2025届新高考数学知识点梳理

2025届新高考数学知识点梳理 班级：__________ 姓名：__________ 目 录 Contents 第1章　集合与常用逻辑用语、相等关系与不等关系 1.1　集合 3 1.2　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 3 1.3　等式的性质与不等式的性质、基本不等式 4 1.4　二次函数与一元二次方程、不等式 5 第2章　函数 2.1　函数的概念及其表示 5 2.2　函数的单调性与最大(小)值 6 2.3　函数的奇偶性与周期性 6 2.4　幂函数 7 2.5　指数与指数函数 7 2.6　对数与对数函数 8 2.7　函数的图象 9 2.8　函数与方程 11 第3章　一元函数的导数及其应用 3.1　导数的概念、意义及运算 11 3.2　利用导数研究函数的单调性 12 3.3　利用导数研究函数的极值、最值 12 第4章　三角函数与解三角形 4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念 10 4.2　同角三角函数的基本关系及诱导公式 15 4.3　三角函数的图象与性质 15 4.4　三角恒等变换 15 4.5　函数y=Asin(ωx+φ) 17 4.6　解三角形 18 第5章　数列 5.1　数列的概念 19 5.2　等差数列及其前n项和 20 5.3　等比数列及其前n项和 21 5.4　数列求和 22 第6章　平面向量、复数 6.1　平面向量的概念及线性运算 23 6.2　平面向量基本定理及向量的坐标表示 25 6.3　平面向量的数量积与平面向量的应用 26 6.4　数系的扩充与复数的引入 27 第7章　立体几何 29 7.1　基本立体图形、直观图、表面积和体积 29 7.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 33 7.3　空间直线、平面的平行 35 7.4　空间直线、平面的垂直 35 7.5　空间向量及其运算 38 7.6　立体几何中的向量方法 40 第8章　解析几何 41 8.1　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 41 8.2　直线的交点坐标与距离公式 42 8.3　圆的方程 42 8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系 43 8.5　椭圆 43 8.6　双曲线 44 8.7　抛物线 44 8.8　直线与圆锥曲线 45 第9章　计数原理 46 9.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 46 9.2　排列与组合 47 9.3　二项式定理 47 第10章　统计与统计案例 48 10.1　随机抽样 48 10.2　用样本估计总体 49 10.3　成对数据的统计分析 50 第11章　概率 51 11.1　随机事件与概率、事件的相互独立性 51 11.2　古典概型、条件概率与全概率公式 52 11.3　离散型随机变量及其分布列 53 11.4　离散型随机变量的数字特征 53 11.5　二项分布与超几何分布 54 11.6　正态分布 55 第1章　集合与常用逻辑用语、相等关系与不等关系 1.1　集合 (1)集合元素的三个特征性质:确定性、无序性、互异性. (2)元素与集合的两种关系:属于，记为∈；不属于，记为∉. (3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. (4)五个特定的常见数集记法: 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N+ Z Q R 2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素(即若x∈A，则x∈B) A⊆B(B⊇A) 真子集 集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A A⫋B（或B⫌A) 集合 相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，即A⊆B，且B⊆A A=B 3.集合的基本运算 运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 交集 所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且x∉A} CUA 4.集合的运算性质 (1)并集的性质:A∪⌀=A；A∪A=A；A∪B=B∪A；A∪B=A⇔ B⊆A . (2)交集的性质:A∩⌀=⌀；A∩A=A；A∩B=B∩A；A∩B=A⇔A⊆B. (3)补集的性质:A∪(CUA)=U；A∩(CUA)=⌀；CU(CUA)=A； CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)；CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB). 【常用结论展示】 1.若有限集合A中有n(n∈N*，n≥1)个元素，则A有2n个子集，有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子集. 1.2　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 1.命题 概念 使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句 特点 (1)能判断真假；(2)陈述句 分类 真命题、假命题 2.充分条件、必要条件、充要条件 设与p对应的集合为A={x|p(x)}，与q对应的集合为B={x|q(x)}，则有如下结论: 定义 从集合观点看 若p⇒q，则p是q的充分条件 若集合A⊆B，则p是q的充分条件 若p⇒q，且q⇏ p，则p是q的充分不必要条件 若集合A⫋B，则p是q的充分不必要条件 若q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件 若集合B⫋A，则p是q的必要不充分条件 若p⇔q，则p是q的充要条件 若集合A=B，则p是q的充要条件 若p⇏ q，且q⇒ p，则p是q的既不充分也不必要条件 若集合A⊈B，且B⊈A，则p是q的既不充分也不必要条件 3.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给” ∀ 存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的” ∃ 4.全称量词命题和存在量词命题 命题名称 定义 命题结构 命题简记 全称量词命题 含有全称量词的命题 对M中任意一个x，p(x)成立 ∀x∈M，p(x) 存在量词命题 含有存在量词的命题 存在M中的元素x，p(x)成立 ∃x∈M，p(x) 5.全称量词命题与存在量词命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，¬p(x) ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 1.3　等式的性质与不等式的性质、基本不等式 1.两个实数比较大小的法则 关系 法则 作差法则 作商法则 a>b a-b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0) a=b a-b=0 =1(a，b≠0) a<b a-b<0 <1(a，b>0)或>1(a，b<0) 2.等式的基本性质 性质 别名 性质内容 性质1 对称性 如果a=b，那么b=a 性质2 传递性 如果a=b，b=c，那么a=c 性质3 加减性 如果a=b，那么a±c=b±c 性质4 乘法法则 如果a=b，那么ac=bc 性质5 除法法则 如果a=b，c≠0，那么 3.不等式的基本性质 性质 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 性质2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 性质3 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 性质4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 性质5 同向可加性 ⇒a+c>b+d 同向 性质6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向、正项 性质7 乘方法则 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 4.基本不等式 对于任意的正实数a，b，，当且仅当a=b时，等号成立.叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 1.4　二次函数与一元二次方程、不等式 1.一元二次不等式 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式，其一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2.二次函数的零点 一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. 3.三个二次之间的关系 Δ的取值 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 【常用结论展示】 (x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法 不等式 解集 a<b a=b a>b (x-a)·(x-b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a} (x-a)·(x-b)<0 {x|a<x<b} ⌀ {x|b<x<a} 第2章　函数 ★数学建模——初等函数模型的应用 2.1　函数的概念及其表示 1.函数的概念 前提 A，B是非空的实数集 对应关系 如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应 结论 就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y=f(x)，x∈A 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y=f(x)，x∈A中，x叫做自变量， x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集. (2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系. (3)同一个函数:如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 2.2　函数的单调性与最大(小)值 1.增函数与减函数的定义 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D.如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称它是增函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称它是减函数 图示 结论 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间 2.函数的最大(小)值 前提 设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 【常用结论展示】 1.函数单调性定义的等价形式 (1)函数f(x)在区间I上单调递增，x1，x2∈I，且x1≠x2⇔(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 ⇔>0. (2)函数f(x)在区间I上单调递减，x1，x2∈I，且x1≠x2⇔(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔ <0. 2.3　函数的奇偶性与周期性 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，∀x∈D，都有-x∈I，且 f(-x)=f(x) 关于y轴对称 奇函数 f(-x)=-f(x) 关于原点对称 2.奇(偶)函数的性质 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(|x|). (2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. (3)在公共定义域内有:奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数. (4)若函数f(x)是奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)=0. 2.4　幂函数 2.五种幂函数的图象和性质 (1)幂函数y=x，y=，y=x2，y=x-1，y=x3的图象. (2)五种幂函数的性质 函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R [0，+∞) (-∞，0)∪(0，+∞) 值域 R [0，+∞) R [0，+∞) (-∞，0)∪(0，+∞) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 单调 递增 当x∈[0，+∞)时，单调递增， 当x∈(-∞，0)时，单调递减 单调递增 单调递增 当x∈(0，+∞)时，单调递减， 当x∈(-∞，0)时，单调递减 定点 (1，1)，(0，0) (1，1) 2.5　指数与指数函数 1.根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 如果 xn=a ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)根式:式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 2.根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)n为奇数时，=a.(2)n为偶数时，= |a| =(3)= 0 .(4)负数没有偶次方根. 3.分数指数幂的意义 分 数 指 数 幂 正分数指数幂 规定(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 4.有理数指数幂的运算性质 (1)aras=ar+s(a>0，r，s∈Q).(2)(ar)s= ars (a>0，r，s∈Q).(3)(ab)r= arbr (a>0，b>0，r∈Q). 5.