2024-2025学年人教版七年级上册暑假-第9讲 一元一次方程的定义与等式的性质(学生版+教师版)

第9讲 一元一次方程的定义与等式的性质 课程目标 1.理解方程、方程的解、一元一次方程的概念，会检验一个数是否为方程的解. 2.掌握等式的性质，能利用等式的性质对方程进行变形. 3.初步学会寻找题目中的相等关系并列出方程. 课程内容 知识点一 一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的的等式叫做方程. 注意： ⑴方程有两个要求：①含有未知数；②是一个等式.二者缺一不可. ⑵方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示. ⑶方程中的未知数可能不止一个，但至少有一个. ⑷方程中未知数的系数不能为0. ⑸方程一定是等式，等式不一定是方程. 2.方程的解：能使方程中等号两边相等的未知数的值，叫做方程的解. 注意：（1）要检验一个数是不是一个方程的解只需要将这个数代入方程的左、右两边，分别计算其结果，检验左、右两边的值是否相等. （2）方程的解可能不只一个，也可能无解. 3.解方程：求方程的解的过程，叫做解方程. 4.一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的 方程叫做一元一次方程. 注意： (1)一元一次方程的标准形式：ax+b=0(a≠0)，其中：x是未知数，a，b是已知数. (2)一元一次方程的条件：①等号两边都是整式；②是方程；③化简后只含一个未知数且未知数的系数不为0；④未知数的次数都是1(化简后). 易错警示： (1)化简后分母中含有未知数的一定不是一元一次方程. (2)含有两个或两个以上的未知数的不一定不是一元一次方程，要看最后化简的结果是否只含一个未知数. (3)未知项的最高次数大于或等于2的也不一定不是一元一次方程，也要看最后化简的结果. (4)化简后未知数的系数不能为零. 拓展：判断一个式子是否为一元一次方程，一般步骤为：①先判断是否为等式；②再判断是否为方程；③看方程是否同时满足下列三个条件，即：方程中只有一个未知数，未知数的次数都是1，方程的两边都是整式. 题型一 一元一次方程的识别 例1 下列哪些是一元一次方程？哪些不是？为什么？ （1）x－y＝6； （2）； （3）3x－4； （4）x2+x＝1； （5）x＝1； （6）7－1＝6； （7）6x+2＝8； （8）． 练1 下列方程：①x2+2x=1，②，③，④，⑤.其中，是一元一次方程的有（ ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 根据一元一次方程的定义求方程中未知系数的值 例2 已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18=0是一元一次方程，求m的值. 练2 已知方程是关于x的一元一次方程，那么m的值是（　　）. A． B． C．0 D．1 题型三 利用方程的解的定义解题 例3 检验下面方程后面括号里的数是不是方程的解． （1）3x－1=2（x+1）－4（x＝－1）； （2）（）． 练3 方程2x+a－4=0的解是x=－2，则a等于（　　）. A．－8 B．0 C．2 D．8 题型四 运用方程的解的意义求整式的值 例4 已知关于x的方程ax+b=c的解是x=1，则|c－a－b－1|=　　． 练4 已知方程ax2＋bx＋c＝0的一个解是x＝1，则a＋b＋c＝ . 知识点二 根据实际问题列一元一次方程 根据实际问题中需要解决的问题，设出一个未知数，分析问题中各数量之间的关系，利用其中的等量关系列出方程.即 拓展：（1）列一元一次方程就是用两种不同的方法表示同一个量；（2）列方程过程中常用的两种等量关系是“总量等于各部分量之和”与“表示同一个量的两个代数式相等”. 题型 根据实际问题列一元一次方程 例5 小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费x元；超过5吨，超过部分每吨加收2元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于x的方程正确的是（ ）. A．5x+4（x+2）=44 B．5x+4（x－2）=44 C．9（x+2）=44 D．9（x+2）－4×2=44 练5 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．现有一个长方形的周长为30 cm，这个长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm，就可以变成一个正方形，设长方形的宽为x cm，可列方程为（　　）. A．x－2=（30－x）+1 B．x－2=（15－x）+1 C．x+2=（30－x）－1 D．x+2=（15－x）－1 知识点三 等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等． 用式子表示：如果a＝b，那么a±c＝b±c． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 用式子表示：如果a＝b，那么ac＝bc．如果a＝b（c≠0），那么． 拓展： 1.等式的基本性质中有两个关键性的词语必须在理解的基础上牢记，即“同时”“不等于0”，这也是利用等式的基本性质时的两个易错点. 2.等式还具有“对称性”与传递性等性质，其内容是： 对称性：如果a=b，那么b=a； 传递性：如果a=b，b=c，那么a=c. 题型一 利用等式的性质对等式进行变形 例6 下列根据等式基本性质变形正确的是（　　）. A．由，得x=2y B．由3x－2=2x+2，得x=4 C．由2x－3=3x，得x=3 D．由3x－5=7，得3x=7－5 练6 如果x=y，a为有理数，那么下列等式不一定成立的是（　　）. A．1﹣y=1﹣x B．x2=y2 C． D．ax=ay 题型二 利用等式的性质解简单的一元一次方程 例7 利用等式的性质解方程： （1）； （2）3x＋5＝8； （3）3x－4＝x； （4）3＋2x＝6＋x． 练7 利用等式的基本性质解下列方程： （1）3x+5=-13； （2）. 题型三 利用等式的基本性质求代数式的值 例8 已知3x=4y（y≠0），则=　　． 练8 若，则　 ． 附加题 1.已知方程（3m－4）x2－（5－3m）x－4m=－2m是关于x的一元一次方程. （1）求m和x的值． （2）若n满足关系式2n+m=1，求n的值． 2.用等式性质回答问题： （1）由等式（3a+7）x=4a－b是否一定能得到？为什么？ （2）由等式是否一定能得到（3a+7）x=4a－b？为什么？ 一课一练 1.下列方程中，其解为x=-2的是（ ）. A． B．3（x+1）－3=0 C．3x－4=2 D．2x=－1 2. 在“爱护环境，建我家乡”的活动中，七（1）班学生回收饮料瓶共10 kg，男生回收的质量是女生的4倍，设女生回收饮料瓶x kg，根据题意可列方程为（　　）. A．4（10－x）=x B． C．4x+x=10 D．4x－x=10 3.下列等式变形正确的是（　　）. A．如果s=vt，那么 B．如果，那么x=3 C．如果x－3=y－3，那么x=y D．如果a=b，那么 4.小明与家人和同学一起到游泳池游泳，买了2张成人票与3张学生票，共付了155元．已知成人票的单价比学生票的单价贵15元，设学生票的单价为x元，可得方程　 　． 5.已知方程（a－2）x|a|－1+4=0是关于x的一元一次方程，则a的值为　 　． 6.如果等式x=y变形到，那么a必须满足　 ． 7.用等式的性质解下列方程： （1）4x+7=3； （2）； （3）. 8.已知x=2是方程ax－4=0的解，请检验x=3是不是方程2ax－5=3x－4a的解． 家庭作业 1.下列方程是一元一次方程的是（　　）. A．x2=25 B．x－5=6 C． D． 2.下列变形中，错误的是（　　）. A．若x=y，则x+5=y+5 B．若，则x=y C．若－3x=－3y，则x=y D．若x=y，则 3.如图所示，两个天平都平衡，则三个“”的重量等于 个“”的重量，横线处应填（　 　）. A．3 B．4 C．5 D．7 4.已知x=2是关于x的方程3x+a=0的一个解，则a的值是 . 5.由2x－16=3x+5得2x－3x=5+16，在此变形中，是在原方程的两边同时加上了　 　． 6.在数学活动课上，老师说有人根据如下的证明过程，得到“1=2”的结论． 设a，b为正数，且a=b． 因为a=b， 所以ab=b2． ① 所以ab－a2=b2－a2． ② 所以a（b－a）=（b+a）（b－a）． ③ 所以a=b+a． ④ 所以a=2a． ⑤ 所以1=2． ⑥ 大家经过认真讨论，发现上述证明过程中从某一步开始出现错误，这一步是　 　（填入编号），造成错误的原因是　 　． 7.现有若干本书分给班上的同学，若每人分5本，则还缺20本；若每人分4本，则剩余25本．问班上共有多少名同学？多少本书？ （1）设班上共有x名同学，根据题意列方程； （2）设共有y本书，根据题意列方程． 8.规定：*为一种新运算，对任意的有理数a，b，有a*b=，若6*x=，试用等式的性质求x的值． 9.阅读下列材料： 问题：怎样将表示成分数？ 小明的探究过程如下： 设，① 所以，② 所以，③ 所以，④ 所以，⑤ 所以9x=8，⑥ 所以. 根据以上信息，回答下列问题： （1）从步骤①到步骤②，变形的依据是　 　；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是　 　. （2）仿照上述探求过程，请你将表示成分数的形式． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9讲 一元一次方程的定义与等式的性质 课程目标 1.理解方程、方程的解、一元一次方程的概念，会检验一个数是否为方程的解. 2.掌握等式的性质，能利用等式的性质对方程进行变形. 3.初步学会寻找题目中的相等关系并列出方程. 课程内容 知识点一 一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的的等式叫做方程. 注意： ⑴方程有两个要求：①含有未知数；②是一个等式.二者缺一不可. ⑵方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示. ⑶方程中的未知数可能不止一个，但至少有一个. ⑷方程中未知数的系数不能为0. ⑸方程一定是等式，等式不一定是方程. 2.方程的解：能使方程中等号两边相等的未知数的值，叫做方程的解. 注意： （1）要检验一个数是不是一个方程的解只需要将这个数代入方程的左、右两边，分别计算其结果，检验左、右两边的值是否相等. （2）方程的解可能不只一个，也可能无解. 3.解方程：求方程的解的过程，叫做解方程. 4.一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的 方程叫做一元一次方程. 注意： (1)一元一次方程的标准形式：ax+b=0(a≠0)，其中：x是未知数，a，b是已知数. (2)一元一次方程的条件：①等号两边都是整式；②是方程；③化简后只含一个未知数且未知数的系数不为0；④未知数的次数都是1(化简后). 易错警示： (1)化简后分母中含有未知数的一定不是一元一次方程. (2)含有两个或两个以上的未知数的不一定不是一元一次方程，要看最后化简的结果是否只含一个未知数. (3)未知项的最高次数大于或等于2的也不一定不是一元一次方程，也要看最后化简的结果. (4)化简后未知数的系数不能为零. 拓展：判断一个式子是否为一元一次方程，一般步骤为：①先判断是否为等式；②再判断是否为方程；③看方程是否同时满足下列三个条件，即：方程中只有一个未知数，未知数的次数都是1，方程的两边都是整式. 一元一次方程：http://v.leleketang.com/dat/ms/ma/k/video/19383.mp4 题型一 一元一次方程的识别 例1 下列哪些是一元一次方程？哪些不是？为什么？ （1）x－y＝6； （2）； （3）3x－4； （4）x2+x＝1； （5）x＝1； （6）7－1＝6； （7）6x+2＝8； （8）． 【思路分析】根据一元一次方程的定义解答，一元一次方程必须满足三个条件：①未知数只有一个；②未知数的次数是1；③未知数不能出现在分母里．三个条件缺一不可，根据上述条件逐一判断. 【解】 （2） （5）（7）是一元一次方程，因为（1）中含有两个未知数； （3） 不是等式，所以不是方程； （4） 中x的最高次数是2； （5） 中不含未知数； （8）中未知数x在分母上． 【总结提示】判断一个方程是不是一元一次方程，首先应将原方程化简、整理成一般形式，然后再作判断，特别注意“a≠0”这个条件． 练1 下列方程：①x2+2x=1，②，③，④，⑤.其中，是一元一次方程的有（ ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路分析】各题均可利用一元一次方程的条件进行检验. 【解】 ①中x的最高次数是2而不是1，排除； ②中方程的左边不是整式，排除； ③是一元一次方程； ④中不含未知数，排除； ⑤是一元一次方程. 其中，是一元一次方程的共有2个，故选B. 题型二 根据一元一次方程的定义求方程中未知系数的值 例2 已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18=0是一元一次方程，求m的值. 【思路分析】根据一元一次方程中未知数的次数为1且系数不等于0，得出|m+4|=1且m+3≠0，即可求出m的值． 【解】 根据题意，得|m+4|=1，解得m=－3或m=－5. 但m=－3时，m+3=0，舍去. 综上所述，m的值为－5. 【总结提示】本题求解的关键是理解一元一次方程的定义，其中容易出现的错误是忽略题目中隐含的已知条件“m+3≠0”，由此导致m的取值范围扩大的错误. 练2 已知方程是关于x的一元一次方程，那么m的值是（　　）. A． B． C．0 D．1 【思路分析】根据一元一次方程中未知数的次数为1，得出关于m的方程即可. 【解】 因为方程是关于x的一元一次方程， 所以x的次数为1，即2－2m=1， 解得，故选B. 题型三 利用方程的解的定义解题 例3 检验下面方程后面括号里的数是不是方程的解． （1）3x－1=2（x+1）－4（x＝－1）； （2）（）． 【思路分析】将方程中的未知数用括号内的数代替，并进行计算，若左边＝右边，则这个数是方程的解；若左边≠右边，则这个数不是方程的解． 【解】 （1）当x＝－1时， 左边＝3×（－1）－1＝－3－1＝－4， 右边＝2×（－1＋1）－4＝0－4＝－4． 因为左边＝右边，所以x＝－1是方程3x－1=2（x+1）－4的解． （2）当时， 左边＝， 右边＝． 因为左边≠右边，所以不是方程的解． 【总结提示】 （1） 将未知数用具体数字来代替，这种方法在数学上叫做代入法，代入法是一种重要的数学方法； （2）检验未知数的值是不是方程的解，关键是代入后等式的左、右两边能否相等． 练3 方程2x+a－4=0的解是x=－2，则a等于（　　）. A．－8 B．0 C．2 D．8 【思路分析】方程的解就是能够使方程左、右两边相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左、右两边相等． 【解】把x=－2代入方程2x+a－4=0，得2×(－2)+a－4=0，解得a=8．故选D． 题型四 运用方程的解的意义求整式的值 例4 已知关于x的方程ax+b=c的解是x=1，则|c－a－b－1|=　　． 【思路分析】把x=1代入方程整理即可求得c－a－b的值，然后整体代入所求的式子中进行求解即可． 【解】 因为x=1是关于x的方程ax+b=c的解， 所以a×1+b=c，即c－a－b=0 所以|c－a－b－1|=|0－1|=1． 故填1． 【总结提示】本题主要考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左、右两边相等的未知数的值．同时，本题还有一个非常重要的考点，即整体思想的运用. 练4 已知方程ax2＋bx＋c＝0的一个解是x＝1，则a＋b＋c＝ . 【解】将x＝1代入方程ax2＋bx＋c＝0得，a＋b＋c＝1 故填1. 知识点二 根据实际问题列一元一次方程 根据实际问题中需要解决的问题，设出一个未知数，分析问题中各数量之间的关系，利用其中的等量关系列出方程.即 拓展：（1）列一元一次方程就是用两种不同的方法表示同一个量；（2）列方程过程中常用的两种等量关系是“总量等于各部分量之和”与“表示同一个量的两个代数式相等”. 题型 根据实际问题列一元一次方程 例5 小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费x元；超过5吨，超过部分每吨加收2元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于x的方程正确的是（ ）. A．5x+4（x+2）=44 B．5x+4（x－2）=44 C．9（x+2）=44 D．9（x+2）－4×2=44 【思路分析】根据相等关系“不超过5吨的水费+超过5吨的水费=44元”，即可列出方程. 【解】根据题意，不超过5吨的水费是5x元，超过5吨的水费为（9－5）（x+2）元，由此列方程5x+（9－5）（x+2）=44，整理，得5x+4（x+2）=44.故选A. 【总结提示】本题属于根据实际问题列出一元一次方程，解题的关键是明确题意，在此基础上找到题目中与所设未知数有关的相等关系． 练5 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．现有一个长方形的周长为30 cm，这个长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm，就可以变成一个正方形，设长方形的宽为x cm，可列方程为（　　）. A．x－2=（30－x）+1 B．x－2=（15－x）+1 C．x+2=（30－x）－1 D．x+2=（15－x）－1 【思路分析】已知长方形的宽为x cm，则长为（15－x）cm，根据长减少1 cm，宽增加2 cm，就可以变成一个正方形，即长=宽，即可列出方程． 【解】已知长方形的宽为x cm，则长为（15﹣x）cm，由题意，得x+2=（15－x）－1． 故选D． 知识点三 等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等． 用式子表示：如果a＝b，那么a±c＝b±c． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 用式子表示：如果a＝b，那么ac＝bc．如果a＝b（c≠0），那么． 拓展： 1.等式的基本性质中有两个关键性的词语必须在理解的基础上牢记，即“同时”“不等于0”，这也是利用等式的基本性质时的两个易错点. 2.等式还具有“对称性”与传递性等性质，其内容是： 对称性：如果a=b，那么b=a； 传递性：如果a=b，b=c，那么a=c. 等式的性质：http://v.leleketang.com/dat/ms/ma/k/video/19384.mp4 题型一 利用等式的性质对等式进行变形 例6 下列根据等式基本性质变形正确的是（　　）. A．由，得x=2y B．由3x－2=2x+2，得x=4 C．由2x－3=3x，得x=3 D．由3x－5=7，得3x=7－5 【思路分析】利用等式的性质对各选项进行变形，即可得出答案. 【解】 A：等式两边都乘以－3，正确结果为x=－2y，排除； B：等式两边都加（2－2x），正确结果为x=4，正确； C：等式的两边都减2x，正确结果为x=－3，排除； D：等式的两边都加5，正确结果为3x=7+5，排除.故选B. 【总结提示】判断一个等式的变形是否正确，可采用“各个击破”的方法，即先根据等式左边分析变形的方法，然后看等式的右边能否由这种变形方法得到，若能，则变形正确；否则，不正确. 练6 如果x=y，a为有理数，那么下列等式不一定成立的是（　　）. A．1﹣y=1﹣x B．x2=y2 C． D．ax=ay 【思路分析】利用等式的性质把x=y向各选项的方向变形，即可得出答案. 【解】 等式两边同乘-1再加1，则得到A； 等式两边同时平方，则得到B； 等式两边同乘a，则得到D； 由于a可能为0，则C不一定成立，故选C. 题型二 利用等式的性质解简单的一元一次方程 例7 利用等式的性质解方程： （1）； （2）3x＋5＝8； （3）3x－4＝x； （4）3＋2x＝6＋x． 【思路分析】 （1） 可以在方程两边都乘－4，即可求出x； （2） 可以在方程的两边都减去5，再除以3，即可求出x； （3） 可以在方程两边都减去x，再都加上4，再都除以2，进而求出x； （4）可以在方程两边都减去3，再都减去x，即可求出x． 【解】 （1）方程两边都乘以－4，得x＝－16. （2）等式两边都减去5，得3x＝3， 两边都除以3，得x＝1． （3）等式两边都减去x，得2x－4＝0， 等式两边都加上4，得2x＝4， 两边都除以2，得x＝2． （4）等式两边都减去x，得3＋x＝6， 等式两边都减去3，得x＝3． 【总结提示】由“”化成的过程，我们称为系数化为1.系数化为1的两种方法：一是两边同时乘以系数的倒数，另一种是两边同时除以系数．当未知数的系数是整数时，两边同时除以系数较方便，如2x＝4两边同时除以2较方便；但未知数的系数是分数时，方程两边同时乘以系数的倒数较方便，如两边同时乘以－4较方便． 练7 利用等式的基本性质解下列方程： （1）3x+5=-13； （2）. 【思路分析】根据等式的性质，把一元一次方程变形为（a，b为常数且a≠0）的形式，即解得方程. 【解】 （1）两边同时减5，得3x+5-5=-13-5，即3x=-18， 两边同时除以3，得x=-6. （2）两边同时加6，得， 即， 两边同时乘3，得x=33. 题型三 利用等式的基本性质求代数式的值 例8 已知3x=4y（y≠0），则=　　． 【思路分析】根据等式的性质2即可得出答案． 【解】根据等式性质2，等式3x=4y两边同时除以3y，得． 故填． 【总结提示】本题考查的是等式的性质： 等式性质1，等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等； 等式性质2，等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等； 练8 若，则　 ． 【解】根据等式的性质1：两边都加1，得，则. 故填． 附加题 1.已知方程（3m－4）x2－（5－3m）x－4m=－2m是关于x的一元一次方程. （1）求m和x的值． （2）若n满足关系式2n+m=1，求n的值． 【思路分析】 （1） 由一元一次方程的定义可知3m－4=0，从而可求得m的值，将m的值代入得到关于x的方程，从而可求得x的值； （2）将m的值代入2n+m=1，则得到关于n的一元一次方程，从而可求得n的值． 【解】 （1）因为方程（3m－4）x2－（5－3m）x－4m=－2m是关于x的一元一次方程， 所以3m－4=0，解得． 将代入原方程，得． 两边同时加，得， 两边同时乘－1，得． 即m的值是，x的值是. （2）因为将代入2n+m=1，得． 两边同时减去，得， 两边同时除以2，得． 即n的值为. 【总结提示】解决本题之类的问题时，其技巧就是灵活运用一元一次方程的定义，由此得到关于所求字母的一元一次方程，解方程则求得答案. 2.用等式性质回答问题： （1）由等式（3a+7）x=4a－b是否一定能得到？为什么？ （2）由等式是否一定能得到（3a+7）x=4a－b？为什么？ 【思路分析】利用等式的性质2，根据3a+7是否为0进行分析. 【解】 （1）由等式（3a+7）x=4a－b不一定能得到. 理由如下： 当3a+7≠0时，等式（3a+7）x=4a－b两边同除以3a+7， 得； 当3a+7=0时，不能得到. 所以由等式（3a+7）x=4a－b不一定能得到. （2）由等式一定能得到（3a+7）x=4a－b. 理由如下： 根据等式可知，一定有3a+7≠0. 所以两边同时乘3a+7，得（3a+7）x=4a－b. 所以由等式一定能得到（3a+7）x=4a－b． 【总结提示】本题的求解有两个关键点：一是理解（1）与（2）的区别，其区别是已知条件与所得结论恰好相反；二是理解题目中隐含的已知条件，如：根据（1）中的已知条件可知，3a+7可取任意有理数；而根据（2）中的已知条件可知，3a+7只能取非零有理数. 一课一练 1.下列方程中，其解为x=-2的是（ ）. A． B．3（x+1）－3=0 C．3x－4=2 D．2x=－1 【解】把x=-2依次代入各方程，只能使方程成立，所以方程的解是x=-2. 故选A. 2. 在“爱护环境，建我家乡”的活动中，七（1）班学生回收饮料瓶共10 kg，男生回收的质量是女生的4倍，设女生回收饮料瓶x kg，根据题意可列方程为（　　）. A．4（10－x）=x B． C．4x+x=10 D．4x－x=10 【解】设女生回收饮料瓶x kg，则男生回收饮料瓶4x kg，根据等量关系“七（1）班学生回收饮料瓶共10 kg”可列方程为4x+x=10. 故选C. 3.下列等式变形正确的是（　　）. A．如果s=vt，那么 B．如果，那么x=3 C．如果x－3=y－3，那么x=y D．如果a=b，那么 【解】 A：正确结果为，该选项错误； B：变形方法为左边乘2，右边除以2，不符合等式的性质，该选项错误； C：两边都加3，正确； D：左边除以2，右边乘以2，不符合等式的性质.故选C. 4.小明与家人和同学一起到游泳池游泳，买了2张成人票与3张学生票，共付了155元．已知成人票的单价比学生票的单价贵15元，设学生票的单价为x元，可得方程　 　． 【解】已知学生票的单价为x元，则成人票的单价为（x+15）元， 根据“买了2张成人票与3张学生票，共付了155元”，可列方程为3x+2（x+15）=155. 故填3x+2（x+15）=155. 5.已知方程（a－2）x|a|－1+4=0是关于x的一元一次方程，则a的值为　 　． 【解】由一元一次方程的定义，得a－2≠0且|a|－1=1，解得a=－2． 故填－2. 6.如果等式x=y变形到，那么a必须满足　 ． 【解】因为把等式x=y变形到是等式的两边都除以a，根据等式的性质知，a应不等于0． 故填a≠0. 7.用等式的性质解下列方程： （1）4x+7=3； （2）； （3）. 【解】 （1）方程两边都减7，得4x=－4． 方程两边都除以4，得x=－1． （2）方程两边都乘以6，得3x－2x=24，解得x=24． （3）方程两边同减去2，得， 方程两边同乘以－4，得x=－4． 8.已知x=2是方程ax－4=0的解，请检验x=3是不是方程2ax－5=3x－4a的解． 【解】 x=3不是方程2ax－5=3x－4a的解.理由如下： 因为x=2是方程ax－4=0的解， 所以把x=2代入，得2a－4=0，解得a=2， 将a=2代入方程2ax－5=3x－4a，得4x－5=3x－8， 将x=3代入该方程左边，则左边=7， 代入右边，则右边=1，左边≠右边， 则x=3不是方程2ax－5=3x－4a的解． 家庭作业 1.下列方程是一元一次方程的是（　　）. A．x2=25 B．x－5=6 C． D． 【解】 A选项是一元二次方程，故A不符合题意； B选项是一元一次方程，故B符合题意； C选项是二元一次方程，故C不符合题意； D选项是分式方程，故D不符合题意. 故选B． 2.下列变形中，错误的是（　　）. A．若x=y，则x+5=y+5 B．若，则x=y C．若－3x=－3y，则x=y D．若x=y，则 【解】 A、在等式x=y两边同时加5，得x+5=y+5，该选项正确； B、由可知，a≠0，在等式两边同时乘a，得x=y，该选项正确； C、在等式－3x=－3y两边同时除以－3，得x=y，该选项正确； D、m=0时，两边都除以m无意义，故不能由等式x=y，得到，该选项错误. 故选D. 3.如图所示，两个天平都平衡，则三个“”的重量等于 个“”的重量，横线处应填（　 　）. A．3 B．4 C．5 D．7 【解】 由题意可知，2=5▲，2=3▲， 所以▲=．所以2=． 等式两边同时乘以得：3=5． 故选C. 4.已知x=2是关于x的方程3x+a=0的一个解，则a的值是 . 【解】把x=2代入方程，得6+a=0，解得a=－6． 故填－6． 5.由2x－16=3x+5得2x－3x=5+16，在此变形中，是在原方程的两边同时加上了　 　． 【解】因为2x－16=3x+5，所以2x－16+（16－3x）=3x+5+（16－3x），即2x－3x=5+16． 所以在此变形中，是在原方程的两边同时加上的是16－3x. 故填16－3x． 6.在数学活动课上，老师说有人根据如下的证明过程，得到“1=2”的结论． 设a，b为正数，且a=b． 因为a=b， 所以ab=b2． ① 所以ab－a2=b2－a2． ② 所以a（b－a）=（b+a）（b－a）． ③ 所以a=b+a． ④ 所以a=2a． ⑤ 所以1=2． ⑥ 大家经过认真讨论，发现上述证明过程中从某一步开始出现错误，这一步是　 　（填入编号），造成错误的原因是　 　． 【解】由a=b，得a-b=0．根据等式的性质2可知，等式两边同时除以0无意义，即两边都除以（a-b）无意义． 故填④；等式两边同时除以零无意义． 7.现有若干本书分给班上的同学，若每人分5本，则还缺20本；若每人分4本，则剩余25本．问班上共有多少名同学？多少本书？ （1）设班上共有x名同学，根据题意列方程； （2）设共有y本书，根据题意列方程． 【解】 （1）设班上共有x名同学， 根据“每人分5本，则还缺20本”，得共有（5x－20）本书， 根据“每人分4本，则剩余25本”，得共有（4x+25）本书， 故可得方程为5x－20=4x+25. （2）设共有y本书， 根据“每人分5本，则还缺20本”，得共有名同学， 根据“每人分4本，则剩余25本”，得共有名同学， 故可得方程为． 8.规定：*为一种新运算，对任意的有理数a，b，有a*b=，若6*x=，试用等式的性质求x的值． 【解】 由题意，得， 等式两边同时乘3得6+2x=2． 等式两边同时减6得2x=－4， 等式两边同时除2得x=－2． 9.阅读下列材料： 问题：怎样将表示成分数？ 小明的探究过程如下： 设，① 所以，② 所以，③ 所以，④ 所以，⑤ 所以9x=8，⑥ 所以. 根据以上信息，回答下列问题： （1）从步骤①到步骤②，变形的依据是　 　；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是　 　. （2）仿照上述探求过程，请你将表示成分数的形式． 【解】 （1）从步骤①到步骤②，等式两边同时乘10， 变形的依据是：等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数， 结果仍相等； 从步骤⑤到步骤⑥，等式两边同时减去x， 变形的依据是：等式的基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果 仍相等． 故填等式的基本性质2；等式的基本性质1. （2）设， 所以， 所以， 所以 所以100x=36+x， 所以99x=36， 所以． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$