精品解析：重庆市第十一中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

重庆市第十一中学校教育集团高2027届高一下期期中考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将案写在题卡上，写在本试卷上无效． 一、单项选择题．本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法、乘法运算即可求解. 【详解】由， 可得：， 故选：C 2. 的两直角边为，以所在的直线为轴旋转一周得到的几何体的表面积为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知该几何体是圆锥，其表面积等于底面积加上侧面积. 【详解】，， 所得几何体的底面圆的半径为，面积为, 所得的圆锥的侧面面积为． 故几何体的表面积为， 故选：B. 3. 已知向量，且，则实数= A. B. 0 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，，因为，所以，解得，故选C. 考点：向量的坐标运算. 4. 已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（ ） A. ， B. ，且 C. ，，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与直线的位置关系判断A；由直线与平面的位置关系判断B；平面与平面的位置关系判断C；平面与平面的平行的性质定理判断D. 【详解】选项A中，，，则可能平行也可能相交，故A不正确； 选项B中，，，则可能且，也可能在平面或平面内，故B不正确； 选项C中，，，，，若直线 与直线平行，则平面可能平行也可能相交，故C不正确； 选项D为面面平行性质定理的符号语言，D正确； 故选：D. 5. 在三棱锥中，三条棱、、两两垂直，且，分别经过三条棱、、，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为、、，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中点的对称性分析相应的截面，结合垂直关系求出截面面积，利用不等式的基本性质求解. 【详解】取的中点，连接、， 可知点、到平面的距离相等，所以平面平分三棱锥的体积， 因为，，，、平面，所以平面， 且平面，则， 设，，，，则， 因为为直角三角形，则， 所以， 同理可得：，， 因为，所以，， 则，所以． 故选：A. 6. 若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得为线段的中点，再结合三角形面积公式以及边长比例关系可得结果. 【详解】取的中点为，如下图所示： 易知，又可得； 因此可得，即三点共线，且为线段的中点， 所以； 又，所以； 所以与的面积之比为. 故选：C 7. 如图，三棱锥的底面的斜二测直观图为，已知底面，，则三棱锥外接球的体积（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由斜二测画法得，再结合底面求出外接球半径，即可求解. 【详解】 由题意得，且．所以由斜二测画法得，在原图中，，，， 所以三棱锥外接球的半径，则． 故选：A. 8. 外接圆半径为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设及正弦定理易得，，，结合平方关系可得，进而结合余弦定理求得，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】由，根据正弦定理得， 则，又，则， 显然或，则为锐角， 所以， 又，则， 则， 则，即， 所以的面积为. 故选：D. 二、多项选择题．本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A. 复数的模为5 B. 复数，则在复平面上的点在第四象限 C. 复数是纯虚数，则或 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的模、复数在复平面内的坐标表示、纯虚数的定义以及复数模的几何意义来逐一分析选项. 【详解】对于A选项，已知复数，则其模，所以A正确. 对于B选项，已知，则， 在复平面内， 对应的点为，该点在第四象限，所以B正确. 对于C选项，对于复数，若它是纯虚数，则实部为，虚部不为. 即，由，解得或； 又因为，即，所以，C错误. 对于D选项，已知表示的是以原点为圆心，半径满足的圆环. 圆环的面积，所以D选项正确. 故选：ABD. 10. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 与垂直的单位向量的坐标为或 D. 若向量与非零向量共线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量夹角公式判断A选项；利用公式判断B选项；设与垂直的单位向量的坐标为，建立方程组求解即可判断C选项；设，利用平面向量基本定理中的唯一性可得判断D选项. 【详解】由题意得，，故A正确； 在方向上的投影向量为， 故B错误； 设与垂直的单位向量的坐标为，则，解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或，故C正确； 若向量与非零向量共线，设， 因为不共线，所以，解得，此时，故D正确. 故选：ACD. 11. 在正四面体中，若，为的中点，下列结论正确的是（ ） A. 正四面体的体积为 B. 正四面体外接球的表面积为 C. 如果点在线段上，则的最小值为 D. 正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正四棱锥的结构特征，应用棱锥的体积公式求体积，并确定外接球的半径求表面积，展开侧面，要使最小，只需共线，结合余弦定理求其最小值，根据正四面体内接一个圆柱底面圆与其中截面正三角形关系求半径、体高，应用二次函数性质求侧面积最大值. 【详解】由正四面体各棱都相等，即各面都为正三角形，故棱长为2，如下图示， 为底面中心，则共线，为体高，故， 所以，故正四面体的体积为，A错误； 由题设，外接球球心在上，且半径， 所以，则， 故外接球的表面积为，B正确； 由题意知：将面与面沿翻折，使它们在同一个平面，如下图示， 所以且，， 又，而， 要使最小，只需共线，则， 所以，C正确； 如下图，棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆为正四面体内接一个圆柱的上底面， 若截面所成正三角形边长为，则圆柱体的高，圆柱底面半径为， 所以其侧面积， 故当时，，D正确. 故选：BCD 三、填空题．本题共3小题，每小题5分，其中14题第一空2分，第二空3分，共15分． 12. 圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长，则圆台体积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用半径和母线求出圆台的高，代入体积公式计算可得结果. 【详解】易知圆台的上底面面积为，下底面面积为； 又母线长为，所以圆台的高为； 所以圆台体积为. 故答案为： 13. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取，两点，从，两点测得树尖的仰角分别为和，且，两点之间的距离为，则树的高度为_____m． 【答案】 【解析】 【分析】在中，根据正弦定理求得，再利用直角三角形中边角关系求得树高． 【详解】在中，由正弦定理得：， 即，得， 又， 则 则树高． 故答案为：． 14. 已知正方形边长为8，，则_____；若正方形边上恰有5个不同的点，使，则_____． 【答案】 ①. ②. 8 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解数量积即可；假设，讨论的位置求出的表达式，再结合二次函数性质并利用数形结合思想分类讨论出的不同取值对应的点的个数，即可求出. 【详解】建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如图所示： 由可得， 所以，； 设，则， （1）当在上时，，， 令，开口向上，对称轴， 易知为最小值，且； 画出函数的图象如下图所示： 结合图象可知当时，方程有两解， 当时，方程只有一解， 当或时，方程无解， 即可得：当时，有两解；当时，有一解；当时，无解； （2）当在（不含）上时，，， 令，开口向上，对称轴为， 同理可画出的图象如下图所示： 结合图象可知当时，方程有两解， 当或时，方程有一解， 当或时，方程无解， 即可得：当时，有两解；当时，有一解；当时，无解. （3）当在（不含）上时，，， 令，开口向上，对称轴为， 画出的图象如下图所示： 结合图象可知， 当时，方程有两解， 当或时，方程有一解； 当或时，方程无解； 即可得：当时，有两解；当和时，有一解；当时，无解. （4）当在上（不含）时，，， 令，开口向上，对称轴， 画出函数的图象如下图所示： 结合图象可知当时，方程有两解， 当或时，方程有一解， 当或时，方程无解， 即可得：当时，有两解；当和时，有一解；当时，无解. 综上所述：当时，无解； 当时有4解；时有2解； 当时有1解；时有5解； 时有6解；时，有4个解， 因此当时满足题意. 故答案为：8 四、解答题．本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量与的夹角为． （1）求及； （2）求． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用平面向量数量积的定义求解即可. （2）将平方，再结合（1）中结论，代入求解即可. 【小问1详解】 因为向量与的夹角为， 所以， 则． 【小问2详解】 由 ， 所以． 16. 的内角的对边分别为，已知 （1）求角的大小； （2）若，，判断三角形形状． 【答案】（1） （2）是等腰直角三角形 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再通过三角函数的和角公式化简，进而求出角的大小；（2）利用余弦定理化简已知等式，得到边与的关系，结合已知边的值求出边，最后根据余弦定理求出，进而判断形状. 【小问1详解】 已知，由正弦定理将边化为角可得， 即， 可得， 因为，所以，则， 那么， 因为是三角形内角，所以，等式两边同时除以可得， 即， 又因为，所以； 【小问2详解】 已知，由余弦定理，代入可得：，即， 化简得，所以，又，则， 由余弦定理，已知，，， 则，所以， 因为，且，所以是等腰直角三角形. 17. 如图，四边形是平行四边形，点分别为线段的中点． （1）证明：平面； （2）若，证明：． 【答案】（1）证明：因为分别为线段的中点， 所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）证明：因为四边形是平行四边形， 所以且， 点分别为线段的中点， 故且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为，即平面平面， 平面平面， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据中位线得到，从而证明出线面平行； （2）证明出四边形为平行四边形，故，所以平面，同理可得平面，证明出面面平行，由面面平行的性质得到线线平行. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在中，，，． （1）求的大小； （2）若，求的面积； （3）当取最小值时，计算的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理求解即可 （2）在中，利用正弦定理求得和，然后利用面积公式求解即可 （3）分别在和中，利用余弦定理把转化为关于x的函数，然后利用判别式法求值域即可. 【小问1详解】 在中，由， 由正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以 【小问2详解】 设， 在中，， ， 所以， ， 所以 【小问3详解】 在中， ， 在中， , 所以， 令，且定义域为， 则 ， 当时，得， 当，得，解得， 所以， 此时，得， 解得,所以当取最小值时， 的长为， 19. 在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是边上的点，且． （1）求证：、、、四点共面； （2）若四面体为棱长为6的正四面体，且，求四边形的周长； （3）若平面截四面体所得的五面体的体积占四面体的，求的值． 【答案】（1） 连接， 因为H、G分别是AD、CD的中点， 所以， 又， 所以，所以， 所以E、F、G、H四点共面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行的传递性证明即可； （2）由余弦定理及线段成比例即可求解； （3）延长，则必交于点，利用相似比求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 为三等分点，又是中点， 所以， 由余弦定理可得：， 得：，同理 ，、分别是、的中点， 所以，， 所以四边形的周长. 【小问3详解】 延长，则必交于点， 证明如下：设， 因为平面， 所以平面， 同理平面， 又平面平面， 所以， 所以，则必交于点， 取的中点，连接， 因为，所以， 又，所以， 所以， 又，所以， 所以， 所以，即， 所以，， 所以， ， 所以，即， 所以，即， 所以， 解得或， 又因为，所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十一中学校教育集团高2027届高一下期期中考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将案写在题卡上，写在本试卷上无效． 一、单项选择题．本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 的两直角边为，以所在的直线为轴旋转一周得到的几何体的表面积为（） A. B. C. D. 3. 已知向量，且，则实数= A. B. 0 C. 3 D. 4. 已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（ ） A. ， B. ，且 C. ，，， D. ，， 5. 在三棱锥中，三条棱、、两两垂直，且，分别经过三条棱、、，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为、、，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，三棱锥的底面的斜二测直观图为，已知底面，，则三棱锥外接球的体积（ ） A. B. C. D. 8. 外接圆半径为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题．本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A. 复数的模为5 B. 复数，则在复平面上的点在第四象限 C. 复数是纯虚数，则或 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 10. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 与垂直的单位向量的坐标为或 D. 若向量与非零向量共线，则 11. 在正四面体中，若，为的中点，下列结论正确的是（ ） A. 正四面体的体积为 B. 正四面体外接球的表面积为 C. 如果点在线段上，则的最小值为 D. 正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为 三、填空题．本题共3小题，每小题5分，其中14题第一空2分，第二空3分，共15分． 12. 圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长，则圆台体积为_____． 13. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取，两点，从，两点测得树尖的仰角分别为和，且，两点之间的距离为，则树的高度为_____m． 14. 已知正方形边长为8，，则_____；若正方形边上恰有5个不同的点，使，则_____． 四、解答题．本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量与的夹角为． （1）求及； （2）求． 16. 的内角的对边分别为，已知 （1）求角的大小； （2）若，，判断三角形形状． 17. 如图，四边形是平行四边形，点分别为线段的中点． （1）证明：平面； （2）若，证明：． 18. 在中，，，． （1）求的大小； （2）若，求的面积； （3）当取最小值时，计算的长． 19. 在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是边上的点，且． （1）求证：、、、四点共面； （2）若四面体为棱长为6的正四面体，且，求四边形的周长； （3）若平面截四面体所得的五面体的体积占四面体的，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $