1.4 充分条件与必要条件（十大题型）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4 充分条件与必要条件 题型一 充分条件 1．下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 【答案】C 【分析】根据菱形、矩形、平行四边形的性质特征，结合充分条件的定义及正方形的性质判断命题间的关系. 【详解】根据正方形的判定及菱形、矩形、平行四边形的性质，知A，B，D中描述的四边形均为正方形，是“四边形是正方形”的充分条件， 对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故C不是“四边形是正方形”的充分条件. 故选：C 2．设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分条件转化为，即可根据集合间的关系求解. 【详解】设. 因为是的充分条件，所以， 所以. 故答案为：. 3．已知全集，集合，，. (1)当时，求，； (2)若是的充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)；或． (2) 【分析】（1）利用集合的运算求解； （2）根据充分条件得到集合的包含关系，进而列出不等式组求解. 【详解】（1）当时，. 因为， 所以； 因为或， 所以或． （2）因为是的充分条件， 所以， 所以，解得， 所以实数m的取值范围是． 题型二 必要条件 4．在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 【答案】B 【分析】由必要条件的概念逐个判断即可. 【详解】对于A：四边形是矩形是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于C：四边形四条边相等即为菱形，是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于D:由“四边形是平行四边形”得不到四边形的对角线垂直，故四边形的对角线垂直不是“四边形是平行四边形”的必要条件，错误； 对于B：若四边形是平行四边形，则四边形的对角线互相平分，即“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件. 故选：B． 5．已知集合，非空集合．若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得是的子集，再根据包含关系列出不等式组即可求解. 【详解】因为是的必要条件，所以是的子集， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 6．已知全集，集合 ． (1)若，求 ； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入的值，得到集合B， 根据补集的定义求出集合B的补集，根据交集运算求出答案. （2）由“”是“”的必要条件，得到 B⊆A.讨论和两种情况，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）若，则，所以或. 所以． （2） ∵“”是“”的必要条件，∴，∴B⊆A. 当，即 时，，满足 B⊆A． 当时，由 B⊆A，得，解得：. 综上所述，实数 m的取值范围是． 题型三 判断命题的充分不必要条件 7．若，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】因为方程的根为或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 8．命题p：已知，“，”是真命题，命题，则q是p的 条件． 【答案】充分不必要 【分析】求出命题p和q对应a的范围的集合，根据集合包含关系来判断充分必要条件. 【详解】命题p为真命题，则，设集合； 对于命题，可得，，设集合； 则C是B的真子集，即q是p的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 9．设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)k为偶数；证明见解析 【详解】证明：（1）设集合中的元素，所以．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件． 若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． （2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M． 必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 题型四 根据充分不必要条件求参数 10．若“”是“或”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是的真子集，即可求解. 【详解】由题意可知是的真子集， 所以， 即实数的取值范围为， 故选：A 11．已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】． 【分析】根据充分不必要条件判断集合间的包含关系，进而列出不等式，求出参数范围即可. 【详解】由题可得：，， 因为“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集； 所以，解得：， 检验：时，，满足条件； 时，，满足条件； 所以综上，实数的取值范围为：； 故答案为： 12．已知集合，，，. (1)求，； (2)如果是的充分条件，求的取值范围； (3)当时，求使，，三条件中恰有两个成立的的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据集合的交并补运算求解； （2）根据题意得，即可得解； （3）使，，三条件中恰有两个成立，分三种情况求解. 【详解】（1），或， 所以. （2）是的充分条件， ，则. （3），，， 若，，，则，则， 若，，，则，则， 若，，，则，无解， . 题型五 判断命题的必要不充分条件 13．已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】取，，则，此时成立，但不成立．因此p不是q的充分条件． 若，根据绝对值的性质，，显然成立即p成立因此，即p是q的必要条件． 综上，p是q的必要不充分条件． 故选：B 14．已知命题：方程有实数根，命题：；那么是的 条件.（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件） 【答案】必要不充分 【分析】由命题得或，进而根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】解：因为命题：方程有实数根， 所以，，即或， 因为命题：， 所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 15．在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用充分条件、必要条件的定义判断即得. （2）写出符合题意的必要不充分条件. （3）利用充要条件的定义推理得证. 【详解】（1）由，得，即， 由两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，知不能推出， 所以是的必要非充分条件. （2）的必要不充分条件有： ①， 显然两个三角形全等，其对应角相等，而有两组对应角相等的两个三角形相似，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ②， 显然两个三角形全等，其面积相等，而面积相等的两个三角形图形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ③， 显然两个三角形全等，其对应边相等，对应角相等，而一组对应边及据对角相等的两个三角形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件. （3）必要性：若为等边三角形，即， 显然，因此； 充分性：若， 则， 于是，即，因此是等边三角形， 所以“是等边三角形”的充要条件是“”. 题型六 根据必要不充分条件求参数 16．已知p：，q：，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解． 【详解】设，设， 若p是q的必要不充分条件，则是的真子集， 当时，，满足题意， 当时，，则，解得， 当时，，显然不符合题意， 故a的范围为 故选：C 17．已知，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用必要不充分条件的定义求出范围. 【详解】由题知，， 又因为“”是“”的必要不充分条件，可得， 故答案为：. 18．已知全集，集合，. (1)将下图中的阴影部分表示的集合.    (2)已知，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集运算求解即可； （2）把必要不充分条件转化为集合的真包含关系，再讨论端点取值范围即可求解. 【详解】（1）由，， 结合图象可得阴影部分表示的集合为； （2）由“”是“”的必要不充分条件，则， 因为，所以， 即， 所以， 故实数的取值范围. 题型七 根据充分条件求参数 19．设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】先求出命题中不等式的解集，再根据p是q成立的充要条件，即p和q所表示的集合相等求出的值． 【详解】，解得， ， 又，， ， 故选：A． 20．已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 21．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 题型八 既不充分也不必要条件 22．已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分，必要条件关系判断. 【详解】不能推出，如， 不能推出，如， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 23．“”是“不等式与同解”的 条件. 【答案】既不充分又不必要 【分析】取说明充分性不满足；举不等式与不等式说明必要性不满足，从而即可得答案. 【详解】解：取，满足， 所以即为，即为， 两不等式的解集不同，故充分性不满足； 不等式与不等式的解集相同，均为，但不满足，故必要性不满足； 所以“”是“不等式与同解”的既不充分又不必要条件. 故答案为：既不充分又不必要 24．判断下列各题中，是的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. (1)若，，； (2)，； (3)：两个角都是直角，：两个角不相等. 【答案】(1)充要条件 (2)必要不充分条件 (3)既不充分也不必要条件 【分析】（1）由充要条件的概念即可直接判断； （2）由必要不充分条件的概念即可直接判断； （3）由既不充分也不必要条件的概念即可直接判断. 【详解】（1）因为， 并且， 所以是的充要条件. （2），即或，， 故， 故是的必要不充分条件. （3）两个角都是直角，则这两个角相等， 两个角不相等，则这两个角一定不都是直角， 即， 故是的既不充分也不必要条件. 题型九 充要条件的证明 25．关于的方程，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由方程有一个正根和一个负根可求得的范围，进而可求得结论. 【详解】方程有两个不等实根，则，解得； 方程有一正实根和一负实根，则， 所以方程有一个正实根和一个负实根，则； 若，则，又，所以方程有一正实根和一负实根； 所以“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的充要条件. 故选：C． 26．若实数满足，且，则称与互补.记，那么“”是“与互补”的 条件. 【答案】充要 【分析】判断与互补是否成立，再判断与互补是否成立，再根据充要条件的定义，我们即可得到结论． 【详解】若，则， 两边平方解得，结合，知至少有一个为，另一个为非负数， 故，即与互补； 若与互补时，易得，故至少有一个为，且，， 若，，此时， 同理若，，此时， 即， 故是与互补的充要条件． 故答案为：充要． 27．已知A是R的非空真子集，如果对任意，都有，，则称A是封闭集. (1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由； (2)命题p：若非空集合，是封闭集，则“”是“是封闭集”的充要条件.请判断命题p的真假，并说明理由. 【答案】(1)是封闭集；集合不是封闭集，理由见解析 (2)命题..是真命题，理由见解析 【分析】（1）根据封闭集的定义结合元素特征进行检验即可判断； （2）先推充分性，由可任取，推即得；再推必要性，由是封闭集易得，故为真命题； 【详解】（1）是封闭集，不是封闭集，理由如下： 对于集合，因，故是封闭集； 对于集合，因， 故集合不是封闭集． （2）真命题，理由如下： 若，不妨任取，则有， 又集合是封闭集，则，同理， 因此，即是封闭集； 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 故是是封闭集的充要条件，命题是真命题． 题型十 探究命题为真的充要条件 28．已知与的内切圆半径相等，则“与的面积相等”是“与的周长相等”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据三角形内切圆的半径与周长、面积的关系，结合充分条件、必要条件得解. 【详解】设的内切圆半径为，周长为. 因为的面积， 所以当与的面积相等时，与的周长相等； 同理，当与的周长相等时，与的面积相等. 则“与的面积相等”是“与的周长相等”的充要条件, 故选：A 29．已知，，则“，”是“”的 条件，“”是“或”的 条件填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要” 【答案】 充分不必要 充要 【分析】根据充分，必要条件的定义，即可判断. 【详解】当，时，，满足充分性； 因为时，，或，，不满足必要性； 所以“”是“”的充分不必要条件； 当，所以或，满足充分性； 当或时，，满足必要性， 所以“”是“或”的充要条件． 故答案为：充分不必要；充要． 30．已知集合，． (1)若，均有，求实数的取值范围； (2)若，设：，，求证：成立的充要条件为． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案； （2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案. 【详解】（1）． 因为，均有，所以． 当时，，满足题意； 当时，，解得，所以． 综上，，即的取值范围是． （2）证明：充分性：当时，则， 所以当时，，所以，为真命题，充分性成立； 必要性：若：，为真命题，则：，为假命题． 先求：，为真命题时的范围， 因为，所以，由：，，得． 则或，解得或，所以． 因为：，为假命题，所以. 综上，若，则成立的充要条件为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 充分条件与必要条件 题型一 充分条件 1．下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 2．设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 3．已知全集，集合，，. (1)当时，求，； (2)若是的充分条件，求实数m的取值范围. 题型二 必要条件 4．在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 5．已知集合，非空集合．若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 6．已知全集，集合 ． (1)若，求 ； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 题型三 判断命题的充分不必要条件 7．若，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．命题p：已知，“，”是真命题，命题，则q是p的 条件． 9．设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 题型四 根据充分不必要条件求参数 10．若“”是“或”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 12．已知集合，，，. (1)求，； (2)如果是的充分条件，求的取值范围； (3)当时，求使，，三条件中恰有两个成立的的取值范围. 题型五 判断命题的必要不充分条件 13．已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知命题：方程有实数根，命题：；那么是的 条件.（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件） 15．在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 题型六 根据必要不充分条件求参数 16．已知p：，q：，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．已知，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ． 18．已知全集，集合，. (1)将下图中的阴影部分表示的集合.    (2)已知，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 题型七 根据充分条件求参数 19．设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 20．已知，，若是的充要条件，则实数 ． 21．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 题型八 既不充分也不必要条件 22．已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．“”是“不等式与同解”的 条件. 24．判断下列各题中，是的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. (1)若，，； (2)，； (3)：两个角都是直角，：两个角不相等. 题型九 充要条件的证明 25．关于的方程，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 26．若实数满足，且，则称与互补.记，那么“”是“与互补”的 条件. 27．已知A是R的非空真子集，如果对任意，都有，，则称A是封闭集. (1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由； (2)命题p：若非空集合，是封闭集，则“”是“是封闭集”的充要条件.请判断命题p的真假，并说明理由. 题型十 探究命题为真的充要条件 28．已知与的内切圆半径相等，则“与的面积相等”是“与的周长相等”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 29．已知，，则“，”是“”的 条件，“”是“或”的 条件填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要” 30．已知集合，． (1)若，均有，求实数的取值范围； (2)若，设：，，求证：成立的充要条件为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $