精品解析：福建省南安第一中学2024-2025学年高一下学期第二次阶段测试数学试题

南安一中2024～2025学年度下学期高一年第二次阶段考 数学科试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，为共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，且A，B，C三点共线，则x等于（ ） A. 1或 B. C. 或 D. 3. 在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ） A. B. C. D. 4. 已知、是两条不同的直线，、是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，则 D. 若、是异面直线，，，，，则 5. 已知向量 ，则在上投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 四边形中，，，，，，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（ ） A. 0.2小时 B. 0.3小时 C. 0.5小时 D. 1小时 8. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若，都有，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若为纯虚数，，则 B. 若，则 C. 若复数满足，则在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆 D. 若是关于方程的根，则 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则有两个解 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若为锐角三角形，则 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别是的中点，是正方体表面上的动点，则（ ） A. 四点共面 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 若，则四面体的体积为定值 D. 若平面，则点的轨迹长为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡的相应位置. 12. 如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________． 13. 设，，则______. 14. 在复平面的上半平面内有一个菱形，，点所对应的复数是，则点所对应的复数为_________________________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知与的夹角为，且，. （1）求及； （2）若与的夹角为，求的值. 16. 如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱底面正三角形的边长为，高为，圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面. （1）求该几何体的体积； （2）求该几何体的表面积； （3）现准备剪一张彩色塑料纸装饰，使其刚好贴合圆锥内壁表面，请画出剪好后的塑料纸展开图，在图中标出所有的长度及角度. 17. 记的内角的对边分别为，已知，，角B的角平分线交于点D. （1）求角B； （2）若的面积为，求. 18. 在中，为的中点，. （1）求角； （2）设. ①若，求面积的最大值； ②若外接圆半径为，且，求的周长. 19. 在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点的纬度，为当地的纬度值，那么这三个量满足.某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值），下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第30天测得的当地正午太阳高度角数据. 观测站A 观测站B 观测站C 观测站所在纬度/度 400000 23.4393 0.0000 观测站正午太阳高度角/度 61.5649 78.1307 78.4348 太阳直射点的纬度/度 11.5649 11.5652 太阳直射点的纬度平均值/度 （1）请根据数据完成上面的表格；（结果精确到0.0001） （2）定义从某年春分正午到次年春分正午所经历的时间为一个回归年.设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y与x近似满足函数，其中A为北回归线的纬度值，约为23.4393，试估计一个回归年对应的天数；（结果精确到0.0001，参考数据：） （3）利用（2）的结果，估计A观测站正午太阳高度角约为61.5649度的两次出现间隔天数至少为多少天；（结果精确到1） （4）已知一个回归年的实际天数为365.2422，结合现行格里高利历的闰年规则（每4年一闰，世纪年需被400整除才闰），试分析为什么要设置闰年，并计算现行格里高利历下年平均天数的误差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南安一中2024～2025学年度下学期高一年第二次阶段考 数学科试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合复数的除法求出,即可得到，再用复数的模长公式求解. 【详解】因为, 所以, 则. 故答案为：C. 2. 已知，，且A，B，C三点共线，则x等于（ ） A. 1或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分由三点共线，可得与共线，根据共线向量坐标表示求解. 【详解】因为三点共线，所以与共线， 则，解得或. 故选：A 3. 在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案. 【详解】在中，，， 根据余弦定理： 可得 ，即 由 故. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 4. 已知、是两条不同的直线，、是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，则 D. 若、是异面直线，，，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面、面面的位置关系可判断ABC选项；利用线面平行的性质、面面平行的判定定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，，则或，A错； 对于B选项，若，，，，则或、相交，B错； 对于C，若，，，则与平行或异面，故C错误； 对于D，因为，过直线作平面，使得， 由线面平行的性质定理可得， 因为，，所以， 因为、异面，若，则，矛盾，故直线与是两条相交直线， 又，，所以；故D正确. 故选：D. 5. 已知向量 ，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在上的投影向量公式计算即可解决. 【详解】由题意， 所以在上的投影向量为， 故选：A 6. 四边形中，，，，，，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由，，，则， ，故A错误； 对于C选项，由，，所以， 则 ，故C正确； 对于D选项，，故D错误. 对于B选项，由C知，又， 相加得，故B错误. 故选：C. 7. 如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（ ） A. 0.2小时 B. 0.3小时 C. 0.5小时 D. 1小时 【答案】A 【解析】 【分析】在中，先由正弦定理，求出；在中，根据余弦定理，求出的长，即可求出结果. 【详解】由题意，在中，，，， 所以， 由正弦定理可得，， 则； 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：A. 8. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若，都有，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一，将函数化简得，由平移可得，由，可得恒成立，则，，可得正确选项. 方法二，同方法一，得到 后，代入，化简可得，则，则，，可得正确选项. 方法三，将函数化简得，根据正弦型函数的图象与性质可知，将正弦型、余弦型函数的图象向左（或向右）平移半个周期之后与原图象关于轴对称，所以符合题意的的最小值就是函数的半个周期，可得正确选项. 【详解】方法一，因为， 则， 将图象向右平移个单位长度， 则. 若，都有， 则，恒成立， 即，恒成立， 故，， 解得，. 综合选项可知B正确. 故选：B. 方法二，同方法一，得到 ， 由， 则 ， 因为，恒成立， 所以，则，， 又，所以的最小值为. 故选B. 方法三，由题意知， ， 根据正弦型函数的图象与性质可知， 将正弦型、余弦型函数的图象向左（或向右）平移半个周期之后与原图象关于轴对称， 所以符合题意的的最小值就是函数的半个周期， 由的周期为，所以. 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若为纯虚数，，则 B. 若，则 C. 若复数满足，则在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆 D. 若是关于的方程的根，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的类型求出参数判断A，根据复数相等的充要条件判断B，根据复数的几何意义判断C，代入方程，再由复数相等求出参数的值，即可判断D. 【详解】对于A，因为为纯虚数，， 所以，解得，故A错误； 对于B，因为， 所以，解得，故B正确； 对于C：设，则， 又，所以，则， 所以在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，故C错误； 对于D，因为是关于的方程的根， 所以，所以， 整理得，所以，解得，故D正确. 故选：BD. 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则有两个解 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若为锐角三角形，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由正弦定理及大边对大角可知有两解，即有两解，故A正确；对于B，由余弦定理可知为锐角，但而不一定为锐角三角形，故B错误；对于C，由正弦定理及正弦的二倍角公式可得，即或，所以为等腰或直角三角形，故C错误；对于D，因为为锐角三角形，所以，两边同时取正弦函数再结合诱导公式即得，故D正确. 【详解】对A：由正弦定理可得，因为， 所以，由，可知有两解，即有两解，故A正确； 对B：由余弦定理：，只能确定为锐角， 而不一定为锐角三角形，故B错误； 对C：因，由正弦定理得：， 所以或，即或， 所以为等腰或直角三角形，故C错误； 对D：因为为锐角三角形，所以， 即，故D正确， 故选：AD. 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别是的中点，是正方体表面上的动点，则（ ） A. 四点共面 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 若，则四面体的体积为定值 D. 若平面，则点的轨迹长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由易得结论；对于B，通过平移，推出即异面直线与所成角，由余弦定理即可求得；对于C，作出经过三点的截面，由可得点在直线上，由平面可得点到平面的距离为定值即可；对于D，取的中点，证平面平面，可得的轨迹即三角形（点除外），求其周长即可. 【详解】对于A，如图1连接，因为分别是的中点，所以， 又因为，故，故四点共面，所以A正确； 对于B，由，可得异面直线与所成角即直线与所成角， 设，连接，因为正方体的棱长为， 可得，，， 在中，可得， 即异面直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，如图2，设的中点分别为，平面即平面， 若，则点在直线上，因，平面， 平面，则平面， 故点到平面的距离为定值，故为定值，故C正确； 对于D，如图3，若平面，则点在过点且平行于平面的平面上， 设的中点分别为，连接，则 因平面，平面，则平面； 又，可得，则， 因平面，平面，则平面， 又平面，故平面平面， 因点在正方体表面上，故的轨迹即（点除外）， ， 则点的轨迹长即的周长，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡的相应位置. 12. 如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________． 【答案】 【解析】 【分析】将直观图还原可得，原图形为平行四边形，根据斜二测画法的法则，结合勾股定理，可得出平行四边形各边长，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 则将直观图还原为原图形如下图 原图形为平行四边形，其中，，， 所以，， 所以，的周长为. 故答案为：. 13. 设，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先由同角三角函数基本关系求出，再由及两角和的正弦公式计算可得. 【详解】由，知，， 所以， 所以 . 故答案为：. 14. 在复平面的上半平面内有一个菱形，，点所对应的复数是，则点所对应的复数为_________________________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，设点、对应的复数分别为、，利用复数三角形式乘法的几何意义得出，结合复数的乘法可得结果. 【详解】因为菱形在复平面的上半平面，且， 由复数的几何意义可得，故菱形位置只能如图，且，， 记点、对应的复数分别为、， 由复数三角形式乘法的几何意义 . 故点所对应的复数是. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知与的夹角为，且，. （1）求及； （2）若与的夹角为，求的值. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的定义及运算律求解. （2）法1，利用数量积的运算律、夹角公式列式求解；法2，利用向量加减法的几何意义，作图求解. 【小问1详解】 由与的夹角为，且，，得， 所以. 【小问2详解】 法1：由与的夹角为，得， 即，整理得，解得， 所以. 法2：如图，设，则， 由与的夹角为，得与的夹角， 又，则，即等腰直角， 由，得，而，因此，所以. 16. 如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为，高为，圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面. （1）求该几何体的体积； （2）求该几何体的表面积； （3）现准备剪一张彩色塑料纸装饰，使其刚好贴合圆锥内壁表面，请画出剪好后的塑料纸展开图，在图中标出所有的长度及角度. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）首先求出正三棱柱体积，然后求出圆锥的体积，两者相减即是该几何体的体积. （2）首先求出正三棱柱的表面积，然后求出圆锥的侧面积和底面积，通过相加减即可得到该几何体的表面积. （3）根据圆锥的结构特征和扇形的相关公式即可求出. 【小问1详解】 正三棱柱的底面积为， 所以正三棱柱的体积为， 设正三角形的内切圆半径为，所以，所以， 所以圆锥的体积为， 所以该几何体的体积为. 【小问2详解】 因为正三棱柱的表面积为， 圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为， 圆锥的底面圆面积为，所以该几何体的表面积为. 【小问3详解】 圆锥的侧面展开图是扇形，其半径即圆锥的母线长为， 扇形的弧长即圆锥的底面周长为， 故扇形的圆心角为，所以塑料纸展开图如图. 17. 记的内角的对边分别为，已知，，角B的角平分线交于点D. （1）求角B； （2）若的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合三角形的内角性质得到，再结合题意得到即可. （2）先利用正弦定理表示三角形边长，再利用三角形面积公式表示面积，进而建立方程求出，再结合角度关系证明，最后得到即可. 【小问1详解】 因为， 由余弦定理得， 因为，所以，则，故， 因为，所以， 因为，所以， 【小问2详解】 由（1）可得，，故， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为， 由已知得的面积为，可得，解得. 由角平分线性质得，而，故， 则，故. 18. 在中，为的中点，. （1）求角； （2）设. ①若，求面积的最大值； ②若外接圆半径为，且，求的周长. 【答案】（1）或或； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由给定的等式切化弦，再利用辅助角公式求解. （2）①利用余弦定理、三角形面积公式，结合基本不等式求出最大值；②法1，利用正弦定理求出，再利用余弦定理及向量数量积的运算律求解；法2，利用正弦定理求出，再利用余弦定理建立方程求解. 小问1详解】 由，得， 即，则， 于是或，即或， 而，所以或或. 【小问2详解】 ①由（1）及，得， 令的内角所对边分别为， 由余弦定理得，则，当且仅当时取等号， 因此，所以面积最大值为. ②由正弦定理得，解得，即， 由①得，即，解得， 法1： 由为的中点，得，则， 即，，因此，解得， 所以的周长为. 法2： ，在中，， 在中，，而， 则，整理得，即， 因此，解得， 所以的周长为. 19. 在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点的纬度，为当地的纬度值，那么这三个量满足.某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值），下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第30天测得的当地正午太阳高度角数据. 观测站A 观测站B 观测站C 观测站所在纬度/度 40.0000 23.4393 0.0000 观测站正午太阳高度角/度 61.5649 78.1307 78.4348 太阳直射点的纬度/度 11.5649 11.5652 太阳直射点的纬度平均值/度 （1）请根据数据完成上面的表格；（结果精确到0.0001） （2）定义从某年春分正午到次年春分正午所经历的时间为一个回归年.设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y与x近似满足函数，其中A为北回归线的纬度值，约为23.4393，试估计一个回归年对应的天数；（结果精确到0.0001，参考数据：） （3）利用（2）的结果，估计A观测站正午太阳高度角约为61.5649度的两次出现间隔天数至少为多少天；（结果精确到1） （4）已知一个回归年实际天数为365.2422，结合现行格里高利历的闰年规则（每4年一闰，世纪年需被400整除才闰），试分析为什么要设置闰年，并计算现行格里高利历下年平均天数的误差. 【答案】（1）答案见解析 （2）365.2434 （3）123天 （4）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由表格中数据，利用公式计算得解. （2）利用函数图象过点求出，再利用周期公式求解. （3）求出函数图象的对称轴方程，借助对称求解. （3）利用回归年的天数不是整数，为减少误差说明. 【小问1详解】 由，，得， 观测站A 观测站B 观测站C 观测站所在纬度/度 40.0000 23.4393 0.0000 观测站正午太阳高度角/度 61.5649 78.1307 78.4348 太阳直射点的纬度/度 11.5649 11.5700 11.5652 太阳直射点的纬度平均值/度 11.5667 【小问2详解】在中，，且过点，， ，又，即， 则，解得， 一个周期即一个回归年，故一个回归年对应的天数约为365.2434， 【小问3详解】 由（2）知的周期，则为图象的对称轴， A观测站正午太阳高度角为61.5649度时，即， 则与图象的一个交点为， 与交点离点最近的点与点关于直线对称， 于是，即， 而，所以两次出现间隔天数至少为123天. 【小问4详解】 由于一个回归年的实际天数为365.2422，不为整数， 若每年设为365天，则每百年会少24天，若每年设为366天，则每百年会多76天， 设置闰年可以让年平均天数尽可能接近回归年的天数，减少年平均天数的误差， 现行格里高利历下的年平均天数为， 与一个回归年实际天数的误差为天. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $