2025—2026学年人教版数学七年级上册-暑假讲义第13讲 直线、射线、线段(学生版+教师版)

第13讲 直线、射线、线段 课程目标 1.理解直线、射线、线段的概念及表示方法，会画出两条相交直线. 2.会比较两条线段的长短，理解线段中点的概念，会利用尺规作图作一条线段等于已知线段. 3.理解两个基本事实（两点确定一条直线、两点之间、线段最短）的含义，并能利用基本事实解决一些简单的实际问题. 4.进一步提高数学语言与图形语言的表达能力，体会数学的严谨性. 课程内容 知识点一 直线、射线、线段的概念与表示方法 （1）基本事实 “两点确定一条直线”表示的意义有两层：①过两点一定能画直线；②过两点只能画一条直线. （2）直线、射线、线段的表示方法： 线段可以用表示端点的两个大写字母表示或用一个小写字母表示； 射线可以用表示端点和射线上另外任意一点的大写字母表示； 直线可以用表示直线上任意两点的大写字母表示或用一个小写字母表示. 注意：直线、射线和线段的区别如下表所示: 名称 图形 表示方法 延伸性 端点个数 线段 1. 线段AB或线段BA（字母顺序可以交换） 2. 线段a 不能延伸 2 射线 1. 射线OA（字母顺序不可以交换） 2. 射线l 向一方向无限延伸 1 直线 1. 直线AB 或直线BA（字母顺序可以交换） 2. 直线l 向两方向延伸 0 （3）直线、射线、线段之间的关系：射线、线段都是直线的一部分，射线是直线的一部分. 拓展：若两条线段的两个端点都相同，则两条线段是同一条线段； 若两条射线的端点相同并且延伸方向也相同，则两条射线是同一条射线； 若表示两条直线的点都是同一条直线上的点，则两条直线是同一条直线. 易错警示：因为线段有两个端点，所以线段可以度量； 因为射线只有一个端点，直线没有端点，所以射线与直线都不能度量. 题型一 直线、射线、线段的联系与区别 例1 如图，下面说法中错误的是（　　）. A. 点B在直线MC上 B. 点A在直线BC外 C. 点C在线段MB上 D. 点M在线段BC上 练1 如图，下列说法正确的有（　　）. ①射线AB和射线BA是同一条射线；②线段AB和线段BA是同一条线段；③直线BA和直线AB是同一条直线. A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 题型二 根据直线、射线、线段的概念画图 例2 根据下列语句画图： （1）如图1所示，已知线段a，画直线b与线段a交于点E； （2）如图2所示，已知直线l与直线l外一点M，画射线MF，使射线MF与直线l相交于F点； （3）如图3所示，已知点A、B是直线AB上的两点，画线段AP、BP，使线段AP、BP交于直线AB上方. 例2题图 练2 如图，已知A、B、C、D四点，根据下列语句画图. （1）画直线AB； （2）连接AC、BD，相交于点O； （3）画射线AD、BC，交于点P． 题型二 在图形中确定直线、射线、线段的条数 例3 如图所示，在直线AB上有A，B，C，D，E五个点，请问图中共有多少条线段？分别是哪些？ 练3 已知平面内有四个点A，B，C，D，过这四个点中的任意两个画直线，能画出几条 直线？ 题型三 “两点确定一条直线”的实际应用 例4 为美化校园，七年级（1）班要将8棵树苗栽种在校园里，要求这8棵树苗栽成一条直线且每相邻两树苗之间相距5米，可他们手中只有一根长16米的皮尺，你有办法满足上述要求吗？若能，请画图说明你的方案并简述理由. 练4 小明和小亮在讨论“射击时为什么枪管上要有准星？” 小明：过两点有且只有一条直线，所以枪管上要有准星． 小亮：若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，这不就有三点了吗？多了一个 点呀！ 请说说你的观点． 知识点二 比较两条线段的长短 （1）比较线段长短的常用方法是度量法与重合法. 度量法：先用刻度尺量出有关线段的长度然后进行比较； 重合法：把线段AB与线段CD的一个端点重合，另一个端点位于重合端点的同侧， 然后观察该端点的位置. （2）比较线段AB与线段CD的长短，其结果有三种，即AB＞CD、AB=CD或AB＜CD. 题型一 比较两条线段的长短 例5 如图所示，线段AD，BC是四边形ABCD的两条边，请你先估测线段AD与BC的长短，然后再用度量法或重合法验证你的估测结果是否正确. 练5 已知线段MN，如图所示， （1）利用圆规和直尺按下列要求画图：先在线段MN上取一点P，再在线段MN上取一点Q，使线段NQ=MP，说出你的作图法并保留作图痕迹.； （2）你能确定线段MP与MQ的长短吗？为什么？ 题型二 与线段长度有关的尺规作图 例6 如图所示，已知线段a、b、c，请你利用尺规作图作线段m，使得m=2a+3b-c，说明作图方法，保留作图痕迹. 练6 在如图所示的图形中，请你利用重合法比较下列线段的长短： （1）比较线段BD，BE，BC的长短，并用“＜”把这三条线段连接起来； （2）比较AB与AD、AC与AE的长短. 知识点三 线段的中点 线段的中点：一个点把一条线段分成两条相等的线段，则这个点叫做线段的中点.用符号可表示为：如图所示，如果点M是线段AB上的点，且AM=BM，那么点M叫做线段AB的中点. 线段的和与差：如图4.2-10所示，点C在线段AB 上，则AB=AC+BC，AC=AB－BC. 类似的，可得到线段的三等分点、四等分点. 线段的等分点:如图4.2-12，若点B和点C将线段AD分成相等的三条线段，则点B和点C叫做线段AD的三等分点.类似地还有四等分点、五等分点等. 易错警示：如果点M是线段AB的中点，必须同时具备两点：①点M在线段AB上；②AM=BM，两个条件缺一不可. 题型一 线段的等分点的定义 例7 下列说法中正确的是（　　）. A. 若AP＝，则P是线段AB的中点 B. 若AB＝2PB，则P是线段AB的中点 C. 若AC＝BC＝，则C是线段AB的中点 D. 若AP＝PB，则P是线段AB的中点 练7 如图，点C把线段AB分为2∶3两段，点D把线段AB分为1∶4两段，若DC＝5 cm，则AD＝　　　　 cm，AB＝　　　　 cm. 题型二 利用线段中点的概念计算 例8 已知线段AB=4.8 cm，C是AB的中点，D是CB的中点，点E在AB上，且CE=请你画图并计算DE的长. 练8 如图，点C、D在线段AB上，D是线段AB的中点，AC=，CD=4，求线段AB的长． 知识点四 两点之间的距离 （1）两点的所有连线中，线段最短，简单说成：两点之间，线段最短.这是平面几何中又一个基本事实. （2）两点之间的距离：连接两点间线段的长度，叫做这两点的距离. 题型一 “两点之间线段最短”的实际应用 例9 在桌面上放了一个正方体的盒子，如图所示，已知蚂蚁在顶点A处， （1）如果蚂蚁要爬到顶点B处寻找食物，请你帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线； （2）如果蚂蚁要爬到顶点C处寻找食物，你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗？若能，请你画出这条爬行路线. 练9 四个村庄A，B，C，D的位置如图所示，现在要建一个净化水加工厂为这四个村庄供水，如果要求铺设的供水管道最短，请你确定净化水加工厂的位置. 附加题 1.如图所示，线段AB=4，点O是线段AB上一点，C、D 分别是线段OA、OB的中点. （1）求线段CD的长 （2）若（1）中的“点O是线段AB上一点”改为“点O是线段AB延长线上的点”，其他条件不变，请你画出图形并求CD的长. 2.如图所示，在△ABC中，AD是底边BC上的高，已知AD=3 cm，BC=6 cm. （1）求△ABC的面积； （2）在原图的基础上，请你利用尺规作图作出两个形状不同的三角形，其面积均为18 cm2，说明作图方法，保留作图痕迹. 3.如图，C是线段AB上一点，AB=20 cm，BC=8 cm，点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以1 cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A．已知点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运功．设点P运动时间为x s． （1）AC= cm； （2）当x= s时，点P、Q重合； （3）是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 一课一练 1.延长线段AB到C，下列说法正确的是（　　）． A．点C在线段AB上 B．点C在直线AB上 C．点C不在直线AB上 D．点C在直线AB的延长线上 2.下列现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象是（　　）． A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上 B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程 C．利用圆规可以比较两条线段的大小关系 D．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线 3.如图所示，比较线段a和线段b的长度，正确结果是 . 4.如图，C，D，E是线段AB上的三个点，下面关于线段CE的表示： ①CE=CD+DE；②CE=BC－EB；③CE=CD+BD－AC；④CE=AE+BC－AB． 其中，正确的是 （填序号）． 5.如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=2：4：3，M是AD的中点，CD=6 cm，求线段MC的长． 6．（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段； （2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你所得到的结论的正确性； （3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？ 请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题． 家庭作业 1.如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的图是（　　） A． B． C． D． 2.如图，小华的家在A处，书店在B处，星期日小明到书店去买书，他想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（　　）． A．A⇒C⇒D⇒B B．A⇒C⇒F⇒B C．A⇒C⇒E⇒F⇒B D．A⇒C⇒M⇒B 3.如果线段AB＝15 cm ，M是平面内一点，则线段MA与线段MB的长度之和不可能是（ ）． A．10 cm B．15 cm C．20 cm D．10 000 cm 4.如图，乐乐用剪刀沿直线将一片平整的树叶减掉一部分，发现剩下树叶的周长比原周长小，能正确解释这一现象的数学依据是 ． 5.往返于甲、乙两地的火车，若中途要停靠4个站，则需准备 种火车票． 6.已知线段AB＝5 cm，BC＝4 cm，且A、B、C三点在同一直线上，那么A、C两点间的距离是 . 7.如图所示，已知线段AB与点C，D，请你在同一个图形中按下列要求画图（不写画图方法，所有的延长线全部画成虚线）： （1）延长线段AB； （2）反向延长线段AB； （3）以A为端点画一条射线，使射线经过点C； （4）反向延长射线AC； （5）过点B画直线，使直线经过点D； （6）画线段CD. 8.有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，A、B两点之间的距离是90米．甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发到终点C，乙机器人始终以50米/分的速度行走，乙行走9分钟到达C点．设两机器人出发时间为t（分钟），当t=3分钟时，甲追上乙．前4分钟甲机器人的速度保持不变，在4≤t≤6分钟时，甲的速度变为另一数值，且甲、乙两机器人之间的距离保持不变． 请解答下面问题： （1）B、C两点之间的距离是 米；在4≤t≤6分钟时，甲机器人的速度为 米/分． （2）求甲机器人前3分钟的速度为多少米/分？ （3）求两机器人前6分钟内出发多长时间相距28米？ （4）若6分钟后，甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度，当t＞6时，请直接写出甲、乙两机器人之间的距离S．（用关于t的整式表示） 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 直线、射线、线段 课程目标 1.理解直线、射线、线段的概念及表示方法，会画出两条相交直线. 2.会比较两条线段的长短，理解线段中点的概念，会利用尺规作图作一条线段等于已知线段. 3.理解两个基本事实（两点确定一条直线、两点之间、线段最短）的含义，并能利用基本事实解决一些简单的实际问题. 4.进一步提高数学语言与图形语言的表达能力，体会数学的严谨性. 课程内容 知识点一 直线、射线、线段的概念与表示方法 （1）基本事实 “两点确定一条直线”表示的意义有两层：①过两点一定能画直线；②过两点只能画一条直线. （2）直线、射线、线段的表示方法： 线段可以用表示端点的两个大写字母表示或用一个小写字母表示； 射线可以用表示端点和射线上另外任意一点的大写字母表示； 直线可以用表示直线上任意两点的大写字母表示或用一个小写字母表示. 注意：直线、射线和线段的区别如下表所示: 名称 图形 表示方法 延伸性 端点个数 线段 1. 线段AB或线段BA（字母顺序可以交换） 2. 线段a 不能延伸 2 射线 1. 射线OA（字母顺序不可以交换） 2. 射线l 向一方向无限延伸 1 直线 1. 直线AB 或直线BA（字母顺序可以交换） 2. 直线l 向两方向延伸 0 （3）直线、射线、线段之间的关系：射线、线段都是直线的一部分，射线是直线的一部分. 拓展：若两条线段的两个端点都相同，则两条线段是同一条线段； 若两条射线的端点相同并且延伸方向也相同，则两条射线是同一条射线； 若表示两条直线的点都是同一条直线上的点，则两条直线是同一条直线. 易错警示：因为线段有两个端点，所以线段可以度量； 因为射线只有一个端点，直线没有端点，所以射线与直线都不能度量. 直线射线线段的概念：http://v.leleketang.com/dat/ms/ma/k/video/19407.mp4 题型一 直线、射线、线段的联系与区别 例1 如图，下面说法中错误的是（　　）. A. 点B在直线MC上 B. 点A在直线BC外 C. 点C在线段MB上 D. 点M在线段BC上 【思路分析】由图可知，M、C、B三点在同一条直线上，而点A在这条直线外.且图中有三条不同的线段，分别是线段MC，线段BC，线段MB. 【解】故选D. 【总结提示】注意区分直线、射线和线段的联系和区别. 练1 如图，下列说法正确的有（　　）. ①射线AB和射线BA是同一条射线；②线段AB和线段BA是同一条线段；③直线BA和直线AB是同一条直线. A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 【思路分析】由图可知，A、B两点在同一条直线上，而判断两点构成的“线”是否是同一条射线、线段和直线，要根据线的方向性来决定；射线AB和射线BA方向顺序不同。 【解】故选B. 题型二 根据直线、射线、线段的概念画图 例2 根据下列语句画图： （1）如图1所示，已知线段a，画直线b与线段a交于点E； （2）如图2所示，已知直线l与直线l外一点M，画射线MF，使射线MF与直线l相交于F点； （3）如图3所示，已知点A、B是直线AB上的两点，画线段AP、BP，使线段AP、BP交于直线AB上方. 例2题图 【思路分析】 （1） 任意画一条直线与线段a相交即可； （2） 过点M任意画一条射线与直线l相交即可； （3）在直线AB上方任取一点P，连接AP，BP即为所求. 【解】 （1）画出的图形如答图1所示. （2）画出的图形如答图2所示. （3）画出的图形如答图3所示. 例2答图 【总结提示】在根据数学语言画图时，应先根据题目要求确定画图过程中的“任意”与“不任意”，如在（1）中，直线b的方向可任意，但必须与直线a相交；在（3）中，点P的位置在直线AB上方可任意，但点P的位置一旦确定，线段AP，BP随之确定. 几何作图初步：http://v.leleketang.com/dat/ms/ma/k/video/19408.mp4 练2 如图，已知A、B、C、D四点，根据下列语句画图. （1）画直线AB； （2）连接AC、BD，相交于点O； （3）画射线AD、BC，交于点P． 【思路分析】 （1） 过点A，B画直线即可； （2） 连接AC、BD，即可得到点O； （3）画射线AD、BC，即可得到点P． 【解】 （1）如图所示，直线AB即为所求； （2）如图所示，线段AC，BD即为所求； （3）如图所示，射线AD，BC即为所求． 题型二 在图形中确定直线、射线、线段的条数 例3 如图所示，在直线AB上有A，B，C，D，E五个点，请问图中共有多少条线段？分别是哪些？ 【思路分析】先确定以点A为一个端点的线段，再确定以点B、C、D、E为一个端点的线段，这些线段的条数之和即为所求. 【解】 以点A为一个端点的线段有4条，分别是AB，AC，AD，AE； 以点B为一个端点的线段有3条，分别是BC，BD，BE； 以点C为一个端点的线段有2条，分别是CD，CE； 以点D为一个端点的线段只有1条，即DE. 综上所述，图中共有4+3+2+1=10条线段，分别是AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE. 【总结提示】本题的解题技巧可概括为“定次序、定方向、定线段”，即：直线上的各点按照从左到右的顺序，先确定以点A与点A右边的各点为端点的线段的条数，再确定以点B与点B右边的各点为端点的线段的条数，···，以此类推，则得到总的线段条数.本题的易错点是出现遗漏或重复的情况，如误认为线段AB与线段BA是同一条线段等. 练3 已知平面内有四个点A，B，C，D，过这四个点中的任意两个画直线，能画出几条 直线？ 【思路分析】因为题目中没有告诉点A，B，C，D的具体位置，因此可分为三种情况讨论，一是这四个点在一条直线上，二是四个点中有三个点在一条直线上；三是四个点中的任意三个都不在一条直线上. 【解】 分三种情况讨论： 当点A，B，C，D都在同一条直线上时，只能画出1条直线，如图1所示； 当四个点中的其中三个点在同一条直线上时（例如点A，C，D在同一条直线上），能画出4条直线，如图2所示； 当四个点中的任意三个点都不在同一条直线上时，能画出6条直线，如图3所示. 图1 图2 图3 题型三 “两点确定一条直线”的实际应用 例4 为美化校园，七年级（1）班要将8棵树苗栽种在校园里，要求这8棵树苗栽成一条直线且每相邻两树苗之间相距5米，可他们手中只有一根长16米的皮尺，你有办法满足上述要求吗？若能，请画图说明你的方案并简述理由. 【思路分析】 所栽树苗有两个要求： （1） 这8棵树苗栽成一条直线； （2）每相邻两树苗之间相距5米.可用工具是一根长16米的皮尺，为此，可利用“两点确定一条直线”的知识先确定第1，2，3，4棵树的位置，沿着这4棵树的方向画一条直线，即可确定第5，6，7，8棵树的位置. 【解】 能.设8棵树苗的位置依次为点A，B，C，D，E，F，G，H，方案如下： （1）拉直皮尺并按照皮尺上的刻度确定A，B，C，D的位置，使AB=BC=CD= 5米.如图1所示； （2）在射线CD上按照皮尺上的刻度确定E，F的位置，使DE=EF=5米，如图2所示； （3）在射线EF上按照皮尺上的刻度确定G，H的位置，使FG=GH=5米，如图3所示. 理由为：由（1）可知A，B，C，D四点都在直线CD上， 由（2）可知C，D，E，F四点都在直线CD上； 因为两点确定一条直线，所以上述六点都在由C，D两点确定的同一条直线上； 同理，由（3）可知G，H两点也在这条直线上. 又因为用皮尺量得每相邻两点之间的距离都是5米，所以按照上述方法植树可满足要求. 【总结提示】本题把树苗所在的位置看作点，把相邻两树坑之间的距离看作线段，于是植树问题转化为在一条直线上截取8条相等线段问题.实际上，以此类推，可以继续沿直线植第9，10，11，······棵树，并使相邻两树之间的距离为5米. 练4 小明和小亮在讨论“射击时为什么枪管上要有准星？” 小明：过两点有且只有一条直线，所以枪管上要有准星． 小亮：若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，这不就有三点了吗？多了一个 点呀！ 请说说你的观点． 【思路分析】根据直线的基本事实：两点确定一条直线，进行解答即可． 【解】 若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，那么要想射中目标，人眼与目标确定的这条直线，应与子弹所走的直线重合，即与准星和目标所确定的这条直线重合，即达到看到哪打到哪儿． 所以要想射中目标就必须使准星在人眼与目标所确定的直线上． 知识点二 比较两条线段的长短 （1）比较线段长短的常用方法是度量法与重合法. 度量法：先用刻度尺量出有关线段的长度然后进行比较； 重合法：把线段AB与线段CD的一个端点重合，另一个端点位于重合端点的同侧， 然后观察该端点的位置. （2）比较线段AB与线段CD的长短，其结果有三种，即AB＞CD、AB=CD或AB＜CD. 题型一 比较两条线段的长短 例5 如图所示，线段AD，BC是四边形ABCD的两条边，请你先估测线段AD与BC的长短，然后再用度量法或重合法验证你的估测结果是否正确. 【思路分析】估测时可根据日常生活中的实际经验估测，然后利用刻度尺或圆规直尺等工具验证. 【解】 估测结果为AD＞BC. 如果用度量法验证：经度量，线段AD的长度为4个单位，线段CD的长度为3个单位，所以AD＞BC，估测结果正确. 如果用重合法验证，方法如下： （1）任意画一条射线OM； （2）在射线OM上截取线段OE=BC，OF=AD； 观察可知，因为点E在线段OF上，所以OF＞OE，即AD＞BC，估测结果正确.如答图所示. 在比较线段的长短时，因为度量法容易理解且操作方法简便易行，所以在解决实际问题时应用较多；而重合法主要突出的是一种方法，通过比较线段的长短，加强对尺规作图这一基本技能的练习，并为后续知识打下基础. 练5 已知线段MN，如图所示， （1）利用圆规和直尺按下列要求画图：先在线段MN上取一点P，再在线段MN上取一点Q，使线段NQ=MP，说出你的作图法并保留作图痕迹.； （2）你能确定线段MP与MQ的长短吗？为什么？ 【思路分析】先确定点P的位置，然后根据NQ=MP，即可确定点Q的位置，由于点P的位置可任意，所以应分三种情况讨论. 【解】 （1）当MP＜时，点P的位置如答图1所示（P点的位置不唯一）. 确定Q点的作法如下：以N点为圆心、以线段MP为半径画弧与线段MN的交点即 为Q点，如答图1所示； 当MP=时，点P的位置如答图2所示. 确定Q点的作法如下：以N点为圆心、以线段MP为半径画弧与线段MN的交点即 为Q点，如答图2所示； 当MP＞时，点P的位置如答图3所示（P点的位置不唯一）. 确定Q点的作法如下：以N点为圆心、以线段MP为半径画弧与线段MN的交点即 为Q点，如答图3所示. （2）不能确定线段MP与MQ的长短.理由如下： 在图1中，∵点P在线段MQ上，∴MP＜MQ； 在图2中，∵点P与点Q重合，∴MP=MQ； 在图3中，∵点P在线段MQ的延长线上，∴MP＞MQ. 综上所述，无法确定线段MP与MQ的长短. 题型二 与线段长度有关的尺规作图 例6 如图所示，已知线段a、b、c，请你利用尺规作图作线段m，使得m=2a+3b-c，说明作图方法，保留作图痕迹. 【思路分析】画出射线，然后在线段上顺次截取2a+3b，然后沿相反的方向截取线段c，则得到线段m. 【解】 作法如下： （1）画射线OX； （2）在射线OX上顺次截取线段OA=2a，截取线段AB=3b； （3）在射线AB上截取线段BC=c，则线段OC即为所求，如答图所示. 【总结提示】本题运用转化的方法求解，即把作线段m的问题，转化为6个尺规基本作图：作一条线段等于已知线段，则问题轻松搞定. 练6 在如图所示的图形中，请你利用重合法比较下列线段的长短： （1）比较线段BD，BE，BC的长短，并用“＜”把这三条线段连接起来； （2）比较AB与AD、AC与AE的长短. 【思路分析】 （1）根据重合法比较线段长短的方法，即可比较BD，BE，BC的长短； （2）利用尺规作图，构造出利用重合法比较线段长短的图形，进而运用等量代换的方法，即可比较AB与AD、AC与AE的长短. 【解】 （1）∵点D在线段DE内部，∴BD＜BE. ∵点E在线段BC内部，∴BE＜BC. 综上所述，线段BD，BE，BC的长短关系为BD＜BE＜BC. （2）以点A为圆心，AD为半径画弧交射线AB于点M，如图所示， ∴AM=AD. ∵点M在线段AB内部，∴AM＜AB. ∴AD＜AB. 以点A为圆心，AE为半径画弧交射线AC于点N，如图所示， ∴AN=AE. ∴AE＜AC. 知识点三 线段的中点 线段的中点：一个点把一条线段分成两条相等的线段，则这个点叫做线段的中点.用符号可表示为：如图所示，如果点M是线段AB上的点，且AM=BM，那么点M叫做线段AB的中点. 线段的和与差：如图4.2-10所示，点C在线段AB 上，则AB=AC+BC，AC=AB－BC. 类似的，可得到线段的三等分点、四等分点. 线段的等分点:如图4.2-12，若点B和点C将线段AD分成相等的三条线段，则点B和点C叫做线段AD的三等分点.类似地还有四等分点、五等分点等. 易错警示：如果点M是线段AB的中点，必须同时具备两点：①点M在线段AB上；②AM=BM，两个条件缺一不可. 题型一 线段的等分点的定义 例7 下列说法中正确的是（　　）. A. 若AP＝，则P是线段AB的中点 B. 若AB＝2PB，则P是线段AB的中点 C. 若AC＝BC＝，则C是线段AB的中点 D. 若AP＝PB，则P是线段AB的中点 【思路分析】当点P不在线段AB上时，可以满足AP＝，AB＝2PB，AP＝PB，但P不是线段AB的中点，故A、B、D错误；只有C选项中，通过AC＝BC＝条件的限制，既满足中点的数量关系，又符合中点与线段的位置关系． 【解】故选C． 【总结提示】这里要注意，线段被等分之后，会得到线段相等的结论，进而根据题目的意思进行求解. 练7 如图，点C把线段AB分为2∶3两段，点D把线段AB分为1∶4两段，若DC＝5 cm，则AD＝　　　　 cm，AB＝　　　　 cm. 【解】 因为点C把线段AB分为2∶3两段，所以AC＝. 又因为点D把线段AB分为1∶4两段，所以AD＝. 又CD＝AC－AD＝＝5 cm， 所以AB＝25 cm，AD＝5 cm. 故填5，25.　 题型二 利用线段中点的概念计算 例8 已知线段AB=4.8 cm，C是AB的中点，D是CB的中点，点E在AB上，且CE=请你画图并计算DE的长. 【思路分析】若想求得DE，需先求得CE和CD，其中CD可根据线段中点的定义求得，CE可按CE=求得.因为不知点E与点C的位置关系，所以应按点E在点C左侧与点E在点C右侧两种情况分类讨论. 【解】 ∵AB=4.8 cm，C是AB的中点， ∴AC=BC==2.4 cm， CE= =0.8 cm. ∵D为BC的中点， ∴CD==1.2 cm. 当点E在点C左侧时，如图（1）所示，则DE=CE+CD=2 cm. 当点E在点C右侧时，如图（2）所示，则DE=CD－CE=0.4 cm. 综上所述：DE的长为2 cm或0.4 cm. 【总结提示】本题为什么要分类讨论呢？因为随着点E与点C的位置关系不同，得DE=CD－CE或DE=CD+CE，所以要分类讨论.由于点E在点C左侧或在点C右侧，所以可分两种情况讨论. 与线段有关的简单计算：http://v.leleketang.com/dat/ms/ma/k/video/19410.mp4 线段计算之多解问题：http://v.leleketang.com/dat/ms/ma/k/video/19411.mp4 线段计算之列方程：http://v.leleketang.com/dat/ms/ma/k/video/19412.mp4 练8 如图，点C、D在线段AB上，D是线段AB的中点，AC=，CD=4，求线段AB的长． 【思路分析】根据AC=，CD=4，可以求出CD与AD，再根据D是线段AB的中点，即可求得线段AB． 【解】 ∵AC=，CD=4， ∴CD=AD－AC==. ∴AD==×4=6. ∵D是线段AB的中点， ∴AB=2AD=2×6=12. 知识点四 两点之间的距离 （1）两点的所有连线中，线段最短，简单说成：两点之间，线段最短.这是平面几何中又一个基本事实. （2）两点之间的距离：连接两点间线段的长度，叫做这两点的距离. 题型一 “两点之间线段最短”的实际应用 例9 在桌面上放了一个正方体的盒子，如图所示，已知蚂蚁在顶点A处， （1）如果蚂蚁要爬到顶点B处寻找食物，请你帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线； （2）如果蚂蚁要爬到顶点C处寻找食物，你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗？若能，请你画出这条爬行路线. 【思路分析】 （1） 因为点A，B在正方体的同一个侧面上，因此根据“两点之间，线段最短”，即可得到蚂蚁爬行的最短路线； （2）因为点A，C没有处于正方体的同一个侧面上，所以先把正方体的侧面展开成平面图形，再根据“两点之间，线段最短”，画出蚂蚁的最短爬行路线. 【解】 （1）根据“两点之间，线段最短”，可知线段AB即为蚂蚁爬行的最短路线，如图1所示. （2）当把正方体前后左右四个侧面展开时，根据“两点之间，线段最短”，可知线段AC即为蚂蚁爬行的最短路线，如图2所示. 【总结提示】蚂蚁与食物分别看作一个点，则求蚂蚁最短爬行路线的问题，即转化为根据“两点之间，线段最短”画线段的问题，从而使问题轻松解决. 两点之间线段最短：http://v.leleketang.com/dat/ms/ma/k/video/19409.mp4 练9 四个村庄A，B，C，D的位置如图所示，现在要建一个净化水加工厂为这四个村庄供水，如果要求铺设的供水管道最短，请你确定净化水加工厂的位置. 【思路分析】根据“两点之间，线段最短”，即可确定净化水加工厂的位置. 【解】因为两点之间线段最短，所以当净化水加工厂向A，C两个村庄供水时，加工厂的位置应在线段AC上；当净化水加工厂向B，D两个村庄供水时，加工厂的位置应在线段BD上，所以，线段AC和线段BD的交点即为净化水加工厂的位置，如图所示. 附加题 1.如图所示，线段AB=4，点O是线段AB上一点，C、D 分别是线段OA、OB的中点. （1）求线段CD的长 （2）若（1）中的“点O是线段AB上一点”改为“点O是线段AB延长线上的点”，其他条件不变，请你画出图形并求CD的长. 【思路分析】 （1）由CD=OC+OD，且C、D分别是线段OA、OB的中点，由此可找到线段CD与线段AB的数量关系，进而求得CD. （2）仿照（1）的解题思路求解（2）. 【解】 （1）∵C、D分别是线段OA、OB的中点， ∴CD=OC+OD=====2. （2）画出的图形如图所示. ∵C、D分别是线段OA、OB的中点， ∴CD=OC－OD= ====2. 【总结提示】本题虽然也是结合线段中点的定义求线段的和或差，但是由于线段OA与OB的长度未知，无法求得OC、OD，于是利用线段中点的定义，把线段CD看作一个整体，直接求得CD与AB的数量关系，体现了整体思想在几何计算中的优越性. 2.如图所示，在△ABC中，AD是底边BC上的高，已知AD=3 cm，BC=6 cm. （1）求△ABC的面积； （2）在原图的基础上，请你利用尺规作图作出两个形状不同的三角形，其面积均为18 cm2，说明作图方法，保留作图痕迹. 【思路分析】 （1）根据三角形面积公式即可求得答案； （2）方法一，若能使求作的三角形的高是原三角形的高的2倍，则符合题意；方法二，若能使求作的三角形的底边是原三角形的底边的2倍，则符合题意. 【解】 （1）△ABC的面积==9 cm2. （2）∵△ABC的面积为9cm2，求作的三角形的面积为18cm2， ∴求作的三角形的高是原三角形的高的2倍，或求作的三角形的底边是原三角形的底 边高的2倍. 方法一：①作射线DA； ②在射线DA上截取线段AE=AD，连接BE，CE，则△EBC即为所求，如答图1所示. 方法二：①作射线BC； ②在射线BC上截取线段CF=BC，连接AF，则△ABF即为所求，如答图2所示. 【总结提示】本题求解的技巧是运用转化的方法，根据题目要求“在原图的基础上”作图，结合三角形面积公式，把三角形面积之间的关系转化为三角形的高或底边之间的关系，进而转化为尺规基本作图：作一条线段等于已知线段. 3.如图，C是线段AB上一点，AB=20 cm，BC=8 cm，点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以1 cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A．已知点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运功．设点P运动时间为x s． （1）AC= cm； （2）当x= s时，点P、Q重合； （3）是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 【思路分析】 （1）根据线段的和与差，可得答案； （2）根据“相遇时间=路程和÷速度和”，即可列出方程计算求解； （3）根据线段中点的定义，即可列出方程求解． 【解】 （1）AC=AB－BC=20－8=12（cm），故应填12． （2）设点P运动时间为x s时，点P、Q重合， 根据题意，有（2+1）x=20， 解这个方程，得x=.故应填． （3）存在. ∵点P的速度为2 cm/s，点Q的速度为1 cm/s， ∴点P先到达终点，且所用时间为=10 s， ∴0≤x≤10. 分三种情况讨论： 当点C是线段PQ的中点且点P在点C的左边时，如图1所示. 得PC=QC，即12－2x=8－x，解得x=4； 当点P为线段CQ的中点时，如图2所示. 得CP=QP，即2x－12=（20－2x）－x，解得x=； 当点Q为线段PC的中点，如图3所示. 得CQ=PQ，即8－x=x－（20－2x），解得x=7. 当点C是线段PQ的中点且点P在点C的右边时，如图4所示. 得QC=PC，即x－8=8－（20－2x），解得x=4. 又∵点P到达点C所用的时间为=6 s， ∴点P到达点C的右边时x＞6. ∴x=4不合题意，舍去. 综上所述，当x=4或x=、x=7时，有一个点恰为另外两点所连线段的中点. 【总结提示】本题（3）求解的关键是根据点P的位置进行分类讨论，为了清楚、直观的理解题意，可根据点P的位置画出相应的图形，然后借助于图形列出一元一次方程.特别是图4所示的情况，既要考虑到这种情况可能存在，又要根据x的取值范围对所得的解进行取舍，体现了数学的严谨性. 一课一练 1.延长线段AB到C，下列说法正确的是（　　）． A．点C在线段AB上 B．点C在直线AB上 C．点C不在直线AB上 D．点C在直线AB的延长线上 【解】因为线段有两个端点，所以线段可以向两方延长，所以点C不在线段AB上，点C在直线AB上，故A、C错误，B正确，因为直线没有端点，可以向两方无限延伸，直线没有延长线的说法，故D错误. 故选B． 2.下列现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象是（　　）． A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上 B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程 C．利用圆规可以比较两条线段的大小关系 D．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线 【解】 A、 利用了“两点确定一条直线”，故不符合题意； B、 利用了“两点之间，线段最短”，故符合题意； C、 是线段的大小比较，故不符合题意； D、利用了“两点确定一条直线”，故不符合题意． 故选B． 3.如图所示，比较线段a和线段b的长度，正确结果是 . 【解】观察刻度尺可知，a=3.5，b=4.2，所以a＜b. 故填a＜b． 4.如图，C，D，E是线段AB上的三个点，下面关于线段CE的表示： ①CE=CD+DE；②CE=BC－EB；③CE=CD+BD－AC；④CE=AE+BC－AB． 其中，正确的是 （填序号）． 【解】如图，①CE=CD+DE，正确；②CE=BC－EB，正确；③CE=CD+BD－BE，错误；④∵AE+BC=AB+CE，∴CE=AE+BC－AB=AB+CE－AB=CE，正确. 故填①②④． 5.如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=2：4：3，M是AD的中点，CD=6 cm，求线段MC的长． 【解】 由AB：BC：CD=2：4：3，设AB=2x cm，BC=4x cm，CD=3x cm， 则CD=3x=6，解得x=2． ∴AD=AB+BC+CD=2x+4x+3x=18（cm）. ∵点M是AD的中点， ∴DM===9（cm），MC=DM－CD=9－6=3（cm）． 6．（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段； （2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你所得到的结论的正确性； （3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？ 请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题． 【解】 （1）∵以点A为左端点的线段有AB、AC、AD， 以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB， 以点D为左端点的线段有线段DB， ∴共有3+2+1=6条线段. （2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条， 则x=（m－1）+（m－2）+（m－3）+……+3+2+1， ∴倒序排列有x=1+2+3+……+（m－3）+（m－2）+（m－1）， ∴2x=m+m+m+……+m=m（m－1）， ∴x=； 答：该线段上共有条线段. （3）把45位同学看作直线上的45个点，每两位同学之间的一握手看作为一条线段， 直线上45个点所构成的线段条数就等于握手的次数， ∴一共要进行=990次握手． 家庭作业 1.如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的图是（　　） A． B． C． D． 【解】A、直线AB与线段CD不能相交，故错误；B、直线AB与射线EF能够相交，故正确；C、射线EF与线段CD不能相交，故错误；D、直线AB与射线EF不能相交，故错误． 故选B． 2.如图，小华的家在A处，书店在B处，星期日小明到书店去买书，他想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（　　）． A．A⇒C⇒D⇒B B．A⇒C⇒F⇒B C．A⇒C⇒E⇒F⇒B D．A⇒C⇒M⇒B 【解】∵从C到B的所有线中，线段AB的长度最短，所以选择路线为A⇒C⇒F⇒B． 故选B． 3.如果线段AB＝15 cm ，M是平面内一点，则线段MA与线段MB的长度之和不可能是（ ）． A．10 cm B．15 cm C．20 cm D．10 000 cm 【解】根据“两点之间线段最短”可知， 当点M在线段AB上时，MA+MB=AB=15 cm， 即线段MA与线段MB的长度之和的最小值是15cm； 当M点不在线段AB时，MA+MB＞AB=15（cm）. 故选A. 4.如图，乐乐用剪刀沿直线将一片平整的树叶减掉一部分，发现剩下树叶的周长比原周长小，能正确解释这一现象的数学依据是 ． 【解】 ∵两点之间线段最短，∴剩下树叶的周长比原树叶的周长小． 故填两点之间线段最短． 5.往返于甲、乙两地的火车，若中途要停靠4个站，则需准备 种火车票． 【解】因为当线段AF上有B，C，D，E四个点时，共有15条线段，又因为往返是两种不同的车票，所以铁路部门对此运行区间应准备30种不同的火车票. 故填 30． 6.已知线段AB＝5 cm，BC＝4 cm，且A、B、C三点在同一直线上，那么A、C两点间的距离是 . 【解】 当C点在线段AB上时，AC=AB－BC=5－4=1（cm）； 当C点在线段AB的延长线上时，AC=AB+BC=5+4=9（cm）， 所以A、C两点间的距离是1cm或9cm. 故填1 cm或9 cm 7.如图所示，已知线段AB与点C，D，请你在同一个图形中按下列要求画图（不写画图方法，所有的延长线全部画成虚线）： （1）延长线段AB； （2）反向延长线段AB； （3）以A为端点画一条射线，使射线经过点C； （4）反向延长射线AC； （5）过点B画直线，使直线经过点D； （6）画线段CD. 【解】 （1）如图中①所示； （2）如图中②所示； （3）如图中③所示； （4）如图中④所示； （5）如图中⑤所示； （6）如图中⑥所示. 8.有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，A、B两点之间的距离是90米．甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发到终点C，乙机器人始终以50米/分的速度行走，乙行走9分钟到达C点．设两机器人出发时间为t（分钟），当t=3分钟时，甲追上乙．前4分钟甲机器人的速度保持不变，在4≤t≤6分钟时，甲的速度变为另一数值，且甲、乙两机器人之间的距离保持不变． 请解答下面问题： （1）B、C两点之间的距离是 米；在4≤t≤6分钟时，甲机器人的速度为 米/分． （2）求甲机器人前3分钟的速度为多少米/分？ （3）求两机器人前6分钟内出发多长时间相距28米？ （4）若6分钟后，甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度，当t＞6时，请直接写出甲、乙两机器人之间的距离S．（用关于t的整式表示） 【解】 （1）∵乙机器人从B点出发，以50米/分的速度行走9分钟到达C点， ∴BC=50×9=450（米）． ∵在4≤t≤6分钟时，甲、乙两机器人之间的距离保持不变， ∴v甲=v乙=50米/分钟． 故答案为：450，50 （2）设甲机器人前3分钟的速度为x米/分钟， 则3x－50×3=90， 解得x=80． 答：甲机器人前3分钟的速度为80米/分钟． （3）当t=4时，两人相距80－50=30米，且4≤t≤6时，两人相距总是30米． 分三种情况讨论： 当甲在线段AB上时，得90－80t+50t=28， 解得. ∵＞，∴这种情况不存在； 当甲、乙均在线段BC上且甲在乙后面时，得90+50t－80t=28， 解得； 当甲、乙均在线段BC上且甲在乙前面时，得80t－90－50t=28， 解得． 答：两机器人前6分钟内出发s或s相距28米． （4）． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$