精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

石嘴山三中2024-2025学年第二学期高二数学期中考试卷 命题人：马娟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：共8小题，每小题6分，共40分．每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 设命题，则为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数单调性解不等式及求解不等式，再由交集运算即可求解. 【详解】， 由可得：，则， 所以， 故选：D 3. 探究学习小组收集了早餐店2024年前六个月包子的售卖数据，得出每个月售卖包子的个数（单位：万个）与月份的经验回归方程为，已知五月份的售卖量为2万个，则时的残差为（ ） A. B. 0.2 C. D. 0.1 【答案】D 【解析】 【分析】先根据回归直线计算，再根据残差公式计算即可. 【详解】令，得，则所求残差为． 故选：D. 4. 函数在上的最小值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据变量范围，利用基本不等式计算可得当时的最小值是2. 【详解】因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时函数在上的最小值是2. 故选：C 5. 蝗虫产卵量y与温度x的关系可用模型拟合，设，其变换后得到数据： x 20 23 25 27 30 z 2 2.4 3 3 4.6 由上表可得经验回归方程，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用经验回归直线过点，结合题意即可求解. 【详解】由表可得，， 因为点在经验回归方程上，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：. 6. 已知函数，且函数的定义域为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据配凑法求出的解析式，并求出定义域判断得解. 【详解】由，则， 又函数的定义域为，即， ， 所以函数的定义域为. 故选：D. 7. 设是关于的一元二次方程的两个实根，则的最小值是（ ） A. B. 18 C. 8 D. -6 【答案】C 【解析】 【分析】由韦达定理得 ，且，则可变成，再求最小值． 【详解】因为是关于的一元二次方程的两个实根 所以由韦达定理得 ，且 所以 且或 由二次函数的性质知，当时，函数取得最小值为 即的最小值为 故选C. 【点睛】本题考查通过方程的根与韦达定理求函数的最小值问题，属于一般题． 8. 已知函数若存在，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分，，三种情况讨论，由题意分别确定的范围，再结合函数的单调性即可得到答案； 【详解】当时，， 所以，即，所以， 则， 因为在上递增， 所以； 当，，所以， 所以，不存在，使得； 当时，， 因为，所以， 所以， 则， 令，则， 因为，所以，， 所以，所以，即， 所以在上单调递增， 所以，即， 综上所述，的取值范围是， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分，，三种情况讨论，再结合题意分别确定的范围. 二、多选题：共3小题，每小题分，共18分．每小题有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】举反例即可判断AB；作差法即可判断CD． 【详解】对于A，当，，故A为假命题； 对于B，若，则，故B为假命题； 对于C，若且，则， 所以，故C为真命题； 对于D，， 所以，故D为真命题； 故选：AB． 10. 下列结论正确的是（    ） A. 命题“若，则”为真命题 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 已知命题“若，则方程有实数根”，则命题的否定为真命题 D. 命题“若，则且”为真命题 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据命题真假的判定可判断ACD；根据充分以及必要条件的判断可判断B. 【详解】对于A，时，则，故A正确； 对于B，时，；当时，或， 故“”是“”的充分不必要条件，B正确； 对于C，方程有实数根时，， 时，必有，故命题“若，则方程有实数根”为真命题， 则命题的否定为假命题，C错误； 对于D，时，且， 故命题“若，则且”为真命题，D正确， 故选：ABD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 被7除后的余数为5 B. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 C. 已知，则 D. 从正方体的八个顶点中任取四个顶点，这四点能构成三棱锥的个数为58 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由二项式定理，可得其正误；对于B，根据全排列与插空法，结合古典概型，可得其正误；对于C，根据排列数与组合数的计算，可得其正误；根据分类加法原理以及组合数的计算，可得其正误. 【详解】对于A，由 ， 则被除的余数为，故A错误； 对于B，两位男生和两位女生随机排成一列的情况数为， 两位女生不相邻的情况数为，所以概率，故B正确； 对于C，由，则，解得，故C正确； 对于D，由正方体的八个顶点中取四个情况数为， 在正方体表面中有六个面且有六个对角面，则能构成三棱锥的个数为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将用和表示，利用不等式的同向可加性，求出的范围. 【详解】设，则， 解得，所以， 因为，，所以，， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据判别式，结合分类讨论即可求解. 【详解】当时，恒成立； 当时，要使恒成立，只需且，解得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 14. 现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中简单随机抽样的方法抽取20个作为样本，调查得到样本数据，其中分别表示第个样本的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，构造向量，，其中，，并计算得，，，，，由选择性必修二教材中的知识，我们知道对数据的相关系数，则上述数据的相关系数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题干中相关系数的定义进行计算. 【详解】由题干数据，，可得， 根据夹角公式的定义，，而， 根据 ， 于是. 故答案为： 四、解答题：共5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分． 15. 某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表： 推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限x/年 3 5 6 7 9 推销金额y/万元 2 3 3 4 5 （1）求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程； （2）若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为． 【答案】（1）；（2）5.9万元． 【解析】 【分析】（1）根据表中的数据求出，，再利用公式可求出，，从而可求出推销金额y关于工作年限x的线性回归方程； （2）将化入回归方程中求解即可 【详解】解（1）设所求的线性回归方程为， ，， 所以， ． 所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为． （2）当时，（万元）． 所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元 16. 某校组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数、（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量X服从正态分布，则， ，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均数的求法计算即可； （2）根据原则以及正态分布的对称性计算. 【小问1详解】 设样本平均数的估计值为， 则. 所以，样本平均数的估计值为62. 【小问2详解】 由（1）可知，样本平均数的估计值， 所以， 则 所以，估计能参加复试的人数为 17. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； （2）请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 【答案】（1） 的分布列为： ， 的分布列为： ； （2）甲面试通过的可能性大 【解析】 【分析】（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为，分别写出随机变量得所有可能取值，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望求期望即可； （2）根据方差公式分别求出方差，即可得出结论. 【小问1详解】 设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为， 则可取，可取， 则， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： ， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数为的分布列为： ； 【小问2详解】 由（1）得， ， 因为， 所以甲得成绩更稳定， 所以甲面试通过的可能性大. 18. 从石墨中通过化学气相沉积法分离出石墨烯，升华后附着在材料上再结晶制成石墨烯发热膜，广泛应用于冬装衣服.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨烯各做了100次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图. （1）根据等高堆积条形图，完成如下列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关： 材料 材料 合计 试验成功（单位：次） 试验失败（单位：次） 合计 （2）定义分类变量，如下：，，以频率估计概率，求条件概率和的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有关； （2），. 【解析】 【分析】（1）借助堆积等高条形图可得列联表，再计算出卡方即可得解. （2）利用堆积等高条形图，结合古典概率求出条件概率. 【小问1详解】 由堆积等高条形图得列联表： 材料 材料 合计 试验成功（单位：次） 80 60 140 试验失败（单位：次） 20 40 60 合计 100 100 200 零假设：试验结果与材料无关， 根据列联表中数据，得， 依据小概率值的独立性检验，推断假设不成立， 即试验结果与材料有关，此推断犯错误的概率不超过0.005. 【小问2详解】 依题意，， 所以； ， 所以. 19. 已知集合，若对任意的，，有或，则称集合为完美集合． （1）分别判断集合与是否为完美集合； （2）当时，若，求完美集合； （3）若集合为完美集合，记，求证：． 【答案】（1）集合为完美集合，不是完美集合； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据完美集的定义直接判断即可； （2）根据完美集的定义及依次确定，即可得答案； （3）根据完美集定义先确定，结合得到，又，把各项累加即可证结论. 【小问1详解】 集合，当时，， 又，， 所以集合为完美集合． 集合，因为， 所以不是完美集合． 【小问2详解】 因为，所以，所以， 因为，所以，故，即， 所以． 【小问3详解】 因为，故， 所以，则． 因为， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以， 又因为， 全部相加得，即， 所以，又，所以． 【点睛】关键点点睛：第三问，根据完美集定义确定，并得到，为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山三中2024-2025学年第二学期高二数学期中考试卷 命题人：马娟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：共8小题，每小题6分，共40分．每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 设命题，则为 A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 探究学习小组收集了早餐店2024年前六个月包子的售卖数据，得出每个月售卖包子的个数（单位：万个）与月份的经验回归方程为，已知五月份的售卖量为2万个，则时的残差为（ ） A. B. 0.2 C. D. 0.1 4. 函数在上的最小值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 蝗虫产卵量y与温度x的关系可用模型拟合，设，其变换后得到数据： x 20 23 25 27 30 z 2 2.4 3 3 4.6 由上表可得经验回归方程，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 已知函数，且函数的定义域为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 设是关于的一元二次方程的两个实根，则的最小值是（ ） A. B. 18 C. 8 D. -6 8. 已知函数若存在，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：共3小题，每小题分，共18分．每小题有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 10. 下列结论正确的是（    ） A. 命题“若，则”为真命题 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 已知命题“若，则方程有实数根”，则命题的否定为真命题 D. 命题“若，则且”为真命题 11. 下列说法正确的是（ ） A. 被7除后的余数为5 B. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 C. 已知，则 D. 从正方体的八个顶点中任取四个顶点，这四点能构成三棱锥的个数为58 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，，则的取值范围为______． 13. 已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是__________. 14. 现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中简单随机抽样的方法抽取20个作为样本，调查得到样本数据，其中分别表示第个样本的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，构造向量，，其中，，并计算得，，，，，由选择性必修二教材中的知识，我们知道对数据的相关系数，则上述数据的相关系数__________. 四、解答题：共5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分． 15. 某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表： 推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限x/年 3 5 6 7 9 推销金额y/万元 2 3 3 4 5 （1）求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程； （2）若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为． 16. 某校组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数、（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量X服从正态分布，则， ，． 17. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； （2）请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 18. 从石墨中通过化学气相沉积法分离出石墨烯，升华后附着在材料上再结晶制成石墨烯发热膜，广泛应用于冬装衣服.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨烯各做了100次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图. （1）根据等高堆积条形图，完成如下列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关： 材料 材料 合计 试验成功（单位：次） 试验失败（单位：次） 合计 （2）定义分类变量，如下：，，以频率估计概率，求条件概率和的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知集合，若对任意的，，有或，则称集合为完美集合． （1）分别判断集合与是否为完美集合； （2）当时，若，求完美集合； （3）若集合为完美集合，记，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $