2025年中考数学专项复习讲义 矩形存在性问题

专题11  矩形存在性问题

一、矩形的基础知识

1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2、矩形的性质：

（1）矩形具有平行四边形的所有性质；

（2）矩形的对角线相等；

（3）矩形的四个角都是直角；

（4）矩形是轴对称图形，有两条对称轴.

二、矩形存在性问题的解题策略

1.在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形，因此，在坐标系中，若AC为矩形ABCD的对角线，则此矩形应满足如下的等式：

；

2.矩形除了可以由平行四边形得到之外，还可以看成是由两个直角三角形组成的，如图所示：

在此基础上，要善于利用直角三角形的性质：

①两个锐角互余；

②三边平方的等量关系（勾股定理）；

③斜边上的中线等于斜边的一半.

3.构造K型相似

∠AEB=∠ABC=∠CFB=90°，那么△AEB∽△BFC

三、经典例题

例题1．（2025•康县四模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出值；

（3）在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

例题2．（2025•清丰县校级一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点．

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）当时，函数值的取值范围是 　　 ；

（3）若点为第四象限的抛物线上一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点．

①连接，过点作轴，交于点，以、为邻边构造矩形，当矩形的周长为时，求的值；

②以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分图象与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围．