精品解析：2025年安徽省滁州市滁州经济技术开发区中考三模数学试题

安徽省初中学业水平考试仿真卷 数学（试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分、“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 在，1，，2这四个数中，最大的数是（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 下列运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 3. 据农业农村部乡村产业高质量发展会议指出，到2025年，预计乡村休闲旅游年接待游客人数超过40亿人次，将40亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是手提水果篮的示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 将一个含的三角尺和一根直尺按如图所示的方式叠合在一起，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则方程的另一个解是（　　） A. 2 B. ﹣1 C. 0 D. ﹣2 7. 为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数a，b，c均不为0，且 ．下列说法中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（ ） A. BD＝10 B. HG＝2 C. D. GF⊥BC 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11. 计算：______． 12. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此，这个数我们把它叫做黄金分割数．若介于整数n和之间，则n的值是_____． 13. 如图，两圆相交于两点，小圆经过大圆的圆心，四边形内接于小圆，点在大圆上．若，则的度数为________． 14. 如图，在中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，当时，的长是___________．若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，当时，四边形面积S的取值范围是____________． 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15. 解方程：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）作出关于点成中心对称的； （2）在轴上找一点，使，并写出点的坐标． 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17. 创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元． （1）求两种型号垃圾桶的单价； （2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？ 18. 如图，某学校准备新建一个读书长廊，并用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地砖的边长均为0.5米． （1）按图示规律，第3图案的长度l3= ；第3个图案中没有花纹的正方形地砖数为 　 ． （2）若某个图案中带有花纹的地砖为n块，则没有花纹的地砖为　　　块．（用含n的代数式表示） （3）若学校读书长廊的长度为Ln=100.5米，求没有花纹的正方形地砖有多少块？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离．（结果保留1位小数）（） 20. 如图，是的直径，弦交于点E，点B是劣弧的中点． （1）求证：． （2）若，的半径为1，求弦的长． 六、(本题满分12分) 21. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息． 信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x表示，分成六组：A． ；B． ；C． ；D． ；E． ；F． ）． 信息二：排球垫球成绩在D． 这一组的是： 20，20，21，21，21，22，22，23，24，24 信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下： 分组 人数 2 m 10 9 6 2 信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下： 学生 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 排球垫球 26 25 23 22 22 15 掷实心球 ▲ 7．8 7．8 ▲ 8．8 9．2 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______； （2）下列结论正确的是_____；（填序号） ①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%； ②掷实心球成绩的中位数记为n，则； ③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀． （3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数． 七、(本题满分12分) 22. 在中，是内的一条射线，分别过点作，垂足分别为点． （1）如图1，求证：． （2）如图2，与交于点，点是的中点，连接． ①求证：； ②如图3，点是的中点，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，，……都是和谐点． （1）判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点． ①求，的值； ②若时，函数的最小值为－1，最大值为3，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省初中学业水平考试仿真卷 数学（试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分、“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 在，1，，2这四个数中，最大的数是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查实数的比较大小，熟练掌握实数比较大小的规则即可．正数大于 0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：∵， 最大的数为2． 故选：D． 2. 下列运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、合并同类项，同底数幂相除．根据幂的乘方、同底数幂相乘、合并同类项以及同底数幂相除等运算法则逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、，故D选项符合题意； 故选：D． 3. 据农业农村部乡村产业高质量发展会议指出，到2025年，预计乡村休闲旅游年接待游客人数超过40亿人次，将40亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】将40亿用科学记数法表示为． 故选：C． 4. 如图是手提水果篮的示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看手提水果篮的示意图是，    故选：A． 5. 将一个含的三角尺和一根直尺按如图所示的方式叠合在一起，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角板中角度的求解，根据题意得：，，，根据平行线的性质和邻补角可得，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图，根据题意得：，，， ， ， 故选：B． 6. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则方程的另一个解是（　　） A. 2 B. ﹣1 C. 0 D. ﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，然后将代入求解． 【详解】设方程的两个根为 由一元二次方程根与系数的关系可得， ∵为方程的解， ∴， 解得． ∴方程的另一个解是． 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程，根与系数的关系，解题关键是利用一元二次方程的根与系数的关系求解． 7. 为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画树状图，再根据概率公式计算即可． 【详解】设三部影片依次为A、B、C，根据题意，画树状图如下： 故相同的概率为． 故选B． 【点睛】本题考查了画树状图法计算概率，熟练掌握画树状图法是解题的关键． 8. 已知实数a，b，c均不为0，且 ．下列说法中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟知分式的混合运算法则是解题的关键． 根据给出的条件结合分式的性质解答即可． 【详解】解：若，则， ∵， ，即A 正确． ， 若，则， ∴， ，即B正确． 若，则 ，即 ，即C正确． 若，则可设， ，即， 而，即D错误． 故选：D． 9. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质． 先求出、两点的坐标和对称轴，先确定三角形向右平移了 1 个单位长度，求得的坐标，再确定三角形向上平移 5 个单位，求得点的坐标，用待定系数法即可求解． 【详解】解：当时，， 解得， 当时，， ， 对称轴为直线， 经过平移，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上， ∴向右平移 1 个单位，即的横坐标为， 当时，， ∴，向上平移5个单位， 此时， ， 设直线的表达式为， 代入， 可得， 解得：， 故直线的表达式为， 故选：C． 10. 如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（ ） A. BD＝10 B. HG＝2 C. D. GF⊥BC 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A，根据折叠的性质即可求得，进而判断B，根据折叠的性质可得，进而判断C选项，根据勾股定理求得的长，根据平行线线段成比例，可判断D选项 【详解】BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8， 故A选项正确， 将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折， ， , 故B选项正确， , ∴EG∥HF， 故C正确 设，则， ， 即 ，同理可得 若 则 ， ， 不平行， 即不垂直， 故D不正确． 故选D 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】由立方根的概念、零指数幂的意义即可完成． 【详解】； 故答案为：3． 【点睛】本题是实数的运算，考查了立方根的计算，零指数幂的意义，掌握这两个知识点是关键． 12. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此，这个数我们把它叫做黄金分割数．若介于整数n和之间，则n的值是_____． 【答案】0 【解析】 【分析】先估计，再求n值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，n为整数， ∴n=0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查无理数的估计，正确判断的范围是求解本题的关键． 13. 如图，两圆相交于两点，小圆经过大圆的圆心，四边形内接于小圆，点在大圆上．若，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是关键． 根据圆周角定理得到，根据内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：小圆经过大圆的圆心， ∴， ∵四边形内接于小圆， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，在中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，当时，的长是___________．若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，当时，四边形面积S的取值范围是____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可得，设，从而，由此得到四边形是平行四边形，结合边上的高为，即可得到函数解析式，进而得到答案． 【详解】解：∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴； 如图，设， 由题意得，，且， ∴， 又F、G分别是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 由题意得，与的距离是， ∴， ∴边上的高为， ∴四边形面积， ∵， ∴， 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，二次函数的性质，求函数解析式，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解． 即原方程的解为． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）作出关于点成中心对称的； （2）在轴上找一点，使，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示：     即为所求； （2）如图所示：点即为所求，坐标为． 【解析】 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换，熟练掌握基本作图知识是解题的关键． （1）根据中心对称的性质，先找出、、三点关于原点中心对称的点、、，连接三点画出三角形； （2）根据线段垂直平分线的性质即作的垂直平分线可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17. 创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元． （1）求两种型号垃圾桶的单价； （2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？ 【答案】（1）A，B两种型号的单价分别为60元和100元 （2）至少需购买A型垃圾桶125个 【解析】 【分析】（1）设两种型号的单价分别为元和元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A型垃圾桶个，则购买A型垃圾桶个，根据题意列出一元一次不等式并求解即可． 【小问1详解】 解：设A，B两种型号的单价分别为元和元， 由题意：， 解得：， ∴A，B两种型号的单价分别为60元和100元； 【小问2详解】 设购买A型垃圾桶个，则购买B型垃圾桶个， 由题意：， 解得：， ∴至少需购买A型垃圾桶125个． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，理解题意，找准数量关系，准确建立相应方程和不等式并求解是解题关键． 18. 如图，某学校准备新建一个读书长廊，并用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地砖的边长均为0.5米． （1）按图示规律，第3图案的长度l3= ；第3个图案中没有花纹的正方形地砖数为 　 ． （2）若某个图案中带有花纹的地砖为n块，则没有花纹的地砖为　　　块．（用含n的代数式表示） （3）若学校读书长廊的长度为Ln=100.5米，求没有花纹的正方形地砖有多少块？ 