福建省闽东教科联盟2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题

数学参考答案及评分标准 第 1 页 共 3 页 2024~2025 学年第二学期福建省闽东教科联盟高二年级期末质量检测 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D D C D C C B 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合 题目要求的。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 注意：全部选对的得 6 分，第 9~10 题选对其中一个选项得 3 分,第 11 题选对其中一个选项得 2分。有 错选的得 0 分。 题号 9 10 11 答案 BD BD ABD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．−4 13．8 14． 3 5 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分 13分，第一小题 6分，第二小题 7分） 解：（1）由� = 2�sin � + π 4 得 sin� = 2sin�sin � + π 4 ， 因为 sin� = sin � + � = sin�cos� + cos�sin�, 2sin � + π 4 = sin� + cos�, 所以 sin�cos� + cos�sin� = sin� sin� + cos� ，即 cos�sin� = sin�sin�，所以 tan� = 1，所以� = π 4 . （2）因为三角形的面积为 2，所以1 2 ��sin� = 2，所以�� = 4， 由余弦定理知�2 = �2 + �2 − 2��cos�， 即�2 + �2 = 1 + 4 2，所以(� + �)2 = �2 + �2 + 2�� = 9 + 4 2 = (1 + 2 2)2，故� + � = 1 + 2 2， 所以三角形的周长为� + � + � = 2 + 2 2. 16．（本题满分 15分，第一小题 7分，第二小题 8分） 解：（1）证明：因为底面����为正方形，所以�� ⊥ ��. 又因为�� ⊥ ��，�� ∩ �� = �，��，�� ⊂平面���，所以�� ⊥平面 PBD； 因为�� ⊂平面���，所以�� ⊥ ��. 因为�� ⊥ ��，��与��相交，��，�� ⊂平面����. 所以�� ⊥平面����. （2）解：以�为坐标原点，��, ��, ��所在直线分别为�, �, �轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设�� = �� = 1，则� 1, 0, 0 ，� 1, 1, 0 ，� 0, 1, 0 ，� 0, 0, 1 ，则�� = −1, 0, 1 ，�� = 0, 1, 0 ，�� = −1, 1, 0 . 设平面���的法向量为� = �, �, � ，则 �� ⋅ � = 0 �� ⋅ � = 0 ，即 −� + � = 0 � = 0 ，令� = 1，则� = 1，所以� = 1, 0, 1 . 数学参考答案及评分标准 第 2 页 共 3 页 设平面���的法向量为� = �, �, � ，则 �� ⋅ � = 0 �� ⋅ � = 0 ，即 −� + � = 0−� + � = 0，令� = 1，则� = � = 1， 所以� = 1, 1, 1 . 则 cos � , � = � ⋅� � � = 2 2× 3 = 6 3 ， 因为由图易知二面角� − �� − �的平面角为锐角，故二面角� − �� − �的余弦值为 6 3 . 17．（本题满分 15分，第一小题 7分，第二小题 8分） 解：（1）�(�) = 3(cos2� − sin2�) − sin2� = 3cos2� − sin2� = 2cos(2� + π 6 )， 令 2� + π 6 ∈ [ − π + 2�π, 2�π], � ∈ Z，解得� ∈ [ − 7π 12 + �π, − π 12 + �π], � ∈ Z， 所以�(�)的单调递增区间为[ − 7π 12 + �π, − π 12 + �π] (� ∈ Z). （2）由�0 ∈ [0, π 2 ]，得 2�0 + π 6 ∈ [ π 6 , 7π 6 ]，�(�0) = 2cos(2�0 + π 6 ) = 8 5 ， 即 cos(2�0 + π 6 ) = 4 5 > 0，则 2�0 + π 6 ∈ [ π 6 , π 2 )，sin(2�0 + π 6 ) = 3 5 ， 所以 cos2�0 = cos[(2�0 + π 6 ) − π 6 ] = cos(2�0 + π 6 ) ⋅ cos π 6 + sin(2�0 + π 6 ) ⋅ sin π 6 = 4 5 × 3 2 + 3 5 × 1 2 = 4 3+3 10 . 18．（本题满分 17分，第一小题 4分，第二小题 6分，第三小题 7分） 解：（1）由题意得:10 × (0.01 + 0.015 + 0.020 + � + 0.025) = 1，解得� = 0.03， 设第 60百分位数为�，则 0.01 × 10 + 0.015 × 10 + 0.02 × 10 + 0.03 × (� − 80) = 0.6， 解得� = 85，第 60百分位数为 85. （2）由题意知，抽出的 5位同学中，得分在[70, 80)的有 5 × 8 20 = 2人，设为�、�，在[80, 90)的有 5 × 12 20 = 3 人，设为�、�、�, 则样本空间为Ω = {(�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �)}, �(Ω) = 10. 