指数函数 (1)定义:一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象和性质 函数 y=ax(a>0，且a≠1) 0<a<1 a>1 图象 图象特征 在x轴上方，过定点(0，1) 当x逐渐增大时，图象逐渐下降 当x逐渐增大时，图象逐渐上升 性 质 定义域 R 值域 (0，+∞) 单调性 在R上单调递减 在R上单调递增 函数值的变化规律 当x=0时， y=1 当x<0时， y>1 ； 当x>0时， 0<y<1 当x<0时， 0<y<1； 当x>0时， y>1 【常用结论展示】 指数函数的图象与底数大小的比较:指数函数(1)y=ax，(2)y=bx，(3)y=cx， (4)y=dx的图象如图所示，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b. 规律:在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大. 2.6　对数与对数函数 1.对数的概念 (1)根据下图的提示填写与对数有关的概念: (2)a的取值范围: a>0，且a≠1 . 常用对数 将以10为底的对数叫做常用对数 把log10N记为lg N 自然对数 将以无理数e=2.718 28…为底的对数叫做自然对数 把logeN记为ln N 3.对数的性质 性质1 对数的真数 大于0 ，即负数和0没有对数 性质2 1的对数是 0 ，即loga1= 0 (a>0，且a≠1) 性质3 底数的对数是 1 ，即logaa= 1 (a>0，且a≠1) 对数恒等式 ①= N ；②logaaN= N (a>0，且a≠1) 4.对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么: (1)loga(MN)= logaM+logaN ；(2)loga= logaM-logaN ；(3)logaMn= nlogaM (n∈R). 5.对数换底公式 logab=(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0). 6.对数函数的图象与性质 函数 y=logax(a>0，且a≠1) a>1 0<a<1 图象 性质 定义域:(0，+∞) 值域:R 过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在区间(0，+∞)内是增函数 在区间(0，+∞)内是减函数 7.反函数 对数函数y=logax(a>0，且a≠1)与指数函数y=ax(a>0，且a≠1)互为反函数. 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称.它们的定义域与值域正好互换. 【常用结论展示】 1.换底公式的两个重要结论 (1)logab=；(2)lobn=logab. 其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m≠0，n∈R. 2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y=1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 2.7　函数的图象 1.利用描点法作函数图象的流程 2.函数图象间的变换 (1)平移变换 对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀:左加右减，上加下减. (2)对称变换 (3)伸缩变换 y=f(x)的图象y=f(ax)的图象. y=f(x)的图象y=Af(x)的图象. 【常用结论展示】 1.函数图象自身的中心对称性 (1)f(-x)=-f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于原点对称； (2)函数y=f(x)的图象关于点(a，0)对称⇔f(a+x)=-f(a-x)⇔f(x)=-f(2a-x)⇔ f(-x)=-f(2a+x)； (3)函数y=f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)= 2b-f(2a-x)； (4)若函数y=f(x)的定义域为R，且满足条件f(a+x)+f(b-x)=c(a，b，c为常数)，则函数y=f(x)的图象关于点对称. 2.两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=对称； (2)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称； (3)函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图象关于点(0，b)对称； (4)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a，b)对称. 2.8　函数与方程 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于一般函数y=f(x)，x∈D，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)函数零点的等价关系 (3)函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. 2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与函数零点的关系 函数 y=ax2+bx+c(a>0) Δ>0 Δ=0 Δ<0 图象 图象与x轴的公共点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 3.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 【常用结论展示】 1.若函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点. 2.周期函数若存在零点，则必有无穷个零点. 第3章　一元函数的导数及其应用 3.1　导数的概念、意义及运算 对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+Δx，相应地，函数值就从f(x0)变化到f(x0+Δx)，这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0). 1.平均变化率 我们把比值，即叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率. 2.导数的概念 (1)导数的定义:如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y=f(x)在x=x0处可导，并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f'(x0)或y'，即f'(x0)=. (2)导函数:当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. (3)导数的几何意义 函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0)的几何意义，就是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率k，即k=f'(x0)=. 3.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=xα(α∈R，且α≠0) f'(x)=αxα-1 f(x)=sin x f'(x)=cos x f(x)=cos x f'(x)=-sin x f(x)=ax(a>0，且a≠1) f'(x)=axln a f(x)=ex f'(x)=ex f(x)=logax(a>0，且a≠1) f'(x)= f(x)=ln x f'(x)= 4.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x) ；(2)[f(x)g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) ；(3)(g(x)≠0). 5.复合函数的导数 (1)定义:一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)求导法则:一般地，对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yx'= yu'·ux' . 【常用结论展示】 1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. 2.熟记以下结论:(1)=-； (2)(ln|x|)'=； (3)=-(f(x)≠0)； (4)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x). 3.2　利用导数研究函数的单调性 函数的单调性与导数的关系 一般地，设函数y=f(x)在某个区间(a，b)内有导数，函数f(x)的单调性与其导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a，b)内，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内单调递增，区间(a，b)为函数y=f(x)的单调递增区间； 在某个区间(a，b)内，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内单调递减，区间(a，b)为函数y=f(x)的单调递减区间. 在某个区间(a，b)内，如果f'(x)=0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内为常函数. 3.3　利用导数研究函数的极值、最值 1.函数的极值 (1)定义 函数的极值 满足条件 极小值点与极小值 ①函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小；②若f(x)在x=a处可导，则f'(a)=0；③在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，就把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值 极大值点与极大值 ①函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大；②若f(x)在x=b处可导，则f'(b)=0；③在点x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，就把b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值 极值与极值点 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点 (2)求可导函数极值的步骤如下: ①确定函数f(x)的定义域，并求f'(x)； ②求方程 f'(x)=0 的根； ③检查方程 f'(x)=0 的根是否在定义域内，若在，则看根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值. 2.函数的最值 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.函数的最值必在极值点或区间端点处取得. (2)一般地，求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下: ①求函数f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 第4章　三角函数与解三角形 ★数学建模——三角函数模型的应用 1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的物理意义 y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)，其中A>0，ω>0.物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关: (1)A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； (2)这个简谐运动的周期是T=，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； (3)这个简谐运动的频率由公式f=给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； (4)ωx+φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相. 4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念 1.任意角 (1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. (2)分类:我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 2.弧度制 (1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|=(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°= rad，②1 rad=° 弧长公式 l=|α|r 扇形面积公式 S=lr=|α|r2 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 定义 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)；把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切函数，记作tan α 定义域 R R 函数值在各象限的符号 一 + + + 二 + - - 三 - - + 四 - + - r=|OQ|=，sin α=，cos α=，tan α=(x≠0). 【常用结论展示】 1.象限角 2.轴线角 3.若α∈(0，)，则tan α>α>sin α. 4.特殊角的三角函数值 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 角α的弧度数 0 π sin α 0 1 0 cos α 1 0 - - - -1 tan α 0 1 不存在 - -1 - 0 4.2　同角三角函数的基本关系及诱导公式 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. (2)商数关系:= tan α .  2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α -tan α -tan α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【常用结论展示】 同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α)；cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α)；(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. (2)sin α=tan αcos α(α≠+kπ，k∈Z). (3)sin2α=；cos2α=. 4.3　三角函数的图象与性质 1.正弦函数的“五点(画图)法” (1)在正弦函数y=sin x(x∈[0，2π])的图象中，五个关键点是: (0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (2)在余弦函数y=cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是: (0，1)，，(π，-1)，，(2π，1). 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R {xkπ+，k∈Z} 值域 [-1，1] [-1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调递 增区间 (k∈Z) [2kπ-π，2kπ](k∈Z) (k∈Z) 单调递减区间 (k∈Z) [2kπ，2kπ+π](k∈Z) 无 图象的对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (k∈Z) (k∈Z) 图象的对称轴 x=kπ+(k∈Z) x=kπ(k∈Z) 无 3.周期函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.函数y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)和y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的周期均为T=；函数y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的周期为T=. 【常用结论展示】 1.对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2.奇偶性 若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z). 4.4　三角恒等变换 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 名称 公式 简记符号 公式特点 两角和与差的正弦 sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β S(α±β) 异名相乘、加减一致 两角和与差的余弦 cos(α∓β)=cos αcos β±sin αsin β C(α±β) 同名相乘、加减相反 两角和与差的正切 tan(α±β)= T(α±β) 两式相除、上同下异 2.二倍角的正弦、余弦和正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α；  (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α； (3)tan 2α= . 3.辅助角公式 asin x+bcos x=sin(x+φ)，其中sin φ=，cos φ=. 【常用结论展示】 1.公式的常用变式:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)； tan αtan β=1--1. 2.降幂公式:sin2α=；cos2α=；sin αcos α=sin 2α. 3.升幂公式:1+cos α=2cos2；1-cos α=2sin2； 1+sin α=(sin+cos)2；1-sin α=(sin-cos)2. 4.常用拆角、拼角技巧:例如，2α=(α+β)+(α-β)；α=(α+β)-β=(α-β)+β； β==(α+2β)-(α+β)；α-β=(α-γ)+(γ-β)；15°=45°-30°；+α=-(-α)等. 4.5　函数y=Asin(ωx+φ) 1.φ对函数y=sin(x+φ)的图象的影响 把正弦曲线y=sin x上的所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度，就得到函数y=sin(x+φ)的图象. 2.ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)的图象的影响 一般地，函数y=sin(ωx+φ)的周期是，把y=sin(x+φ)图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)，就得到y=sin(ωx+φ)的图象. 3.A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响 一般地，函数y=Asin(ωx+φ)的图象，可以看作是把y=sin(ωx+φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.从而，函数y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A，A]，最大值是A，最小值是-A. 4.由函数y=sin x的图象变换到函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象 一般地，函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象，可以用下面的方法得到:先画出函数y=sin x的图象；再把正弦曲线向左(或右)平移|φ|个单位长度，得到函数 y=sin(x+φ) 的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象. 【温馨提示】函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象也可以由函数y=sin x的图象这样变换得到: 【常用结论展示】 类比正弦函数的性质得函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0)的性质 函数 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0) 定义域 R 值域 [-A+b，A+b] 最值 ymax=A+b，函数取得最大值时的x的值可由ωx+φ=2kπ+(k∈Z)解得； ymin=-A+b，函数取得最小值时的x的值可由ωx+φ=2kπ-(k∈Z)解得 周期性 最小正周期T= 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)，且b=0时，函数为奇函数；当φ=kπ+(k∈Z)时，函数为偶函数 单调性 单调递增区间可由2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)解得；单调递减区间可由2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)解得 图象的对称性 对称轴可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)解得； 对称中心的纵坐标为b，横坐标可由ωx+φ=kπ(k∈Z)解得 4.6　解三角形 1.余弦定理 (1)余弦定理 文字语言 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号 语言 a2=b2+c2-2bccos A b2=a2+c2-2accos B c2=a2+b2-2abcos C (2)余弦定理的推论 cos A=；cos B=；cos C=. 2.正弦定理 文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 符号语言 =2R(R为△ABC外接圆的半径) 【温馨提示】若R为△ABC外接圆的半径，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(1)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C； (2)sin A=，sin B=，sin C=； (3)sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c； (4)=2R. 3.三角形的面积公式 (1)S=aha=bhb=chc(ha，hb，hc分别表示边a，b，c上的高). (2)S=absin C=in A=acsin B=(R为△ABC的外接圆的半径).  (3)S=(a+b+c)r(r为△ABC内切圆的半径). (4)S=【其中p=(a+b+c)】. 4.余弦定理、正弦定理的实际应用 (1)基线 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. (2)实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 【常用结论展示】 三角形中常用的结论 (1)三角形中的三角函数关系 sin(A+B)=sin C；cos(A+B)=-cos C；sin=cos；cos=sin. (2)在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔ sin A>sin B⇔cos A<cos B. 第5章　数列 5.1　数列的概念 1.数列的相关概念 (1)定义:把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. (2)数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}，an是数列的第n项. 2.数列与函数的关系 由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系: 序号　1　 2　 3　 … n　… 　　　↓ ↓ ↓　　 ↓ 项　　a1 a2 a3 …　an … 所以数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n). 3.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项相等的数列 4.数列的表示方法 列表法 列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系 图象法 在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an) 解析法 将数列用一个数学式子表示出来的方法叫做解析法，可用通项公式或其他式子表示数列 5.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 6.数列的递推公式 像an=3an-1(n≥2)这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道了首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项了. 7.数列的前n项和及前n项和公式 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即 Sn=a1+a2+…+an. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 显然S1=a1，而Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2)，于是我们有an= 5.2　等差数列及其前n项和 1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示. 2.等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时， A 叫做 a与b 的等差中项，根据等差数列的定义可以知道， 2A =a+b. 【温馨提示】 1.a，A，b是等差数列的充要条件是2A=a+b. 2.数列{an}是等差数列⇔2an=an-1+an+1(n≥2). 3.等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an= a1+(n-1)d . 4.等差数列的前n项和公式Sn== na1+ . 5.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系 (1)由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，可得an=dn+(a1-d)，当d=0时，an=a1为常数函数，当d≠0时，an=a1+(n-1)d是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列{an}的图象是直线y=dx+(a1-d)上的一群均匀分布的孤立的点. (2)Sn=n2+n.当d≠0时，它是关于n的二次函数.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A，B为常数). 【温馨提示】当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d>0时，数列{an}为递增数列；当d<0时，数列{an}为递减数列. 【常用结论展示】 1.若{an}为等差数列，且k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则ak+al=am+an. 2.若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. 3.若{an}，{bn}是等差数列，则{pan+qbn}也是等差数列. 4.若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列. 5.若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与数列{an}的首项相同，公差是数列{an}公差的. 6.若{an}是等差数列，Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项、前2m项、前3m项的和，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等差数列. 7.关于等差数列奇数项之和与偶数项之和的性质. (1)若项数为2n，则S偶-S奇=nd，； (2)若项数为2n-1，则S偶=(n-1)an，S奇=nan，S奇-S偶=an，. 8.两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为. 5.3　等比数列及其前n项和 1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q(q≠0) 表示. 2.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使 a，G，b 成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时，G2= ab . 【温馨提示】在等比数列{an}中，任取相邻的三项an，an+1，an+2，则an+1是an与an+2的等比中项，即=anan+2. 3.等比数列的通项公式 首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an= a1qn-1 . 4.等比数列的前n项和公式 首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和Sn= 5.等比数列及其前n项和公式的性质 (1)若{an}是等比数列，且k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al= am·an ；若m+n=2k，则am·an=. (2)等比数列{an}中相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为 qm . (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{}， {an·bn}， 仍是等比数列. (4)等比数列{an}的单调性 ①满足时，{an}是递增数列； ②满足时，{an}是递减数列； ③当时，{an}为常数列. (5)若Sn是等比数列{an}的前n项和，则当q≠-1或q=-1，且n为奇数时，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比数列，其公比为 qn . 【常用结论展示】 1.在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an+k，an+2k，an+3k，…为等比数列，公比为qk. 2.{an}为等比数列，若a1·a2·…·an=Tn，则Tn，，…成等比数列. 3.当q≠0且q≠1时，Sn=k-k·qn(k≠0)是数列{an}成等比数列的充要条件，此时k=. 5.4　数列求和 1.基本数列求和方法 (1)等差数列求和公式:Sn==na1+d. (2)等比数列求和公式:Sn= 2.非基本数列求和常用方法 (1)倒序相加法:如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法.如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的. (2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减.如已知an=2n+(2n-1)，求Sn. (3)并项求和法:一个数列的前n项中两两结合后可求和，则可用并项求和法.如已知an=(-1)nf(n)，求Sn. (4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求.如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. (5)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项公式: ①；②；③； ④). 【常用结论展示】 常用求和公式 (1)1+2+3+4+…+n=；(2)1+3+5+7+…+(2n-1)=n2；(3)12+22+32+…+n2=； (4)13+23+33+…+n3=. *　数学归纳法 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n=n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当n=k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法. 第6章　平面向量、复数 6.1　平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量与数量 把既有大小又有方向的量叫做向量；把只有大小没有方向的量称为数量 平面向量是自由向量 有向线段 具有方向的线段叫做有向线段 以A为起点、B为终点的有向线段记作 向量的模 向量的大小称为向量的长度(或称模) 记作|| 零向量 长度为0的向量 记作0，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)，向量a与向量b平行，记作a∥b 规定:零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量，向量a与向量b相等，记作a=b 相等向量一定是平行向量，反之不一定 2.向量的加法 (1)向量加法的线性运算 三角形法则 前提 已知非零向量a，b 作法 在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，=a，=b，以OA，OB为邻边作▱OACB 结论 以O为起点的向量(OC是□OACB的对角线)就是向量a与b的和 图形 记忆口诀:首尾相连连首尾 平行四边形法则 前提 已知不共线的两个向量a，b 作法 在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作□OACB 结论 对角线就是a与b的和 图形 记忆口诀:公共起点对角线 (2)向量加法的运算律 ①交换律:a+b=b+a.②结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 3.向量的减法 (1)相反向量 ①定义:与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量. ②性质:-(-a)=a，a+(-a)=(-a)+a=0； 如果a与b互为相反向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. (2)向量的减法 ①定义:a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. ②作法:在平面内任取一点O，作=a，=b，则向量=a-b，如图所示. ③几何意义:a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 4.向量的数乘 (1)定义:一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa. 长度:|λa|=|λ||a|. 方向:当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa= 0 ，方向任意. (2)几何意义:λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长(|λ|>1)或缩短(|λ|<1)为原来的|λ|倍. (3)运算律:设λ，μ为实数，a，b为向量，则有 ①λ(μa)=(λμ)a；②(λ+μ)a=λa+μa；③λ(a+b)=λa+λb. 5.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)= λμ1a± λμ2b. 6.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ，使b=λa. 【常用结论展示】 1.常用的两个结论:①若，且A，B，C，D四点不共线，则四边形ABCD为平行四边形；若四边形ABCD为平行四边形，则.②若A，B，C三点共线，则∥ ；若∥ ，则A，B，C三点共线. 2.在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论: (1)=0；(2))；(3))=). 6.2　平面向量基本定理及向量的坐标表示 1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.任一向量都可以由同一个基底唯一表示. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 3.平面向量的坐标表示 (1)基底:在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底. (2)坐标:对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a=(x，y)，其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标. (3)坐标表示:a=(x，y)叫做向量a的坐标表示. (4)特殊向量的坐标:i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0). 4.平面向量线性运算的坐标表示 若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则: 运算 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a+b=(x1+x2，y1+y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a-b=(x1-x2，y1-y2) 向量坐标公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(x3，y3)，B(x4，y4)，则=(x4-x3，y4-y3) 数乘向量 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 λa=(λx1，λy1)，λ∈R 5.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则向量a，b共线的充要条件是 x1y2-x2y1=0 . 【常用结论展示】 1.若a与b不共线，且λa+μb=0，则λ=μ=0. 2.已知P为线段AB的中点，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为. 3.已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 4.A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0或(x2-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y2-y1)或(x3-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y3-y1). 6.3　平面向量的数量积与平面向量的应用 1.两向量的夹角 　　(1)定义:已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作=a，=b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. (2)特例:①当θ= 0 时，向量a与b同向；②当θ=时，向量a与b垂直，记作a⊥b； ③当θ= π 时，向量a与b反向. 2.向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=|a||b|cos θ .  规定:零向量与任一向量的数量积为 0 . 3.投影向量 (1)设a，b是两个非零向量，=a，=b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. (2)在平面内任取一点O，作=a，=b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1.若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则= |a|cos θe . 4.向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e=e·a= |a|cos θ . (2)a⊥b⇔ a·b=0 .(3)当a与b同向时，a·b= |a||b| ； 当a与b反向时，a·b= -|a||b| .特别地，a·a= |a|2 或 |a|=. (4)|a·b|≤|a||b|. 5.向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律). (3)(a+b)·c= a·c+b·c (分配律). 6.平面向量数量积的坐标表示 (1)两向量的数量积的坐标表示 已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b= x1x2+y1y2 .即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度(模)的坐标表示 ①若a=(x，y)，则|a|=.即向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根. ②若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1)，||=，即A，B两点间的距离为. (3)平面向量夹角的坐标表示 设a，b都是非零向量，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ=. (4)两向量垂直的坐标表示 设非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0. 【常用结论展示】 1.三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则 (1)O为△ABC的外心⇔||=||=||. (2)O为△ABC的重心⇔=0. (3)O为△ABC的垂心⇔. (4)O为△ABC的内心⇔a+b+c=0. 2.与非零向量a=(x，y)共线的单位向量的坐标 设与a共线的单位向量为a0，则a0=±a=±=±()，其中正号和负号分别表示与a同向和反向. 3.与非零向量a=(x，y)垂直的单位向量的坐标 易知b=(-y，x)和a=(x，y)垂直， 所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±()，其中正号、负号分别表示与b同向和反向. 6.4　数系的扩充与复数的引入 1.复数的有关概念 (1)定义:形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. (2)全体复数所构成的集合C={a+bi|a，b∈R}叫做复数集. (3)复数相等 a+bi与c+di(a，b，c，d∈R)相等当且仅当a=c且b=d .即两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等. 特别地，a，b∈R，a+bi=0⇒ a=0，b=0 . (4)复数的模 向量的模叫做复数z=a+bi(a，b∈R)的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.即|z|=|a+bi|=. 如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模就等于|a|(a的绝对值). (5)共轭复数 实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即如果z=a+bi，那么=a-bi. 2.复数的分类 对于复数z=a+bi(a，b∈R)，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0，且b≠0时，它叫做纯虚数. 可以通过下图表示: (1)复数z=a+bi(a，b∈R) (2)集合表示 3.复数的几何意义 (1)复平面 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a，b)表示.这个建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. (2)复数的几何意义 复数集C中的数与复平面内的点是一一对应的，复数集C中的数与复平面内以原点O为起点的向量也是一一对应的，即 4.复数加、减法的运算法则及加法运算律 (1)加、减法的运算法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1+z2= (a+c)+(b+d)I ， z1-z2= (a-c)+(b-d)I . (2)加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 ①交换律:z1+z2=z2+z1； ②结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 5.复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义 设分别与复数a+bi，c+di对应，则两个向量的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.因此复数的加法可以按照向量的加法来进行. (2)复数减法的几何意义 若复数z1，z2对应的向量不共线，则复数z1-z2是连接向量的终点，并指向被减向量终点的向量所对应的复数，即复数的减法可以按照向量的减法来进行. (3)复平面内的两点间距离 z1，z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d为Z1和Z2间的距离，设z1=x1+y1i，z2=x2+y2i， 则d=|Z1Z2|=||=|z2-z1|=|(x2+y2i)-(x1+y1i)|=|(x2-x1)+(y2-y1)i|= . 6.复数的乘、除运算 (1)复数乘法的运算法则和运算律 ①复数乘法的运算法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2=(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i . ②复数乘法的运算律 对任意复数z1，z，z3∈C，有 交换律 z1z2=z2z1 结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (2)复数除法的运算法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R，且c+di≠0)， 则i . 【常用结论展示】 1.在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1+z2对应的点为C，O为坐标原点， (1)四边形OACB为平行四边形； (2)若|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为矩形； (3)若|z1|=|z2|，则四边形OACB为菱形； (4)若|z1|=|z2|，且|z1+z2|=|z1-z2|，则四边形OACB为正方形. 2.复数模的两个重要性质 (1)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|； (2)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2. 3.in(n∈N*)的性质 当n∈N*时，i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i. 第7章　立体几何 7.1　基本立体图形、直观图、表面积和体积 1.空间几何体 (1)定义 如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. (2)空间几何体的分类及相关概念 类别 定义 图示 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点 旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的 一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面， 封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴 注意:一个多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱. 2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 图示和记法 记作棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 记作棱锥S-ABCD 记作棱台ABCD-A'B'C'D' 相关 概念 底面:两个互相平行的面； 侧面:底面以外的其余各面； 侧棱:相邻侧面的公共边； 顶点:侧面与底面的公共顶点 底面:多边形面； 侧面:有公共顶点的各个三角形面； 侧棱:相邻侧面的公共边； 顶点:各侧面的公共顶点 上底面:平行于原棱锥底面的截面； 下底面:原棱锥的底面； 侧面:除上下底面以外的面； 侧棱:相邻侧面的公共边； 顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点 分类 (1)按底面多边形的边数分:三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)按侧棱与底面是否垂直分:棱柱 (1)按底面多边形的边数分:三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又叫四面体 (2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥 (1)由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… (2)由正棱锥截得的棱台叫做正棱台 结构 特征 ①两底面互相平行. ②侧面是平行四边形. ③侧棱互相平行且相等. ④与底面平行的截面与底面全等. ⑤与侧棱平行的截面是平行四边形 ①有一个面是多边形. ②其余各面都是三角形. ③这些三角形有一个公共顶点 ①上底面与下底面是互相平行的相似多边形. ②侧面是梯形，且相邻两个面的交线(侧棱)延长后交于一点 3.圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征 (1)圆柱、圆锥、圆台 名称 圆柱 圆锥 圆台 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 图示和记法 记作圆柱O'O 记作圆锥SO 记作圆台O'O 相关概念 轴:旋转轴叫做圆柱的轴； 底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面:平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线:无论旋转到什么位置，平行于轴的边； 柱体:圆柱和棱柱统称为柱体 轴:旋转轴叫做圆锥的轴； 底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面:直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 母线:无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 锥体:圆锥和棱锥统称为锥体 轴:圆锥的轴； 底面:圆锥的底面和截面； 侧面:圆锥的侧面在底面和截面之间的部分； 母线:圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体:圆台和棱台统称为台体 结构 特征 ①圆柱有无数条母线，它们平行且相等. ②平行于底面的截面是与底面大小相同的圆. ③过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形. ④过任意两条母线的截面是矩形 ①圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等. ②平行于底面的截面都是圆. ③过轴的截面是全等的等腰三角形. ④过任意两条母线的截面是等腰三角形 ①圆台有无数条母线，且长度相等，延长后相交于一点. ②平行于底面的截面是圆. ③过轴的截面是全等的等腰梯形. ④过任意两条母线的截面是等腰梯形 侧面 展开图 侧面积公式 S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧=π(r1+r2)l (2)球 ①球的结构特征 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图示及相关概念 记作球O 球心:半圆的圆心 半径:连接球心和球面上任意一点的线段 直径:连接球面上两点并且经过球心的线段 ②球的截面性质 a.用一个平面去截一个球，截面是圆面，球心和截面圆心的连线垂直于截面. b.球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系:r=. 4.立体图形的直观图 (1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 ①建系:在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面. ②平行不变:已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段. ③长度规则:已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半. (2)空间几何体直观图的画法 ①与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z'轴. ②直观图中平面O'x'y'表示水平平面，平面O'y'z'和O'x'z'表示竖直平面. ③已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变. ④成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 5.柱、锥、台、球的表面积与体积公式 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V= Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V= Sh 台体(棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+)h 球 S= 4πR2 V= πR3 【常用结论展示】 1.斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变” “三不变” 2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系S直观图=S原图形，S原图形=2S直观图. 3.设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球的半径R=. 4.设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径r=，外接球的半径R=a. 7.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 1.基本事实1~3 基本事实 基本事实1 基本事实2 基本事实3 文字 语言 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图形 语言 符号 语言 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α P∈α且P∈β，则存在直线l，使α∩β=l，且P∈l 作用 ①确定平面；②证明点、线共面；③证明两个平面重合 判断直线是否在平面内 ①判断两个平面是否相交；②证明点共线和线共点问题 2.由基本事实1，2得到的推论 推论 自然语言 图形语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 3.空间中直线与直线的位置关系 (1)异面直线 ①定义:把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. ②画法:(通常用平面衬托) (2)空间两条直线的位置关系 (3)重要结论: 连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线. 用符号语言可表示为AB∩α=B，A∉α，a⊂α，B∉a⇒直线AB与a是异面直线(如图). 4.空间中直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α=A a∥α 图形表示 5.空间中平面与平面的位置关系 位置关系 两个平面平行 两个平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β=l 图形表示 6.基本事实4与等角定理 (1)基本事实4 自然语言 图形语言 符号语言 作用 平行于同一条直线的两条直线平行 a∥b，且b∥c⇒a∥c 判断两条直线是否平行 (2)等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 7.3　空间直线、平面的平行 直线与平面、平面与平面平行的判定定理与性质定理 定理 文字语言 符号语言 图形语言 作用 直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a⊄α，b⊂α且a∥b⇒a∥α 证明直线与平面平行 直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥α，a⊂β，α∩β=b⇒a∥b 证明或判断两条直线平行 平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a∥α，b∥α⇒β∥α 证明两个平面平行 平面与平面平行的性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么 两条交线平行 α∥β，α∩γ=a， β∩γ=b⇒a∥b 证明或判断两条直线平行 【温馨提示】三种平行关系的转化 【常用结论展示】 1.两条平行线中的一条直线与平面平行(另一条直线不在该平面内)，另一条直线也与这个平面平行. 2.过平面外一点可以作无数条直线与该平面平行，这些直线都在同一平面内. 3.过两条异面直线中的一条可以作唯一一个平面与另一条直线平行. 4.两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 5.夹在两个平行平面间的与两个平面都相交的平行线段相等. 6.经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行. 7.两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. 8.如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 9.如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. 10.垂直于同一条直线的两个平面平行. 7.4　空间直线、平面的垂直 1.直线与直线垂直 (1)异面直线所成的角 ①定义:已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). ②范围:设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°. 当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角θ的取值范围是0°≤θ≤90°. (2)两异面直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 2.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 (2)点到平面的距离 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. (3)直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b=P⇒l⊥α (4)直线与平面所成的角 ①定义:一条直线PA和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. ②规定:一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°； 一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°. ③范围:直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°. (5)直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线 (6)线面距离、平行平面间的距离 ①一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. ②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 3.平面与平面垂直 (1)二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. (2)二面角的平面角 ①定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②符号及范围 符号:⇒∠AOB是二面角的平面角. 范围:0°≤∠AOB≤180°. ③规定:二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. (3)平面与平面垂直 ①定义:一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作 α⊥β . ②判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 图形语言 符号语言 ⇒α⊥β 作用 判定两个平面垂直 ③性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 ⇒a⊥β 图形语言 作用 ①面面垂直⇒线面垂直 ②作面的垂线 【常用结论展示】 1.垂直于同一条直线的两平面平行，即⇒α∥β. 2.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，即⇒a⊥β. 3.判断面面垂直的有关结论 (1)m∥n，m⊥α，n⊂β⇒α⊥β； (2)m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β. 4.如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β⇒b⊂α. 5.如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即α⊥β，γ∥β⇒γ⊥α. 6.如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即α⊥β，b⊥β⇒b∥α或b⊂α. 7.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即α∩β=l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ. 8.三个两两垂直的平面的交线也两两垂直，即α⊥β，α∩β=l，β⊥γ，β∩γ=m，γ⊥α，γ∩α=n⇒l⊥m，m⊥n，l⊥n. 7.5　空间向量及其运算 1.空间向量的相关概念 (1)定义 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. (2)特殊的空间向量 名称 概念 说明 零向量 模为0的向量 零向量记为0，方向是任意的 单位向量 模为1的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 向量a的相反向量记作-a 共线(平行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量 向量a与b平行，记作a∥b； 规定:零向量与任意向量平行，即0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量 在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 2.空间向量的线性运算 (1)加法与减法运算 运算 法则 图形 符号表示 记忆口诀 加法运算 三角形法则 a+b= 首尾相连连首尾 平行四边形法则 a+b= 公共起点对角线 减法运算 三角形法则 a-b= 共起点，连终点，指被减 (2)数乘运算 定义:实数λ与空间向量a的积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算. 当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ=0时， λa=0；λa的长度是a的长度的|λ|倍，即|λa|=|λ||a|. (3)运算律(其中λ，μ∈R) ①交换律:a+b=b+a；②结合律:(a+b)+c=a+(b+c)，λ(μa)=(λμ)a；③分配律:(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb. 3.空间向量的基本定理 (1)共线向量定理 ①定理:对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb . ②推论:点P在直线AB上的充要条件是存在实数t，使+t(O为空间任意一点)，或对空间任意一点O，有=t+ (1-t) . (2)共面向量定理 ①定义:平行于同一个平面的向量，叫做共面向量. ②共面向量定理:如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p=xa+yb. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量. 4.空间向量的数量积运算 (1)空间两向量的夹角 ①夹角的定义:已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作=a，=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作<a，b>. 如果<a，b>=，那么两向量a，b互相垂直，记作a⊥b. ②夹角的范围:空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π].特别地，当θ=0时，两向量同向共线；当θ=π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则<a，b>= 0或π. (2)空间两向量的数量积运算 ①定义:已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos<a，b>叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b=|a||b|cos<a，b>. 特别地，零向量与任意向量的数量积为 0 . ②运算律 (λa)·b=λ(a·b)，λ∈R；a·b=b·a(交换律)；a·(b+c)=a·b+a·c(分配律). (3)空间向量的坐标表示及其应用 设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3). 表示 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3 共线 a=λb(b≠0) a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3 垂直 a·b=0(a≠0，b≠0) a1b1+a2b2+a3b3=0 模 |a| 夹角 <a，b>(a≠0，b≠0) cos<a，b>= 【常用结论展示】 推论1:空间一点P位于平面MAB内⇔存在有序实数对(x，y)，使=x+y(或对空间一点O，有+x+y). 推论2:空间一点P位于平面ABM内⇔存在有序实数组(x，y，z)，对空间任一点O，有=x+y+z，其中x+y+z=1. 7.6　立体几何中的向量方法 1.空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间点的位置向量 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量. (2)空间直线的向量表示 ①直线的方向向量:与直线平行或在这条直线上的有向线段所表示的非零向量称为直线的方向向量. ②空间直线的向量表达式 a是直线l的方向向量，点A，B在直线上且满足=a，O是空间中的任意一点，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得+ta=+t.此式称为空间直线的向量表示式. (3)空间平面的法向量 ①定义:直线l⊥α ，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量. 给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·=0}. 2.空间中直线、平面位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量 l1∥l2 μ1∥μ2⇔∃λ∈R，使得μ1=λμ2 l1⊥l2 μ1⊥μ2⇔μ1·μ2=0 μ是直线l的方向向量，n是平面α的法向量 l∥α μ⊥n⇔μ·n=0 l⊥α μ∥n⇔∃λ∈R，使得μ=λn n1，n2分别是平面α，β的法向量 α∥β n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1=λn2 α⊥β n1⊥n2⇔n1·n2=0 3.空间距离的向量表示 (1)点到直线的距离 向量u是直线l的单位方向向量，A是直线l上的定点，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u，所以点P到直线l的距离PQ=. (2)点到平面的距离 已知平面α的一个法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此点P到平面α的距离PQ=. 4.空间夹角的向量表示 (1)异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ=|cos<u，v>|=.  (2)直线与平面所成的角 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ=|cos<u，n>|=.  (3)两平面的夹角 ①平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. ②若平面α，β的法向量分别是n1，n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1，n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ=|cos<n1，n2>|=.  【常用结论展示】 1.直线的方向向量的确定:若l是空间的一条直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量. 2.平面的法向量的确定:设a，b是平面α内两个不共线向量，n为平面α的一个法向量，则可用方程组求出平面α的一个法向量n. 第8章　解析几何 8.1　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围:直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2.直线的斜率 (1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k=tan α.倾斜角是90°的直线没有斜率. (2)过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=. 3.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距，斜率 y=kx+b 与x轴不垂直的直线 点斜式 一点，斜率 y-y0=k(x-x0) 两点式 两点 (x1≠x2，y1≠y2) 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵截距、横截距 =1(a≠0，b≠0) 不过原点，且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 — Ax+By+C=0(A2+B2≠0) 平面内所有直线都适用 4.两条直线的位置关系 (1)平面内两条直线有两种位置关系:相交、平行. (2)两条直线平行的判定: ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ k1=k2 . ②当直线l1，l2不重合，且斜率都不存在时，l1∥l2. (3)两条直线垂直的判定: ①当两条直线l1，l2的斜率存在时，设为k1，k2， 则有l1⊥l2⇔ k1k2=-1. ②当两条直线l1，l2中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 8.2　直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点坐标 2.三种距离 距离 计算公式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离 |P1P2|= 点P0(x0，y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离 d= 两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离 d= 【常用结论展示】 1.与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R，且m≠C). 2.与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R). 3.过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)，但要注意此直线系不包括直线l2. 8.3　圆的方程 1.圆的定义与方程 2.点与圆的位置关系 已知圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，圆心为C(a，b)，半径为r，点M(x0，y0). 8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系 设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)， 圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 位置关系 几何法 代数法 相交 d < r Δ > 0 相切 d = r Δ = 0 相离 d > r Δ < 0 2.圆与圆的位置关系 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0)， 圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0). 位置关系 几何法:圆心距d与r1，r2的关系 代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况 外离 d>r1+r2 无解 外切 d=r1+r2 一组实数解 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两组不同的实数解 内切 d=|r1-r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 无解 【常用结论展示】 1.当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在直线的方程. 2.(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，两切点所在直线的方程为x0x+y0y=r2. 8.5　椭圆 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0) 图形 性 质 范围 -a≤x≤a -b≤y≤b -b≤x≤b -a≤y≤a 对称性 对称轴:坐标轴　　对称中心:原点 顶点坐标 A1(-a，0)，A2(a，0) B1(0，-b)，B2(0，b) A1(0，-a)，A2(0，a) B1(-b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|=2c 离心率 e=∈(0，1) a，b，c的关系 a2=b2+c2 8.6　双曲线 1.双曲线定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 =1(a>0，b>0) =1(a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤-a，y∈R x∈R，y≤-a或y≥a 对称性 对称轴:坐标轴　对称中心:原点 顶点 A1(-a，0)，A2(a，0) A1(0，-a)，A2(0，a) 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=∈(1，+∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|=2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|=2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2=a2+b2 【常用结论展示】 1.渐近线的斜率与离心率的关系 双曲线=1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为. 2.若P为双曲线上一点，F为双曲线的一个焦点，则|PF|≥c-a. 3.区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中，a2=b2+c2，而在双曲线中，c2=a2+b2. 4.若双曲线=1(a>0，b>0)与=1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则=1. 8.7　抛物线 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e=1 准线方程 x=- x= y=- y= 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|=x0+ |PF|=-x0+ |PF|=y0+ |PF|=-y0+ 【常用结论展示】 抛物线中的常用结论: 设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，AC，BD分别垂直于准线，垂足分别为C，D，如图所示，则 ①x1x2=，y1y2=-p2.②弦长|AB|=x1+x2+p=(α为弦AB所在直线的倾斜角). ③S△AOB=(α为弦AB所在直线的倾斜角).④为定值. ⑤以AB为直径的圆与准线相切.⑥以AF或BF为直径的圆与y轴相切.⑦∠CFD=90°. 8.8　直线与圆锥曲线 1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看，可分为三类:没有公共点、仅有一个公共点、有两个不同的公共点. (2)从代数角度看，将表示直线的方程代入圆锥曲线的方程，通过消元后所得方程解的情况来判断.设直线的方程为Ax+By+C=0，圆锥曲线的方程为f(x，y)=0. 联立得 消去y后得ax2+bx+c=0. ①若a=0，则当圆锥曲线为双曲线时，直线与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线为抛物线时，直线与抛物线的对称轴平行(或重合). ②若a≠0，则Δ=b2-4ac. 当Δ > 0时，直线与圆锥曲线相交于不同的两点； 当Δ = 0时，直线与圆锥曲线相切于一点； 当Δ < 0时，直线与圆锥曲线没有公共点. 2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为k(k≠0)的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则弦长|P1P2|=|x1-x2|或|P1P2|=|y1-y2|. (2)当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接利用两点间的距离公式求解弦长. 3.圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.在椭圆=1(a>b>0)中，以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=-；在双曲线=1(a>0，b>0)中，以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线y2=2px(p>0)中，以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=. 【常用结论展示】 1.直线与椭圆位置关系的有关结论 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切. (2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切. (3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交. 2.直线与双曲线位置关系的有关结论 (1)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个公共点，分别是两条切线和两条与渐近线平行的直线. (2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个公共点，分别是一条切线和两条与渐近线平行的直线. (3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点，分别是两条与渐近线平行的直线. 3.直线与抛物线位置关系的有关结论 (1)过抛物线外一点总有三条直线与抛物线有且只有一个公共点，分别是两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线. (2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，分别是一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线. (3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个交点，为一条与对称轴平行或重合的直线. 第9章　计数原理 9.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法. 【常用结论展示】 1.分类加法计数原理的推广 如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法. 2.分步乘法计数原理的推广 如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法. 9.2　排列与组合 1.排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2.排列数与组合数 (1)排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm表示. (2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示. 3.排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=. (2) 性质 (1)0!= 1 ；= n !. (2) 【常用结论展示】 1.(1)=(n-m+1)；(2)；(3)=n. 2.(1)n；(2)+m. 3.1!+2·2!+3·3!+…+n·n!=(n+1)!-1. 4.(1)；(2)；(3). 5.(1)k=n； (2)+…+. 9.3　二项式定理 1.二项式定理 二项式定理 (a+b)n=an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn，n∈N* 二项展开式的通项 Tk+1= an-kbk ，它表示第k+1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数(k=0，1，2，…，n) 2.二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 增减性 二项式系数 当k<时，随k的增加而增大 当k>时，随k的增加而减小 最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值 当n为奇数时，中间的两项　和　相等，且同时取得最大值 【常用结论展示】 1.+…+=2n. 2.+…=+…=2n-1. 3.+2+3+…+n=n·2n-1. 4.+…+. 5.()2+()2+()2+…+()2=. 第10章　统计与统计案例 10.1　随机抽样 1.全面调查与抽样调查 (1)全面调查的有关定义:对每一个调查对象都进行调查的方法，称为 全面调查，又称普查.在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体.为了强调调查目的，也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体，每一个调查对象的相应指标作为个体. (2)抽样调查的有关定义:根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查.我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量.调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据. 2.简单随机抽样 (1)简单随机抽样的定义:一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样. (2)常用的简单随机抽样方法有两种:抽签法和随机数法. 3.分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 【温馨提示】在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n. (1)M，N，m，n的关系为. (2)设表示第1层的样本平均数，表示第2层的样本平均数，表示样本平均数，因为可以估计第1层的总体平均数，可以估计第2层的总体平均数，所以有. 10.2　用样本估计总体 1.画频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差). (2)决定组距与组数. (3)将数据分组. (4)列频率分布表. (5)画频率分布直方图. 2.百分位数 (1)第p百分位数的定义:一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. (2)求第p百分位数的步骤: 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i=n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. (3)常用的分位数有第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等. 3.平均数、中位数、众数 数字特征 概念 优点与缺点 平均数 如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数 平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低 中位数 把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置的一个数据或两个数据的平均数 中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 众数 一组数据中重复出现次数最多的数 众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数.显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征 平均数和中位数在频率分布直方图中的关系，有以下三种分布形态. (1) (2) (3) 一般来说，对于一个单峰的频率分布直方图来说， 如果直方图的形状是对称的(如图(1))，那么平均数和中位数应该大体上差不多； 如果直方图在右边“拖尾”(如图(2))，那么平均数大于中位数； 如果直方图在左边“拖尾”(如图(3))，那么平均数小于中位数. 4.方差和标准差 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数. (1)这组数据的方差s2=(xi-)2=. (2)这组数据的标准差s=. 【常用结论展示】 1.在频率分布直方图中，纵坐标表示，不是频率，频率=组距×；各小长方形高的比等于频率比. 2.若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则数据mx1+a，mx2+a， mx3+a，…，mxn+a的平均数为m+a，方差为m2s2. 10.3　成对数据的统计分析 1.变量的相关关系 (1)相关关系:两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. (2)散点图:把成对样本数据用平面直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图. (3)正相关:如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关.从散点图中看，满足正相关的点落在一条从左下角到右上角的直线附近. (4)负相关:如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，我们就称这两个变量负相关.从散点图中看，满足负相关的点落在一条从左上角到右下角的直线附近. (5)线性相关:一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关. 2.样本相关系数 (1)样本相关系数的公式r==. (2)样本相关系数r的取值范围为[-1，1]. 3.一元线性回归模型 (1)假定随机误差e的均值为0，方差为定值σ2，Y与x之间的关系可以表示为 我们称此式为Y关于x的一元线性回归模型.其中，Y称为因变量或响应变量， x称为自变量或解释变量；a称为截距参数，b称为斜率参数，e是Y与bx+a之间的随机误差. (2)经验回归方程 已知Y与x的n对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，令Q=(yi-bxi-a)2，当a，b的取值为时，Q达到最小.我们将x+称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计. 4.列联表与独立性检验 (1)分类变量:我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量. (2)列联表:按研究问题的需要，将数据分类统计并做成表格加以保存，将下表这种形式的数据统计表称为2×2列联表. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d (3)χ2=，其中n=a+b+c+d. (4)独立性检验 利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，简称独立性检验. (5)χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (6)应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节: ①提出零假设H0:X和Y相互独立，并给出在问题中的解释. ②根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较. ③根据检验规则得出推断结论. ④在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律. 第11章　概率 11.1　随机事件与概率、事件的相互独立性 1.随机试验的相关概念 (1)随机试验:我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示. (2)样本点:随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点. (3)样本空间:全体样本点的集合称为试验E的样本空间. (4)有限样本空间:一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间. 2.事件的概念 (1)随机事件:一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)基本事件:只包含一个样本点的事件称为基本事件. (3)必然事件:Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (4)不可能事件:空集⌀不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称⌀为不可能事件. 3.频率与概率 (1)频率的概念:在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率. (2)频率与概率的关系:对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A). 4.事件的关系与运算 事件的关系或运算 符号表示 读法 含义 包含关系 B⊇A(或A⊆B) 事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) 若事件A发生，则事件B一定发生 相等关系 A=B 事件A与事件B相等 事件B包含事件A，事件A也包含事件B 并事件 (或和事件) A∪B(或A+B) 事件A与事件B的并事件(或和事件) 事件A与事件B至少有一个发生 交事件 (或积事件) A∩B(或AB) 事件A与事件B的交事件(或积事件) 事件A与事件B同时发生 互斥事件 A∩B=⌀ 事件A与事件B互斥(或互不相容) 事件A与事件B不能同时发生，即A∩B是一个不可能事件 对立事件 A∪B=Ω，且A∩B=⌀ 事件A与事件B互为对立 事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生 5.概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(⌀)=0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)= P(A)+P(B) . 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 6.事件的相互独立性 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 11.2　古典概型、条件概率与全概率公式 1.古典概型 具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性:样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等. 2.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)=. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3.条件概率及其性质 条件概率的定义 条件概率的性质 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)=为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)=1； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P(|A)=1-P(B|A) 概率的乘法公式:由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A). 4.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)=P(Ai)P(B|Ai). 5.贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0， i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)=，i=1，2，…，n. 11.3　离散型随机变量及其分布列 1.随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. 2.离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. 3.离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)性质 ①pi≥0，i=1，2，…，n；②p1+p2+…+pn=1. 4.两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X= 如果P(A)=p，则P()=1-p，那么X的分布列如表所示. X 0 1 P 1-p p 我们称X服从两点分布或0—1分布. 11.4　离散型随机变量的数字特征 1.离散型随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望. 2.离散型随机变量的方差 设离散型随机变量X的分布列如表所示. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 考虑X的所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2，(x2-E(X))2，…，(xn-E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度.我们称 D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X). 3.离散型随机变量的均值与方差的性质 (1)E(aX+b)= aE(X)+b . (2)D(aX+b)= a2D(X) . 【常用结论展示】 1.如果X1，X2相互独立，那么E(X1·X2)=E(X1)·E(X2). 2.E(X+Y)=E(X)+E(Y). 3.均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X). 11.5　二项分布与超几何分布 1.伯努利试验与n重伯努利试验 (1)只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. 2.二项分布 (1)定义:一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=pk(1-p)n-k， k=0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作 X~B(n，p) . (2)均值和方差:若X~B(n，p)，则E(X)= np ，D(X)= np(1-p) . 3.超几何分布 (1)定义:一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，m+3，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. (2)均值:设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，则E=p，即E(X)= np . 11.6　正态分布 1.正态密度函数及其图象 (1)正态密度函数的解析式为f(x)=，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数. (2)正态密度函数对应的图象称为正态密度曲线，简称正态曲线. 2.正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ，σ2).特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. 3.正态曲线的特点 (1)曲线在x轴的上方，曲线与x轴围成的面积总为1； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (3)曲线在x=μ处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. 4.3σ原则 假设X~N(μ，σ2)，可以证明:对给定的k∈N*，P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地， P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7， P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5， P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 数学高考复习提纲　第 1 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $$