精品解析：2025年江苏省镇江市丹徒区二模数学试题

2025年江苏省镇江市丹徒区二模数学试题 本试卷共6页，共26题；全卷满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，务必用0.5毫米黑色水笔将自己的姓名、考试号填写在答题卷上相应位置． 2．必须在试题答题卷上各题指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效． 3．如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚． 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1. 9的倒数是（ ） A. B. 9 C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一则起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中，属于必然事件是（ ） A. 掷一枚骰子，点数是6的一面朝上 B. 下雨天，每个人都打着雨伞 C. 若，则 D. 若实数，则 6. 为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1.7，2.2，2.1，2.7，2.2，则这组数据的中位数和众数分别是 A. 2.2，2.2 B. 2.1，2.2 C. 2．15，2.2 D. 1.7，2.7 7. 已知点在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ） A B. C. D. 10. 若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 镇江市人民政府网站2025年4月发布的镇江概况中介绍，镇江市的常住人口万．数据3228000用科学记数法表示为____________． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 13. 分解因式：______． 14. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则____________． 15. 如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是______． 16. 在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，，分别是，上的格点，＝，＝．若点是这个网格图形中的格点，连接，，则所有满足＝的中，边的长的最大值是_________ 三、解答题（本大题共有10小题，共计72分．解答时应写出必要的证明过程或演算步骤．） 17 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 如图，点E，C，D，A在同一条直线上，，，． （1）求证： （2）若，，求的长度． 20. 一个口袋中只装有1个白球和2个红球，它们除颜色外完全相同． （1）事件“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是__________； （2）从口袋中随机摸出2个球，请利用列表或画树状图的方法，求摸出的2个球恰好都是红球的概率． 21. 某中学为了解本校八年级学生参加志愿者活动次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4．根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表： 次数 1 2 3 4 5 6 人数 1 2 6 2 （1）表格中的 ______， _______； （2）在这次调查中，参加志愿者活动次数的众数为______，中位数为_______； （3）若该校八年级共有600名学生，根据调查统计结果，估计该校八年级学生参加志愿者活动的次数不低于4次的人数． 22. 如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求与一次函数的函数表达式； （2）连接、，点在双曲线上，若的面积是面积的一半，求点的坐标． 23. 如图，为的一条直径，以为边在其右侧作正方形，点为边上的一个动点（不与、重合），连接，将正方形沿折叠，点的对应点恰好落在上． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，求的长． 24. 近期，镇江京畿路整体焕新，通过“微改造、精提升”，植入更多年轻、新颖的消费业态，迅速成为旅游网红打卡地．一商铺为更好的服务游客，在门口放一个遮阳伞，供游客遮阳． 图1是摆放的遮阳伞，图2是其完全打开时截面示意图，主伞骨厘米，支伞骨厘米，伞柄垂直于地面且平分．使用遮阳伞时，可以通过调节点在伞柄上的位置来确定的大小．当遮阳伞完全打开时，达到最大为也达到最大为． （1）在遮阳伞完全打开时，A、B之间的距离为______________厘米； （2）求支伞骨的长度； （3）在伞打开的过程中（即：从变到），点上升了____________厘米． （参考数据：，计算结果保留根号） 25. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，二次函数的图像经过点、点，且与轴交于点． （1）求一次函数和二次函数的表达式； （2）如图，点为直线上一点（不与点、重合），若，求点的横坐标； （3）如图3，点在位于第二象限的抛物线上，过点分别作，是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 26. 实践课上，同学们尝试探索在不剪断铁丝且不浪费材料的前提下，能否将一段铁丝弯折围成符合要求的三角形．如图，同学们将细铁丝抽象为线段，在线段上取点，，沿点，弯折，使，两点重合（记为），得到． 【活动1】围等腰三角形 （1）一般的等腰三角形．如图，线段上已确定好点，请在线段上确定点，沿点，弯折，使，两点重合（记为），为等腰三角形．请画出点（一种情况即可）和（尺规作图，保留作图痕迹）． （2）等边三角形．如图，线段上取点，沿点，弯折，使，两点重合（记为），得到等边．小明思考后发现，找线段的一个三等分点即可，他采取了以下的作图方法： ①过点作的垂线； ②线段上顺次截取，以为圆心，的长为半径作； ③以为圆心，线段的长为半径画弧，在的上方交于点，作射线交射线于点； ④作的垂直平分线交于点．则点就是线段的三等分点． 根据上面的作法，证明点是线段的三等分点． 【活动2】围直角三角形 如图，线段上有一点，同学们为解决问题，过点作射线于点．请你借助射线，用尺规确定点的位置，使得沿点，弯折后，，两点重合（记为），最后得到直角．请画出点（一种情况即可）和（要求：尺规作图，保留作图痕迹）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏省镇江市丹徒区二模数学试题 本试卷共6页，共26题；全卷满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，务必用0.5毫米黑色水笔将自己的姓名、考试号填写在答题卷上相应位置． 2．必须在试题答题卷上各题指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效． 3．如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚． 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1. 9的倒数是（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义，可得答案，解题的关键是正确理解乘积为的两个数互为倒数． 【详解】解：倒数是， 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项的运算法则是解题的关键． 3. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一则起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单几何体三视图，通过观察立体图形，根据左边看到的图形为左视图，即可求解． 【详解】解：该立体图形的左视图是 ， 故选：D． 4. 如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，求一个角的余角，根据平行线的性质得出，再根据余角的定义求解即可． 【详解】解：如下图： ∵直尺的两边平行， ∴， ∴， 故选：A 5. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 掷一枚骰子，点数是6的一面朝上 B. 下雨天，每个人都打着雨伞 C. 若，则 D. 若实数，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是不等式的性质，化简绝对值，必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案． 【详解】解：A、掷一枚骰子，点数是6的一面朝上，原说法是随机事件，不符合题意； B、下雨天，不一定每个人都打着雨伞，原说法是随机事件，不符合题意； C、若，则，原说法是不可能事件，不符合题意； D、若实数，则，是必然事件，符合题意； 故选：D． 6. 为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1.7，2.2，2.1，2.7，2.2，则这组数据的中位数和众数分别是 A. 2.2，2.2 B. 2.1，2.2 C. 2．15，2.2 D. 1.7，2.7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数，理解众数和中位数的概念是解题的关键． 根据众数和中位数的概念求解． 【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，， 则中位数是，众数是．   故选：A ． 7. 已知点在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数图象的增减性即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：反比例函数中，， ∴反比例函数图象在第二、四象限，如图所示， ∴在每个象限中随的增大而增大， ∵， ∴，   故选： D． 8. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，正多边形的内角，圆周角定理，连接，求出的度数，根据四边形的内角和为360度求出的度数，圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， 连接， 由题意，得：， ∴， ∴； 故选B． 9. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解． 【详解】解：依题意，用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有， 共六种可能， 只有是“平稳数” ∴恰好是“平稳数”的概率为 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义，概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 10. 若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的求解及新定义“ —方程”的应用，熟练求解一元一次方程、理解新定义并据此建立等式是解题的关键．先分别求解两个方程的解，再根据“ —方程”的定义得出关于、、的等式，最后代入代数式求值． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵方程是方程的“ —方程”，且解较大的为前者， ∴． 对化简： ，即，， ∴，也就是． 对变形可得． 把代入上式，得． 故选：C 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 镇江市人民政府网站2025年4月发布的镇江概况中介绍，镇江市的常住人口万．数据3228000用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定与值是关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：， 故答案为： 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负是解题的关键； 根据二次根式的被开方数是非负数可得，再解不等式即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则，即； 故答案为：． 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解．熟练掌握平方差公式分解因式，是解题的关键． 直接运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图所对的圆心角的度数为，根据，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵正方形的边长为，则， ， ∴ 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，求圆锥底面半径，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 16. 在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，，分别是，上的格点，＝，＝．若点是这个网格图形中的格点，连接，，则所有满足＝的中，边的长的最大值是_________ 【答案】 【解析】 【分析】作线段中点，作的垂直平分线，并使，以为圆心，为半径作圆，通过图形可知，当点在位置时，恰好过格点且经过圆心，此时最大，等于圆的直径，得出，则，即可求解． 【详解】作线段中点，作的垂直平分线，并使，以为圆心，为半径作圆，如图， ∵为垂直平分线且， ∴， ， ， ∴弦所对的圆的圆周角为， ∴点在圆上，为圆的弦， 通过图形可知，当点在位置时，恰好过格点且经过圆心， ∴此时最大，等于圆的直径， ＝，＝， ， ， ， ， 故答案选 ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，得出边的长的最大值等于圆的直径是解题的关键． 三、解答题（本大题共有10小题，共计72分．解答时应写出必要的证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握相关运算的法则．根据特殊角三角函数值，零指数幂，绝对值的代数意义，二次根式的化简分别计算即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 详解】解：， 解不等式①， 解不等式②得， 原不等式组的解集为． 19. 如图，点E，C，D，A在同一条直线上，，，． （1）求证： （2）若，，求的长度． 【答案】（1）见详解 （2）6 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，再根据线段的和差求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ， 在和中 ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ， ． 20. 在一个口袋中只装有1个白球和2个红球，它们除颜色外完全相同． （1）事件“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是__________； （2）从口袋中随机摸出2个球，请利用列表或画树状图的方法，求摸出的2个球恰好都是红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率和简单的概率计算，正确列出表格或画出树状图是解题的关键． （1）根据概率计算公式进行求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再根据题意找到出的2个红色球的结果数，最后依据概率计算公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有3个球，其中有1个白球和2个红球，且摸到每个球的概率相同， ∴从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为， 【小问2详解】 解：设用A、B表示两个红球，C表示白球， 列表如下： A B C A B C 由表示可知一共有6种等可能性的结果数，其中摸出的2个红色球的结果数有2种， ∴摸出的2个红色球的概率为． 21. 某中学为了解本校八年级学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4．根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表： 次数 1 2 3 4 5 6 人数 1 2 6 2 （1）表格中的 ______， _______； （2）在这次调查中，参加志愿者活动次数的众数为______，中位数为_______； （3）若该校八年级共有600名学生，根据调查统计结果，估计该校八年级学生参加志愿者活动的次数不低于4次的人数． 【答案】（1）4，5 （2）4，4 （3）390人 【解析】 【分析】（1）由题中的数据即可求解； （2）根据中位数、众数的定义即可解答； （3）由样本估计总体，即可解答． 【小问1详解】 解：根据给出的数据可得：，， 故答案为：4，5； 【小问2详解】 解：该20名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下： 1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6， 其中出现次数最多的为4，有6次，故众数为：4， 中位数为第10，第11个数的平均数，为， 故答案为为：4，4； 【小问3详解】 解：由样本可知参加志愿者活动次数不低于4次的人数占比为：， 所以估计该校八年级600名学生参加志愿者活动的次数不低于4次人数为：（人）． 【点睛】本题考查了频数分布表，众数、中位数、样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是解题的关键． 22. 如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求与一次函数的函数表达式； （2）连接、，点在双曲线上，若的面积是面积的一半，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合应用，涉及反比例函数解析式的求解、一次函数解析式的确定、三角形面积的计算等知识点．熟练掌握反比例函数和一次函数的性质，以及利用坐标求三角形面积的方法是解题的关键． （1）先利用反比例函数性质，将点坐标代入设好的反比例函数表达式，求出反比例函数的，得到反比例函数解析式．再把点坐标代入反比例函数解析式，求出的值．最后设一次函数表达式，将、两点坐标代入，通过解方程组求出一次函数的和，确定一次函数表达式． （2）先求出一次函数与轴交点的坐标，再通过算出的面积．由面积是面积的一半，结合长度，利用三角形面积公式求出点纵坐标的绝对值，进而得到纵坐标的值．最后把点纵坐标代入反比例函数解析式，求出横坐标，确定点坐标． 【小问1详解】 解：设反比例函数表达式为，将代入，得， 将代入，得 ， ∴； 设一次函数表达式为，将代入得 ， ∴， 一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：在中，令，则， ∴． ∵，，， ∴． ∵的面积是面积的一半， ∴． 在中，令，则，解得， ∴，． 由，即， 解得， ∴． 当时，代入，得，解得； 当时，代入，得，解得． ∴点的坐标为或 ． 23. 如图，为的一条直径，以为边在其右侧作正方形，点为边上的一个动点（不与、重合），连接，将正方形沿折叠，点的对应点恰好落在上． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）连接 、，利用圆的半径相等及正方形性质，结合折叠性质，通过 证明 ．由全等得出 ，依据切线判定定理（经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线 ），证得 是 的切线． （2）由 ，推出 、、 共线 ．设 ，结合正方形边长与圆半径的关系，表示出 、 等线段，在 中利用勾股定理列方程求解 的长 ． 【小问1详解】 证明：连接， ， 四边形ABCD是正方形， ， 由折叠得： ， （SSS） ， 是半径， 与相切 【小问2详解】 解：， 共线， 设，Rt中，， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线判定、正方形性质、全等三角形判定与性质以及勾股定理的应用．熟练掌握切线的判定定理、正方形的性质，灵活运用全等三角形和勾股定理解决几何问题是解题的关键． 24. 近期，镇江京畿路整体焕新，通过“微改造、精提升”，植入更多年轻、新颖的消费业态，迅速成为旅游网红打卡地．一商铺为更好的服务游客，在门口放一个遮阳伞，供游客遮阳． 图1是摆放的遮阳伞，图2是其完全打开时截面示意图，主伞骨厘米，支伞骨厘米，伞柄垂直于地面且平分．使用遮阳伞时，可以通过调节点在伞柄上的位置来确定的大小．当遮阳伞完全打开时，达到最大为也达到最大为． （1）在遮阳伞完全打开时，A、B之间的距离为______________厘米； （2）求支伞骨的长度； （3）在伞打开的过程中（即：从变到），点上升了____________厘米． （参考数据：，计算结果保留根号） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形综合，熟练掌握解直角三角形的运算是解本题的关键，综合行较强，难度适中． （1）在完全打开伞时，连接交于点垂直于地面且平分，则，进而求出的值； （2）在完全打开伞时，连接交于点，则，进而可求出的值； （3）在完全打开伞时，先求出的值；当没有打开伞时，、、三点共线，此时，，进而可求出点上升的数值． 【小问1详解】 解：在完全打开伞时， 如图所示，连接交于点， ∵垂直于地面且平分， ∴， ∴， ∴， ∴在遮阳伞完全打开时，、之间的距离为厘米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：在完全打开伞时， 如图所示，连接交于点， ∵垂直于地面且平分， ∴， ∴， ∴， ∴支伞骨的长度为厘米； 【小问3详解】 解：在完全打开伞时， 由（2）可得：， ∴， 当没有打开伞时，、、三点共线， 此时，， ， 在伞打开的过程中（即：从变到），点上升了厘米， 故答案为：． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，二次函数的图像经过点、点，且与轴交于点． （1）求一次函数和二次函数的表达式； （2）如图，点为直线上一点（不与点、重合），若，求点的横坐标； （3）如图3，点在位于第二象限的抛物线上，过点分别作，是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）一次函数用待定系数法，代入、坐标求、；二次函数设交点式，代入点求． （2）先算、度数，得，分在第四、第二象限，用三角函数或中心对称列方程求横坐标． （3）延长交于，设横坐标为，用含式子表示、，合并后用二次函数性质求最值． 【小问1详解】 解：把、代入，得 ， 解得， ∴． 设， 把代入，得，即， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：由题意得： 在中，， ∴； 在中，， ∴． ∵， ， 当点在第四象限时， ， 设， ∴，即：， ∴， 当点在第二象限时， ∵，， ∴， ∴轴， ∴，即：， ∴， 综上，点的横坐标为或； 【小问3详解】 解：延长交直线于点，设点的横坐标为， 中，， ， ， ， 的最大值为． 【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数表达式求解，三角形角度与坐标关系，以及二次函数最值应用．熟练掌握待定系数法求函数表达式、利用角度关系列方程、用二次函数性质求最值是解题关键． 26. 实践课上，同学们尝试探索在不剪断铁丝且不浪费材料的前提下，能否将一段铁丝弯折围成符合要求的三角形．如图，同学们将细铁丝抽象为线段，在线段上取点，，沿点，弯折，使，两点重合（记为），得到． 【活动1】围等腰三角形 （1）一般的等腰三角形．如图，线段上已确定好点，请在线段上确定点，沿点，弯折，使，两点重合（记为），为等腰三角形．请画出点（一种情况即可）和（尺规作图，保留作图痕迹）． （2）等边三角形．如图，线段上取点，沿点，弯折，使，两点重合（记为），得到等边．小明思考后发现，找线段的一个三等分点即可，他采取了以下的作图方法： ①过点作的垂线； ②线段上顺次截取，以为圆心，的长为半径作； ③以为圆心，线段的长为半径画弧，在的上方交于点，作射线交射线于点； ④作的垂直平分线交于点．则点就是线段的三等分点． 根据上面的作法，证明点是线段的三等分点． 【活动2】围直角三角形 如图，线段上有一点，同学们为解决问题，过点作射线于点．请你借助射线，用尺规确定点的位置，使得沿点，弯折后，，两点重合（记为），最后得到直角．请画出点（一种情况即可）和（要求：尺规作图，保留作图痕迹）． 【答案】活动1：（1）见解析；（2）见解析；活动2：见解析 【解析】 【分析】活动1（1）根据等腰三角形定义（至少两边相等），用尺规作图，以为基础，构造出使为等腰三角形的点，作即可． 活动1（2）依据作图步骤，利用等边三角形性质（三边相等、三角为 ）、垂直平分线性质（垂直平分线上点到线段两端距离相等 ）、直角三角形性质（角所对直角边是斜边一半 ），推导与的数量关系，证明是三等分点． 活动2：借助直角三角形判定（有一个角为 ），结合，用尺规作图确定点，构造出直角，如利用垂直、弧的交点等确定 ． 【详解】活动1 （1）如图， （2）如图，连接，，， 由作图得，为等边三角形， ， 点为的垂直平分线与的交点， ， ， 中，， ， 即：点是线段的三等分点； 活动2 如图， 【点睛】本题主要考查了等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质与判定，以及尺规作图的应用．熟练掌握三角形的性质、判定定理和尺规作图方法，灵活运用角度、线段关系进行推理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$