2025年中考数学专项复习讲义 矩形存在性问题

专题11 矩形存在性问题 一、矩形的基础知识 1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2、矩形的性质： （1）矩形具有平行四边形的所有性质； （2）矩形的对角线相等； （3）矩形的四个角都是直角； （4）矩形是轴对称图形，有两条对称轴. 二、矩形存在性问题的解题策略 1.在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形，因此，在坐标系中，若AC为矩形ABCD的对角线，则此矩形应满足如下的等式： ； 2.矩形除了可以由平行四边形得到之外，还可以看成是由两个直角三角形组成的，如图所示： 在此基础上，要善于利用直角三角形的性质： ①两个锐角互余； ②三边平方的等量关系（勾股定理）； ③斜边上的中线等于斜边的一半. 3.构造K型相似 ∠AEB=∠ABC=∠CFB=90°，那么△AEB∽△BFC 三、经典例题 例题1．（2025•康县四模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出值； （3）在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 例题2．（2025•清丰县校级一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当时，函数值的取值范围是 　　 ； （3）若点为第四象限的抛物线上一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点． ①连接，过点作轴，交于点，以、为邻边构造矩形，当矩形的周长为时，求的值； ②以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分图象与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围． 【巩固练习】 1．如图，直线y＝﹣x＋2与反比例函数（k≠0）的图象交于A（a，3）、B（3，b）两点，直线AB交y轴于点C、交x轴于点D． （1）请直接写出a＝　 　，b＝　 　，反比例函数的解析式为　 　． （2）在x轴上是否存在一点E，使得∠EBD＝∠OAC，若存在请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． （3）点P是x轴上的动点，点Q是平面内的动点，是以A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由． 2．（2025•雁塔区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别相交于，两点，与轴交于点，直线经过、两点． （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线的顶点为，点是轴上一点，点是平面内一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请求出点、的坐标；若不存在，请说明理由． 3． 如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c交x轴于点A，B，交y轴于点C．点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），点C与点D关于抛物线的对称轴对称． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为抛物线对称轴上一点，连接BD，以PD，PB为边作平行四边形PDNB，是否存在这样的点P，使得平行四边形PDNB是矩形？若存在，请求出tan∠BDN的值；若不存在，请说明理由. 4． 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（0，5），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒1个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造平行四边形PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE＝AO． （1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形； （2）点P在运动过程中，是否存在某个时刻t（秒），使得四边形ADEC是矩形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 5． 如图抛物与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．C，D两点关于抛物线对称轴对称，连接BD交y轴于点E，抛物线对称轴交x轴于点F． （1）点P为线段BD上方抛物线上的一点，连接PD，PE．点M是y轴上一点，过点M作MN⊥y轴交抛物线对称轴于点N．当△PDE面积最大时，求PM＋MN＋NF的最小值； （2）如图2，在（1）中PM＋MN＋NF取得最小值时，将△PME绕点P顺时针旋转120°后得到△PM′E′，点G是MN的中点，连接M′G交抛物线的对称轴于点H，过点H作直线l∥PM，点R是直线l上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以点M′，点G，点R，点S为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由． 6．（2025•滨湖区二模）如图，已知二次函数是常数，的图象与轴分别相交于点、（点位于点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．点关于的对称点为，连接．点为该函数图象上一点，平分． （1）①线段的长为　　 ． ②求点的坐标；①、②中的结论均用含的代数式表示） （2）设是该函数图象上一点，点在上．探索：是否存在点．使得以、、、为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点坐标；如果不存在，说明理由． 7．（2025•龙口市一模）如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一交点为，且与轴交于点． （1）求的值； （2）求点的坐标； （3）该二次函数图象上有一点（其中，，使，求点的坐标； （4）若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2025春•锡山区期中）已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，交轴于点，为抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，求点的坐标； （3）若点是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的横坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2025•蓬莱区一模）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，，抛物线的顶点为． （1）求抛物线的表达式； （2）是线段上一点，是抛物线上一点，平行于轴且交轴于点，当时，求点的坐标； （3）是抛物线上一动点，是平面直角坐标系内一点．是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2025•沂源县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． （1）试求抛物线的解析式； （2）直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，取最大值时，是否存在轴上的点及坐标平面内的点，使得，，，四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 三、经典例题 例题1．（2025•康县四模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出值； （3）在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点，的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 【解答】解：（1）直线交坐标轴与、两点， 点，点， 抛物线经过、两点，且交轴于另一点， ， ， 抛物线解析式为：； （2）解：，， ， ， （已知）， ， ， （内错角相等，两直线平行）， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，， 解得或（舍去）， 则； （3）存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把点代入得：， 直线的解析式为：， 联立， 解得：或（即为点，舍去）， ， 四边形是矩形，且，，， ， 解得， 则此时点的坐标为； ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 则直线的解析式为， 联立， 解得：或（即为点，舍去）， ， 四边形是矩形，且，，， ， 解得：， 则此时点的坐标为， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 【点评】本题考查了二次函数与一次函数的综合、矩形的性质等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 例题2．（2025•清丰县校级一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当时，函数值的取值范围是 　　 ； （3）若点为第四象限的抛物线上一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点． ①连接，过点作轴，交于点，以、为邻边构造矩形，当矩形的周长为时，求的值； ②以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分图象与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围． 【分析】（1）将，代入，用待定系数法即可求解；把抛物线的解析式化成顶点式即可得顶点坐标； （2）根据二次函数的性质求出最大值与最小值即可求得取值范围； （3）①求出直线的表达式，分别表示点、的坐标，进而可表示出、的长度，分两种情况：Ⅰ当点在点左侧即时，Ⅱ当点在点右侧即时，分别列方程求解即可； ②用分别表示点、关于直线的对称点、的坐标，结合图形列方程或不等式即可求得的取值范围． 【解答】解：（1）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点．将点，点的坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 顶点； （2）， 时，随的增大而减小， 时，随的增大而增大， 当时，时，， 时，， ， 故答案为：； （3）①抛物线与轴交于、两点， 当时，得：， 解得，， ， 设直线为，将点，点的坐标分别代入得： ， 解得， ， 点为第四象限的抛物线上一点，轴， ，即，， ， 轴， ， ； Ⅰ．当点在点左侧即时，如图 ，当矩形的周长为时，， 即， 解得（舍，； Ⅱ．当点在点右侧即时，如图所示： ， 当矩形的周长为时，， 即， 解得； 综上所述，当矩形的周长为时，的值为或； ②的取值范围为；理由如下： 如图 当点关于直线的对称点在轴上时，； 当点关于直线的对称点过原点时， ， ， ， ， 综上所述，的取值范围为． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的周长、轴对称等知识，利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是本题的关键． 【巩固练习】 1．如图，直线y＝﹣x＋2与反比例函数（k≠0）的图象交于A（a，3）、B（3，b）两点，直线AB交y轴于点C、交x轴于点D． （1）请直接写出a＝　 　，b＝　 　，反比例函数的解析式为　 　． （2）在x轴上是否存在一点E，使得∠EBD＝∠OAC，若存在请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． （3）点P是x轴上的动点，点Q是平面内的动点，是以A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由． 【解答】a＝﹣1，b＝﹣1，；（2）E坐标为（0，0）或（，0）；（3）Q坐标（0，﹣4）或（0，4）或（1＋，2）或（1﹣，2） 【解析】（1）∵A（a，3）、B（3，b）两点在y＝﹣x＋2上，∴a＝﹣1，b＝﹣1， ∴A（﹣1，3），（3，﹣1）， ∵A（﹣1，3）在上，∴k＝﹣3． ∴反比例函数的解析式为； （2）如图，连接OB． ∵A（﹣1，3），B（3，﹣1），∴OA＝OB＝，∴∠OAC＝∠OBD， ∴当点E与O重合时，∠EBD＝∠OAC，此时E（0，0）． 作BE′∥OA，则∠E′BD＝∠OAC， 由题意D（2，0），， ∵BE′∥OA，，， ，，， 综上所述，满足条件的点E坐标为（0，0）或（，0）； （3）存在．如图： ①当四边形AP1Q1B是矩形时，易知P1（﹣4，0）， 点B（3，﹣1）向左平移3个单位，向下平移3个单位得到Q1（0，﹣4）； ②当四边形BP2Q2A是矩形时，P2（4，0）， 点A（3．﹣1）向右平移一个单位，向上平移一个单位得到Q2（0，4）． ③当AB是矩形的对角线时，设AB的中点为R（1，1），设P3（m，0）， ∵RP＝2，∴（1﹣m）2＋12＝（2）2，∴m＝1＋或1﹣， ∴P3（1﹣，0），P4（1＋，0）， ∴Q3（1＋，2），Q4（1﹣，2）， 综上所述，满足条件的点Q坐标（0，﹣4）或（0，4）或（1＋，2）或（1﹣，2）． 2．（2025•雁塔区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别相交于，两点，与轴交于点，直线经过、两点． （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线的顶点为，点是轴上一点，点是平面内一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请求出点、的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先根据一次函数解析式求出点、的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先根据二次函数的性质求得顶点为，设，，然后分、两种情况，分别画出图形并运用矩形的对角线相等且相互平分列方程组求解即可． 【解答】解：（1）、分别是直线与轴，轴的交点， 点的坐标为，点的坐标为， 、在抛物线上， ， 解得：， 抛物线解析式为； （2）抛物线解析式为， 顶点， 设，， ①如图：当时， 则， 解得：， ，； ②如图：当时， 则， 解得：， ，； 综上所述：，或，． 【点评】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 3． 如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c交x轴于点A，B，交y轴于点C．点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），点C与点D关于抛物线的对称轴对称． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为抛物线对称轴上一点，连接BD，以PD，PB为边作平行四边形PDNB，是否存在这样的点P，使得平行四边形PDNB是矩形？若存在，请求出tan∠BDN的值；若不存在，请说明理由. 【解答】（1）y＝﹣x2＋2x＋3；（2）tan∠BDN＝1或 【解析】（1）把B点坐标、点C点坐标为代入抛物线y＝﹣x2＋bx＋c方程， 解得，抛物线方程为：y＝﹣x2＋2x＋3； 点A坐标为（﹣1，0），点D坐标为（2，3），函数的对称轴为x＝1； （2）存在．设点P（1，m）， 设函数对称轴交x轴于点N，过点D作DM⊥PN于点M，如图所示： 则∠MDP＝∠BPN，则tan∠MDP＝tan∠BPN， 即：，解得：m＝1或m＝2； 则点P（1，1）或（1，2），则：PD＝或，则PB＝2或， tan∠BDN＝＝1或. 4． 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（0，5），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒1个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造平行四边形PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE＝AO． （1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形； （2）点P在运动过程中，是否存在某个时刻t（秒），使得四边形ADEC是矩形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）见解析；（2）当t＝0或t＝15时，四边形ADEC是矩形 【解析】（1）证明：连接CD交AE于F，如图所示： ∵四边形PCOD是平行四边形，∴CF＝DF，OF＝PF， ∵PE＝AO，∴AF＝EF，又CF＝DF， ∴四边形ADEC为平行四边形； （2）存在， 理由：当四边形ADEC是矩形时，∠ACE＝90°， ∵OC⊥AE，∴△ACO∽△CEO， ∴， ∵点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（0，5）， ∴OA＝OB＝5，OC＝5﹣t，OE＝5＋t， ∴，解得：t＝0或t＝15， ∴当t＝0或t＝15时，四边形ADEC是矩形． 5． 如图抛物与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．C，D两点关于抛物线对称轴对称，连接BD交y轴于点E，抛物线对称轴交x轴于点F． （1）点P为线段BD上方抛物线上的一点，连接PD，PE．点M是y轴上一点，过点M作MN⊥y轴交抛物线对称轴于点N．当△PDE面积最大时，求PM＋MN＋NF的最小值； （2）如图2，在（1）中PM＋MN＋NF取得最小值时，将△PME绕点P顺时针旋转120°后得到△PM′E′，点G是MN的中点，连接M′G交抛物线的对称轴于点H，过点H作直线l∥PM，点R是直线l上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以点M′，点G，点R，点S为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】（1）；（2）， 【解析】（1）在抛物线中，令x＝0，得：y＝，令y＝0，得：x1＝﹣3，x2＝1 ∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，） ∵， ∴抛物线对称轴为：直线x＝﹣1，∴D（﹣2，）， 设直线BD解析式为y＝kx＋b，将B（1，0），D（﹣2，）代入得，解得：， ∴直线BD解析式为，∴E（0，）， 过点P作PG⊥x轴于G交BD于H，作PQ⊥BD于Q，连接CD，如图所示： 设，， ， ∵PG∥y轴∴∠PHD＝∠DEC， ∵C、D关于直线x＝﹣1对称， ∴∠DCE＝∠PQE＝90°∴△DCE∽△EQP ∴，即：PQ•DE＝DC•PH， ， ， ∴当时，S△PDE的最大值＝，此时，， 过点F作∠SPN＝60°，过N作∠FNS＝30°，∴∠FSN＝90°， ∴NS＝NF•cos∠FNS＝NF•cos30°＝NF，过M作MK∥NS，且MK＝NS， 当P、M、K三点共线时，PM＋MK最小， ∴∠PMC＝∠KME＝∠FNS＝30° ∴PM＝2PL＝1，LM＝，MK＝NS＝NF＝，MN＝1 ∴PM＋MN＋NF的最小值＝1＋1＋＝， （2）如图2，由（1）知：，， 可求得直线PM解析式为：， ∵∠PML＝30°，∠PLM＝90°，∴∠LPM＝60° ∵∠MPM′＝120°，PM′＝PM＝1 ∴M′、P、L三点共线，∴， ∵点G是MN的中点， ∴，待定系数法可求得直线M′G的解析式为：， 令x＝﹣1，得，∴，∵直线l∥PM且过点H， ∴直线l的解析式为：，设，∵以点M′，点G，点R，点S为顶点的四边形是矩形 ∴可以分两种情形：M′G为边或M′G为对角线 ①M′G为边，∠RM′G＝90°时 ∴M′R2＋M′H2＝RH2，即： 解得：，由平移可得， ②M′G为边，∠M′GR＝90°时，∴GR2＋HG2＝HR2， 解得：，由平移可得； ③M′G为对角线，∠M′RG＝90° ∴M′R2＋RG2＝M′G2， 无解； 综上所述，点S的坐标为：，． 6．（2025•滨湖区二模）如图，已知二次函数是常数，的图象与轴分别相交于点、（点位于点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．点关于的对称点为，连接．点为该函数图象上一点，平分． （1）①线段的长为　　 ． ②求点的坐标；①、②中的结论均用含的代数式表示） （2）设是该函数图象上一点，点在上．探索：是否存在点．使得以、、、为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点坐标；如果不存在，说明理由． 【分析】（1）①令，求出抛物线与轴的交点坐标； ②根据抛物线解析式确定出对称轴，和轴交点坐标； （2）先设出点的坐标，分两种情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出点的坐标，再用勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）①令，则， 或， ，，，， ， 故答案为； ②二次函数， ，对称轴， ， 平分， 点关于轴的对称点，在直线上， 直线的解析式为， 点是抛物线和直线的交点， ，． （2）设，， ，，，． 以、、、为顶点的四边形是矩形， ①以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ，， ， ， （舍，或， ， ②以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ，， ， ， （舍或 ， ③以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ，， ， ，此方程无解， 即：存在，或． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，对称轴，勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线解析式． 7．（2025•龙口市一模）如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一交点为，且与轴交于点． （1）求的值； （2）求点的坐标； （3）该二次函数图象上有一点（其中，，使，求点的坐标； （4）若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）直接将点的坐标代入到二次函数的解析式即可求出的值，写出二次函数的解析式； （2）分别计算当和时的值，写出、两点的坐标； （3）因为，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要高与的长相等即可，因此要计算时对应的点即可； （4）分是矩形的边、是矩形的对角线两种情况，通过画图，利用数形结合即可求解． 【解答】解：（1）把代入二次函数得： ， ； （2）由（1）可知，二次函数的解析式为：； 当时，， ， 当时，， ， ， 或3， ； （3）， 当时，， ， ， ， 或2， 只有符合题意． 综上所述，点的坐标为； （4）存在，理由： ①当是矩形的边时，此时，对应的矩形为， ，故， 矩形为正方形， 故点的坐标为； ②当是矩形的对角线时，此时，对应的矩形为， 同理可得，矩形为正方形， 故点的坐标为， 故点的坐标为或． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查的是一次函数的性质、矩形的性质、正方形的性质，面积的计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏． 8．（2025春•锡山区期中）已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，交轴于点，为抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，求点的坐标； （3）若点是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先根据对称轴公式可得，再将点的坐标代入抛物线的解析式中可得，即可解答； （2）分两种情况：①点在的下方时，先利用待定系数法可得的解析式，联立抛物线和直线的解析式，解方程可得点的坐标；②点在的上方时，证明，可得，即可解答； （3）设点的坐标为，分三种情况：①如图3，过点作轴于，则，②如图4，过点作轴于，则，③如图5，，即可解答． 【解答】解：（1）二次函数，对称轴为直线， ， ， ， 将点代入中得： ， ， 这个二次函数的表达式为：； （2）分两种情况： ①点在的下方时，如图1， ，， 设的解析式为：， ， ， 的解析式为：， ， 解得：（舍，， 点的坐标为； ②点在的上方时，如图2，设直线交轴于， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 易得的解析式为：， ， ， ， ，， 点的坐标为，； 综上，点的坐标为或，； （3）设点的坐标为， 分三种情况： ①如图3，过点作轴于，则， 四边形是矩形， ， ， ， △是等腰直角三角形， ， ， ，， 点的横坐标为， ，， 点的横坐标为； ②如图4，过点作轴于，则， 四边形是矩形， ， ， ， △是等腰直角三角形， ， ， 或1， 点的横坐标为1， 点的横坐标为4； ③如图5，， ， ， ， ， ， ， （舍，，， 点的横坐标是或； 综上，点的横坐标是或4或或． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，利用待定系数法求函数的解析式，三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 9．（2025•蓬莱区一模）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，，抛物线的顶点为． （1）求抛物线的表达式； （2）是线段上一点，是抛物线上一点，平行于轴且交轴于点，当时，求点的坐标； （3）是抛物线上一动点，是平面直角坐标系内一点．是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点、的坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可； （2）设，，则，，，则，即可求解； （3）分为边和对角线两种情况进行讨论：根据平移的性质，三角形相似的性质和判定，两点的距离公式可得结论． 【解答】解：（1）由题意得：； （2）直线经过点和， 直线的解析式为：， 轴， 设，，其中， 则，， ，则， 即， 解得：（舍去）或或2， 即点，或； （3）存在， ①如图2，若是矩形的边， 设抛物线的对称轴与直线交于点，且， 过点，分别作直线的垂线交抛物线于点，， ，，则， 同理得：，， ， ， 点与点重合， 当，时，四边形是矩形， 向右平移1个单位，向上平移1个单位得到， 向右平移1个单位，向上平移1个单位得到， 此时直线的解析式为：， 直线与平行且过点， 直线的解析式为：， 点是直线与抛物线的交点， ， 解得：，（舍， ， 当时，四边形是矩形， 向左平移3个单位，向上平移3个单位得到， 向左平移3个单位，向上平移3个单位得到； ②如图3，若是矩形的对角线， 设 当时，过点作轴于，过点作于， ，， △△， ，即， 点不与点，重合， 或， ， ， 如图4，满足条件的点有两个，即，，，， 当，时，四边形是矩形， 向左平移个单位，向下平移个单位得到， 向左平移个单位，向下平移个单位得到，， 当，时，四边形是矩形， 同理可得：，； 综上，点的坐标为或或，或，． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质等知识，正确画图，并运用分类讨论的思想是解本题的关键． 10．（2025•沂源县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． （1）试求抛物线的解析式； （2）直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，取最大值时，是否存在轴上的点及坐标平面内的点，使得，，，四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，可得，再由，可得，根据等高三角形的面积比等于底的比可得：，运用二次函数的性质即可得出答案； （3）分两种情形分别求解即可：①当是矩形的边时，有两种情形；②当是对角线时． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， 抛物线经过点、、， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）如图1，过点作轴交直线于，连接， 设直线的解析式为， 、， ， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， 直线与轴交于点， ， ， 轴，即， ， ， ， ， ， 当时，取得最大值，此时点的坐标为； （3）存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形． 由（2）知：，， ①当是矩形的边时，有两种情形， 当四边形为矩形时，如图2，连接，过点作轴于， 则， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， △， ，， ，， △， ，即， ， ， ，； 当四边形是矩形时，如图2，过点作轴交的延长线于，过点作轴于， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， △， ，即， ， ， ， ， ， ， ， △， ，， ， ； ②当是对角线时，设，则，，， 是直角顶点， ， ， 整理得，方程无解，此种情形不存在； 综上所述，点的坐标为，或． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数的应用，二次函数的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 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