河北省滦州市第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学冲刺卷（二）

河北省滦州市滦州第一中学2024-2025学年高二期末数学考试冲刺（二） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的样本相关系数如表所示，其中线性相关性最强的模型是（    ） 模型 模型1 模型2 模型3 模型4 相关系数 0.51 0.22 0.93 A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4 2．的值是（    ） A．20 B．40 C． D． 3．在等差数列中，，则的前6项和为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 4．的值是（   ） A．480 B．520 C．600 D．1320 5．设等比数列的前项和为，若，则等于（     ） A． B． C． D． 6．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在处有极小值，则的值为（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．或3 8．已知是可导的函数，且对于恒成立，则下列不等式关系正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 9．下列哪些函数是复合函数（    ） A． B． C． D． 10．你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分（不考虑瓶子的成本的前提下），且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．下面结论正确的有（    ）（注：；利润可为负数） A．利润随着瓶子半径的增大而增大 B．半径为6cm时，利润最大 C．半径为2cm时，利润最小 D．半径为3cm时，制造商不获利 11．已知等差数列的前项和为，公差，且记，，，下列等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．的展开式中的常数项为 . 13．在一次调研测试后，经统计发现数学成绩服从正态分布，其密度函数，x∈R，则下列结论中正确的是 ．（写出所有满足要求的结论序号） ①这次测试的数学平均成绩为100； ②分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同； ③分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同； ④这次测试的数学成绩的方差为10． 14．已知数列的前n项和满足，则 ． 四、解答题 15．书架的第一层放有6本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有4本不同的外语书． (1)从书架中任取1本书，共有多少种不同的取法？ (2)从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有多少种不同的取法？ 16．从3名男同学和5名女同学中选择4位同学去参加志愿者活动. (1)共有多少种不同的选法？ (2)既有男生又有女生的选法有多少种？ 17．数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列，并求其通项公式； (2)令，数列的前n项和为.求证：. 18．已知函数 (1)函数在处取得极小值，求的值； (2)证明：当时，恒成立； (3)若函数有一个零点，求的取值范围. 19．在数列中，，且． (1)证明：，都是等比数列． (2)求的通项公式． (3)若，求数列的前项和． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《河北省滦州市滦州第一中学2024-2025学年高二期末数学考试冲刺（二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 9 10 答案 C B D C A C A BCD BCD 题号 11 答案 BC 1．C 【分析】由相关系数定义可得答案. 【详解】由题，当相关系数绝对值越接近1，其对应样本的线性相关越强，故模型3线性相关性最强. 故选：C 2．B 【分析】由排列、组合数公式求解即可． 【详解】． 故选：B． 3．D 【分析】根据题意，利用等差数列的性质和等差数列的求和公式，准确计算，即可求解. 【详解】由等差数列中，， 根据等差数列的性质，可得， 所以的前6项和为. 故选：D. 4．C 【分析】根据排列数公式计算即可. 【详解】. 故选：C. 5．A 【分析】根据给定条件，利用等比数列片段和性质计算作答. 【详解】等比数列的前项和为，则成等比数列， 设，则，，所以，所以， 所以，即. 故选：A. 6．C 【分析】根据函数的奇偶性和单调性分别判断即可，利用导数即可判断函数在的单调性. 【详解】对于A，的定义域为，定义域不关于原点对称， 函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B，，定义域为， 因为，所以为奇函数，不符合题意； 对于C，，所以，所以为偶函数， 又， 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 故函数在上单调递增，符合题意； 对于D，， 令，在上单调递增， 而函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减，不符合题意． 故选：C． 7．A 【分析】由在处有极小值可知，解出的值，并根据单调性验证. 【详解】因为， 所以， 因为函数在处有极小值， 所以，解得或， 当时，， 当时，或，当时，， 在处取到极小值，符合题意； 当时，， 当时，或，当时，， 在处取到极大值，不符合题意； 综上：的值为1. 故选：A. 8．C 【分析】构造，求导得到其单调性，从而比较出大小关系，得到正确答案. 【详解】A选项，设，则， ∵，∴，即在上单调递减， ∴，即，即，故选项A不正确； D选项，，即，即，故选项D不正确； B选项，，即，即，故选B不正确. 综上：C选项正确. 故选：C 9．BCD 【分析】根据复合函数的定义判断即可. 【详解】根据复合函数的定义可知选项A不是复合函数，BCD都是复合函数. 故选：BCD. 10．BCD 【分析】先根据条件及球的体积公式求出每瓶液体材料的利润的解析式，再利用导数的性质即可逐一判断． 【详解】由已知，每个瓶子的利润为，， 则， 所以当时，，此时函数单调递减，故A错误； 又当时，，函数单调递增， 又，则当时，函数取得最大值，故B正确； 当时，函数取得最小值，故C正确； 又，故D正确． 故选：BCD． 11．BC 【分析】对于选项A、B、D，依题意，先由数列的项表示出选项中数列中的项，再由等差数列的通项公式进行化简，得出与的关系式，由已知判断正误；选项C，直接由等差数列通项公式进行化简，得出与的关系式，由已知判断正误. 【详解】A选项，，，， 若，则， 即，解得，与已知矛盾，故A不成立； B选项，，，， ，所以B成立； C选项，若成立，则， ，，满足条件，故C可能成立． D选项，，若，则， ，， ，，与题设矛盾，故D不可能成立． 故选：BC． 12． 【分析】利用二项式定理得到展开式的通项公式，求出常数项. 【详解】的展开式通项公式为， 令，解得， 故， 所以展开式中常数项为. 故答案为： 13．①③ 【分析】根据题意可得：，根据正态分布的性质逐项分析判断. 【详解】由题意可得：，其中，即正态分布的对称轴为， 对①：这次测试的数学平均成绩为100，①正确； 对②：分数在120分以上的人数与分数在80分以下的人数相同，②错误； 对③：分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同，③正确； 对④：这次测试的数学成绩的方差为100，④错误． 故答案为：①③. 14． 【分析】根据给定的递推公式，结合与的关系求解作答. 【详解】数列的前n项和满足，即， 当时，，即有， 当时，，即，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）利用分类相加计数原理即可得解； （2）利用分步相乘计数原理即可得解. 【详解】（1）从书架上任取1本书，有三类方案： 第1类，从第1层取1本语文书，有6种方法； 第2类，从第2层取1本数学书，有5种方法； 第3类，从第3层取1本外语书，有4种方法. 根据分类加法计数原理，不同取法的种数为. （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三步完成： 第1步，从第1层取1本语文书，有6种方法； 第2步，从第2层取1本数学书，有5种方法； 第3步，从第3层取1本外语书，有4种方法. 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为. 16．(1)70 (2)65 【分析】（1）直接由组合数公式求解即可． （2）分类讨论，选出4名同学分别为1男3女，2男2女和3男1女三种情况，即可得解． 【详解】（1）从3名男同学和5名女同学中选择4位同学去参加志愿者活动， 共有种不同的选法. （2）选出4名同学既有男生又有女生有三种情况： 有1名男同学和3名女同学，则有：种不同的选法． 有2名男同学和2名女同学，则有：种不同的选法． 有3名男同学和1名女同学，则有：种不同的选法． 所以既有男生又有女生的选法有种． 17．(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）利用与的关系式，消去，即可证明为等比数列，求得通项； （2）将数列的通项进行裂项，再运用裂项相消法即可求出并证得. 【详解】（1）因为①， 所以当时，②， ①②得：，即(*)， 又当时，，即，所以， 由(*)可得，， 则数列为以2为首项，2为公比的等比数列，故； （2）由（1）知， 故， 因，，故得. 18．(1)1 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对求导，对和进行分类讨论函数的单调性即可求解； （2）由（1）易知：当时，在时，取得最小值，即可得证； （3）由函数零点与方程根的关系可将问题转化为方程在有一个根，进一步转化为直线与函数的图象在上有一个交点.构造函数，对求导研究其单调性、最值与图象变化趋势即可求解. 【详解】（1）， 的定义域为，. 当时，在上恒成立， 在上单调递减，无极值，不符合题意； 当时，令，解得；令，解得， 在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，函数取得极小值. 又∵函数在处取得极小值，，即. （2）由（1）可知：当时，在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，取得最小值， . ∴当时，恒成立 （3）函数在有一个零点，等价于方程在有一个根， 即方程在有一个根， 即直线与函数的图象在上有一个交点. 令，则. 令，即，解得；令，即为，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 又因为，当时，， 且时，，当时，， 所以当或时，函数有一个零点， 即的取值范围为. 【点睛】本题第（3）小问的解题关键方法是根据函数零点与方程根的关系将问题转化为图象交点的问题，然后构造函数研究其单调性、最值与图象变化趋势即可求解. 19．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等比数列的定义即可求证， （2）根据奇数项和偶数项为等比数列，求解其通项，即可求解. （3）根据分组求和和裂项求和即可求解. 【详解】（1）证明：因为，且，所以，． 因为，故， 所以，， 则，都是公比为16的等比数列． （2）由（1）知，都是公比为16的等比数列，所以，， 故对任意的 （3）因为， 所以 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$