2026届高三数学一轮复习课时作业26：任意角和弧度制、三角函数的概念

4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.把-1 125°化成α+2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　) A.-6π B.-6π C.-8π D.-8π 2.若角α的终边在y轴的非正半轴上，则角α+的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.y轴的非负半轴上 D.x轴的非正半轴上 3.设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α=x，则tan α等于(　　) A.- B.- C.- D.- 4.已知角x的终边上一点的坐标为，则角x的最小正值为(　　) A. B. C. D. 5.(2024·北京模拟)“sin 2θ>0”是“θ为第一或第三象限角”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为(　　) A. B. C.3- D.-2 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.下面说法正确的有(　　) A.角与角-的终边相同 B.终边在直线y=-x上的角α的取值集合可表示为{α|α=k·360°-45°，k∈Z} C.若角α的终边在直线y=-3x上，则cos α的取值为 D.67°30'化成弧度是 rad 8.(2025·深圳模拟)如图，质点A和B在单位圆O上逆时针做匀速圆周运动.若A和B同时出发，A的角速度为1 rad/s，起点位置坐标为，B的角速度为2 rad/s，起点位置坐标为(1，0)，则(　　) A.在1 s末，点B的坐标为(sin 2，cos 2) B.在1 s末，扇形AOB的弧长为-1 C.在 s末，点A，B在单位圆上第二次重合 D.△AOB面积的最大值为 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知角α的终边在图中阴影部分内，则角α的取值集合为　　　　　　　　　　　　　　.  10.(2024·昆明模拟)已知角θ的顶点为坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点A(1，a)(a∈Z)在角θ的终边上，且|OA|≤3，则tan θ的值可以是　　　　　　.(写出一个即可)  四、解答题(共27分) 11.(13分)已知α=. (1)写出与角α终边相同的角的集合，并求出在(-4π，-π)内与角α终边相同的角；(6分) (2)若角β与角α的终边相同，判断角是第几象限角.(7分) 12.(14分)某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA=2米，OB=x米(0<x<2)，线段BA，线段CD与的长度之和为6米，圆心角为θ弧度. (1)求θ关于x的函数解析式；(6分) (2)记该宣传牌的面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.(8分) 【提升练】 13.(多选)已知角θ的终边经过点(-2，-)，且θ与α的终边关于x轴对称，则(　　) A.sin θ=- B.α为钝角 C.cos α=- D.点(tan θ，tan α)在第四象限 14.(2024·呼和浩特模拟)用一个圆心角为120°，面积为3π的扇形OMN(O为圆心)围成一个圆锥(点M，N恰好重合)，该圆锥顶点为P，底面圆的直径为AB，则cos∠APB的值为(　　) A. B. C. D. 15.(多选)在平面直角坐标系Oxy中，已知任意角θ以坐标原点为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过点P(x0，y0)，且|OP|=r(r>0)，定义：sos θ=，称“sos θ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数f(x)=sos x”，有同学得到以下性质，其中正确的是(　　) A.该函数的值域为［-，］ B.该函数的图象关于原点对称 C.该函数的图象关于直线x=对称 D.该函数为周期函数，且最小正周期为2π 16.如图，在平面直角坐标系Oxy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)处，此时圆上一点P的位置在(0，0)处，圆在x轴上沿x轴正方向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2，1)处时，的坐标为　　　　　　　　.  答案精析 1.D　2.A　3.D　4.B 5.C　[∵sin 2θ=2sin θ·cos θ>0⇔>0⇔tan θ>0，∴θ为第一或第三象限角.] 6.B　[设∠AOB=θ，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为r1， 依题意，有= 即= 所以=== 从而得=.] 7.AD　[角与角-相差2π，终边相同，故A正确； 终边在直线y=-x上的角α的取值集合可表示为{α|α=k·180°-45°，k∈Z}，故B错误； 若角α的终边在直线y=-3x上，则cos α的取值为±故C错误； 67°30'化成弧度是 rad，故D正确.] 8.BCD　[在1 s末，点B的坐标为(cos 2，sin 2)，故A错误； 在1 s末，∠AOB=-1，扇形AOB的弧长为-1，故B正确； 设在t s末，点A，B在单位圆上第二次重合，则2t-t=t=2π+=故在 s末，点A，B在单位圆上第二次重合，故C正确； S△AOB=sin∠AOB， 又∠AOB∈(0，π)，∠AOB==则经过 s后，可得∠AOB=此时△AOB的面积可取得最大值故D正确.] 9.{α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°，k∈Z} 解析　终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1={β|β=30°+k·180°，k∈Z}， 终边在180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为S2={γ|γ=105°+k·180°，k∈Z}， 因此，终边在题图中阴影部分内的角α的集合为{α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°，k∈Z}. 10.2(答案不唯一) 解析　点A(1，a)(a∈Z)在角θ的终边上，且|OA|≤3， 则1+a2≤9，解得-2≤a≤2a∈Z， 则a的值可为-2，-1，0，1，2， 又tan θ==a， 故tan θ的值可以是0或±1或±2. 11.解　(1)与角α终边相同的角的集合为 令-4π<2kπ+<-π， 得-<k<- 又k∈Z，所以k=-2，-1， 所以在(-4π，-π)内与角α终边相同的角是--. (2)由(1)知，β=2kπ+(k∈Z)， 则=kπ+(k∈Z)， 则当k为偶数时，角是第一象限角；当k为奇数时，角是第三象限角， 所以角是第一或第三象限角. 12.解　(1)根据题意的长度为xθ米的长度为2θ米， 所以2(2-x)+xθ+2θ=6， 所以θ=(0<x<2). (2)依据题意，可知y=-=θ×22-θx2 =-x2+x+2=-+0<x<2. 所以当x=时，y的值最大，最大值为. 13.ACD　[因为角θ的终边经过点(-2，-)， 所以sin θ=-A正确； 由θ与α的终边关于x轴对称，得α的终边经过点(-2)，α为第二象限角，不一定为钝角，cos α=-B错误，C正确； 因为tan θ=>0，tan α=-<0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D正确.] 14. B [由圆心角为120°，面积为3π的扇形OMN， 得××OM2=3π，解得OM=3， 所以圆锥的母线PA=OM=3， 由底面圆的直径为AB，所以AB·π=×3， 所以AB=2， 设AB的中点为C，如图所示， 所以sin∠APC==， 所以cos∠APB=1-2sin2∠APC =1-2×=.] 15. AD [A中，由三角函数的定义可知x0=rcos θ，y0=rsin θ，所以f(x)=sos x==sin x+cos x=sin∈［-，］，所以A正确； B中，f(x)=sos x=sin，所以f(0)=sin=1≠0，所以B错误； C中，当x=时，f=sin=sin π=0≠±，所以C错误； D中，f(x)=sos x=sin，所以函数为周期函数，且最小正周期为2π，所以D正确.] 16.(2-sin 2，1-cos 2) 解析　如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B. 因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA=2，即圆心角∠PCA=2， 则∠PCB=2- 所以PB=sin=-cos 2， CB=cos=sin 2， 所以xP=2-CB=2-sin 2，yP=1+PB=1-cos 2， 所以=(2-sin 2，1-cos 2). 学科网（北京）股份有限公司 $$