构造不等式即可求解； 【详解】（1）非空集合．可得：，解得： 由是的必要条件，可得：, 所以，解得：，综上实数的取值范围； （2）存在，由是的充分条件，则, 所以，解得：，所以实数的取值范围 7．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分别求出，，再根据集合的交集运算即可； （2）由于是的必要不充分条件，可知是的真子集，再根据集合关系求出的范围即可． 【详解】（1）， 当时，或． ． （2）因为，或． 是的必要不充分条件，所以或， 所以或． 8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$