设事件� =“两人分别来自[70, 80)和[80, 90)，则� = {(�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �)}, �(�) = 6， 因此�(�) = �(�) �(Ω) = 6 10 = 3 5 ，所以两人得分分别来自[70, 80)和[80, 90)的概率为 3 5 . （3）由题意知，落在区间[70, 80)内的数据有 40 × 10 × 0.02 = 8个， 落在区间[80, 90)内的数据有 40 × 10 × 0.03 = 12个. 记在区间[70, 80)的数据分别为�1, �2, ⋯, �8，平均分为�，方差为��2； 在区间[80, 90)的数据分别为为�1, �2, ⋯, �12，平均分为�，方差为��2； 这 20个数据的平均数为�，方差为�2. 由题意得，� = 75, � = 85, ��2 = 6.25, ��2 = 0.5，则� = 8�+12� 20 = 8×75+12×85 20 = 81. 根据方差的定义得，�2 = 1 20 8��2 + 8(� − �)2 + 12��2 + 12(� − �)2 = 2 5 ��2 + (� − �)2 + 3 5 ��2 + (� − �)2 = 2 5 6.25 + (75 − 81)2 + 3 5 0.5 + (85 − 81)2 = 26.8 故得分在[70,90)内的平均数为 81，方差为 26.8. 数学参考答案及评分标准 第 3 页 共 3 页 19．（本题满分 17分，第一小题 4分，第二小题 7分，第三小题 6分） （1）由� � = �2 + 1 � − 2e1−� � > 0 ，得�′ � = 2� − 1 �2 + 2e1−�， 则� 1 = 0, �′ 1 = 3， 故� � 的图象在点 1, � 1 处的切线方程为� = 3� − 3. （2）解：由� � = 0，得e1−� �2 + 1 � e�−1 − 2 = 0， 令� � = �2 + 1 � e�−1 − 2, � > 0， 则�′ � = �2 + 2� + 1 � − 1 �2 e�−1 = e �−1 �2 �4 + 2�3 + � − 1 ， 令ℎ � = �4 + 2�3 + � − 1, � > 0，显然ℎ � 在 0, + ∞ 上单调递增， 且ℎ 1 2 =− 3 16 < 0, ℎ 1 = 3 > 0，故∃�0 ∈ 1 2 , 1 , ℎ �0 = 0， 当� ∈ 0, �0 时，ℎ � < 0，则�′ � < 0，即� � 在 0, �0 上单调递减； 当� ∈ �0, + ∞ 时，ℎ � > 0，则�′ � > 0，即� � 在 �0, + ∞ 上单调递增. 因为� 1 10 = 1001 100 e− 9 10 − 2 > 1001 100e − 2 > 0, � �0 < � 1 = 0， 所以∃�1 ∈ 1 10 , �0 , � �1 = 0，从而� � 的零点个数为 2， 即� � 的零点个数为 2. （3）证明：要证� � ≥ 3ln�，需证e�−1 �2 + 1 � − 3ln� ≥ 2， 令� � = e�−1 �2 + 1 � − 3ln� , � > 0， 则�′ � = e�−1 �2 + 2� − 2 � − 1 �2 − 3ln� ， 令� � = �2 + 2� − 2 � − 1 �2 − 3ln�, � > 0， 则�′ � = 2� + 2 + 2 �2 + 2 �3 − 3 � = 2� 2−3�+2 �2 + 2� 4+2 �3 = 2 �−34 2 +78 �2 + 2� 4+2 �3 > 0， 则� � 在 0, + ∞ 上单调递增， 因为� 1 = 0，所以当� ∈ 0,1 时，� � < 0，则�′ � < 0，即� � 在 0,1 上单调递减， 当� ∈ (1, + ∞)时，� � > 0，则�′ � > 0，即� � 在(1, + ∞)上单调递增， 从而� � ≥ � 1 = 2，证明完毕. 数学试卷 第 1页，共 4页 姓名： 准考证号： （在此卷上答题无效） 2024~2025学年第二学期福建省闽东教科联盟高二年级期末质量检测 数 学 试 卷 （考试时间：120分钟；总分：150分） 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．在复平面内， 1−i 2+i 对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．“� = 2”是“� � = �2 −�− 1 ��2+2�−3为幂函数”的（ ）条件． A．充分必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 3．已知向量� = 3, 4 ，� = cos�, sin� ，若� ∥� ，则 2sin�−cos� sin�+2cos� 的值为（ ）． A．− 3 4 B． 3 4 C．− 1 2 D． 1 2 4．函数� � = e�ln�在� = 1处的切线斜率为（ ） A．0 B．1 C．e D．e + 1 5．已知α，β都是锐角，sin(� + �) = 3 10 10 ，tan� = 2tan�，则 cos � − � =（ ） A． 6 3 B． 2 5 5 C． 6 4 D． 3 10 10 6．四棱锥� − ����中，��//��，�� = �� = 2，�� = 2 3，�� = �� = 13，�� = �� = 3，若�、 �、�、�、�均在同一球面上，则该球的表面积等于（ ） A．4π B． 16π 3 C．16π D．64π 7．如图，在△ ���中，∠��� = π 3 , �� = �� , �为��上一点，且满足�� = ��� + 1 3 ��，若�△��� = 2 3， 则 �� 的最小值是（ ） A．