【答案】（1）3.5米，18块 （2）5n+3 （3）503 【解析】 【分析】（1）观察题目中的已知图形，即可得第3个图案边长和第3个图案没有花纹的正方形地砖数量； （2）观察题目中的已知图形，可得前两个图案中有花纹的地面砖数和没有花纹的地面砖数，并发现其中的规律，根据规律，即可得第n个图案有花纹的地面砖数和没有花纹的地面砖数； （3）由（1）得出第n个图案边长为L=（2n+1）×0.5，Ln=100.5米代入求出n的值，再根据（2）中的代数式，把n代入即可． 【小问1详解】 解：观察可得， 第3图案的长度l3=0.5×7=3.5（米） 第3个图案没有花纹的正方形地砖数为18块． 【小问2详解】 解：观察可得： 第1个图案中有花纹的地面砖有1块，没有花纹的地面砖有8块；第2个图案中有花纹的地面砖有2块，没有花纹的地面砖有13块⋯⋯ 根据规律， ∴图案有花纹的地面砖为n块，则是第n个图案 ∴第n个图案中没有花纹的地面砖有5n+3块． 【小问3详解】 解：由（1）得， 第n个图案边长为L=（2n+1）×0.5 把L=100.5代入，得： 100.5=（2n+1）×0.5 解得：n=100 把n=100代入5n+3，得 5×100+3=503（块）． 【点睛】本题考查列代数式，找出图形之间的联系得到运算规律，利用规律可得出一般性的结论，并解一元一次方程．解题的关键是找到规律． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离．（结果保留1位小数）（） 【答案】此时台灯最高点到桌面的距离为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；在图1中，，在图2中求得，进而根据灯柱高，点到桌面的距离为，即可求解． 【详解】解：由已知，， 在图1中， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ 在中， 在图2中，过点作于点， ∴ ∵灯柱高， 点到桌面的距离为 答：此时台灯最高点到桌面的距离为． 20. 如图，是的直径，弦交于点E，点B是劣弧的中点． （1）求证：． （2）若，的半径为1，求弦的长． 【答案】（1） 证明：∵点B是劣弧的中点，是的直径， ∴，， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是求出． （1）根据垂径定理可得答案； （2）先求出，再求出，最后根据勾股定理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，，， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ． 六、(本题满分12分) 21. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息． 信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x表示，分成六组：A． ；B． ；C． ；D． ；E． ；F． ）． 信息二：排球垫球成绩在D． 这一组的是： 20，20，21，21，21，22，22，23，24，24 信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下： 分组 人数 2 m 10 9 6 2 信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下： 学生 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 排球垫球 26 25 23 22 22 15 掷实心球 ▲ 7．8 7．8 ▲ 8．8 9．2 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______； （2）下列结论正确的是_____；（填序号） ①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%； ②掷实心球成绩的中位数记为n，则； ③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀． （3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数． 【答案】（1） （2）②③ （3）人 【解析】 【分析】（1）由总人数减去各小组已知人数即可得到答案； （2）由排球垫球成绩超过10个的人数除以总人数可判断①，由中位数的含义可判断②，分三种情况进行分析讨论可判断③，从而可得到答案； （3）由样本的百分率乘以总人数即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：； 【小问2详解】 ①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比为，故①不符合题意； ②∵掷实心球成绩排在第20个，第21个数据落在这一组， ∴掷实心球成绩的中位数记为n，则；故②符合题意； ③由排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀． ∴从这点出发可得：学生1，学生2，学生3，学生4，学生5为优秀， ∵信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名， ∴若学生1为优秀，则学生4不为优秀，可得学生3优秀； 若学生4为优秀，学生1不为优秀，可得学生3优秀； 学生1，学生4不可能同时为优秀， ∴学生3掷实心球的成绩必为优秀，故③符合题意； 故答案为：②③ 【小问3详解】 排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数为（人）． 【点睛】本题考查的是从频数分布表，统计表中获取信息，利用样本估计总体，熟练的从频数分布表与统计表中获取互相关联的信息是解本题的关键． 七、(本题满分12分) 22. 在中，是内的一条射线，分别过点作，垂足分别为点． （1）如图1，求证：． （2）如图2，与交于点，点是的中点，连接． ①求证：； ②如图3，点是的中点，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）①证明：如图，连接， ∵，点是中点， ∴， 在和中，，， ∴， 由（1），可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ② 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正切值的计算，掌握以上知识，数形结合，合理作出辅助线是关键． （1）根据题意证明，得到，即可求解； （2）①如图，连接，证明即可求解；②根据题意得到，再证明，得到，由，等量代换即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②由（1）知，， ∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，，……都是和谐点． （1）判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点． ①求，的值； ②若时，函数的最小值为－1，最大值为3，求实数的取值范围． 【答案】（1）存在， （2）①； 【解析】 【分析】（1）根据定义可知，和谐点都在上，联立两直线解析式即可求解； （2）①根据题意可知二次函数与相切于点，据此即可求解； ②根据①得到解析式，根据二次函数图象的性质分析即可求解． 【小问1详解】 解：∵点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点， ∴和谐点都在上， ， 解得， 上的和谐点为； 【小问2详解】 解：①∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点， ∴即有两个相等的实数根， ， 解得①， 将代入得， ， 联立①②，得， ②， ， 其顶点坐标为，则最大值为3， 在时，随的增大而增大，当时，， 根据对称轴可知，当时，， 时，函数的最小值为－1，最大值为3， 根据函数图象可知，当时，函数的最小值为－1，最大值为3， 实数的取值范围为：． 【点睛】本题考查了新定义问题，两直线交点问题，一次函数与抛物线交点问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $