精品解析：宁夏回族自治区银川市永宁县上游高级中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

上游高级中学2024-2025学年第二学期期中考试 高二数学试卷 班级： 姓名： 学号： 时间:120分钟 分值:150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一项符合要求 1. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的意义进行判断. 【详解】根据的意义,, 故选：C. 2. 已知女儿身高y（单位：）关于父亲身高x（单位：）的经验回归方程为．已知父亲身高为175cm，估计女儿的身高为（ ） A. 168 B. 167 C. 166 D. 165 【答案】A 【解析】 【分析】将，代入经验回归方程求解． 【详解】将代入经验回归方程， 故估计女儿的身高为168， 故选：A． 3. 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路．从甲地到丁地共有多少条不同的路线（ ） A. 6 B. 8 C. 11 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】按照甲地经乙地到丁地、甲地经丙地到丁地分类，结合分类加法、分步乘法计数原理即可得解. 【详解】如果由甲地经乙地到丁地，则有种不同的路线； 如果由甲地经丙地到丁地，则有种不同的路线； 因此，从甲地到丁地共有种不同的路线. 故选：D. 4. 甲､乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6，那么采用3局2胜制，甲获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】甲获胜的情况有：胜胜；败胜胜；胜败胜，根据独立事件概率的乘法公式即可求解． 【详解】由题可知，甲获胜的情况有：胜胜；败胜胜；胜败胜， 所以甲获胜的概率为， 故选：B． 5. 我校高中三年级名学生参加了自治区高考模拟统一考试，已知数学考试成绩服从正态分布（试卷满分为分），统计结果显示，数学考试成绩在分到分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于分的学生人数约为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性求出，乘以可得结果. 【详解】因为，所以，， 因此，此次统考中成绩不低于分的学生人数约为. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合二项式定理，利用赋值法逐项求解各个选项即可. 【详解】令，得，故A不正确； 令，得，所以，故B不正确； 令，得， 所以，故C正确； 令，得，所以D不正确. 故选：C 7. 一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出无奖券的有20罐，利用对立事件求概率. 【详解】因为一箱24罐的饮料中4罐有奖券，所以无奖券的有20罐， 从24罐中任意抽取2罐，有种结果，且他们是等可能的， 其中抽取的2罐均无奖券，有种， 所以这2罐中有奖券的概率为. 故选：A. 8. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”.从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况（ ）. A. 18 B. 36 C. 48 D. 54 【答案】D 【解析】 【分析】依题意甲和乙都不是第一名，且乙不是最后一名，故先排乙，再排甲，最后将其余人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】由条件可知，甲和乙都不是第一名，且乙不是最后一名， 所以先排乙有种方法，再排甲有种方法，其余人全排列，有种方法， 所以人的名次排列有种方法. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 在线性回归分析中，相关系数r的值越小，变量间的相关性越弱 B. 分类变量不是数值型变量，但可以用数值表示 C. 独立性检验的本质是比较预测值与期望值之间的差异 D. 在回归分析中，残差平方和越大，越大，其模型拟合的精度越高 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用相关系数概念，分类变量概念，独立性检验原理，残差意义来分析四个选项即可． 【详解】对于A，在线性回归分析中，相关系数的绝对值越小，变量的相关性越弱，绝对值越接近于1，变量的相关性越强，故A错误； 对于B，分类变量不是数值型变量，但是可以用数值表示，比如人的高度，我们可以按身高大于米来定义高个子，反之是矮个子，这就是分类变量可以用数值表示，故B正确； 对于C，独立性检验，就是比较两个分类变量之间是否存在相关性，以及有多大的把握认为它们存在相关性，不是预测值与期望值的比较，故C错误； 对于D，在回归分析中，残差平方和越大，其模型拟合的精度就越低，所以就越小，故D错误； 故选：ACD． 10. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若是空集，则A与B均是空集 C. 是一元二次方程的一个根，．则是q成立的充分不必要条件 D. ，使得为奇数 【答案】AB 【解析】 【分析】分类讨论即可判断A；根据空集和交集的定义即可判断B；根据充分条件和必要条件的判定即可判断C；根据表示两个连续的整数，则必有一个整数为偶数，即可判断D． 【详解】对于A，当时，成立；当时，成立；当时，成立；故A正确； 对于B，根据空集与交集的定义，若是空集，则A与B均是空集，故B正确； 对于C，若是一元二次方程的一个根，则； 若，则是一元二次方程的一个根， 所以是q的充要条件，故C错误； 对于D，因为时，表示两个连续的整数，则必有一个整数为偶数，其乘积必为偶数，故不存在，使得为奇数，故D错误. 故选：AB． 11. 下列说法正确的是（ ） A. ，，，则， B. 若，则决定了正态曲线集中位置 C. 5人分4张无座足球票，每人至多一张，票必须分完，不同的分法有5种 D. 盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，每次从中摸出1球且不放回，是首次摸出黑球时的总次数，则服从超几何分布 【答案】AC 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出，即可求出，再根据期望的性质求出，即可判断A，根据正态分布的性质判断B，利用组合数公式判断C，根据超几何分布的定义判断D. 【详解】对于A：因为，所以，解得， 所以，则， 又，所以，即，解得，故A正确； 对于B：因为，则正态曲线关于对称，即决定了正态曲线集中位置，故B错误； 对于C：5人分4张无座足球票，每人至多一张，票必须分完， 则只需选出一个人没有票，其余人每人一张票，故有种不同的分法，故C正确； 对于D：依题意的可能取值为、、， 且，，， 而超几何分布定义为，即从个物件（包含个指定种类的物件）中抽出个物件， 成功抽出指定种类的物件的个数（不放回），故不服从超几何分布，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（每道题5分，共15分） 12. 已知集合，若，则实数的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据，即，可得实数的取值范围. 【详解】根据，可得， 即，故实数的取值范围为. 故答案为： 13. 二项式展开式中的系数为________． 【答案】1792 【解析】 【分析】由题意结合二项展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数即可． 【详解】的通项公式为， 令得，所以的系数为， 故答案为：1792． 14. 近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2020—2025年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2020—2025年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数______． （参考公式：决定系数，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】由所给参考数据求出，即可求出决定系数. 【详解】 ， 所以． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，满分77分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 15. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个黄球､6个白球，从中随机地摸出3个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数. （1）若抽出黄球赋1分，白球赋2分，求随机摸出3个球得分大于3分的概率； （2）若不放回摸球，求X的分布列及其数学期望. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）先明确摸出3个球得分大于3分的情况，再根据古典概型求概率； （2）先确定X的可能取值为0，1，2，3，依次求出概率和期望. 【小问1详解】 设随机摸出3个球得分大于3分为事件A，则事件A包含摸到2个黄球和1个白球，或1个黄球和2个白球，或3个白球， 所以； 【小问2详解】 X的可能取值为0，1，2，3，且X服从超几何分布， ， ， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 3 . 16. 人工智能教育是将人工智能与传统教育相结合，借助人工智能和大数据技术打造的智能化教育生态.为了解我国人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到我国2018年－2023年人工智能教育市场规模统计图.如图所示，若用x表示年份代码(2018年用1表示，2019年用2表示，依次类推)，用y表示市场规模(单位：亿元)，试回答： （1）根据条形统计图中数据，计算变量y与x的相关系数r，并用r判断两个变量y与x相关关系的强弱(精确到小数点后2位)； （2）若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，试求y关于x的线性回归方程，并据此预测2025年中国人工智能教育市场规模(精确到1亿元). 附：线性回归方程，其中；相关系数； 参考数据： 【答案】（1），正相关很强 （2），约2677亿元 【解析】 【分析】（1）根据给出的参考数据求得相关系数 ，相关系数，可以判定； （2）求得y关于x的线性回归方程为，把代入得计算即可. 【小问1详解】 ∵，，，， ∴相关系数. ∵相关系数，∴y与x具有线性相关关系，且正相关很强. 【小问2详解】 设y关于x的线性回归方程为， 其中； ， ∴y关于x的线性回归方程为， 把代入得(亿元)， 故据此预测2022年中国人工智能教育市场规模将达到约2677亿元. 17. 我校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为500的样本进行调查，并得到如下2X2列联表： 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 140 400 不满意 100 合计 200 （1）请补全上面的列联表，依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系； （2）若竞赛成绩在前3的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，，.3道试题答对与否互不影响.用X表示能进入总决赛的人数，求X的分布列及数学期望. 参考公式及数据：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，与性别有关系 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）完成列联表，并利用独立性检验的步骤完成计算即可； （2）由题意可知能进入总决赛的人数服从二项分布，再计算出每个人进入决赛的概率，利用二项分布的数学期望公式进行计算即可； 【小问1详解】 表如下所示 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 140 260 400 不满意 60 40 100 合计 200 300 500 原假设:满意程度与性别没有关系 依据小概率值α=0.05的独立性检验，认为原假设不成立，即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错率不超过0.05. 【小问2详解】 设能答对2道题及以上为事件A X的可能取值为0，1，2，3，X服从二项分布， 又，， ，， 所以的分布列为： 则； 18. 高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． （1）若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． （3）经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望及方差．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）数学期望为6，方差为5 【解析】 【分析】（1）设出事件，利用全概率公式计算；（2）利用超几何分布求分布列，利用期望定义计算期望；（3）利用正态分布求得 ，得到，然后利用二项分布的期望公式和方差公式计算. 【18题详解】 事件“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数超过40次”， 则“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数不超过40次”， 事件“抽取1名学生综合体测成绩达到“及格”等级”  ， 由全概率公式：  ， ∴从该学校任意抽取一名学生，该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率为； 【19题详解】 的可能取值为0，1，2  ， ， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 ； 【20题详解】 由题意得，， ， ，， ∴的数学期望为6，方差为5. 19. 某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了20位高三学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分4个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示： 等级 不及格 及格 良 优 分数 1 2 3 4 人数 3 9 5 3 （1）若从样本中随机选取2位学生，求所选的2位学生分数不同的概率； （2）用样本估计总体，以频率代替概率.若从高三年级学生中随机抽取n位学生，记所选学生分数不小于3的人数为X. （ⅰ）若，求X的分布列与数学期望； （ⅱ）若，当k为何值时，最大？ 