2 B．4 C． 2 6 3 D． 8 3 8．设� = etan 1 5, � = ln2.5, � = 7 6 ,则（ ） A．� > � > � B．� > � > � C．� > � > � D．� > � > � 数学试卷 第 2页，共 4页 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．如图，在正方体���� − �1�1�1�1中，P 为线段�1�1的中点，Q 为线段��1上的动 点（不包括端点），则（ ） A．存在点 Q，使得��//�� B．存在点 Q，使得�� ⊥平面��1�1� C．三棱锥� − ���的体积是定值 D．二面角� − �1�1 − �的余弦值为 1 3 10．已知 1 − 2� � = �0 + �1� + �2�2 +⋅⋅⋅+ ����，展开式中的所有项的二项式系数和为 64，下列说法正 确的是（ ） A．� = 7 B．�3 =− 160 C．�0 + �1 + 2�2 + 3�3 +⋯+ ��� = 12 D． �1 + �2 +⋅⋅⋅+ �� = 36 − 1 11．记△ ���内角�，�，�的对边分别是�，�，�，已知�2 + �2 = 2�2，则下列选项正确的是（ ） A．2��cos� = �2 B．角�的最大值为 π 3 C．tan� = tan�tan� tan�+tan� D． �� �2 的取值范围是 3 3 − 5，3 3 + 5 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知函数� � = � e� + � + 2在点 0, � 0 处的切线与直线� − 3� = 0垂直，则� = ． 13．已知△ ���中，�� = �� = 4，∠��� = 2 3 π，点�在线段��上，且�△��� = 2�△���，则�� ⋅ ��的值 为 . 14．某班级的同学在操场上进行集体游戏，张老师随机从 1, 2, 3, 4, 5, 6中取三个数�, �, �，然后在第一组 站入�位同学，第二组站入�位同学，第三组站入�位同学.每一轮活动可以从两组中各推选一位同学表演 节目，然后站到另外一组，则事件“经过有限轮活动可以使三个组合成一大组”的概率为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）△ ���的内角�, �, �的对边分别为�, �, �, � = 2�sin � + π 4 (1)求�； (2)若� = 1, △ ���的面积为 2，求△ ���的周长. 数学试卷 第 3页，共 4页 16．（15分）如图，在四棱锥� − ����中，底面 ABCD 为正方形，�� ⊥ ��，�� ⊥ ��. (1)证明：�� ⊥平面 ABCD. (2)若�� = ��，求二面角� − �� − �的余弦值. 17．（15分）已知函数�(�) = 3cos2� − sin2� − 3sin2�. (1)求函数�(�)的单调递增区间； (2)若�(�0) = 8 5 ，�0 ∈ [0, π 2 ]，求 cos2�0的值. 数学试卷 第 4页，共 4页 18．（17分）某校高二年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点 高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分 100分.参加考核的学生有 40人，考核得分的频率 分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中�的值，并估计考核得分的第 60百分位数； (2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分 配)，从得分在 70, 90 内的学生中抽取 5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自 70, 80 和 80, 90 的概率； (3)现已知直方图中考核得分在 70, 80 内的平均数为 75，方差为 6.25，在 80, 90 内的平均数为 85，方 差为 0.5，求得分在 70, 90 内的平均数和方差. 19．（17分）已知函数� � = �2 + 1 � − 2e1−� � > 0 . (1)求� � 的图象在点 1, � 1 处的切线方程； (2)求� � 的零点个数； (3)证明：� � ≥ 3ln�. 姓名： 准考证号： （在此卷上答题无效） 2024~2025学年第二学期福建省闽东教科联盟高二年级期末质量检测 数 学 试 卷 （考试时间：120分钟；总分：150分） 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．在复平面内，对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．“”是“为幂函数”的（     ）条件． A．充分必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 3．已知向量，，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 4．函数在处的切线斜率为（    ） A．0 B．1 C．e D． 5．已知α，β都是锐角，，，则（     ） A． B． C． D． 6．四棱锥中，，，，，，若、、、、均在同一球面上，则该球的表面积等于（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（     ） A．2 B．4 C． D． 8．设则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．如图，在正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点（不包括端点），则（     ） A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得平面 C．三棱锥的体积是定值 D．二面角的余弦值为 10．已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 11．记内角的对边分别是，已知，则下列选项正确的是（      ） A． B．角的最大值为 C． D．的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数在点处的切线与直线垂直，则 ． 13．已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 14．某班级的同学在操场上进行集体游戏，张老师随机从中取三个数，然后在第一组站入位同学，第二组站入位同学，第三组站入位同学.每一轮活动可以从两组中各推选一位同学表演节目，然后站到另外一组，则事件“经过有限轮活动可以使三个组合成一大组”的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）的内角的对边分别为 (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，. (1)证明：平面ABCD. (2)若，求二面角的余弦值. 17．（15分）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若 ，，求的值. 18．（17分）某校高二年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数； (2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率； (3)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 19．（17分）已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求的零点个数； (3)证明：. 数学试卷 第1页，共3页 数学试卷 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年第二学期福建省闽东教科联盟高二年级期末质量检测 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D D C D C C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 注意：全部选对的得6分，第9~10题选对其中一个选项得3分,第11题选对其中一个选项得2分。有错选的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD BD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分13分，第一小题6分，第二小题7分） 解：（1）由得， 因为 , 所以，即，所以，所以. （2）因为三角形的面积为，所以，所以， 由余弦定理知， 即，所以，故， 所以三角形的周长为. 16．（本题满分15分，第一小题7分，第二小题8分） 解：（1）证明：因为底面为正方形，所以. 又因为，，平面，所以平面PBD； 因为平面，所以. 因为，与相交，平面. 所以平面. （2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，则，，. 设平面的法向量为，则，即，令，则，所以. 设平面的法向量为，则，即，令，则，所以. 则， 因为由图易知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 17．（本题满分15分，第一小题7分，第二小题8分） 解：（1）， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）由，得，， 即，则，， 所以. 18．（本题满分17分，第一小题4分，第二小题6分，第三小题7分） 解：（1）由题意得:，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85. （2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为、，在的有人，设为、、, 则样本空间为. 设事件“两人分别来自和，则， 因此，所以两人得分分别来自和的概率为. （3）由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 记在区间的数据分别为，平均分为，方差为； 在区间的数据分别为为，平均分为，方差为； 这20个数据的平均数为，方差为. 由题意得，，则. 根据方差的定义得， 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 19．（本题满分17分，第一小题4分，第二小题7分，第三小题6分） （1）由，得， 则， 故的图象在点处的切线方程为. （2）解：由，得， 令， 则， 令，显然在上单调递增， 且，故， 当时，，则，即在上单调递减； 当时，，则，即在上单调递增. 因为， 所以，从而的零点个数为2， 即的零点个数为2. （3）证明：要证，需证， 令， 则， 令， 则， 则在上单调递增， 因为，所以当时，，则，即在上单调递减， 当时，，则，即在上单调递增， 从而，证明完毕. 数学参考答案及评分标准 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$