精品解析：四川省广元市苍溪中学校2024-2025学年高二下学期5月考试数学试题

苍溪中学高2023级第二次学段考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数，令可得． 【详解】由已知，所以． 故选：A． 2. 袋子中有10个除颜色外完全相同的小球，其中有4个白球，6个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解． 【详解】记第一次摸到白球为事件，第二次摸到黑球为事件， 则，， 故． 故选：D． 3. 从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步计数原理，结合组合数与排列数，即可计算结果. 【详解】从1，3，5，7中任取2个数的方法数有； 从2，4中任取1个数的方法数有； 选出的3个数的排列有； 再利用分步计数乘法原理得： 可以组成没有重复数字的三位数的个数有. 故选：D. 4. 随机变量X的分布列为，，.若，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得求出，再利用方差公式可求得结果. 【详解】因为随机变量X分布列为，，，， 所以，解得， 所以. 故选：B 5. 函数在上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 有增有减 D. 无法判定 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数导数即可分析函数单调性. 【详解】因为 ，函数在上单调递减． 故选：B． 6. 已知函数的导函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间内有2个极值点 C. 在区间上是增函数 D. 曲线在处的切线的斜率大于0 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数图象确定的极值点、单调区间、导数的几何意义，进而判断各选项的正误. 【详解】由导函数的部分图象可得， 当或时，，当或时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在区间内有个极值点，故BC错误； 所以，故A错误； 曲线在处的切线的斜率为，故D正确. 故选：D. 7. 已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，再由等差数列的性质可得，从而可求出的值. 【详解】因为是函数的一个极大值点， 所以， 所以， 因为为等差数列，所以， 所以. 故选：D 8. 已知是数列的前项和，若，数列的首项，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别将和带入，求解出的值，根据得出，然后利用等比数列求和公式，得出答案. 详解】当时，； 当时，，所以， 又，所以，因为，所以. . 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有7项 B. 展开式的二项式系数的和为128 C. 展开式中的系数为14 D. 展开式中第3项或者第4项的二项式系数最大 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据二项式展开式的性质判断，对于B，根据二项式展开式的系数的性质求解判断，对于C，求出通项公式，令的次数为2，求出，从而可求出的系数，对于D，根据二项式展开式的系数的性质判断. 【详解】对于A，的展开式有8项，所以A错误， 对于B，的展开式的二项式系数的和为，所以B正确， 对于C，展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式中的系数为，所以C正确， 对于D，因为的展开式有8项，所以展开式中第4项或者第5项的二项式系数最大，所以D错误. 故选：BC 10. 已知数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 是递增数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题中条件可得，判断A；通过两式相减的，变形可得出，判断B； 根据求和公式结合作差法比较大小判断C，D； 【详解】对于A，由得， ，所以．A正确； 对于B，将与整体相减得，， 所以， 又，即， 所以． 因此不是等比数列，B错误； 对于C,因为， 所以当时，． 当时，． 当时，，因此,C正确； 对于D，因为， 所以， 所以， 因此是递增数列，D正确； 故选:ACD． 11. 对于函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. C. 只有一个零点 D. 若方程恰好只有一个实数根，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：用导数判断的单调性并求极值；对B：根据单调性比较大小；对C：直接求零点即可.；对D：，由条件转化两函数有一个焦点，求函数的单调性和最大值即可判断； 【详解】对于A，函数，， 则，令，即，解得， 当时，，故函数在上为单调递增函数， 当时，，故函数在上为单调递减函数， 故在处取得极大值，故选项A正确； 对于B，当时，，故函数在上为单调递减函数， 所以，故选项B错误； 对于C，令函数，则，解得，所以函数只有一个零点，故选项C正确； 对于D，易知不是方程的解； 当时，，方程恰好只有一个实数根， 等价于和只有一个交点，则且， 令，即，解得， 当时，，故函数在上为单调递增函数， 当时，，故函数在上均单调递减， 是一条渐近线，当时，，当时，， 故在处取得极小值， 结合条件可知或，故选项D错误； 故选：AC. 【点睛】方法点睛：求解函数单调性方法：定义法；利用函数导数判断函数单调性； 求解函数极值方法：利用函数导数求解函数极值； 求解函数最值方法：利用函数单调性解出最值；利用函数导数求解函数最值；基本不等式求解函数最值； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若三个数成等比数列，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由等比中项定义列出等式，解方程即可. 【详解】因为三个数成等比数列，所以， 即. 故答案为：. 13. 已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”．设，则在区间上的“新不动点”为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据“新不动点”的定义列方程求解即可. 【详解】由，得， 由，得， ，得， 所以， 因为，所以， 所以，得， 所以在区间上的“新不动点”为. 故答案为： 14. 某城区学校派出甲、乙等六名教师去三所乡村学校支教，根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求甲乙两名教师必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有______种． 【答案】150 【解析】 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分组分配问题和分步乘法计数原理和分类加法计数原理求解． 【详解】当甲乙两位教师到一所学校时， 则不同的分配方案种数为， 当甲乙和另外一名共三位教师到一所学校时， 则不同的分配方案种数为， 当甲乙和另外两名共四位教师到一所学校时， 则不同的分配方案种数为， 则不同的分配方案种数共有． 故答案为：150． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. ．已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数在区间上的极值． 【答案】（1） （2）极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）根据导函数算出时的导数，得到切线斜率.再结合时的函数值，用点斜式方程写出切线方程，最后整理成一般式. （2）令导函数，解出可能的极值点，接着根据导数正负判断函数在不同区间的增减性，进而确定极大值点和极小值点，把对应的值代入函数求出极大值和极小值. 【小问1详解】 ，则，又， 则函数在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 令，可得， 易知当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，， 则函数在区间上的极大值为，极小值为． 16. 在数列中，，且. （1）证明：为等比数列，并求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得到是以4为首项，2为公比的等比数列，从而求出的通项公式； （2）由（1）可得，对分奇偶，利用等比数列求和公式计算可得； 【小问1详解】 解：因为，所以，又，所以， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列. 故，即. 【小问2详解】 解：由（1）得， 则， ①当时， ②当时， ， 综上所述， 17. 如图，在四棱锥中，底面矩形垂直于侧面，且分别是棱的中点，． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直可得平面，则，由几何知识可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）建系标点，可得平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】 因为为矩形，则， 且平面平面，平面平面平面， 则平面，且平面，所以． 连接． 在和中，， 可知全等于．则， 且是的中点，则． 在中，， 而是的中点，则． 且，平面，所以平面． 【小问2详解】 以A为坐标原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，可得， 由（1）知，是平面的法向量， 且平面的法向量是． 可得． 所以二面角的正弦值为． 18. 甲、乙两个袋子各装有大小相同的3个红球和2个白球，第一次从甲袋子随机取出一个球放入乙袋子.求： （1）第二次从乙袋子随机取出一个球是红球的概率； （2）在第二次从乙袋子随机取出一个球是红球的条件下，第一次从甲袋子取出的是白球的概率； （3）第二次从乙袋子随机取出两个球，其中白球个数的分布列与期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列、期望见解析 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式进行求解即可. （2）设事件B为第1次取出的是白球，事件C为第2次取出的是红球，根据条件概率公式计算即可； （3）分情况从甲中随机取出一红球或白球写出白球个数的概率及分布列，再求出期望即可. 【小问1详解】 设事件表示从甲中随机取出一红球放入乙箱中，事件表示从甲中随机取出一白球放入乙中，设事件表示：从甲中随机取出一球放入乙中，再从乙中随机取出一球，则取出的球是红球， 则有：， 所以. 【小问2详解】 设事件为第一次从甲取出的是白球，事件为第二次从乙随机取出一个球是红球； 则，所以． 【小问3详解】 第二次从乙随机取出两个球，取出的白球的个数为，则， ， ， , 的分布列为 0 1 2 的数学期望. 19. 函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降．但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性．函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下： 设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的【图1】，区间为凹的区间； 设在区间上连续，如果对上任意两点恒有， 则称在区间上的图形是凸的【图2】．区间为凸的区间； 关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理： 设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么 ①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有； ②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有 其中是的导函数，为的一阶导数：是的导函数，为的二阶导数． 根据以上内容，完成如下问题： （1）求函数的凹的区间和凸的区间； （2）若在区间上图象是凹的，求实数的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）函数的凹的区间是和，凸的区间是. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求二阶导，并判断正负，得出函数的凹的区间和凸的区间； （2）由凹凸性得出，进而分离参数，将问题转化为，利用导数得出最值，进而得出实数的取值范围； （3）等价变形，构造函数和，利用导数证明，，从而得出答案. 【小问1详解】 ， 令，解得或；令，解得. 因此，函数的凹的区间是和，凸的区间是. 【小问2详解】 ， 在区间上图象是凹的，，即. 所以，即. 令， 即函数在上单调递减. 所以， 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 ， 构造函数， 令，解得， 易知函数在上单调递增，在上单调递减. 所以， 因此，，当且仅当时取等号. 构造函数， 令，则， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因此，当且仅当时取等号. 综上， 【点睛】方法点睛：对于不等式的恒成立问题求参数范围时，关键在于分离参数，将问题转化为最值问题，从而得出参数的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苍溪中学高2023级第二次学段考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的． 1 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 袋子中有10个除颜色外完全相同的小球，其中有4个白球，6个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 72 4. 随机变量X的分布列为，，.若，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 5. 函数在上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 有增有减 D. 无法判定 6. 已知函数的导函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间内有2个极值点 C. 在区间上是增函数 D. 曲线在处的切线的斜率大于0 7. 已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是数列的前项和，若，数列的首项，，则（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有7项 B. 展开式的二项式系数的和为128 C. 展开式中的系数为14 D. 展开式中第3项或者第4项的二项式系数最大 10. 已知数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 是递增数列 11. 对于函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. C. 只有一个零点 D 若方程恰好只有一个实数根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若三个数成等比数列，则______． 13. 已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”．设，则在区间上的“新不动点”为______． 14. 某城区学校派出甲、乙等六名教师去三所乡村学校支教，根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求甲乙两名教师必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有______种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. ．已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数在区间上的极值． 16. 在数列中，，且. （1）证明：为等比数列，并求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，底面矩形垂直于侧面，且分别是棱的中点，． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值． 18. 甲、乙两个袋子各装有大小相同的3个红球和2个白球，第一次从甲袋子随机取出一个球放入乙袋子.求： （1）第二次从乙袋子随机取出一个球是红球的概率； （2）在第二次从乙袋子随机取出一个球是红球条件下，第一次从甲袋子取出的是白球的概率； （3）第二次从乙袋子随机取出两个球，其中白球个数的分布列与期望. 19. 函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降．但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性．函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下： 设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的【图1】，区间为凹的区间； 设在区间上连续，如果对上任意两点恒有， 则称在区间上的图形是凸的【图2】．区间为凸的区间； 关于导数与函数凹凸性的关系，有如下定理： 设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么 ①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有； ②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有 其中是的导函数，为的一阶导数：是的导函数，为的二阶导数． 根据以上内容，完成如下问题： （1）求函数的凹的区间和凸的区间； （2）若在区间上图象是凹的，求实数的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$