精品解析：四川省射洪市2024-2025学年高三下学期普通高考模拟5月测试数学试题

射洪市2025年普通高考模拟测试 数学 【考试时间 5月17日15：00—17：00】 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为不共线的非零向量，，，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 3. 为比较甲、乙两名学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ） A. 乙的数据分析素养优于甲 B. 乙的数学建模素养优于数学抽象素养 C. 甲的六大素养指标值波动性比乙小 D. 甲的六大素养中直观想象最差 4. 设，则“”的充要条件是（ ） A. a，b中至少有一个为1 B. a，b都不为0 C. a，b都为1 D. 不都为1 5. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ） （参考数据：，，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 6. 设等差数列的前项和是，前项积是，若，，则（ ） A. 无最大值，无最小值 B. 有最大值，无最小值 C. 无最大值，有最小值 D. 有最大值，有最小值 7. 已知是双曲线上的任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设为坐标原点，若曲线和曲线上分别存在A，B两点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 某中学高三年级共有学生人，为了解他们视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，若样本中共有女生人，该校高三年级共有男生人 B. 若随机变量，则 C. 测量重力加速度大小实验中所测的值服从正态分布，则越大时，测得的在间的概率越大 D. 已知某个数据的平均值为，方差为，则加入一个数据后方差变为 10. 类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为．已知曲面的方程为，则下列选项中正确的是（ ） A. 坐标平面的方程为： B. 平面截曲面所得交线是双曲线 C. 平面截曲面所得交线是椭圆 D. 若直线过曲面上一点，且以为方向量，则直线在曲面上 11. 如图，四棱锥底面是边长为4的正方形，若点M在四边形内（包含边界）运动，N为的中点，，，则（ ）． A. 当M为的中点时，异面直线与所成角为 B. 当平面时，点M的轨迹长度为 C. 当与平面所成的角是时，点M到的距离可能为 D. 点Q是四棱锥外接球上的一点，则的最大值是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数是纯虚数，则实数的值为___________. 13. 如图所示的“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．记“杨辉三角”第行的第个数为，则________． 14. 已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则的值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及其单调递增区间， （2）若为锐角的内角，且，求面积的取值范围． 16. 已知函数，在处取得极值． （1）求的值； （2）若对任意的，都有成立，（其中是函数的导函数），求实数的最小值． 17. 如图，在三棱台中，平面，平面平面，，的面积为，三棱锥的体积为． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的大小． 18. 为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率． （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从游客中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现n分的概率为，求数列的通项公式． 19. 已知直线与椭圆交于两点 （在下方，在上方），线段的中点为，直线的斜率为（为坐标原点）. （1）求椭圆的方程； （2）若射线与椭圆，直线分别交于 两点，且成等比数列. （i） 求点到直线的距离的最大值; （ii） 当直线与轴垂直时，求的外接圆方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪市2025年普通高考模拟测试 数学 【考试时间 5月17日15：00—17：00】 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接求出范围，再根据交集的运算法则求解即可． 【详解】， 所以， ， 故选：D． 2. 已知为不共线的非零向量，，，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】将点共线转化成向量共线，结合条件，利用两向量共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 若，则，又为不共线的非零向量， 则，无解，则不共线，所以三点不共线，故A错误， 对于B，因为，，，则， 所以，则三点共线，故B正确， 对于C，，，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以C错误， 对于D，由选项A知，又，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以D错误， 故选：B. 3. 为比较甲、乙两名学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ） A. 乙的数据分析素养优于甲 B. 乙的数学建模素养优于数学抽象素养 C. 甲的六大素养指标值波动性比乙小 D. 甲的六大素养中直观想象最差 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给的六大素养雷达图逐个分析即可. 【详解】A选项,甲的数据分析素养为分, 乙的数据分析素养为分, 乙的数据分析素养低于甲,选项错误; B选项,乙的数学建模素养为分, 乙的数学抽象为素养分,选项错误; C选项, 甲的六大素养指标值分别为,,,,,;乙的六大素养指标值分别为,,,,,,甲的六大素养指标值波动性比乙小,选项正确; D选项,由C可知,甲的六大素养中,数学抽象,数学建模和数学运算最差,直观想象最最好,选项错误; 故选C. 【点睛】本题考查了命题真假的判断以及统计图雷达图的识别和应用,考查学生简单的推理,属于基础题. 4. 设，则“”的充要条件是（ ） A. a，b中至少有一个为1 B. a，b都不为0 C. a，b都为1 D. 不都为1 【答案】A 【解析】 【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可. 【详解】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 5. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ） （参考数据：，，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】C 【解析】 【分析】利用归纳可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS，解不等式，即可得出结论. 【详解】由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS，， 以此类推可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS， 由，可得， 所以，， 所以，DeepSeek的算力预计在年首次突破PetaFLOPS， 故选：C. 6. 设等差数列的前项和是，前项积是，若，，则（ ） A. 无最大值，无最小值 B. 有最大值，无最小值 C. 无最大值，有最小值 D. 有最大值，有最小值 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和公式求基本量，进而确定且，讨论n判断的值，即可得答案. 【详解】令数列公差为，则，即，作差可得， 所以，则，故， 当得，当得，当得， 显然，当时，时，所以有最小值， 且，当或4时，有最大值. 故选：D 7. 已知是双曲线上的任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作图，利用点到直线的距离公式结合双曲线的渐近线方程计算求解. 【详解】 如图，由题意，设，则，即． 因为渐近线方程为，所以， 因为，所以. 故选：D. 8. 设为坐标原点，若曲线和曲线上分别存在A，B两点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出两点坐标，结合斜率的计算由基本不等式和导数分别求出两直线斜率最小值，然后再利用两角差的正切公式计算即可. 【详解】设，则，当且仅当时取等号； 设，则 令，则， 令， 所以时，，单调递增；时，，单调递减， 所以， 取，，此时，解得. 故选：C. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 某中学高三年级共有学生人，为了解他们视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，若样本中共有女生人，该校高三年级共有男生人 B. 若随机变量，则 C. 测量重力加速度大小实验中所测的值服从正态分布，则越大时，测得的在间的概率越大 D. 已知某个数据的平均值为，方差为，则加入一个数据后方差变为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用分层抽样可判断A选项；利用二项分布的方差公式和方差的性质可判断B选项；利用正态分布的基本性质可判断C选项；利用平均数和方差公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，设该校高三年级男生人数为， 由分层抽样可得，解得，A对； 对于B选项，若随机变量，则， 由方差的性质可得，B错； 对于C选项，因为，当越大时，测得的在间的概率越小，C错； 对于D选项，设个数据分别为、、、、， 其平均数为，可得， 方差为， 所以， 加入一个数据后，平均数为， 方差为，D对. 故选：AD. 10. 类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为．已知曲面的方程为，则下列选项中正确的是（ ） A. 坐标平面的方程为： B. 平面截曲面所得交线是双曲线 C. 平面截曲面所得交线是椭圆 D. 若直线过曲面上一点，且以为方向量，则直线在曲面上 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合图像，根据曲线与方程之间的关系来判断，坐标平面中，，可判断A；根据结合双曲线的标准方程即可判断B；令，得，即可判断C；设是直线过上任意一点，证明出满足方程，即可判断直线在曲面上． 【详解】A．由图可知，坐标平面中，，故坐标平面的方程为：，正确，符合题意； B．平面截曲面得方程中，，故得， 结合双曲线的标准方程可知，平面截曲面所得交线是双曲线，正确，符合题意； C．平面截曲面所得交线是的方程，故为，交线是圆，选项错误，不符合题意； D．设是直线过上任意一点，故，即， ，，于是到曲面上， 故， 因此在曲面上，故直线在曲面上，选项正确，符合题意； 故选：ABD． 11. 如图，四棱锥底面是边长为4的正方形，若点M在四边形内（包含边界）运动，N为的中点，，，则（ ）． A. 当M为的中点时，异面直线与所成角为 B. 当平面时，点M的轨迹长度为 C. 当与平面所成的角是时，点M到的距离可能为 D. 点Q是四棱锥外接球上的一点，则的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，建立适当的空间直角坐标系，求得，判断它是否为0即可；对于B，通过分析得知点M的轨迹是过点O与平行的线段，比较的长度和即可；对于C，点M的轨迹以中点K为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧（如图），只需比较弧上点到距离的最小值和的大小即可判断；对于D，，根据的最大值即可判断. 【详解】因为底面是边长为4的正方形，，， 则都是正三角形，所以， 所以在底面上的射影为直角的外心， 即是的中点，也是正方形的中心，所以四棱锥为正四棱锥， 对于A，连接， 则，，两两垂直， 故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， N为的中点，则． 当M为的中点时，，，， 设异面直线与所成角为， ，，故，A正确； 对于B，设Q为的中点，N为的中点， 则，平面，平面，则平面， 又平面，，平面， 又，设， 故平面平面，平面平面， 平面平面，则， 则H为的中点，点M在四边形内（包含边界）运动，则， 点M的轨迹是过点O与平行的线段，长度为4，B不正确； 对于C，即点M的轨迹以中点K为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧（如图）， K到的距离为3，弧上的点到的距离最小值为， 因为，所以存在点M到的距离为，C正确； 对于D，，的最大值，D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，准确画出图形，利用向量方法解决几何问题. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数是纯虚数，则实数的值为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意结合纯虚数的定义列式求解即可. 【详解】若复数是纯虚数，则，解得， 所以实数的值为1. 故答案为：1. 13. 如图所示的“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．记“杨辉三角”第行的第个数为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，则=，结合二项式定理可得答案. 【详解】由题意知，，则 当时，= 当时，，也符合上式． 综上，． 故答案为： 14. 已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则的值为______. 【答案】0 【解析】 【分析】根据为偶函数，得出关于中心对称，再根据为偶函数，得出关于对称，两者结合得出周期，再利用对称性和周期性，结合赋值法计算即可. 【详解】为偶函数，则，左右两边同时求导得， ，将看作整体得①， 将图象向右平移2个单位得到， 因为为偶函数，则图象关于对称，即②， ①②两式联立得，即， 用代替得，故，即的周期为4， 因，则①式中令有，令有， ②式中令有，令有， 则 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及其单调递增区间， （2）若为锐角的内角，且，求面积的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为；单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式对函数解析式进行化简，再根据正弦型函数的性质即可得到最小正周期及单调递增区间. （2）由题意求得的值，再由正弦定理表示出三角形面积，根据三角函数化简即可求得取值范围. 【小问1详解】 函数， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 即有函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 若为锐角的内角，且， 可得，由，可得， 则，即. 由正弦定理得，， 所以， 所以面积 又因为为锐角三角形，则，即，解得， 所以，所以，所以. 故面积的取值范围是. 16. 已知函数，在处取得极值． （1）求的值； （2）若对任意的，都有成立，（其中是函数的导函数），求实数的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先求再由可得结果； （2）恒成立等价于在上恒成立，利用导数研究其单调性，令即可求得的取值范围为，即得数实的最小值为． 【小问1详解】 由题设可得，在处取得极值， 所以，即，解得， 经检验知，满足题设条件． 【小问2详解】 由（1）得， 在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则，， 设， ①当，即时，在上单调递增， ，即当时，满足题设条件． ②当,即时， 设是方程的两个实根，且， 由可知， 由题设可知，当且仅当，即，即，即时， 对任意的有，即在上恒成立， 在上单调递增，时，也满足条件， 综上，的取值范围为，所以数实的最小值为． 17. 如图，在三棱台中，平面，平面平面，，的面积为，三棱锥的体积为． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的大小． 【答案】（1） 取的中点，连接， ∵， ∴，又平面平面， ∵平面平面，平面， ∴平面，又平面， ∴， ∵平面平面， ∴， 又平面，， ∴平面，又平面，则； （2）. 【解析】 【分析】（1）通过求证面，由线面垂直的性质定理即可求证； （2）建立空间直角坐标系，求出面与面的法向量，利用向量法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意及（1），面，且面，则， 由面面，则， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，解得， 则， 设是平面的一个法向量，则，， 所以，当时，， 设是平面的一个法向量，则，， 所以，当时，， ∴由图知，平面与平面夹角为锐角， ∴平面与平面的夹角为． 18. 为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率． （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从游客中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现n分的概率为，求数列的通项公式． 【答案】（1） 的分布列如下： 2 3 4 ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到变量X的可能取值为2，3，4，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望； （2）由这n人的合计得分为分，则其中只有1人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解； （3）记“合计得分恰为”为事件A，“合计得分”为事件B，得到，结合数列的递推关系式构造等比数列，进而求得数列的通项公式，得到答案 【小问1详解】 的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼记1分； 既参观黄鹤楼又游览晴川阁记2分．每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率． 随机变量 的可能取值为 2，3，4， 可得 ， 的分布列如下： 2 3 4 数学期望为 ； 【小问2详解】 由这 人的合计得分为 分， 则其中只有1人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁， 则 ， 由两式相减， 可得 ； 【小问3详解】 在随机抽取的若干人的合计得分为 分的基础上再抽取1人， 则这些人的合计得分可能为 分或 分， 记“合计得 分”为事件 ，“合计得 分”为事件 ， 与 是对立事件， ， ，即 ，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ，. 【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解， 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式. 19. 已知直线与椭圆交于两点 （在下方，在上方），线段的中点为，直线的斜率为（为坐标原点）. （1）求椭圆的方程； （2）若射线与椭圆，直线分别交于 两点，且成等比数列. （i） 求点到直线的距离的最大值; （ii） 当直线与轴垂直时，求的外接圆方程. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设，得到，两式相减，结合斜率公式，化简得到，求得，进而得到椭圆的方程； （2）（i）设，联立方程组，得到，则，得到，再由的方程为，联立方程组求得，根据成等比数列，得到，列出方程求得，得到直线恒过定点，结合，得到点到直线的距离的最大值； （ii）由（i）得和，将其代入直线方程，求得，求得直线的方程为，设的外接圆的圆心为，求得，得出圆的半径，进而求得外接圆的方程. 【小问1详解】 解：设，则， 由点在椭圆上，可得， 两式相减，可得， 即，可得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：（i）联立方程组，整理得， 设，可得，则， 因为点为的中点，所以， 若射线与椭圆，直线分别交于两点， 可得且射线的方程为， 联立方程组，解得， 因为成等比数列，知，可得， 故，可得，解得， 所以直线的方程为，所以直线恒过定点， 当直线时，可得，点到直线的距离的最大值为. （ii）由（i）得， 当直线与轴垂直时，可得， 将其代入直线，整理得， 则且，解得（舍去）或， 因为，所以，此时关于轴对称， 此时直线的方程为，此时， 由于的外接圆的圆心在轴上，可设的外接圆的圆心为， 可得，解得， 所以的外接圆的半径为， 所以的外接圆的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $