福建省南安市侨光中学2024-2025学年高一下学期第2次阶段考试（5月）数学试题

■ 射户名和机前矣州向水和证号) 侨光中学2025年春季高一一年第2次阶段考 数学试卷 考场/座位号： 姓名 班 [o] a [o] 61 可回 ▣ 41 a o) 6 6 正养效豫■转考标记口 171 8 18 81 客露是印8为单选愿9-1川为多症题) 11A1111c】t1 6【A[时C1D na】It口D 2A)a】c T【A(CB 31A】)c 多【A目tBC】1UU JA]I)[c]I] [AI [B (C)In) G IA]IaT IC]D1 I CAI [RE IC)I0] 填空题 12 4 解答题 ■ 因▣■ 囚▣■ ■ ■ ■ ▣ 19 I I g 囚■囚 囚■日 ■ 侨光中学2025年春季高一年第2次阶段考数学试卷 （考试时间：120 分钟 满分：150 分 ） 命题者：陈凯斌 审核者： 苏飞文 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则（     ）. A． B． C． D． 2．已知，则的值为（ ）. A. B. C. D. 3．已知是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（     ）.  A． B．1 C． D． 4．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ）. A． B． C． D． 5．在长方体中，，则异面直线的夹角余弦值为（     ）. A． B． C． D． 6．已知中，角的对边分别为，的面积为，，，，则（    ）. A．或 B． C． D． 7．如图，，均垂直于平面和平面，，，则多面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8．如图，某港口某天从6h到18h的水深y（单位：m）与时间x（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天12h的水深为（    ）. A． B． C． D． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理错误的是（ ）. A. ，， B. ， C. ，且 D. ，，， 10．已知函数，给出下列四个选项，正确的有（ ）. A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的最小正周期是 C. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到. D. 函数在区间上是减函数 11．如图，圆锥SO的底面半径为1，侧面积为，是圆锥的一个轴截面，则下列结论正确的是(    ). A. 圆锥的母线长为3 B. 圆锥SO的侧面展开图的圆心角为 C. 由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度的最小值为 D. 该圆锥内部可容纳的球的最大半径为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知一个圆台状模具，它的高为6cm，下底部直径为12cm，上面开口圆的直径为20cm，则这个圆台状模具的体积________. 13．如图，为测量高度CD，选取与C在同一水平面内的两个测量点A，B.现测得，，千米，在点B处测得D的仰角为，则CD的高为______千米. 14．在边长为4的正方形中，，以F为圆心，1为半径作半圆与交于M，N两点，如图所示．点P为弧上任意一点，向量最大值为 ． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的证明过程及验算步骤. 15．（本小题13分）已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，求与的夹角的余弦值. 16．（本小题15分）如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正切值. 17．（本小题15分）在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足. （1）求B； （2）若，且的面积为，是的中线，求的长. 18．（本小题17分）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，经过三点的平面记为平面，点是侧面内的动点，且. （1）设平面，请在图中画出直线（不必说明理由），并求证：平面； （2）在侧面内画出P的轨迹，并求点到所在平面的距离； （3）当最小时，求二面角的余弦值. 19．（本小题17分）已知函数，称向量为的特征向量，为的特征函数. （1）设，求的特征向量； （2）设向量的特征函数为，求当且时，的值； （3）设向量的特征函数为，记，若在区间上至少有40个零点，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$1 侨光中学 2025 年春季高一年第 2 次阶段考数学试卷 （考试时间：120 分钟 满分：150 分 ） 命题者：陈凯斌 审核者： 苏飞文 一､单项选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．若 i i1Z  ，则 z （ ）. A． 1 i  B． 1 i  C．1 i D．1 i 2．已知 3 1) 4 cos(  ，则 ] 2 ) 4 2sin[  （ 的值为（ ）. A. 7 9  B. 7 9 C. 2 3 D. 2 3  3．已知Rt O A B  △ 是一平面图形的直观图，斜边 2O B   ，则这个平面图形的面 积是（ ）. A． 2 2 B．1 C． 2 D． 22 4．已知向量  1,2AB    ，  4, 1BC    ，则向量 AC  在向量 AB  方向上的投影向量为（ ）. A． 2 1, 5 5      B． 2 1, 5 5      C． 1 2, 5 5      D． 1 2, 5 5      5．在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 1 1, 2AB AA AD   ，则异面直线 1,AC AD的夹角余弦值为（ ）. A． 10 10 B． 4 5 C． 2 3 D． 6 6 6．已知 ABC△ 中，角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ， ABC△ 的面积为 S， 34a ， 12b ， BacS cos 2 3  ，则 A （ ）. A．30或150 B．30 C．150 D． 45 7．如图， 1AA ， 1BB 均垂直于平面 ABC和平面 111 CBA ，  90111 CBABAC ， 2111  CBAAABAC ，则多面体 111 CBAABC  的外接球的表面积为（ ） A. 8 B.  3 8 C. 6 D. 4 2 8．如图，某港口某天从 6h到 18h的水深 y（单位：m）与时间 x（单位：h）之间的关系可用函数     πsin 5 0, 0, 2 f x A x A             近似刻画，据此可估计当天 12h的水深为（ ）. A． 7 m 2 B． 4m C． 3 25 m 2        D． 3 35 m 2        二､多项选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目的要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．已知 a，b表示直线， ， ， 表示平面，则下列推理错误的是（ ）. A. / /  ， a   ， b      / /a b B. a   ，b     / /a b C. a   ，   / /a b / /b  且 b / / D. / /a  ，b / / ，a  ，b   / /  10．已知函数   22sin cos 2sinf x x x x  ，给出下列四个选项，正确的有（ ）. A. 函数  f x 的图象关于点 ,0 8      对称 B. 函数  f x 的最小正周期是 C. 函数  f x 的图象可由函数 2 sin 2y x 的图象向右平移 8  个单位，再向下平移 1个单位得到. D. 函数  f x 在区间 5, 8 8       上是减函数 11．如图，圆锥 SO的底面半径为 1，侧面积为 3�，△ ���是圆锥的一个轴截面，则下列结论正确的是( ). A. 圆锥的母线长为 3 B. 圆锥 SO的侧面展开图的圆心角为 2  C. 由 A点出发绕圆锥侧面一周，又回到 A点的细绳长度的最小值为 3 3 D. 该圆锥内部可容纳的球的最大半径为 2 2 3 三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15分. 12．已知一个圆台状模具，它的高为 6cm，下底部直径为 12cm，上面开口圆的直径为 20cm，则这个圆 台状模具的体积________. 13．如图，为测量高度 CD，选取与 C在同一水平面内的两个测量点 A，B.现测得 45BAC   ， 105ABC   ， 2AB  千米，在点 B处测得 D的仰角为 60，则 CD的高为______千米. 14．在边长为 4的正方形 ABCD中， 1 , 4 AE AB DF FC      ，以 F为圆心，1为半径作半圆与CD交于 M， N两点，如图所示．点 P为弧MN上任意一点，向量 EP EC   最大值为 ． 四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的证明过程及验算步骤. 15．（本小题 13分）已知向量  ,1a k ， ( 3, 1)    b k k ． （1）若 / /a b  ，求 k的值； （2）若 )(   baa ，求  a与   ba 的夹角 的余弦值. 16．（本小题 15分）如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，所有棱长均为 4，D是 AB的中点． （1）求证： 1 / /BC 平面 1ADC； （2）求证：平面 DCA1 平面 ADA1 ； （3）求直线 1BC 与平面 11CCA 所成角的正切值. 4 17．（本小题 15分）在△ ���中，内角 A，B，C所对边的长分别为 a，b，c，且满足� + � = � 3sin� + cos� . （1）求 B； （2）若� = 3，且△ ���的面积为 3，��是△ ���的中线，求��的长. 18．（本小题 17分）如图，在棱长为 4的正方体 1111 DCBAABCD  中，E为 1CC 的中点，经过 EDA ,, 1 三点的平面记为平面 ，点 P是侧面 11BBCC 内的动点，且 //1PA . （1）设平面 lBBCC 11 ，请在图中画出直线 l（不必说明理由），并求证： l 平面 CDBA 11 ； （2）在侧面 11BBCC 内画出 P的轨迹，并求点 1B 到 PA1 所在平面的距离； （3）当 PA1 最小时，求二面角 11 AADP  的余弦值. 19．（本小题 17分）已知函数   sin cosf x a x b x  ，称向量  ,p a b  为  f x 的特征向量，  f x 为 p  的 特征函数. （1）设     32sin sin 2 g x x x         ，求  g x 的特征向量； （2）设向量  3,1p  的特征函数为  f x ，求当   65f x  且 ,6 3x        时， sin x的值； （3）设向量 1 3, 2 2 p          的特征函数为  f x ，记    2 1 4 h x f x  ，若  h x 在区间 ,a b 上至少有 40 个零点，求b a 的最小值.