2.9 函数的零点与方程的解（2大考点+12大题型）（讲义+精练）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

2.9　函数的零点与方程的解 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、函数的零点 3 二、二分法 3 常用二级结论 4 03 探究核心题型 5 题型一：函数零点所在区间的判定 5 题型二：函数零点个数的判定 7 题型三：根据函数零点个数求参数 11 题型四：根据函数零点的范围求参数 14 题型五：用二分法求方程的近似解 17 题型六：半分离参数法求零点问题 19 题型七：嵌套函数与零点问题 23 题型八：共零点问题 28 题型九：零点比大小问题 33 题型十：不动点问题 37 题型十一：等值线问题 40 题型十二：已知函数只有一个零点，求参数的具体值 43 04 好题赏析（一题多解） 46 05 数学思想方法 51 ①数形结合 51 ②转化与化归 55 ③分类讨论 57 06 课时精练（真题、模拟题） 61 基础过关篇 61 能力拓展篇 73 1、理解函数的零点与方程的解的联系. 2、理解函数零点存在定理，并能简单应用. 3、了解用二分法求方程的近似解. 一、函数的零点 （1）函数零点的概念 对于函数，使的实数叫做函数的零点. （2）方程根与函数零点的关系 方程有实数根函数有零点函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. （3）方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为. （4）零点存在性定理 如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 注意：①符合该定理的条件，能确定在区间内有零点，但零点不一定唯一. ②并不是所有的零点都可以用该定理来判定.不满足该定理的函数也可能有零点. 函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，零点存在性定理只适用“不变号零点”. ③若在区间内有零点，且在区间上单调，则在内有唯一零点. ④设，若在上有零点，则； 二、二分法 ①二分法的概念 对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. ②用二分法求方程近似解的步骤 （1）确定区间，验证，给定精确度； （2）求区间的中点； （3）计算， （i）若，则就是函数的零点； （ii）若，则令 （iii）若，则令 （4）判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值为（或）；否则重复（2）~（4） 常用二级结论 (1)若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程的实数解. (2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号. 题型一：函数零点所在区间的判定 【例1】（2025·湖北十堰·模拟预测）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，因为在上连续且为增函数． 且，则． 由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是． 故选：C. 【解题总结】 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理 (2)数形结合法：通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 【变式1-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【解析】求导得， 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 根据，， 当时，，可作出图象： 所以当时，， 根据图象可知，， 所以恒有，故B正确， 由于，，所以，故C错误， 故选：B. 【变式1-2】已知实数是函数的一个零点，实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 其为上的单调递减函数， 其中，， 故只有一个零点， 又，， 又，所以， 或， 若，则， 若，则， 故，D正确，C错误；或，AB错误. 故选：D 【变式1-3】函数的零点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数是连续增函数，，， 所以函数的零点在内，所以， 故选：C． 【变式1-4】方程的根所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令， 故函数为定义在上的连续函数，且显然为增函数， 因为，，， 由零点存在定理可知，方程的根所在的区间为. 故选：C. 题型二：函数零点个数的判定 【例2】（2025·吉林·模拟预测）函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由的零点， 转化为的零点， 因为均为减函数， 在上单调递减且， 又， ， 若存在，使得，只需， 则即可，存在值， 在上有且只有一个零点，即有且只有一个零点. 故选：B 【解题总结】 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令,方程有多少个不同的实数根,则有多少个零点. (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等. (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数. 【变式2-1】（2025·高三·四川·期中）已知实数满足，则函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题设，则或时，时，， 所以在上递增，在上递减，且， 由，即，而在R上递增，在R上递减， 显然，故， 所以，又趋向时趋向趋向时趋向， 综上，共有3个零点． 故选：D 【变式2-2】函数在定义域内的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】函数分别是R上的减函数和增函数，则函数是减函数， 而，， 所以函数在R上的零点个数是1. 故选：B 【变式2-3】已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】当时，易知单调递增，则； 当时，，则， 令，解得，令，解得， 当时，，令， 令，由函数与函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，所以， 故函数在上无零点； 当时，， 令，则，化简可得， ，由对称轴， 当时，，当时，， 所以方程在有两个不相等的实数根， 故函数在上有两个零点； 当时，，令， 整理可得，易知该函数在上单调递减，则， 可得，由函数与函数在上单调递增， 则在上单调递增，所以， 故在上无零点. 综上所述，函数在其定义域内有两个零点. 故选：C. 【变式2-4】（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则函数的零点个数为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，， 据此可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 由函数的解析式易知函数在区间上单调递减， 绘制函数图像如图所示， 注意到， 故方程的， 则原问题转化为求方程时解的个数之和， 由函数图像易知满足题意的零点个数为7个. 本题选择B选项. 题型三：根据函数零点个数求参数 【例3】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知，若有唯一解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 为偶函数， ，设，， 则在有唯一零点．，当且仅当取等号． 若,时，，则在单调递增， 又因为，所以在有唯一零点 若,时，令得，即， 解得或， 其中，满足要求， ， 其中，故在时恒成立， 所以，即，不合要求， 当时，，则在单调递减， 所以，时，， 故在有1个零点． 又，所以在上有两个零点，不满足题意， 故的取值范围为． 故选：C. 【解题总结】 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范围). (2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围. (3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解. 【变式3-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数有且仅有3个零点，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，令函数，其定义域为， ，函数为奇函数， 依题意，直线与函数的图象有且仅有3个交点， 求导得，函数在上单调递减， 曲线在点处的切线方程为，令， 求导得，函数在上单调递减， 当时，；当时，， 即当时，；当时，；当时，， 作出的图象，如图： 观察图象知，当时，直线与函数的图象有且仅有3个交点， 所以m的取值范围是. 故选：B. 【变式3-2】（2025·北京昌平·二模）已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C．（，1） D． 【答案】B 【解析】因为， 若时，，则有且仅有一个零点，不符合题意； 若，当时，， 则在上单调递增，且， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 要使恰有三个零点，则，解得； 若，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，且， 当时，， 所以在上单调递增，且， 要使恰有三个零点，则，解得； 综上可得实数的取值范围是. 故选：B 【变式3-3】（2025·湖南邵阳·三模）设，是定义在上的两个周期函数，的周期为8，的周期为4，且是奇函数．当时，，，若在区间上，函数恰有8个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，令，即且， 故图象是以为圆心，2为半径的半圆， 又的周期为8，若直线过时，即， 在同一坐标系，在区间上的图象如下，恰有8个交点， 当直线与半圆且相切时，， 所以，可得，结合图知， 当与半圆且相交时，只有一个交点， 此时，上，恰有5个交点， 综上，实数的取值范围是. 故选：C 题型四：根据函数零点的范围求参数 【例4】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【解题总结】 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范围). (2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围. (3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解. 【变式4-1】已知函数，若有且只有一个零点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】显然，否则函数有两个零点，不符合题意， 函数，求导得， 当时，由，得或，函数在上单调递增， ，则函数在上有一个零点，不符合题意； 当时，由，得或，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值，当时，取得极大值， 而，则在上有唯一零点， 因为有且只有一个零点，且，则当且仅当，于是， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【变式4-2】（2025·高三·江西抚州·期中）若函数在区间上有零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，函数， 设为函数在上的零点，则， 即，即点在直线上， 又表示点到原点的距离的平方，则，即， 令，则， 因为，所以，在单调递增. 所以最小值为. 故选：A 【变式4-3】函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】令， 因为， 所以函数图象与轴有两个交点， 因为函数在上存在零点，且函数图象连续， 所以，或， 所以，或， 解得或 故选：B 题型五：用二分法求方程的近似解 【例5】用二分法求函数在区间内的零点时，需要的条件是（   ） ①在区间上是连续不断的；②；③；④． A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】A 【解析】根据二分法定义得①②正确． 【解题总结】 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 【变式5-1】设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下： 0.125 0.4375 0.75 2 0.49 3.58 依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由表格数据可知，，又因为函数在上连续，且函数在上单调递增，所以函数在区间上存在一个零点.又因为，所以方程的近似解（精确度为0.5）可以是区间上的任意一个数，观察四个选项可知C正确. 【变式5-2】已知函数的一个零点，在用二分法求精确度为的的一个值时，需判断各区间中点的函数值的符号最少（）（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【答案】C 【解析】判断n次时，区间长度为，由，得，得，即． 【变式5-3】（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原始区间长度为， 第一次，区间长度减半，为， 第二次，区间长度减半，为， 第三次，区间长度减半，为， 第四次，区间长度减半，为， 故至少需要重复四次. 故选：B. 【变式5-4】下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点， 交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解，A正确； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点，B正确； 对于C选项，由题意可知只有一个零点， 且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点，C错误； 对于D选项，， 在单调递增，单调递减，所以， 则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，D正确. 故选：C 题型六：半分离参数法求零点问题 【例6】已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，定义域为，则可得， 令，则， 所以时，即递增，值域为； 时，即递减，值域为； 而恒过，函数图象如下： 要使有且只有两个整数解，则与必有两个交点， 若交点的横坐标为，则， 所以，即. 故选：C 【解题总结】 半分离参数法 【变式6-1】（2025·河南·模拟预测）已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数存在唯一的整数，使得， 设与, 即存在唯一的整数，使得在直线上方, ，当时，,在上单调递增；当时，,在上单调递减，,， 若要存在唯一的整数，使得在直线上方， 则或，代入得或， 解得, 故答案为：. 【变式6-2】设函数，,若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 【答案】 【解析】函数的大致图像如图所示， 当时，，无解，，不止一个整数解，不合题意； 当时，如①所示，，不止一个整数解，不合题意； 当时，若直线经过点时， 此时，无整数解，故当时，恰有一个整数解，而此时，无解，符合题意； 若直线经过点时，此时，无整数解， 时，无整数解， 若直线经过点时，此时，无整数解，时，恰有一个整数解，即， 综上，的取值范围是. 【变式6-3】（2025·北京大兴·三模）已知函数，则的最小值是 ，若关于的方程有且仅有四个不同的实数解，则整数的一个取值为 . 【答案】 1（答案不唯一，即可） 【解析】当时， ， 易知当时，有最小值； 当时，， 由，得，则，此时最小值为； 综上：函数的最小值为. 因为方程有且仅有四个不同的实数解,即函数的图像与函数的图像有四个不同的交点， 作出函数的图像，由于a为整数，如图所示，只有函数和的图像与函数的图像有四个不同的交点， 所以整数a的取值可以为中的一个. 故答案为：；1（答案不唯一，即可） 【变式6-4】若关于的不等式的解集为()，且中只有一个整数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，得， 设，，由题设原不等式有唯一整数解， 即在直线下方，，   在递减，在递增， 故，恒过定点， 结合函数图像得，即． 故答案为： 题型七：嵌套函数与零点问题 【例7】（2025·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】⑴ 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，函数图象如下： 令，，解得或， 即或，根据图象有2个解，有1个解， 所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下： 令，，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又有8个零点，所以要有3个解， 即，解得， 故选：D. 【解题总结】 （1）针对多个根的取值范围问题，需构建新函数以明确取值区间。 （2）以二次函数作外函数时，可借助参变分离简化运算，但需具备扎实函数基础。 【变式7-1】已知三次函数有两个零点，若方程有四个实数根，则实数a的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，则得或 三次函数有两个零点，且程有四个实数根， 所以只需或共有四个根即可， 所以或. 又方程有四个实数根，则或共有四个根. 在,上单调递增，在单调递减. 当时，，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图①) 则，即，解得. 当，得，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图②) 则，即，解得. 综上所述，当时，方程有四个实数根. 故选：C 【变式7-2】（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数，关于的方程的根的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解析】由得，解得或， 画出的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10个交点．（图中只显示了6个交点，当或时，和与图象还有4个交点，） 故选：D. 【变式7-3】（2025·山西吕梁·三模）已知函数有三个零点，则三个零点之和为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】令，则，函数可转化为. 因为函数有三个零点，所以函数也有三个零点. 是偶函数，其图象关于轴对称. 因为有三个零点，根据偶函数的性质可知，必有一个零点为. 将代入中，可得，即，因式分解得. 因为，所以，解得. 当时，. 当时，，令，即，因式分解得，解得或. 因为是偶函数，所以当时，，令，即，因式分解得，解得或. 所以的三个零点为，，. 因为，，所以当时，；当时，；当时，. 即的三个零点为，，. 三个零点之和为. 故选：D. 【变式7-4】（2025·宁夏银川·三模）若函数，则的零点个数为（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】令，则，所以， 解得，解得或， 当时，，求导得， 令，则，解得， 若时，，若，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，， 当时，在上单调递增，且， 所以有3个解，有2个解， 所以的零点个数为5个. 故选：D. 【变式7-5】（2025·高三·湖北武汉·期中）已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的图象如图： 方程有8个不同的根，令，则有两个不同的根，，且，的范围是，所以，解得. 故选：C. 【变式7-6】已知函数，若关于x的方程有8个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则方程化为， 作出函数的图象，如图所示： 因为方程有8个不相等的实数根， 所以方程，在上有两个不相等的实数根， 令， 则， 解得， 故选：B 【变式7-7】已知函数，关于的方程有8个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，由，得， 设关于的二次方程的两根分别为、， 如下图所示： 由于关于的方程有8个不等的实数根， 则，，设， 则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 题型八：共零点问题 【例8】对于任意的，不等式恒成立，则实数（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】令，易知在上单调递增，且， 所以当时，，当时，， 令，则在上连续， 因为不等式恒成立， 所以当时，，当时，， 由零点存在性定理可知，即， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，则， 所以，解得， 故选：C 【解题总结】 共零点问题：此类问题往往是的形式，其特征是两个函数具备相同的零点． 【变式8-1】设函数，若恒成立，则的最小值为 ． 【答案】2 【解析】令，则，令，则， 当时，恒成立，此时不符合恒成立； 当时，令，则，因为恒成立， 所以，所以， 令，则， 令，则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 故答案为：2 【变式8-2】已知，，若关于的不等式在恒成立．则的最小值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【解析】设. 由已知，在单调递增， 当时，；当时，. 由图象开口向上，，可知方程有一正根一负根， 即函数在有且仅有一个零点，且为异号零点； 由题意，则当时，；当时，. 所以是方程的根，则，即，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 则的最小值是. 故选：B. 【变式8-3】设函数，若在上恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令函数， （1）和与轴的交点都在原点左侧，如图： 此时，当时，，，恒成立， ∴，即 ∴，； （2）和与轴的交点不在原点同侧，如图： 或 有图可知，均存在区间或使得函数，故舍去； （3）和与轴的交点都在原点右侧， ①当两个零点不重合时，如图： 或 显然此时，存在或使得，故舍去； ②当两个零点重合且，时，如图： 此时，当时，恒成立， 故，∴ ∴ 综上所述：， 故选：B 【变式8-4】（2025·高三·四川成都·期中）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，. 因为，所以在上单调递增. 当时，；当时，. 因为的图象开口向上，，所以方程有一正根一负根， 即函数在上有且仅有一个零点，且为异号零点. 由题意可得，，则当时，；当时，， 所以是方程的根，则，即，且， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：A. 题型九：零点比大小问题 【例9】已知函数，若当时，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，， 设函数，， 函数在上单调递增，，则当时，； 令，则，若恒成立，则，否则， 下面验证时存在满足题意， 不妨令，则，在处的导数值为，取，此时， 设函数，要证恒成立，只需证恒成立， ，当时，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，所以的最大值为e. 故选：D 【解题总结】 针对双参数比值型问题，可采用零点比大小法求解。具体而言，先将曲线与直线分离，分别绘制二者图像并确定其零点。需留意，直线零点往往对应待求双参数比值，当直线零点与曲线零点重合之际，该双参数比值可取得最值。 【变式9-1】已知，若不等式对任意实数恒成立，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】令，由不等式对任意实数恒成立等价于， 所以，令有，令， 由有，有，所以在单调递增，在单调递减， 所以， 所以， 令， 所以，令有， 由有，由有， 所以在单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 故答案为：. 【变式9-2】已知不等式对任意的实数t恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】依题意可知对任意的实数t恒成立． 设，则． 当时，，在R上单调递增，当时，，不合题意． 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，． 因为对任意的实数t恒成立， 故恒成立， 即恒成立， 则恒成立． 令，， 则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 故， 故，当，时等号成立，故的最大值为． 故答案为： 【变式9-3】（2025·高三·安徽宿州·期末）若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数 . 【答案】 【解析】由题意可知，令， 当时，研究函数与的图象， 因为，当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 所以函数有最小值为， 而为单调递减的直线，如图， 此时不恒成立，不符合题意； 当时，， 令，， 易知在上单调递减，在上单调递增， 且由于函数有最小值为，所以当时，方程有解， 设解为，则，且， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 由题意恒成立，所以， 所以， 当且仅当时取等号，此时. 【变式9-4】若，对，均有恒成立，则的最小值为 【答案】 【解析】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 【变式9-5】（2025·高三·湖北·期末）已知，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】，则， 所以不等式恒成立，即，恒成立， ，，所以 设， ，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，函数取值最大值， 所以，即， 当时，， 当时，， 设，，，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 所以的最大值为. 故答案为： 题型十：不动点问题 【例10】设函数，若曲线上存在点使得，则a的取值范围是 A．［ln3－6，0］ B．［ln3－6，ln2－2］ C．［2ln2－12，0］ D．［2ln2－12，ln2－2］ 【答案】A 【解析】根据题意曲线上存在点, 使得，即． 下面证明 假设，则，不满足，同理假设，不满足， 所以， 那么函数，即函数在有解； 所以， 令，则 由可得或（舍） 当时，，在上单调递减； 所以，即 故选A． 【解题总结】 1、有解有解．特别地，当函数单递增时，的解与的解相同． 2、无解无解． 3、有解有解． 4、无解无解． 【变式10-1】已知函数，若曲线上存在点使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，函数为增函数.若，则； 同理，若，则，均与题设条件不符. 由可得，且. 因此，关于的方程在上有解， 整理得在上有解. 设，则为上的减函数， 注意到，故，从而函数在上单调递增. 所以，. 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【变式10-2】设是函数定义域内的一个子区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间上存在次不动点，若函数在区间上存在次不动点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，存在，使， 解得，设， 则由，得（舍去）或， 则在上递减，在上递增， 又，，， 所以在的值域为， 即的取值范围是. 故选：B. 【变式10-3】已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】依题意，，而，即函数是奇函数， 由曲线上存在点，使得， 得存在，使得成立，函数在定义域内单调递增， 下面证明：成立， 假设，则，不满足，假设不成立， 假设，则，不满足，假设不成立， 因此， 则原问题等价于“在上有解”，即“在上有解”， 设，，求导得， 令，求导得，由，解得， 当时，；当时，，在上递减，在递增， 因此，函数在上单调递增， 于是的值域为，即，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 题型十一：等值线问题 【例11】（2025·河北·模拟预测）已知函数，方程有4个不同的根，且满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】在同一平面直角坐标系下，作出函数和的图象如下图所示： 依题意得：，且，则. 设，则，，， 所以，令， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 【解题总结】 数形结合 【变式11-1】（2025·四川·模拟预测）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据函数解析式，可得函数大致图象如下， 由图知，且， 由，得，即，故， 由，则，由，则， 所以，且在上单调递增， 所以. 故选：A 【变式11-2】已知函数，若方程有4个根分别为，，，，且，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】画出的图象如下： 因为方程有4个根，则函数的图象与直线有四个不同的交点， 由图象可得，； 又由题意可得，与是方程的两根，与是方程的两根， 则，则， 则. 故答案为：. 【变式11-3】（2025·山东·一模）已知，若有个根，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】作出的图象，如图， 不妨设，根据二次函数的对称性可得， 由对数函数的性质可得，. 若有个根，由图可知，从而易知， 于是. 因为，所以. 故答案为:. 题型十二：已知函数只有一个零点，求参数的具体值 【例12】（2025·河南·模拟预测）已知函数恰有一个零点，则实数（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【解析】由得， 而， 故为偶函数. 由对称性，，从而 当时， 当时，，即无零点， 由对称性，时，也无零点，从而仅有一解，即满足题意. 故选：A 【解题总结】 （1）借助零点存在性定理构建相应不等式，进而求解参数的值或取值范围。 （2）通过分离参数，将问题转化为函数值域（最值）问题，以此确定参数的值或范围。 （3）把问题转化为两个熟知函数图像的上、下位置关系问题，构建不等式求解参数。 【变式12-1】已知函数有唯一零点，则实数（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】当时，则，， 由知，，则函数在区间单调递增； 当时，则，， 由知，，则函数在区间单调递减； 所以函数的最小值为，且当无限趋近于无穷大时，无限趋向于正无穷大， 当无限趋近于0时，无限趋向于正无穷大， 所以函数有唯一零点，则需， 所以. 故选：D 【变式12-2】（2025·湖南岳阳·二模）若函数有唯一零点，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】由于有唯一的零点，所以也有唯一的零点， 由于均为偶函数，所以为偶函数， 因此，故， 故选：C 【变式12-3】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】定义域为， ，所以函数为偶函数， 又因为函数有唯一零点，根据零点关于轴对称，得出，所以， 当时，函数有唯一零点，符合题意； 当时，函数有零点，不符合题意舍； 故选：C. 【变式12-4】已知函数，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（   ） A．或 B．1或 C．或1 D．或2 【答案】A 【解析】函数，分别为定义在上的偶函数和奇函数， 则，， 所以，解得， 由为偶函数，关于对称，则关于对称， 又为偶函数，关于对称，则关于对称， 所以关于对称， 则有唯一零点一定在处取得， 故有， 化简得，解得或. 故选：A. 【变式12-5】（2025·山东·模拟预测）已知函数有唯一零点，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】设，定义域为R, ∴， 故函数为偶函数，则函数的图象关于y轴对称， 故函数的图象关于直线对称， ∵有唯一零点， ∴，即． 故选：D． 1．已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数m取值范围值是    A． B． C． D． 【答案】D  【解析】原方程可转化为， 即或， 当时，；当时，， 方法1：要使得有3个不同的实根，则有或， 解得 方法2：作出的图象，如图所示， 当时，有1个实根，有1个实根，不符合题意； 当时，有1个实根，有2个实根，符合题意； 当时，有1个实根，有1个实根，不符合题意； 当时，有2个实根，有1个实根，符合题意； 当时，有1个实根，有1个实根，不符合题意； 综上， ． 故选 2．已知函数则方程为常数且的不同的实数根的个数为    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B  【解析】解法一：由，得 ， ， 作出函数和的图象如图所示， 易知函数的图象共有4个不同的交点， 即方程为常数且有4个不同的实数根． 故选 解法二：对于任意的，方程的解的个数是确定数， 因此不妨取特殊值，则或 令， 因为且其两根之积小于零， 所以该方程在上只有一个解． 令，因为且其两根之积大于零，两根之和大于零， 所以该方程在上有两个不同的解． 令，因为， 所以， 故无解． 令，因为， 所以，且在上单调递增， 故只有一个解． 综上，方程为常数且的不同的实数根的个数为4， 故选 3．已知方程有四个不同的实数根，满足，且在区间和上各存在唯一整数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】方法一． 令，则．所以为偶函数． 所以只需考虑时，有两个零点，且在区间上存在唯一的整数即可． 当时，令，得． 令，则． 当时，，所以在上单调递增； 当时，0，所以在上单调递减． 因为在区间上存在唯一的整数， 所以，即． 所以的取值范围为． 方法二：． 令，则，所以为奇函数． 因为也是奇函数， 所以只需考虑时，与的图象有两个交点，且在区间上存在唯一的整数． 易知，当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 当直线过点时，； 当直线过点时，． 因为与的图象有两个交点，且在区间上存在唯一的整数， 所以，所以的取值范围为． 方法三：由，得． 令，两函数均为偶函数， 所以只需考虑时，与的图象有两个交点， 且在区间上存在唯一整数． 如图，作的部分图象，根据图象易得， 所以解得， 所以的取值范围为． 故答案为： ①数形结合 1．已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数a的取值范围是  A． B． C． D． 【答案】C  【解析】因为函数  有两个零点， 所以函数  的图象与函数 的图象有一个不同的交点， 函数  恒过定点  ，   ，如图所示， 两个函数图象已经有一个交点 ，  时，   ，其导函数  ， 当直线  与函数  相切时，只有一个交点  ， 此时  ，解得  ， 则当  时，有一个交点，  时，  ， 其导函数  ， 当直线  与函数  相切时，只有一个交点  ， 此时  ，解得  ， 则当  时，有一个交点， 当时，两个函数图象有一个交点 ， 综上，要使函数  有一个零点， 则实数 a 的取值范围是 故选： 2．已知函数若函数恰有4个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D  【解析】若函数恰有4个零点， 则有四个根， 即与有四个交点， 当时，与图象如下： 两图象有2个交点，不符合题意， 当时，与x轴交于两点， 图象如图所示， 两图象有4个交点，符合题意， 当时， 与x轴交于两点， 在内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点， 只需与在还有两个交点，即可， 即在还有两个根， 即在还有两个根， 函数，当且仅当时，取等号， 所以，且， 所以， 综上所述，k的取值范围为 故选： 3．已知函数，则函数的零点个数是        A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B  【解析】令，设，则等价于， 因为的根，即为函数与的图象交点的横坐标， 分别作出函数与的图象，如图所示， 显然交点有两个，分别设横坐标为与，且， 由图可得，， 当时，观察函数与图象，有2个交点， 当时，观察函数与图象，有3个交点， 综合可得与共有5个交点，即的零点个数为5个． ②转化与化归 4．若函数在上有零点，则a的取值范围为    A． B． C． D． 【答案】A  【解析】由题意可知在上单调递减， 所以，即， 解得， 则a的取值范围为： 故选： 5．设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A  【解析】在区间内恰有6个零点 又二次方程最多有两个零点， 至少有四个根， ， 令，即 ，， ，， 又， ，， 即，， ①当时，，有4个零点，即， ，有5个零点，即， ，有6个零点，即， ②当时，， ， 解得， 当时，，无零点， 当时，，有1个零点， 当时，， 的对称轴，即在对称轴的左边， 当时，即，有两个零点， 当时，即，有1个零点， 综合①②可得， 故选 6．函数，，若有两个零点，，的零点为，则关于的不等式不能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A  【解析】令得， 则的零点即为与交点的横坐标， 令得， 则的零点即为与交点的横坐标， 画出，，的图象， 可得选项B、C、D可能成立， 故选 ③分类讨论 7．已知函数，若关于x的方程恰有两个不同的实数根，则实数k的取值范围为          ． 【答案】  【解析】作出图象，如图： 令，则原方程即为， 记方程的两根为，，可知，， ①当时，， 当时，，此时方程恰有两个不同的实数根，满足题意； 当时，，此时方程仅有一个实数根，不满足题意； ②当时，或，此时，不妨设， 当时，， 则方程有三个不同的实数根，方程有一个实数根，不满足题意； 当时，， 此时方程和各有一个实数根且两根不相等，满足题意； 综上可知，实数k的取值范围为 8．对任意实数x，以表示不超过x的最大整数，称它为x的整数部分，如，等．定义，x称它为的小数部分，如，等．若直线与的图象有四个不同的交点，则实数k的取值范围是          ． 【答案】  【解析】直线整理得：，直线恒过， 当时，， 又因为是周期为1的函数， 由与图象可知： ①时，当直线经过点时，有3个交点，则， 当直线经过点时，有4个交点，则， 当时，直线与有4个不同的交点； ②时，当直线经过点时，有3个交点，则， 当直线经过点时，有4个交点，则， 当时，直线与有4个不同的交点， ， 故答案为： 9．已知函数若函数所有零点的乘积为1，则实数a的取值范围是          ． 【答案】  【解析】令， 令得，故显然即：的所有解的乘积为 数形结合：的解可看作函数的图象与直线的交点的横坐标； 结合的图象可知： 当时：函数的图象与直线没有交点； 当时：函数的图象与直线有2个交点，即当时有2个解，， 且满足，故 又单调递增，且，此时与无交点，故 故 基础过关篇 1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设函数，，曲线与恰有一个交点，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】令函数， 可得 ， 即，所以函数的图象关于直线对称， 因为函数与恰有一个交点，所以， 可得，解得. 故选：C. 2．（2025·山东淄博·三模）若关于的方程有唯一解，则求得上述关于的方程的非零实数解为（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】设，显然， 又 ， 故为偶函数， 又有唯一零点， 由对称性可知的零点为0， 故，即，即， 解得或2， 所以上述关于的方程的非零实数解为2. 故选：C 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知是定义在上的周期函数，其最小正周期为5，设，若在区间内共有26个零点，则在区间内的零点个数为（    ） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】B 【解析】令，则，当时，，所以在区间内的零点个数即为在区间内的零点个数． 设在一个周期内的零点个数为，在内的零点个数为，则在内有个零点． 因为，由已知，．又，则． 因为在内有个零点，在内有2个零点，所以在区间内有10个零点． 故选：B. 4．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，则函数在区间上的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】， 由，得或，即或或，. 所以函数在区间的零点是 4个. 故选:D 5．（2025·云南·三模）已知定义在上的函数与函数的图象有唯一公共点，则实数m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为，则， 所以的图象关于对称，且当时，单调递增，当时，单调递减； 又，故可看作由函数向右平移1个单位得到， 所以的图象也关于对称； 又由于函数与函数的图象有唯一公共点，即方程只有一根， 因为两函数图象都关于对称，所以方程的根为，即，解得. 故选：C． 6．（2025·河北秦皇岛·三模）设函数，若在区间上有且仅有一个零点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】由函数， 可得， 则， 所以函数是上的偶函数， 因为函数在上有且仅有一个零点，所以，即，解得． 故选：D． 7．（2025·江西·二模）已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令f(x)=0，得 即 令 则 (1-e)t-1=0， 令 则 令 在区间(ln(e-1) ，+∞)上单调递增； 令 在区间 上单调递减，又 1，h(0)=h（1）=0，则h(x)=0有且只有两个根，分别为0，1. 当a≥0时，函数f(x)恰有2个零点等价于 的图象与直线y=0和y=1共有2个交点. 令p(x)= lnx+ ax，则 则p(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又x→0，p(x)→-∞，x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，则.y= ax+ lnx的图象与直线y=0和y=1各有1个交点，符合题意. 当a<0时，函数f(x)恰有2个零点，等价于函数y=lnx的图象与直线y=-ax，y=1-ax的图象共有2个交点，临界情况为两条直线分别与y=lnx的图象相切. 如图1，当y=-ax与y=lnx相切，设对应切点为，因为 则相应切线方程为 如图2，当y=1-ax与y= lnx相切，设对应切点为，则相应切线方程为 则 综上 故选：D. 8．（2025·浙江·二模）定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】因为，故，故， 即， 而当时，， 故当时，，故， 故， 当时，， 而在上为减函数，在为增函数， 故在有有且只有一个实数解为； 当时，， 而，故，此时在上无解； 故当时，，则， 结合上的性质可得在上有且只有一个实数解， 且该实数解为，在无实数解， 而且， 故在上的实数解为，，， ，共4个实数解， 故共有4个不同的零点. 故选：B. 9．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 10．（2024·广东江苏·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 11．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 12．（多选题）（2025·山东临沂·三模）已知，其中，则（    ） A．当时，直线与函数的图象相切 B．当时，直线与函数图象有且只有1个交点 C．若函数在上单调递增，则的取值范围为 D．若函数在上有两个零点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】对A：当时，，，. 设点为函数图象上任意一点，则函数在该点处的切线方程为： . 由该切线过点可得：， 因为，所以，所以. 所以切点为，所以切线方程为.故A正确； 对B：当时，，. 由. 设，则. 由；由. 所以在上递减，在上递增. 且，，. 所以方程在上有两解.即直线与函数图象有两个交点.故B错误； 对C：函数在上单调递增，所以在上恒成立. 当时，成立； 当时，，所以，. 设，，则， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以，所以； 当时，，所以，. 所以在上恒成立，即在上单调递减. 又当时，，所以. 综上，故C正确； 对D：函数在上有两个零点，所以有两解， 因为，所以方程，两解. 设，，则. 由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 又，当时，. 所以方程有两解，可得.所以.故D正确. 故选：ACD 13．（多选题）（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数，则（   ） A．的极小值是1 B．恰有2个零点 C．方程恰有1个实根 D．对任意的，都有 【答案】ACD 【解析】，， 令，可得，当时，，当时，， 所以是函数的极小值点，极小值，故A正确； 由在上单调递减，上单调递增，且， 可知无零点，故B错误； 令，则，即， 令，， 令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递增，上单调递减， ，故，则，单调递减， 当时，，当时，， 所以直线和曲线有且只有一个交点， 即方程恰有1个实根，故C正确； 由，令，， 当时，，所以在上为凹函数， 所以对任意的，都有，故D正确. 故选：ACD. 14．（多选题）（2025·河南·模拟预测）设函数，则（   ） A．的极大值为2 B．当时， C．图象上任意一点处的切线与的图象恒有两个公共点 D．方程有且仅有5个不同的实根 【答案】ABD 【解析】，求导数， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 对于A，函数在处取极大值， A正确； 对于B，函数在上单调递增，在上单调递减， ，，因此，B正确； 对于C，，函数的图象在处切线方程为， 由 解得，即此函数的图象在处与曲线仅有一个公共点， C错误； 对于D，令，由，即，解得或， 当时，解得或；当时，而函数在处取极小值， 在处取极大值，，则直线与函数的图象有3个交点， 即方程有3个不同实根，因此方程有且仅有5个不同的实根，D正确. 故选：ABD 15．（多选题）（2025·安徽合肥·模拟预测）设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则（    ） A． B．函数的对称中心为 C．过引曲线的切线，有且仅有1条 D．若成等差数列，则 【答案】ABD 【解析】由，令，解得：或， 在上单调递增，在上单调递减. 对于A，若有3个零点，则，解得：，故A正确； 对于B，令，则，令， 令，得，又所以对称中心为，故B正确； 对于C，结合图象，过引曲线的切线有2条，故C错误； 对于D， ， （*） 若成等差数列，则，则， 代入（*）得：，故D正确. 故选：ABD. 16．（2025·山东·模拟预测）函数的零点为 . 【答案】5 【解析】令，得，所以，解得或（舍去）. 故答案为：5. 17．（2025·湖北·模拟预测）已知函数有2个零点，，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数，有两个零点，求导得：. 当时，，此时在上单调递增，不合题意. 所以.令，则. 为了使得函数有两个零点，则极大值，所以. 因为函数，有两个零点， 所以，即 两式相减得. 因为，令，则，那么 ，两式相减得，所以①. 两式相除可得：，即，所以. 两边同时取对数得到：，化简得：②. ①②联立可得：，所以令，则. 因为，因为， 设，则，故在为减函数， 故，故为函数，故. 令，所以，所以在上单调递减， 又，所以，所以. 所以的取值范围为. 令，则，所以在上单调递增， 所以. 所以综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 18．（2025·山西·三模）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为当时，解得，函数有一个零点； 因此，要使函数有两个零点，只需时，函数有一个零点． 当时，函数对称轴为， 若，只需，解得； 若，只需，可得； 若，有且只有一个零点，不满足条件， 综上，的取值范围为． 故答案为： 19．（2025·甘肃白银·模拟预测）函数满足条件：①图象为轴对称图形，②至少有一个最值，③至少有两个零点，请写出的一个表达式 ． 【答案】（答案不唯一，写出一个即可） 【解析】函数的对称轴为y轴，有一个最小值－1，两个零点，，符合题意． 故答案为：（答案不唯一，写出一个即可） 能力拓展篇 20．（2025·山东泰安·三模）若函数满足：存在整数，实数，使得，则称是“滞后的”.已知函数，不是“滞后的”，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由“滞后的”的定义，知单调函数必不为“滞后的”， 当时，则，函数在R上单调递增，符合题意； 依题意，，若在上存在零点，则符合“滞后的”定义， 有，当且仅当，时取等号， 当且时，，， 因此函数在区间上一定存在零点，不符合题意； 当，时，函数在区间上至少存在1个零点，不符合题意； 当，，，则，， 而不为整数，符合题意， 所以的取值范围为. 故答案为： 21．（2025·北京通州·一模）设，函数，若为单调函数，则a的一个取值为 ；若有三个零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 1（答案不唯一）， 【解析】因为，则时，，在上单调递增， 此时 时，，在上单调递增，此时， 故要使得为单调函数即单调递增函数，则需满足， 结合，则， 故a的一个取值可为1； 时，，令， 则，解得或； 时，，令， 则，解得， 当时，在时有一解，在时，有一解，不符合题意； 当时，在时有两解和，在时，有一解，符合题意； 故实数a的取值范围是， 故答案为：1（答案不唯一）， 22．（2025·陕西·模拟预测）激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.函数是常用的激活函数之一､其解析式为.则对于任意实数，函数至少有一个零点 . 【答案】 【解析】， 由可得，可得， 由，可得，解得，故函数的值域为. 即，则， 当时，，此时，函数没有零点，故命题错误. 故答案为：. 23．（2025·广东汕头·模拟预测）已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为函数仅有一个零点， 所以函数的图象与函数的图象只有一个交点. 函数恒过定点，， 同一坐标系内作出两函数图象，如图所示， 两个函数图象已经有一个交点. 时，，其导函数， 当直线与函数在处相切时，只有一个交点， 此时，解得，则当时，有两个交点. 时，，其导函数， 当直线与函数在处相切时，只有一个交点， 此时，解得，则当时，有两个交点. 综上，要使函数仅有一个零点，则实数的取值范围是. 故答案为：. 24．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 25．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】令，即， 由题可得， 当时，，有，则，不符合要求，舍去； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，或（正值舍去）， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得， 由的渐近线方程为， 即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，（负值舍去）或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递减， 故有，解得，故符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 26．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】（1）当时，， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时，， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 27．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 28．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】设，，由可得. 要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则， 解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 27/27 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.9　函数的零点与方程的解 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、函数的零点 3 二、二分法 3 常用二级结论 4 03 探究核心题型 5 题型一：函数零点所在区间的判定 5 题型二：函数零点个数的判定 5 题型三：根据函数零点个数求参数 6 题型四：根据函数零点的范围求参数 7 题型五：用二分法求方程的近似解 8 题型六：半分离参数法求零点问题 9 题型七：嵌套函数与零点问题 9 题型八：共零点问题 10 题型九：零点比大小问题 11 题型十：不动点问题 12 题型十一：等值线问题 12 题型十二：已知函数只有一个零点，求参数的具体值 13 04 好题赏析（一题多解） 14 05 数学思想方法 15 ①数形结合 15 ②转化与化归 15 ③分类讨论 16 06 课时精练（真题、模拟题） 17 基础过关篇 17 能力拓展篇 19 1、理解函数的零点与方程的解的联系. 2、理解函数零点存在定理，并能简单应用. 3、了解用二分法求方程的近似解. 一、函数的零点 （1）函数零点的概念 对于函数，使的实数叫做函数的零点. （2）方程根与函数零点的关系 方程有实数根函数有零点函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. （3）方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为. （4）零点存在性定理 如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 注意：①符合该定理的条件，能确定在区间内有零点，但零点不一定唯一. ②并不是所有的零点都可以用该定理来判定.不满足该定理的函数也可能有零点. 函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，零点存在性定理只适用“不变号零点”. ③若在区间内有零点，且在区间上单调，则在内有唯一零点. ④设，若在上有零点，则； 二、二分法 ①二分法的概念 对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. ②用二分法求方程近似解的步骤 （1）确定区间，验证，给定精确度； （2）求区间的中点； （3）计算， （i）若，则就是函数的零点； （ii）若，则令 （iii）若，则令 （4）判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值为（或）；否则重复（2）~（4） 常用二级结论 (1)若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程的实数解. (2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号. 题型一：函数零点所在区间的判定 【例1】（2025·湖北十堰·模拟预测）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【解题总结】 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理 (2)数形结合法：通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 【变式1-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 【变式1-2】已知实数是函数的一个零点，实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】函数的零点，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】方程的根所在的区间为（   ） A． B． C． D． 题型二：函数零点个数的判定 【例2】（2025·吉林·模拟预测）函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 【解题总结】 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令,方程有多少个不同的实数根,则有多少个零点. (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等. (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数. 【变式2-1】（2025·高三·四川·期中）已知实数满足，则函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-2】函数在定义域内的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-3】已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-4】（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则函数的零点个数为 A． B． C． D． 题型三：根据函数零点个数求参数 【例3】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知，若有唯一解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题总结】 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范围). (2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围. (3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解. 【变式3-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数有且仅有3个零点，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·北京昌平·二模）已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C．（，1） D． 【变式3-3】（2025·湖南邵阳·三模）设，是定义在上的两个周期函数，的周期为8，的周期为4，且是奇函数．当时，，，若在区间上，函数恰有8个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：根据函数零点的范围求参数 【例4】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范围). (2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围. (3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解. 【变式4-1】已知函数，若有且只有一个零点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·高三·江西抚州·期中）若函数在区间上有零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 题型五：用二分法求方程的近似解 【例5】用二分法求函数在区间内的零点时，需要的条件是（   ） ①在区间上是连续不断的；②；③；④． A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【解题总结】 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 【变式5-1】设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下： 0.125 0.4375 0.75 2 0.49 3.58 依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知函数的一个零点，在用二分法求精确度为的的一个值时，需判断各区间中点的函数值的符号最少（）（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【变式5-3】（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 题型六：半分离参数法求零点问题 【例6】已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 半分离参数法 【变式6-1】（2025·河南·模拟预测）已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是 . 【变式6-2】设函数，,若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 【变式6-3】（2025·北京大兴·三模）已知函数，则的最小值是 ，若关于的方程有且仅有四个不同的实数解，则整数的一个取值为 . 【变式6-4】若关于的不等式的解集为()，且中只有一个整数，则实数的取值范围是 ． 题型七：嵌套函数与零点问题 【例7】（2025·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 （1）针对多个根的取值范围问题，需构建新函数以明确取值区间。 （2）以二次函数作外函数时，可借助参变分离简化运算，但需具备扎实函数基础。 【变式7-1】已知三次函数有两个零点，若方程有四个实数根，则实数a的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数，关于的方程的根的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式7-3】（2025·山西吕梁·三模）已知函数有三个零点，则三个零点之和为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式7-4】（2025·宁夏银川·三模）若函数，则的零点个数为（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-5】（2025·高三·湖北武汉·期中）已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-6】已知函数，若关于x的方程有8个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-7】已知函数，关于的方程有8个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八：共零点问题 【例8】对于任意的，不等式恒成立，则实数（   ） A． B． C．1 D． 【解题总结】 共零点问题：此类问题往往是的形式，其特征是两个函数具备相同的零点． 【变式8-1】设函数，若恒成立，则的最小值为 ． 【变式8-2】已知，，若关于的不等式在恒成立．则的最小值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【变式8-3】设函数，若在上恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】（2025·高三·四川成都·期中）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型九：零点比大小问题 【例9】已知函数，若当时，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【解题总结】 针对双参数比值型问题，可采用零点比大小法求解。具体而言，先将曲线与直线分离，分别绘制二者图像并确定其零点。需留意，直线零点往往对应待求双参数比值，当直线零点与曲线零点重合之际，该双参数比值可取得最值。 【变式9-1】已知，若不等式对任意实数恒成立，则的最大值为 . 【变式9-2】已知不等式对任意的实数t恒成立，则的最大值为 ． 【变式9-3】（2025·高三·安徽宿州·期末）若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数 . 【变式9-4】若，对，均有恒成立，则的最小值为 【变式9-5】（2025·高三·湖北·期末）已知，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 题型十：不动点问题 【例10】设函数，若曲线上存在点使得，则a的取值范围是 A．［ln3－6，0］ B．［ln3－6，ln2－2］ C．［2ln2－12，0］ D．［2ln2－12，ln2－2］ 【解题总结】 1、有解有解．特别地，当函数单递增时，的解与的解相同． 2、无解无解． 3、有解有解． 4、无解无解． 【变式10-1】已知函数，若曲线上存在点使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】设是函数定义域内的一个子区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间上存在次不动点，若函数在区间上存在次不动点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围是 ． 题型十一：等值线问题 【例11】（2025·河北·模拟预测）已知函数，方程有4个不同的根，且满足，则的最小值为 . 【解题总结】 数形结合 【变式11-1】（2025·四川·模拟预测）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】已知函数，若方程有4个根分别为，，，，且，则的取值范围是 . 【变式11-3】（2025·山东·一模）已知，若有个根，则的取值范围是 . 题型十二：已知函数只有一个零点，求参数的具体值 【例12】（2025·河南·模拟预测）已知函数恰有一个零点，则实数（   ） A．1 B． C．0 D． 【解题总结】 （1）借助零点存在性定理构建相应不等式，进而求解参数的值或取值范围。 （2）通过分离参数，将问题转化为函数值域（最值）问题，以此确定参数的值或范围。 （3）把问题转化为两个熟知函数图像的上、下位置关系问题，构建不等式求解参数。 【变式12-1】已知函数有唯一零点，则实数（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式12-2】（2025·湖南岳阳·二模）若函数有唯一零点，且，则（    ） A． B． C． D．1 【变式12-3】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【变式12-4】已知函数，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（   ） A．或 B．1或 C．或1 D．或2 【变式12-5】（2025·山东·模拟预测）已知函数有唯一零点，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 1．已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数m取值范围值是    A． B． C． D． 2．已知函数则方程为常数且的不同的实数根的个数为    A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知方程有四个不同的实数根，满足，且在区间和上各存在唯一整数，则实数的取值范围为 ． ①数形结合 1．已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数a的取值范围是  A． B． C． D． 2．已知函数若函数恰有4个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则函数的零点个数是        A．6 B．5 C．4 D．3 ②转化与化归 4．若函数在上有零点，则a的取值范围为    A． B． C． D． 5．设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．函数，，若有两个零点，，的零点为，则关于的不等式不能成立的是（    ） A． B． C． D． ③分类讨论 7．已知函数，若关于x的方程恰有两个不同的实数根，则实数k的取值范围为          ． 8．对任意实数x，以表示不超过x的最大整数，称它为x的整数部分，如，等．定义，x称它为的小数部分，如，等．若直线与的图象有四个不同的交点，则实数k的取值范围是          ． 9．已知函数若函数所有零点的乘积为1，则实数a的取值范围是          ． 基础过关篇 1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设函数，，曲线与恰有一个交点，则（   ） A．0 B． C． D． 2．（2025·山东淄博·三模）若关于的方程有唯一解，则求得上述关于的方程的非零实数解为（ ） A． B．1 C．2 D．4 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知是定义在上的周期函数，其最小正周期为5，设，若在区间内共有26个零点，则在区间内的零点个数为（    ） A．8 B．10 C．12 D．15 4．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，则函数在区间上的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·云南·三模）已知定义在上的函数与函数的图象有唯一公共点，则实数m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 6．（2025·河北秦皇岛·三模）设函数，若在区间上有且仅有一个零点，则（    ） A． B． C．1 D．2 7．（2025·江西·二模）已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·浙江·二模）定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·广东江苏·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 11．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 12．（多选题）（2025·山东临沂·三模）已知，其中，则（    ） A．当时，直线与函数的图象相切 B．当时，直线与函数图象有且只有1个交点 C．若函数在上单调递增，则的取值范围为 D．若函数在上有两个零点，则的取值范围为 13．（多选题）（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数，则（   ） A．的极小值是1 B．恰有2个零点 C．方程恰有1个实根 D．对任意的，都有 14．（多选题）（2025·河南·模拟预测）设函数，则（   ） A．的极大值为2 B．当时， C．图象上任意一点处的切线与的图象恒有两个公共点 D．方程有且仅有5个不同的实根 15．（多选题）（2025·安徽合肥·模拟预测）设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则（    ） A． B．函数的对称中心为 C．过引曲线的切线，有且仅有1条 D．若成等差数列，则 16．（2025·山东·模拟预测）函数的零点为 . 17．（2025·湖北·模拟预测）已知函数有2个零点，，且，则实数的取值范围是 ． 18．（2025·山西·三模）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 19．（2025·甘肃白银·模拟预测）函数满足条件：①图象为轴对称图形，②至少有一个最值，③至少有两个零点，请写出的一个表达式 ． 能力拓展篇 20．（2025·山东泰安·三模）若函数满足：存在整数，实数，使得，则称是“滞后的”.已知函数，不是“滞后的”，则的取值范围是 . 21．（2025·北京通州·一模）设，函数，若为单调函数，则a的一个取值为 ；若有三个零点，则实数a的取值范围是 . 22．（2025·陕西·模拟预测）激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.函数是常用的激活函数之一､其解析式为.则对于任意实数，函数至少有一个零点 . 23．（2025·广东汕头·模拟预测）已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是 . 24．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 25．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ． 26．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 27．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 28．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 . 27/27 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$