【答案】（1） （2）（ⅰ）的分布列为： ； （ⅱ）时，最大 【解析】 【分析】（1）设事件“选取的2位学生分数不同”，根据对立事件结合古典概型计算即可得概率； （2）（ⅰ）时，，结合二项分布求解概率分布列与数学期望；（ⅱ）时，，由于最大，结合二项分布的概率计算可得解不等式可得符合的的值. 【小问1详解】 设事件“选取的2位学生分数不同”， 则， 故所选的2位学生分数不同的概率为； 【小问2详解】 设“学生分数不小于3”，则， （ⅰ）若，的可能取值为，由题意可得, 又，， ，， 所以的分布列为： 由于，则； （ⅱ）若，则， 所以， 由于最大， 所以， 即， 因为，，所以时，最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上游高级中学2024-2025学年第二学期期中考试 高二数学试卷 班级： 姓名： 学号： 时间:120分钟 分值:150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一项符合要求 1. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知女儿身高y（单位：）关于父亲身高x（单位：）的经验回归方程为．已知父亲身高为175cm，估计女儿的身高为（ ） A. 168 B. 167 C. 166 D. 165 3. 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路．从甲地到丁地共有多少条不同的路线（ ） A. 6 B. 8 C. 11 D. 14 4. 甲､乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6，那么采用3局2胜制，甲获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 我校高中三年级名学生参加了自治区高考模拟统一考试，已知数学考试成绩服从正态分布（试卷满分为分），统计结果显示，数学考试成绩在分到分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于分的学生人数约为（    ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”.从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况（ ）. A. 18 B. 36 C. 48 D. 54 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 在线性回归分析中，相关系数r的值越小，变量间的相关性越弱 B. 分类变量不是数值型变量，但可以用数值表示 C. 独立性检验的本质是比较预测值与期望值之间的差异 D. 在回归分析中，残差平方和越大，越大，其模型拟合的精度越高 10. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若是空集，则A与B均是空集 C. 是一元二次方程的一个根，．则是q成立的充分不必要条件 D. ，使得为奇数 11. 下列说法正确的是（ ） A. ，，，则， B. 若，则决定了正态曲线集中位置 C. 5人分4张无座足球票，每人至多一张，票必须分完，不同的分法有5种 D. 盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，每次从中摸出1球且不放回，是首次摸出黑球时的总次数，则服从超几何分布 三、填空题（每道题5分，共15分） 12. 已知集合，若，则实数的取值范围为______ 13. 二项式展开式中的系数为________． 14. 近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2020—2025年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2020—2025年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数______． （参考公式：决定系数，参考数据：） 四、解答题：本大题共5小题，满分77分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 15. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个黄球､6个白球，从中随机地摸出3个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数. （1）若抽出黄球赋1分，白球赋2分，求随机摸出3个球得分大于3分的概率； （2）若不放回摸球，求X的分布列及其数学期望. 16. 人工智能教育是将人工智能与传统教育相结合，借助人工智能和大数据技术打造的智能化教育生态.为了解我国人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到我国2018年－2023年人工智能教育市场规模统计图.如图所示，若用x表示年份代码(2018年用1表示，2019年用2表示，依次类推)，用y表示市场规模(单位：亿元)，试回答： （1）根据条形统计图中数据，计算变量y与x的相关系数r，并用r判断两个变量y与x相关关系的强弱(精确到小数点后2位)； （2）若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，试求y关于x的线性回归方程，并据此预测2025年中国人工智能教育市场规模(精确到1亿元). 附：线性回归方程，其中；相关系数； 参考数据： 17. 我校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为500的样本进行调查，并得到如下2X2列联表： 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 140 400 不满意 100 合计 200 （1）请补全上面的列联表，依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系； （2）若竞赛成绩在前3的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，，.3道试题答对与否互不影响.用X表示能进入总决赛的人数，求X的分布列及数学期望. 参考公式及数据：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． （1）若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． （3）经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望及方差．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 19. 某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了20位高三学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分4个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示： 等级 不及格 及格 良 优 分数 1 2 3 4 人数 3 9 5 3 （1）若从样本中随机选取2位学生，求所选的2位学生分数不同的概率； （2）用样本估计总体，以频率代替概率.若从高三年级学生中随机抽取n位学生，记所选学生分数不小于3的人数为X. （ⅰ）若，求X的分布列与数学期望； （ⅱ）若，当k为何值时，最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $