专题1-3 解三角形常考题型梳理-【基础生高考复习】备考2026届高考数学一轮复习讲义

解三角形常考题型梳理 一、第一问巩固训练（拆角，辅助角公式，扩角降幂） 1．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知，求角A 2．记的内角的对边分别为，已知，求． 3．记的内角、、的对边分别为、、.已知，证明： 二、高线处理策略（等面积） 4．在中，角所对的边分别为,其中 （1）求;（2）求边上的高， 5．在中，，BC边上的高等于． (1)求的值；(2)若，求的周长． 三、已知两角一边：可作高 6．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B；(2)若的面积为，求c． 7．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 8．在中，角所对的边分别为． (1)求； (2)若，求的面积． 9．在中，为边上一点，. (1)求； (2)求的面积. 四、中线问题：借用向量 10．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若为的中点，且，，求的面积. 11．已知中，角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为的中点，，求的面积. 五、角平分线的两种处理策略 12．在中，角的对边分别是，且. (1)求角； (2)若的角平分线交于点，求. 13．已知的内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)设是边上一点，为角平分线且，求的值． 14．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（   ） A． B．1 C． D． 六、最值问题（常用不等式） 15．记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为边的中点，且，求面积的最大值. 16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若∠BAC的角平分线AD与边BC交于点D，且，求的最小值． 17．请在①向量，，且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足______. (1)求的大小； (2)若边上的高为，求面积的最小值. 18．在中，角的对边分别为，为边上的中线. (1)证明：； (2)若，，求的最大值. 19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角的大小； (2)若的角平分线交于D，且，求面积的最小值． 七、课后巩固 20．记的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的值； (2)若为的中点，且，，求的面积. 21．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 22．记内角的对边分别为，，，已知， (1)求； (2)若，求的面积. 23．记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)在边上存在一点，使得，连接，若的面积为的平分线交于点，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$1 解三角形常考题型梳理 【题 一】 一问巩固训练 (拆角，辅 角公式，扩角 ) 1 【题 二】高线处理 略 ( 面积) 2 【题 三】已知两角一边：可 高 3 【题 四】中线问题：借用 量 7 【题 五】角 线的两种处理 略 10 【题 六、最值问题 ( 用不 式)】 12 课 巩固 16 一、第一问巩固训练 (拆角，辅助角公式，扩角降幂) 1. 在△ABC中，角A，B，C所对 的边分别为 a， b， c．已知 acosC- ccosA= b- c求角A. 【答案】 π 3 【详解】∵ acosC- ccosA= b- c， 由正弦定理可得： sinAcosC- sinCcosA= sinB- sinC， △ABC中，B= π- A+C ， sinB= sin A+C = sinAcosC+ cosAsinC， 化 得： 2sinCcosA= sinC， ∵ sinC> 0， cosA= 1 2 ，又∵A∈ 0,π ， A= π 3 ． 2. ( 东深圳·一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c，已知 b+ c= 2asin C+ π 6 ，求 A. 【答案】A= π 3 【 析】由 b+ c= 2asin C+ π 6 可得 b+ c= 3asinC+ acosC，由正弦定理及辅 公式得 sin A- π 6 = 1 2 ,即可 得 【详解】解：由已知得， b+ c= 3asinC+ acosC， 由正弦定理可得， sinB+ sinC= 3sinAsinC+ sinAcosC， 因为A+B+C= π， 所以 sinB= sin A+C = sinAcosC+ cosAsinC, 代入上式，整理得 cosAsinC+ sinC= 3sinAsinC， 又因为C∈ 0,π ， sinC≠ 0， 所以 3sinA- cosA= 1， 即 sin A- π 6 = 1 2 , 又因为A∈ 0,π ， 所以- π 6 <A- π 6 < 5π 6 ， 所以A- π 6 = π 6 ，解得A= π 3 2 3. ( 东 州·一模)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为 a、 b、 c.已知 acos2C 2 + ccos2A 2 = 3 2 b，证明： sinA+ sinC= 2sinB. 【详解】因为 acos2C 2 + ccos2A 2 = 3 2 b， a 1+cosC +c 1+cosA  2 = 3 2 b， 即 a+ c+ acosC+ ccosA= 3b， 由正弦定理可得 3sinB= sinA+ sinC+ sinAcosC+cosAsinC = sinA+ sinC+ sin A+C  = sinA+ sinC+ sin π-B = sinA+ sinC+ sinB， 因此， sinA+ sinC= 2sinB. 二、高线处理策略 (等面积) 4. 在ΔABC中，角A，B,C所对的边分别为 a,b,c,其中 a= 7,b= 8,cosB=- 1 7 (1)求∠A; (2)求AC边上的高， 【答案】 (1)A= π 3 ； (2) 3 3 2 【 析】 (1) 用 角三角函数的基本关系 出 sinB，再由正弦定理 出 sinA，即可得解； (2)首先由两角 的正弦公式 出 sinC，过B BD⊥AC交AC于点D， ΔDBC中， sinC = BD BC ，即可 出BD； 【详解】解： (1) ∵ a= 7,b= 8,cosB=- 1 7 ∴ sinB=± 1-cos2B =± 4 3 7 因为B∈ 0,π 且 cosB=- 1 7 ，∴B∈ π 2 ,π ，∴ sinB= 4 37 ， 由正弦定理可得 a sinA = b sinB ，即 7 sinA = 8 4 3 7 解得 sinA= 3 2 ， 因为A∈ 0, π 2 ，∴A= π 3 (2)如图，过B BD⊥AC交AC于点D， ΔABC中 sinC= sin A+B = sinAcosB+ cosAsinB = 3 2 × - 1 7 + 1 2 × 4 3 7 = 3 3 14 如图所示， ΔDBC中， sinC= BD BC ∴BD=BCsinC= 7× 3 3 14 = 3 3 2 故AC边上的高为 3 3 2 3 5. (2025· 东深圳·二模)在△ABC中，A= π 3 ，BC边上的高等于 3 4 BC． (1)求 sinBsinC的 ； (2)若BC= 2，求△ABC的周长． 【答案】 (1)sinBsinC= 3 8 (2)2+ 10 【 析】 (1) 三角形的面积公式 正弦定理计 即可 解； (2) 正弦、 弦定理 完全 方公式计 可得 b+ c= 10，即可 解. 【详解】 (1)设△ABC中，角A，B，C所对的边 为 a， b， c， 由题意可得S△ABC= 1 2 × a× 3 4 a= 1 2 bcsinA，即 bc= 1 2 a2， 由正弦定理得 sinBsinC= 1 2 sin2A，又A= π 3 ， 所以 sinBsinC= 3 8 ． (2)由正弦定理得 bc= a 2sinBsinC sin2A = 22× 38 3 2  2 = 2， 由 弦定理得 b2+ c2= a2+ 2bccosA= 22+ 2× 2× 1 2 = 6， 又 (b+ c)2= b2+ c2+ 2bc= 6+ 2× 2= 10，所以 b+ c= 10， 所以△ABC的 长为 a+ b+ c= 2+ 10． 三、已知两角一边：可作高 6. (2024· 东江苏·高考真题)记 △ABC的内角A、 B、 C的对边分别为 a， b， c，已知 sinC= 2cosB， a2+ b2- c2= 2ab (1)求B； (2)若△ABC的面积为 3+ 3，求 c． 【答案】 (1)B= π 3 (2)2 2 【 析】 (1)由 弦定理、 方关系 次 出 cosC,sinC，最 结 已知 sinC= 2cosB得 cosB的值即可； (2)首先 出A,B,C，然 由正弦定理可 a,b 用 有 c的式子表示，结 三角形面积公式即 可 方 解. 【详解】 (1)由 弦定理有 a2+ b2- c2= 2abcosC，对比已知 a2+ b2- c2= 2ab， 可得 cosC= a 2+b2-c2 2ab = 2ab 2ab = 2 2 ， 因为C∈ 0,π ，所以 sinC> 0， 4 从而 sinC= 1-cos2C = 1- 2 2  2 = 2 2 ， 又因为 sinC= 2cosB，即 cosB= 1 2 ， 注意 B∈ 0,π ， 所以B= π 3 . (2)由 (1)可得B= π 3 ， cosC= 2 2 ，C∈ 0,π ，从而C= π 4 ，A= π- π 3 - π 4 = 5π 12 ， 而 sinA= sin 5π 12 = sin π 4 + π 6 = 2 2 × 3 2 + 2 2 × 1 2 = 6+ 2 4 ， 由正弦定理有 a sin 5π12 = b sin π3 = c sin π4 ， 从而 a= 6+ 2 4 ⋅ 2c= 3+1 2 c,b= 3 2 ⋅ 2c= 6 2 c， 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为 S△ABC= 1 2 absinC= 1 2 ⋅ 3+1 2 c ⋅ 6 2 c ⋅ 2 2 = 3+ 3 8 c2， 由已知△ABC的面积为 3+ 3，可得 3+ 3 8 c2= 3+ 3， 所以 c= 2 2 . 7. (2024··高考真题)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a， b， c，已知 sinA+ 3 cosA= 2． (1)求A． (2)若 a= 2， 2bsinC= csin2B，求△ABC的周长． 【答案】 (1)A= π 6 (2)2+ 6+ 3 2 【 析】 (1) 辅 角公式对条件 sinA+ 3cosA= 2进行化 处理即可 解， 规方法还可 用 角三角函数的关系解方 组，亦可 用导数， 量数量积公式，万能公式解决； (2)先 正弦定理边角互化 出B，然 正弦定理 出 b,c即可得出 长. 【详解】 (1)方法一： 规方法 (辅 角公式) 由 sinA+ 3cosA= 2可得 1 2 sinA+ 3 2 cosA= 1，即 sin A+ π 3 = 1， 由于A∈ (0,π)⇒A+ π 3 ∈ π 3 , 4π 3 ，故A+ π 3 = π 2 ，解得A= π 6 方法二： 规方法 ( 角三角函数的基本关系) 由 sinA+ 3cosA= 2，又 sin2A+ cos2A= 1， 去 sinA得 ： 4cos2A- 4 3cosA+ 3= 0⇔(2cosA- 3 )2= 0，解得 cosA= 3 2 ， 又A∈ (0,π)，故A= π 6 方法三： 用极值点 解 设 f(x) = sinx+ 3cosx(0< x< π)， f(x) = 2sin x+ π 3 (0< x< π)， 然 x= π 6 时， f(x)max= 2，注意 f(A) = sinA+ 3cosA= 2= 2sin A+ π3 ， 5 f(x)max= f(A)， 开区间 (0,π)上取 最大值，于 x=A必定 极值点， 即 f(A) = 0= cosA- 3sinA，即 tanA= 3 3 ， 又A∈ (0,π)，故A= π 6 方法四： 用 量数量积公式 (柯西不 式) 设 a= (1, 3 ),b  = (sinA,cosA)，由题意， a ⋅ b  = sinA+ 3cosA= 2， 量的数量积公式， a ⋅ b  = |a||b  |cos a,b   = 2cos a ,b   ， 2cosa,b  = 2⇔ cosa,b  = 1，此时 a,b  = 0，即 a,b  共线， 量共线条件， 1 ⋅ cosA= 3 ⋅ sinA⇔ tanA= 3 3 ， 又A∈ (0,π)，故A= π 6 方法五： 用万能公式 解 设 t= tanA 2 ， 万能公式， sinA+ 3cosA= 2= 2t 1+t2 + 3(1-t 2) 1+t2 ， 整理可得， t2- 2(2- 3 )t+ (2- 3 )2= 0= (t- (2- 3 ))2， 得 tanA 2 = t= 2- 3， 二倍角公式， tanA= 2t 1-t2 = 3 3 ， 又A∈ (0,π)，故A= π 6 (2)由题设条件 正弦定理 2bsinC= csin2B⇔ 2sinBsinC= 2sinCsinBcosB， 又B,C∈ (0,π)， sinBsinC≠ 0，进而 cosB= 2 2 ，得 B= π 4 ， 于 C= π-A-B= 7π 12 ， sinC= sin(π-A-B) = sin(A+B) = sinAcosB+ sinBcosA= 2+ 6 4 ， 由正弦定理可得， a sinA = b sinB = c sinC ，即 2 sin π6 = b sin π4 = c sin 7π12 ， 得 b= 2 2 ,c= 6+ 2， 故△ABC的 长为 2+ 6+ 3 2 8. (2025· 东·一模)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,c2= a2+ b2- ab,cos2B= sinC． (1)求B； (2)若 b= 1，求△ABC的面积． 【答案】 (1)B= π 12 (2) 3+2 3 4 【 析】 (1) 用条件及 弦定理的 论可得C= π 3 ，再由条件可 出B； (2)解法 1： 用两角 的正弦公式 出角A、B的正弦值，再 用正弦定理可 出 a，再 用三角形面积公式 解即可；解法 2：注意 A= π 2 +B，进而可得 sinB=-cosA，由正弦 6 定理 化 可得 a=-tanA，进而 a，再 用三角形面积公式 解即可；解法 3：过点A AD⊥AC交BC于D， 用直角三角形即可 边长，再 用面积公式 解即可. 【详解】 (1)由 弦定理 论 cosC= a 2+b2-c2 2ab 及 c2= a2+ b2- ab得 cosC= 1 2 ， 由于C∈ 0,π ， C= π 3 ， 又因为 cos2B= sinC= 3 2 ，且B∈ 0, 2π 3 ， 所以 2B= π 6 ， B= π 12 ． (2)解法 1：由 (1)可知A= 7π 12 ， 且 sinB= sin π 12 = sin π 4 - π 6 = 6- 2 4 ， sinA= sin 7π 12 = sin π 4 + π 3 = 6+ 2 4 ， 由正弦定理： a sinA = b sinB = c sinC ， 得 a= bsinA sinB = sinA sinB = 2+ 3， 所以S= 1 2 absinC= 1 2 × 2+ 3 × 3 2 = 3+2 3 4 ． 法 2： 由 (1)A= π 2 +B， 所以 sinB=-cosA， 由正弦定理： a sinA = b sinB = c sinC ， 得 a= bsinA sinB = sinA sinB =-tanA=-tan π 4 + π 3 = 2+ 3， S= 1 2 absinC= 1 2 × 2+ 3 × 3 2 = 3+2 3 4 ． 法 3 : 如图，过点A AD⊥AC交BC于D， 由于A= 7π 12 ， ∠DAB=∠B= π 12 ， 所以AD=DB= 3 ,CD= 2， a= 2+ 3， 所以S= 1 2 absinC= 1 2 × 2+ 3 × 3 2 = 3+2 3 4 ． 9. 在△ABC中，D为边BC上一点，AB= 3 6 2 ,∠ABC= 45°,∠ADB= 60°,DC= 5. (1)求AC； (2)求△ADC的面积. 【答案】 (1)7； (2) 15 3 4 . 【 析】 (1)法一： 用正 弦定理 边长；法二：过点A BC的 线AE， 足为E， 已 知 边长； 7 (2) 用三角形面积公式 △ADC面积. 【详解】 (1)法一： △ABD中，由正弦定理得 AB sin∠ADB = AD sinB ， AD= ABsinB sin∠ADB = 3 6 2 ×sin45° sin60° = 3 6 2 × 2 2 3 2 = 3， △ACD中，由 弦定理得AC= AD2+DC2-2AD ⋅DCcos∠ADC = 32+52-2×3×5× - 1 2 = 7； 法二：过点A BC的 线AE， 足为E， Rt△ABE中AB= 3 6 2 ,∠ABC= 45°， BE=AE= 3 3 2 ， Rt△ADE中AE= 3 3 2 ,∠ADB= 60°， DE= 3 2 ,AD= 3， 所以CE=DC+DE= 5+ 3 2 = 13 2 Rt△ACE中，AC= AE 2+CE 2= 3 3 2  2 + 13 2  2 = 7. (2)由 (1)可得，S△ADC= 1 2 AD ⋅DC ⋅ sin∠ADC= 1 2 × 3× 5× sin120° = 15 3 4 . 四、中线问题：借用向量 10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a， b， c，且满足 cosC= 2a-c 2b . (1)求角B； (2)若D为AC的中点，且BD= 5， b= 6，求△ABC的面积. 【答案】 (1)B= π 3 ； (2)8 3 . 【 析】 (1)由 弦边角关系得 ac= a2+ c2- b2，再 用 弦定理 角的大 ； (2)由BD  = 1 2 (BA  +BC  )及 量数量积的运 律得 1 4 (a2+ c2+ ac) = 25，结 ac= a2+ c2- 36 得 ac= 32，再 用三角形面积公式 面积. 【详解】 (1)由题设 cosC= a 2+b2-c2 2ab = 2a-c 2b ， ac= a2+ c2- b2， 所以 cosB= a 2+c2-b2 2ac = 1 2 ，且B∈ (0,π)， B= π 3 . (2)由 (1)ac= a2+ c2- b2= a2+ c2- 36， 由BD  = 1 2 (BA  +BC  )， BD 2= 1 4 (BA  +BC  )2= 1 4 (a2+ c2+ ac) = 25， 所以 1 4 (36+ 2ac) = 25，可得 ac= 32， 8 所以S△ABC= 1 2 acsinB= 8 3 .    11. (24 - 25高二上·云南昆明·期末)已知 △ABC中，角 A,B,C的对边分别是 a,b,c，且 3 b - csinA= 3acosC. (1)求角A的大 ； (2)若 a= 3,D为BC的中点， AD = 2，求△ABC的面积. 【答案】 (1) π 3 (2) 7 3 8 【 析】 (1) 用正弦定理边化角，结 三角恒 变 化 解即可； (2)解法一：由D为BC的中点可得AD  = 1 2 AB  + 1 2 AC  ，两边 方， 用 量数量积的运 公 式 弦定理可得 bc= 7 2 ，代入三角形的面积公式即可 解；解法二： △ABC， △ABD，△ACD中 用 弦定理，再结 cos∠ADB+ cos∠ADC= 0，联立解出 bc= 7 2 ，代入 三角形的面积公式即可 解. 【详解】 (1) 题意由正弦定理得 3sinB- sinCsinA= 3sinAcosC， 因为A+B+C= π，所以 3sin A+C - sinCsinA= 3sinAcosC， 即 3sinAcosC+ 3cosAsinC- sinCsinA= 3sinAcosC， 即 sinC 3cosA-sinA = 0， 因为 sinC≠ 0，所以 3cosA- sinA= 0， 又因为 cosA≠ 0所以 tanA= 3， 而 0<A< π，所以A= π 3 . (2)解法一：由D为BC的中点知AD  = 1 2 AB  + 1 2 AC  ， 两边 时 方得AD  2= 1 4 AB 2+ 1 4 AC  2+ 1 2 AB  ⋅AC  ， 即 1 4 b2+ 1 4 c2+ 1 4 bc= 4，所以 b2+ c2+ bc= 16， 又 △ABC，由 弦定理得 b2+ c2- bc= a2= 9， 所以 bc= 7 2 ，所以△ABC的面积为 1 2 bcsin∠BAC= 1 2 × 7 2 × 3 2 = 7 3 8 . 9 ： △ABC中，由 弦定理可得 cos∠BAC= cos π 3 = b 2+c2-9 2bc = 1 2 ，整理得 b2+ c2- bc= 9① △ABD中， cos∠ADB= 22+ 32  2 -c2 2×2× 32 ， △ACD中， cos∠ADC= 22+ 32  2 -b2 2×2× 32 ， 而∠ADB+∠ADC= π，所以 cos∠ADB+ cos∠ADC= 0， 故 22+ 32  2 -c2 2×2× 32 + 22+ 32  2 -b2 2×2× 32 = 0，即 c2+ b2= 25 2 ②, 由①②得， bc= 7 2 ，所以△ABC的面积为 1 2 bcsin∠BAC= 1 2 × 7 2 × 3 2 = 7 3 8 . 五、角平分线的两种处理策略 12. (23 - 24高二下· 东 州·期末)在 △ABC中，角 A,B ,C的对边分别是 a,b,c，且 sinC + 3cosC= 3a b . (1)求角B； (2)若 a+ c= 2,b= 3 ,∠ABC的角 分线交AC于点D，求BD. 【答案】 (1)B= π 3 (2) 3 6 【 析】 (1)借 正弦定理边化角 ，借 两角 的正弦公式化 即可得解； (2) 用 弦定理可得 ac， 用 面积法结 三角形面积公式计 即可得解. 【详解】 (1)由正弦定理可得 sinC+ 3cosC= 3a b = 3sinA sinB ， 即有 sinBsinC+ 3sinBcosC= 3sinA= 3sinBcosC+ 3sinCcosB， 即 sinBsinC= 3sinCcosB，又C∈ 0,π ，故 sinB= 3cosB， 即 tanB= 3，又B∈ 0,π ，故B= π 3 ； 10 (2)S△ABC=S△BAD+S△BCD，即 1 2 acsinB= 1 2 c ⋅BD ⋅ sinB 2 + 1 2 a ⋅BD ⋅ sinB 2 ， 即 acsin π 3 = c ⋅BD ⋅ sin π 6 + a ⋅BD ⋅ sin π 6 ，即 3ac=BD a+c = 2BD， 即BD= 3 2 ac， 由 弦定理 b2= a2+ c2- 2accosB可得 3= a2+ c2- ac= a+c 2- 3ac= 4- 3ac， 即 ac= 1 3 ，故BD= 3 2 ac= 3 2 × 1 3 = 3 6 . 13. (23- 24高二下·河南信 ·开学考试)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c，且 sinA ⋅ a+ 1 2 c + sinC ⋅ c+ 12 a = sinB ⋅ b． (1)求角B； (2)设D是边AC上一点，BD为角 分线且AD= 2DC，求 cosA的 ． 【答案】 (1)B= 2π 3 (2) 5 7 14 【 析】 (1) sinA ⋅ a+ 1 2 c + sinC ⋅ c+ 12 a = sinB ⋅ b， 用正弦定理得 a2+ c2+ ac= b2，再 用 弦定理 解； (2) △ABC中，∠ABC= 2π 3 ,AD= 2DC，得 S△ABD= 2S△BCD，再由BD为角 线，得 c= 2a，然 用 弦定理 解. 【详解】 (1)解：由正弦定理得 a a+ 1 2 c + c c+ 12 a = b 2， 即 a2+ c2+ ac= b2， 用 弦定理可知 cosB= a 2+c2-b2 2ac =- 1 2 ， 因为B∈ 0,π ，所以B= 2π 3 ； (2) △ABC中，∠ABC= 2π 3 ,AD= 2DC， 所以S△ABD= 2S△BCD， 即 1 2 c ⋅BDsin∠ABD= 2 ⋅ 1 2 a ⋅BDsin∠CBD， 因为BD为角 线，所以 sin∠ABD= sin∠CBD，所以 c= 2a， 由 弦定理，得 b2= a2+ c2- 2accos∠ABC= 7a2， b= 7a， 因此 cosA= b 2+c2-a2 2bc = 5 7 14 ． 14. (2025· 北武汉·二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是 a， b， c，且C= π 3 ， c= 6，△ABC面积为 3，D为边AB上一点，CD是∠ACB的角 分线，则 |CD| = ( ) A. 3 B. 1 C. 3 2 D. 1 2 【答案】B 11 【 析】 用 弦定理，结 面积可 a+ b= 4 3， 用S△ACD+S△BCD=S△ABC，可得 1 2 b ⋅ CDsin π 6 + 1 2 a ⋅CDsin π 6 = 1 2 basin π 3 = 3，进而可 得 |CD|. 【详解】 △ABC中C= π 3 ， c= 6，由 弦定理可得 c2= b2+ a2- 2bacosC， 所以 62= b2+ a2- 2bacos π 3 ，所以 36= b2+ a2- ba， 又△ABC面积为 3，所以 1 2 basin π 3 = 3，所以 ba= 4， 所以 36= b2+ a2- ba= a+b 2- 3× 4，所以 a+ b= 4 3， 因为CD ∠ACB的角 线，C= π 3 ，所以∠ACD=∠DCB= π 6 ， 因为S△ACD+S△BCD=S△ABC，所以 1 2 AC ⋅CDsin∠ACD+ 1 2 BC ⋅CDsin∠BCD= 1 2 AC ⋅ CBsin∠ACB， 所以 1 2 b ⋅CDsin π 6 + 1 2 a ⋅CDsin π 6 = 1 2 basin π 3 = 3， 所以 b ⋅CD+ a ⋅CD= 4 3，所以 b+a CD= 4 3，所以 CD = 1. 故 ：B. 六、最值问题 (常用不等式) 15. (23- 24高二下· 东揭 ·期末)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c，已知 (b- c)sinB = (a+ c) ⋅ (sinA- sinC). (1)求A； (2)若D为边AB的中点，且CD= 1，求△ABC面积的最大 . 【答案】 (1)A= π 3 (2) 3 2 【 析】 (1) 正弦定理进行角 边，再 用 弦定理即可得 A= π 3 ； (2)转化为 S△ACD的最大值， 用 弦定理结 基本不 式即可得AC ⋅AD≤ 1，最 三 角形面积公式即可得 最值. 【详解】 (1)因为 (b- c)sinB= (a+ c) (sinA- sinC)， 所以由正弦定理可得 (b- c)b= (a+ c) (a- c)，即 b2- bc= a2- c2， b2+ c2- a2= bc， 由 弦定理得 cosA= b 2+c2-a2 2bc = 1 2 . 又A∈ (0,π)，所以A= π 3 . (2)因为D 边AB的中点， 即AD= 1 2 AB，所以S△ABC= 2S△ACD.  △ACD中，CD= 1,A= π 3 ， 由 弦定理得CD2=AC2+AD2- 2AC ⋅ADcosA， 即 1=AC2+AD2-AC ⋅AD， 12 所以AC2+AD2= 1+AC ⋅AD≥ 2AC ⋅AD， 所以AC ⋅AD≤ 1，当且仅当AC=AD= 1时取 号， 所以S△ABC= 2S△ACD= 2× 1 2 AC ⋅ADsinA≤ 3 2 ，当且仅当AC=AD= 1时取 号， 即△ABC面积的最大值为 3 2 .  16. (2025· 北·模拟预测)在 △ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知 b + c + ccos2A+ 2acosAcosC= 0． (1)求A； (2)若∠BAC的角 分线AD与边BC交于点D，且 b+ c= 4，求 1 BD + 1 DC 的最 ． 【答案】 (1)A= 2π 3 (2) 2 3 3 【 析】 (1) 用正弦定理边化角，结 二倍角公式、 角的正弦公式化 即得. (2)设∠ADB= θ,0< θ< 2π 3 ， 用正弦定理用 θ表示BD,CD， 元结 弦定理 出范围， 进而构 函数 用导数 出最 值. 【详解】 (1) △ABC中，由 b+ c+ ccos2A+ 2acosAcosC= 0，得 b+ 2ccos2A+ 2acosAcosC = 0， 由正弦定理得 sinB+ 2cosA(sinCcosA+ sinAcosC) = 0，即 sinB+ 2cosAsin(A+C) = 0， sinB+ 2cosAsinB= 0，而 sinB> 0，解得 cosA=- 1 2 ，又 0<A< π， 所以A= 2π 3 . (2)由 (1)知∠BAD=∠CAD= π 3 ，设∠ADB= θ,0< θ< 2π 3 ， △ABD,△ACD中，由正弦定理得 BD sin∠BAD = AB sin∠ADB ， CD sin∠CAD = AC sin∠ADC ， BD= 3c 2sinθ ,CD= 3b 2sinθ ，令 λ= 3 2sinθ ∈ 3 2 ,+∞ ， a=BD+CD= λ(b+ c) = 4λ， △ABC中，由 弦定理得 16λ2= a2= b2+ c2+ bc= (b+ c)2- bc= 16- bc< 16， 得-1< λ< 1，因此 λ∈ 3 2 ,1 ， 1BD + 1 DC = 1 λc + 1 λb = 4 λbc = 4 λ(16-16λ2) = 1 4λ(1-λ2) ， 令 f(λ) = λ(1- λ2)， 导得 f(λ) = 1- 3λ2< 0，函数 f(λ) 3 2 ,1 上单 减， f(λ)max= f 32 = 3 8 ，所以 1 BD + 1 DC 的最 值为 2 3 3 . 17. (24- 25高三上· 东惠州· 段练习)请在①向量 x= cosC,c-2a ， y= b,cosB ，且 x⊥ y； ② a2-b2 sinA= b2-c2 sinC；③ 2asinAcosC+ csin2A= 2 3 acosB这三个条件中任 一个， 补充在下面的问题中， 解答.如果 择多个条件分别 答， 第一个解答计分.在△ABC中，内 角A，B，C的对边分别为 a， b， c，且满足 . (1)求B的大 ； (2)若AC边上的高为 3，求△ABC面积的最 . 【答案】 (1)B= π 3 13 (2) 3 【 析】 (1) 择①，由题意可得 bcosC+ (c- 2a)cosB= 0，边化角， 用三角恒 变 可 得 cosB，可 B； 择②，角化边可得 a3+ c3= b2a+ b2c，化 可得 a2+ c2- b2= ac，可 得 cosB，可 B； 择③，边化角可得 2sin2AcosC+ 2sinCsinAcosA= 2 3sinAcosB， 用三 角恒 变 可 tanB，可 B； (2)S△ABC= 1 2 b ∙ 3= 1 2 acsinB，可得 2b= ac， 用 弦定理可得 b≥ 2，进而可 △ABC面 积的最 值. 【详解】 (1) 择①，因为 量 x= cosC,c-2a ， y= b,cosB ，且 x⊥ y， 所以 bcosC+ (c- 2a)cosB= 0，所以 sinBcosC+ (sinC- 2sinA)cosB= 0， 所以 sin(B+C) - 2sinAcosB= 0，所以 sinA- 2sinAcosB= 0， 因为 0<A< π，所以 sinA> 0，所以 1- 2cosB= 0，所以 cosB= 1 2 ， 又 0<B< π，所以B= π 3 ； 择②，由 a2-b2 sinA= b2-c2 sinC，得 a2-b2 a= b2-c2 c， 所以 a3+ c3= b2a+ b2c，所以 a+c a2-ac+c2 = b2 a+c ， 所以 a2- ac+ c2= b2，所以 a2+ c2- b2= ac，所以 cosB= a 2+c2-b2 2ac = 1 2 ， 又 0<B< π，所以B= π 3 ； 择③，因为 2asinAcosC+ csin2A= 2 3acosB， 所以 2sin2AcosC+ 2sinCsinAcosA= 2 3sinAcosB， 因为 0<A< π，所以 sinA> 0，所以 2sinAcosC+ 2sinCcosA= 2 3cosB， 所以 2sin(A+C) = 2 3cosB，所以 sinB= 3cosB，所以 tanB= 3， 又 0<B< π，所以B= π 3 ； (2)因为S△ABC= 1 2 b ∙ 3= 1 2 acsinB= 1 2 ac× 3 2 ，所以 2b= ac， 由 弦定理可得 b2= a2+ c2- 2accosB≥ 2ac- ac= ac，当且仅当 a= c时取 号， 所以 b2≥ 2b，解得 b≥ 2，所以S△ABC= 1 2 b ∙ 3≥ 3， 所以△ABC面积的最 值为 3 . 18. (2025· 东·一模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 a,b,c，AD为边BC上的中线. (1)证明：AD= 1 2 2 b2+c2 -a2； (2)若A= π 3 ， a= 2，求AD的最大 . 【答案】 (1)证明见解析 (2) 3 【 析】 (1)方法一：对AD  = 1 2 AB  +AC   两边 方，再由 弦定理可得 ；方法二： △ADB △ADC中，由 弦定理可得 ； (2) △ABC中，由 弦定理得 b2= a2+ c2- ac，结 (1)再 用基本不 式可得 . 【详解】 (1)方法一：∵AD为BC边上中线，AD  = 1 2 AB  +AC   ， 14 AD  2= 1 4 AB  +AC    2⇒AD  2= 1 4 c2+b2+2bccosA ， △ABC中，由 弦定理得： a2= b2+ c2- 2bccosA， 2bccosA= b2+ c2- a2， ∴AD  2= 1 4 2b2+2c2-a2 ， ∴AD= 1 2 2 b2+c2 -a2 . 方法二：∵AD为BC边上中线， △ABC中，∠ADB+∠ADC= π, ∴ cos∠ADB+ cos∠ADC= 0， △ADB △ADC中，由 弦定理得： AD2+BD2-AB2 2AD ⋅BD + AD2+CD2-AC2 2AD ⋅BD = 0,BD=CD， 即 2AD2+BD2+CD2-AB2-AC2= 0， ∴AD2= 1 2 b2+c2- 1 2 a2 ， 即AD= 1 2 2 b2+c2 -a2； (2)A= π 3 ， a= 2，由 弦定理可得 a2= b2+ c2- bc， 故 b2+ c2- 4= bc≤ 1 2 b2+c2 ，即 b2+ c2≤ 8， 当且仅当 b=c b2+c2-4=bc  时，即 b= c= 2时 号成立， 所以AD= 1 2 2 b2+c2 -a2= 1 2 2 b2+c2 -4≤ 1 2 16-4= 3， 所以AD取得最大值为 3 . 19. (24- 25高三下· 东深圳· 段练习)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a， b， c， 且 cosC= 2b+c 2a ． (1)求角A的大 ； (2)若A的角 分线交BC于D，且AD= 3，求△ABC面积的最 ． 【答案】 (1)A= 2π 3 ． (2)9 3． 【 析】 (1) 弦定理角化边化 ，然 再 弦定理转化可 出角A的 弦值，即可 出角 A； (2) 用三角形面积公式以及角 线 三角形面积拆 成两个三角形的面积之 ， 值不 式解出 bc的最 值，从而 出三角形面积的最 值. 【详解】 (1)由 弦定理，得 a 2+b2-c2 2ab = 2b+c 2a ，即 a2+ b2- c2= 2b2+ bc 整理得 b2+ c2- a2=-bc， 所以 cosA= b 2+c2-a2 2bc =- 1 2 ， 又 0<A< π，所以A= 2π 3 ． (2)因为S△ABC= 1 2 bcsin 2π 3 = 1 2 b ⋅ADsin π 3 + 1 2 c ⋅ADsin π 3 ，所以 bc= 3b+ 3c． 因为 bc= 3b+ 3c≥ 6 bc，即 bc≥ 36 15 当且仅当 b= c= 6时 号成立 所以S△ABC= 3 4 bc≥ 9 3．故△ABC面积的最 值为 9 3． 七、课后巩固 20. (24 - 25高三上· 东济宁·期中)记 △ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 3bsinA- acosB= α. (1)求角B的 ； (2)若D为AC的中点，且BD= 3， b= 2，求△ABC的面积. 【答案】 (1) π 3 (2) 3 【 析】 (1)由正弦定理得 3sinB- cosB= 1，结 三角恒 变 得 B- π 6 = π 6 ⇒B= π 3 ； (2) 中点得 BD  = 1 2 (BA  +BC  )，两边 方得 a2+ ac+ c2= 12，由 弦定理得 a2+ c2 - ac= 4，联立 出 ac= 4， 出三角形面积. 【详解】 (1)由正弦定理得， a sinA = b sinB = c sinC ， 由 3bsinA- acosB= a，得 3sinBsinA- sinAcosB= sinA， ∵ sinA≠ 0， ∴ 3sinB- cosB= 1， ∴ sin B- π 6 = 1 2 ∵B- π 6 ∈ - π 6 , 5π 6 ， ∴B- π 6 = π 6 ⇒B= π 3 ； (2) ∵D为AC的中点， ∴BD  = 1 2 (BA  +BC  )， 又BD= 3， ∴ BD    2= 1 4 BA 2+2BA  ⋅BC  +BC 2  ⇒ a2+ ac+ c2= 12，① 由 弦定理得， cosB= a 2+c2-b2 2ac ⇒ a2+ c2- ac= 4，② 联立①②，解得 ac= 4， ∴S△ABC= 1 2 acsinB= 1 2 × 4× 3 2 = 3， ∴△ABC的面积为 3 . 21. (23- 24高二下· 西西安· 段练习)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a， b， c，且 c a = sinA+2sinBcosA 2sinA ． (1)求B的大 ； (2)若 b= 2 2，△ABC的面积为 2 3，求△ABC的周长． 16 【答案】 (1) π 3 (2)6 2 【 析】 (1)用正弦定理 边化为角，再 用 sinC= sin A+B  开化 即可 解； (2)由面积可得 ac= 8，由 弦定理可得 a2+ c2- 8= ac，解方 即可 出 a+ c，进而可 长. 【详解】 (1)由题意得 sinC sinA = sinA+2sinBcosA 2sinA ， 因为A∈ 0,π ，∴ sinA≠ 0， 所以 sinA+ 2sinBcosA= 2sinC= 2sin A+B = 2sinAcosB+ 2cosAsinB， 得 sinA= 2sinAcosB， 得 cosB= 1 2 ，因为B∈ 0,π ，所以B= π 3 ． (2)由S△ABC= 1 2 acsinB= 2 3，得 ac= 8． 由 弦定理 cosB= a 2+c2-b2 2ac = 1 2 ，得 a2+ c2- 8= ac， 得 (a+ c)2= 3ac+ 8= 32， 得 a+ c= 4 2， 所以△ABC的 长为 6 2． 22. (23- 24高二下·江苏南京·期末)记△ABC内角A,B,C的对边分别为 a， b， c，已知 a2+ b2= c2+ 2ab， sinC- 2cosB= 0 (1)求B； (2)若 a= 3+ 1，求△ABC的面积. 【答案】 (1) π 3 (2) 3+ 3 2 【 析】 (1)由条件 弦定理先 出C= π 4 ，代入 二个条件，可 得B= π 3 ； (2)由 (1)结论先 出A= 5π 12 ，再由正弦定理 出边 c，最 运用三角形面积公式计 即得. 【详解】 (1)由 a2+ b2= c2+ 2ab可得 a2+ b2- c2= 2ab， 由 弦定理， cosC= a 2+b2-c2 2ab = 2 2 ，因 0<C< π，故C= π 4 . 代入 sinC- 2cosB= 0可得， cosB= 1 2 ，因 0<B< π,故B= π 3 . (2)由 (1)知，C= π 4 ，B= π 3 ，故A= π- π 4 + π 3 = 5π 12 ， 因 sin 5π 12 = sin π 4 + π 6 = sin π 4 cos π 6 + cos π 4 sin π 6 = 6+ 2 4 , 由正弦定理， a sinA = c sinC 可得 c= asinC sinA = ( 3+1)× 22 6+ 2 4 = 2， 故△ABC的面积为S= 1 2 acsinB= 1 2 × ( 3+ 1) × 2× 3 2 = 3+ 3 2 . 23. (2025· 北武汉·模拟预测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c，已知 a= 3,bcosA 2 - asinB= 0． (1)求A； 17 (2)在AB边上存在一点E， 得AE= 2EB，连 CE，若△ACE的面积为 3 3 2 ,∠BAC的 分线 交CE于F点，求 CF FE 的 ． 【答案】 (1) π 3 (2) 3 2 【 析】 (1) 角化为边，然 进行化 即可 解； (2) 用三角形面积公式结 弦定理即可 解边长，进而由角 线定理 比值. 【详解】 (1)由 bcosA 2 - asinB= 0及正弦定理得 sinBcosA 2 - sinAsinB= 0， 又 sinB≠ 0，所以 cosA 2 - 2sinA 2 cosA 2 = 0， 因为A∈ 0,π ，所以 A 2 ∈ 0, π 2 ，所以 cos A 2 ≠ 0,sinA 2 = 1 2 ， 所以 A 2 = π 6 ,A= π 3 (2)因为AE= 2EB，S△ACE= 3 3 2 ，所以S△ABC= 3 2 S△ACE= 9 3 4 ， S△ABC= 1 2 bcsin π 3 = 9 3 4 ， 所以 bc= 9， 又由 弦定理得 b2+ c2- a2= bc，可得 b2+ c2= 18， 联立方 解得 b= c= 3， 由角 线定理得 CF FE = CA AE = 3 2 解三角形常考题型梳理 一、第一问巩固训练（拆角，辅助角公式，扩角降幂） 1．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知求角A. 【答案】 【详解】∵， 由正弦定理可得：， 在中，，， 化简得：， ∵，则，又∵，则． 2．（广东深圳·一模）记的内角的对边分别为，已知，求. 【答案】 【分析】由可得，由正弦定理及辅助公式得,即可求得答案 【详解】解：由已知得，， 由正弦定理可得，， 因为， 所以, 代入上式，整理得， 又因为，， 所以， 即, 又因为， 所以， 所以，解得 3．（广东广州·一模）记的内角、、的对边分别为、、.已知，证明：. 【详解】因为，则， 即， 由正弦定理可得 ， 因此，. 二、高线处理策略（等面积） 4．在中，角所对的边分别为,其中 （1）求; （2）求边上的高， 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出，再由正弦定理求出，即可得解； （2）首先由两角和的正弦公式求出，过作交于点，在中，，即可求出； 【详解】解：（1） 因为且，，， 由正弦定理可得，即解得， 因为， （2）如图，过作交于点， 在中 如图所示，在中， 故边上的高为 5．（2025·广东深圳·二模）在中，，BC边上的高等于． (1)求的值； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的面积公式和正弦定理计算即可求解； （2）根据正弦、余弦定理和完全平方公式计算可得，即可求解. 【详解】（1）设中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由题意可得，即， 由正弦定理得，又， 所以． （2）由正弦定理得， 由余弦定理得， 又，所以， 所以的周长为． 三、已知两角一边：可作高 6．（2024·广东江苏·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 8．（2025·广东·一模）在中，角所对的边分别为． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用条件及余弦定理的推论可得，再由条件可求出； （2）解法1：利用两角和的正弦公式分别求出角的正弦值，再利用正弦定理可求出，再利用三角形面积公式求解即可；解法2：注意到，进而可得，由正弦定理并化简可得，进而求，再利用三角形面积公式求解即可；解法3：过点作交于，利用直角三角形即可求边长，再利用面积公式求解即可. 【详解】（1）由余弦定理推论及得， 由于，则， 又因为，且， 所以，则． （2）解法1：由（1）可知， 且， ， 由正弦定理：， 得， 所以． 解法2： 由（1）， 所以， 由正弦定理：， 得， ． 解法3 : 如图，过点作交于， 由于，则， 所以，， 所以． 9．（24-25高二上·江苏连云港·期末）在中，为边上一点，. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1)7； (2). 【分析】（1）法一：应用正余弦定理求边长；法二：过点作的垂线，垂足为，根据已知求边长； （2）应用三角形面积公式求面积. 【详解】（1）法一：在中，由正弦定理得， 则， 在中，由余弦定理得 ； 法二：过点作的垂线，垂足为， 在中，则， 在中，则， 所以 在中，. （2）由（1）可得，. 四、中线问题：借用向量 10．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若为的中点，且，，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由余弦边角关系得，再应用余弦定理求角的大小； （2）由及向量数量积的运算律得，结合求得，再应用三角形面积公式求面积. 【详解】（1）由题设，则， 所以，且，则. （2）由（1）， 由，则， 所以，可得， 所以.    11．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知中，角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为的中点，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换化简求解即可； （2）解法一：由为的中点可得，两边平方，利用向量数量积的运算公式和余弦定理可得，代入三角形的面积公式即可求解；解法二：分别在，，中利用余弦定理，再结合，联立解出，代入三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）根据题意由正弦定理得， 因为，所以， 即， 即， 因为，所以， 又因为所以， 而，所以. （2）解法一：由为的中点知， 两边同时平方得， 即，所以， 又在，由余弦定理得， 所以，所以的面积为. 解法二：在中，由余弦定理可得，整理得① 在中，，在中，， 而，所以， 故，即②, 由①②得，，所以的面积为. 五、角平分线的两种处理策略 12．（23-24高二下·广东广州·期末）在中，角的对边分别是，且. (1)求角； (2)若的角平分线交于点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理边化角后，借助两角和的正弦公式化简即可得解； （2）利用余弦定理可得，利用等面积法结合三角形面积公式计算即可得解. 【详解】（1）由正弦定理可得， 即有， 即，又，故， 即，又，故； （2），即， 即，即， 即， 由余弦定理可得， 即，故. 13．（23-24高二下·河南信阳·开学考试）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)设是边上一点，为角平分线且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解； （2）在中，，得到，再由为角平分线，得到，然后利用余弦定理求解. 【详解】（1）解：由正弦定理得， 即， 利用余弦定理可知， 因为，所以； （2）在中，， 所以， 即， 因为为角平分线，所以，所以， 由余弦定理，得， 则， 因此． 14．（2025·湖北武汉·二模）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理，结合面积可求和，利用，可得，进而可求得. 【详解】在中，，由余弦定理可得， 所以，所以， 又面积为，所以，所以， 所以，所以， 因为CD是的角平分线，，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以. 故选：B. 六、最值问题（常用不等式） 15．（23-24高二下·广东揭阳·期末）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为边的中点，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理进行角换边，再利用余弦定理即可得到； （2）转化为求的最大值，利用余弦定理结合基本不等式即可得，最后根据三角形面积公式即可得到最值. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得，即， 则， 由余弦定理得. 又，所以. （2）因为是边的中点， 即，所以. 在中，， 由余弦定理得， 即， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即面积的最大值为. 16．（2025·湖北·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若∠BAC的角平分线AD与边BC交于点D，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合二倍角公式、和角的正弦公式化简即得. （2）设，利用正弦定理用表示，换元结合余弦定理求出范围，进而构造函数并利用导数求出最小值. 【详解】（1）在中，由，得， 由正弦定理得，即， 则，而，解得，又， 所以. （2）由（1）知，设， 在中，由正弦定理得，， 则，令，， 在中，由余弦定理得， 解得，因此，， 令，求导得，函数在上单调递减， 则，所以的最小值为. 17．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）请在①向量，，且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足______. (1)求的大小； (2)若边上的高为，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选择①，由题意可得，边化角，利用三角恒等变换可求得，可求；选择②，角化边可得，化简可得，可求得，可求；选择③，边化角可得，利用三角恒等变换可求，可求； （2），可得，利用余弦定理可得，进而可求面积的最小值. 【详解】（1）选择①，因为向量，，且， 所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以，所以， 又，所以； 选择②，由，得， 所以，所以， 所以，所以，所以， 又，所以； 选择③，因为， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 又，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理可得，当且仅当时取等号， 所以，解得，所以， 所以面积的最小值为. 18．（2025·广东·一模）在中，角的对边分别为，为边上的中线. (1)证明：； (2)若，，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：对两边平方，再由余弦定理可得答案；方法二： 在和中，由余弦定理可得答案； （2）在中，由余弦定理得，结合（1）再利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）方法一：为边上中线，， ， 在中，由余弦定理得：， ， ， . 方法二：为边上中线， 在中，， 在和中，由余弦定理得： ， 即， ， 即； （2），，由余弦定理可得， 故，即， 当且仅当时，即时等号成立， 所以， 所以取得最大值为. 19．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角的大小； (2)若的角平分线交于D，且，求面积的最小值． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）余弦定理角化边化简，然后再根据余弦定理转化可求出角的余弦值，即可求出角； （2）应用三角形面积公式以及角平分线将三角形面积拆分成两个三角形的面积之和，根据均值不等式解出的最小值，从而求出三角形面积的最小值. 【详解】（1）由余弦定理，得，即 整理得， 所以， 又，所以． （2）因为，所以． 因为，即 当且仅当时等号成立 所以．故面积的最小值为． 七、课后巩固 20．（24-25高三上·山东济宁·期中）记的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的值； (2)若为的中点，且，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得到，结合三角恒等变换得到； （2）根据中点得到，两边平方得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积. 【详解】（1）由正弦定理得，， 则由，得， ， ， ， ； （2）为的中点， ， 又， ，① 由余弦定理得，，② 联立①②，解得， ， 的面积为. 21．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用正弦定理将边化为角，再利用展开化简即可求解； （2）由面积可得，由余弦定理可得，解方程即可求出，进而可求周长. 【详解】（1）由题意得， 因为， 所以， 得，得，因为，所以． （2）由，得． 由余弦定理，得， 得， 得， 所以的周长为． 22．（23-24高二下·江苏南京·期末）记内角的对边分别为，，，已知， (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件和余弦定理先求出，代入第二个条件，可求得； （2）由（1）结论先求出，再由正弦定理求出边，最后运用三角形面积公式计算即得. 【详解】（1）由可得， 由余弦定理，，因，故. 代入可得，，因,故. （2）由（1）知，，，故， 因 由正弦定理，可得， 故的面积为. 23．（2025·湖北武汉·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)在边上存在一点，使得，连接，若的面积为的平分线交于点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将角化为边，然后进行化简即可求解； （2）利用三角形面积公式结合余弦定理即可求解边长，进而由角平分线定理求比值. 【详解】（1）由及正弦定理得， 又，所以， 因为，所以，所以， 所以 （2）因为，所以， 则， 所以， 又由余弦定理得，可得， 联立方程解得， 由角平线定理得 学科网（北京）股份有限公司 $$1 解三角形常考题型梳理 【题 一】第一问巩固训练 (拆角，辅助角公式，扩角 ) 【题 二】高线处理策略 (等面积) 【题 三】已知两角一边：可作高 【题 四】中线问题：借用 量 【题 五】角 分线的两种处理策略 【题 六】最值问题 ( 用不等式) 课 巩固 一、第一问巩固训练 (拆角，辅助角公式，扩角降幂) 1. 在△ABC中，角A，B，C所对 的边分别为 a， b， c．已知 acosC- ccosA= b- c求角A. 2. ( 东深圳·一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c，已知 b+ c= 2asin C+ π 6 ，求 A. 3. ( 东 州·一模)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为 a、 b、 c.已知 acos2C 2 + ccos2A 2 = 3 2 b，证明： sinA+ sinC= 2sinB. 2 二、高线处理策略 (等面积) 4. 在ΔABC中，角A，B,C所对的边分别为 a,b,c,其中 a= 7,b= 8,cosB=- 1 7 (1)求∠A;(2)求AC边上的高， 5. (2025·深圳·二模)在△ABC中，A= π 3 ，BC边上的高等于 3 4 BC． (1)求 sinBsinC的值； (2)若BC= 2，求△ABC的周长． 三、已知两角一边：可作高 6. (2024·高考真题)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为 a， b， c，已知 sinC= 2cosB， a2 + b2- c2= 2ab (1)求B； (2)若△ABC的面积为 3+ 3，求 c． 3 7. (2024·高考真题)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a， b， c，已知 sinA+ 3cosA= 2． (1)求A． (2)若 a= 2， 2bsinC= csin2B，求△ABC的周长． 8. (2025·深圳·一模)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,c2= a2+ b2- ab,cos2B= sinC． (1)求B； (2)若 b= 1，求△ABC的面积． 9. 在△ABC中，D为边BC上一点，AB= 3 6 2 ,∠ABC= 45°,∠ADB= 60°,DC= 5. (1)求AC； (2)求△ADC的面积. 4 四、中线问题：借用向量 10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a， b， c，且满足 cosC= 2a-c 2b . (1)求角B； (2)若D为AC的中点，且BD= 5， b= 6，求△ABC的面积. 11. 已知△ABC中，角A,B,C的对边分别是 a,b,c，且 3b- csinA= 3acosC. (1)求角A的大 ； (2)若 a= 3,D为BC的中点， AD = 2，求△ABC的面积. 五、角平分线的两种处理策略 12. (高二下· 州·期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是 a,b,c，且 sinC+ 3cosC= 3a b . (1)求角B； (2)若 a+ c= 2,b= 3 ,∠ABC的角 分线交AC于点D，求BD. 5 13. 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c，且 sinA ⋅ a+ 1 2 c + sinC ⋅ c+ 12 a = sinB ⋅ b． (1)求角B； (2)设D是边AC上一点，BD为角 分线且AD= 2DC，求 cosA的值． 14. (2025· 北武汉·二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是 a， b， c，且C= π 3 ， c= 6，△ABC面积为 3，D为边AB上一点，CD是∠ACB的角 分线，则 |CD| = ( ) A. 3 B. 1 C. 3 2 D. 1 2 六、最值问题 (常用不等式) 15. (23- 24高二下· 东·期末)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c，已知 (b- c)sinB= (a + c) ⋅ (sinA- sinC). (1)求A； (2)若D为边AB的中点，且CD= 1，求△ABC面积的最大值. 6 16. (2025· 北·模拟预测)在 △ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知 b + c + ccos2A+ 2acosAcosC= 0． (1)求A； (2)若∠BAC的角 分线AD与边BC交于点D，且 b+ c= 4，求 1 BD + 1 DC 的最 值． 17. (24- 25高三上· 东惠州· 段练习)请在①向量 x= cosC,c-2a ， y= b,cosB ，且 x⊥ y； ② a2-b2 sinA= b2-c2 sinC；③ 2asinAcosC+ csin2A= 2 3 acosB这三个条件中任 一个， 补充在下面的问题中， 解答.如果 择多个条件分别 答， 第一个解答计分.在△ABC中，内 角A，B，C的对边分别为 a， b， c，且满足 . (1)求B的大 ； (2)若AC边上的高为 3，求△ABC面积的最 值. 18. (2025· 东·一模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 a,b,c，AD为边BC上的中线. (1)证明：AD= 1 2 2 b2+c2 -a2； (2)若A= π 3 ， a= 2，求AD的最大值. 7 19. (24- 25高三下· 东深圳· 段练习)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a， b， c， 且 cosC= 2b+c 2a ． (1)求角A的大 ； (2)若A的角 分线交BC于D，且AD= 3，求△ABC面积的最 值． 七、课后巩固 1 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a， b， c，且 3bsinA- acosB= α. (1)求角B的值； (2)若D为AC的中点，且BD= 3， b= 2，求△ABC的面积. 2 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a， b， c，且 c a = sinA+2sinBcosA 2sinA ． (1)求B的大小； (2)若 b= 2 2，△ABC的面积为 2 3，求△ABC的周长． 8 3 记 △ABC内角 A,B,C的对边分别为 a， b， c，已知 a2+ b2= c2+ 2 ab， sinC - 2cosB= 0 (1)求B； (2)若 a= 3+ 1，求△ABC的面积. 4 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c，已知 a= 3,bcosA 2 - asinB= 0． (1)求A； (2)在AB边上存在一点E，使得AE= 2EB，连接CE，若△ACE的面积为 3 3 2 ,∠BAC的平 分线交CE于F点，求 CF FE 的值．