2025—2026学年人教版数学七年级上册-暑假讲义第3讲 有理数的加减法　

第3讲 有理数的加减法 课程目标 1．理解有理数的加法法则与减法法则，能根据有理数的加法法则与减法法则进行有理数的加减运算； 2．理解有理数加法的运算律，能灵活运用加法运算律进行有理数加减的简便运算； 3．能利用有理数的加减法解决一些简单的实际问题，并在解题实践中提高数学的应用意识． 课程内容 知识点一 有理数的加法法则 类型 法则 举例 同号两数相加 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 2＋3＝5； （－2）＋（－3）＝（－5） 异号两数相加 绝对值相等时 异号两数相加，绝对值相等时，和为0 2＋（－2）＝0 绝对值不等时 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 2＋（－3）＝－（3－2）＝－1； 3＋（－2）＝＋（3－2）＝1 其中一个加数为0 任意一个数与零相加，仍得这个数 3＋0＝3；－2＋0＝－2 规律总结：计算有理数的加法时，应先确定和的符号，再确定和的绝对值，并且计算和的绝对值的方法，与我们小学所学的加法运算基本相同． 有理数的加法：http://v.leleketang.com/dat/ms/ma/k/video/18372.mp4 题型一 两个有理数相加 例1 计算下列各题： （1）（＋8）＋（＋5）； （2）（＋2.5）＋（－2.5）； （3）； （4）． 【思路分析】观察可知，各题均可按照有理数加法法则计算，其中（1）（4）属于同号两数相加，（2）（3）属于异号两数相加． 【解】 （1）（＋8）＋（＋5）＝＋（8＋5）＝13． （2）（＋2.5）＋（－2.5）＝0． （3）． （4）． 【总结提示】因为有理数由符号与绝对值两部分组成，因此在书写有理数加法算式时，一定要注意书写格式的规范性，不要混淆了加法运算符号与有理数的符号的区别，例如正数前面的“＋”可以省略，但加号不能省略． 练1 计算： （1）（－1.1）＋（－2.9）；（2）（＋2.7）＋（－3）； （3）（－0.78）＋0； （4）3.78＋（－3.78）． 【思路分析】 （1） 是两个负数相加，取负号，并把绝对值相加； （2） 是异号两数相加，－3的绝对值大，所以和取负，并用－3的绝对值减去＋2.7的绝对值；（3）中是一个数与零相加，仍等于原数； （4）中是互为相反数的两个数相加，和等于0． 【解】 （1）（－1.1）＋（－2.9）＝－（1.1＋2.9）＝－4； （2）（＋2.7）＋（－3）＝－（3－2.7）＝－0.3； （3）（－0.78）＋0＝－0.78； （4）3.78＋（－3.78）＝0． 题型二 两个以上的有理数相加 例2 计算： （1）；（2）；（3）． 【思路分析】各题均可利用有理数的加法法则计算，在（3）中应先去掉绝对值符号． 【解】 （1）原式＝（－5）＋1.5＋（－1）＝－3.5＋（－1）＝－4.5． （2）原式＝． （3）原式＝． 【总结提示】当算式中的加数有两个或两个以上时，应按照从左到右的顺序逐步计算，并且每一步的运算都要根据有理数的加法法则进行． 练2 计算的结果是_____． 【思路分析】先将互为相反数的两数相加，然后再按照加法法则计算即可． 【解】原式＝．故填－1． 知识点二 有理数加法的运算律 运算律 内容 符号表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b＝b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 （a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 易错警示： （1）应用有理数加法运算律的主要目的是简便计算； （2）有理数加法的运算律可以推广到多个有理数相加； （3）因为有理数由符号与绝对值两部分组成，因此在利用有理数加法的交换律交换某两个加数的位置时，要把有理数的符号同时交换． 题型一 几个有理数相加的简便计算 例3 计算下列各式： （1）（－1.25）＋（＋5.25）＋（－7）＋（－2）； （2）； （3）0.36＋（－7.4）＋0.5＋0.14＋（－0.6）； （4）． 【思路分析】各题均可按照有理数加法的运算律简便计算，其中（1）中可把前两个加数相结合，把后两个加数相结合；（2）中可把两个负加数相结合；（3）可把第一、三、四个加数相结合，其余两个加数相结合；（4）中可先把小数化为分数，再把分母相同的加数相结合． 【解】 （1）原式＝[（－1.25）＋（＋5.25）]＋[（－7）＋（－2）]＝4＋（－9）＝－5． （2） ． （3）原式＝（0.36＋0.14＋0.5）＋[（－7.4）＋（－0.6）]＝1＋（－8）＝－7． （4）． 【总结提示】简便计算有理数加法的技巧主要有下列几种：①同号的几个数先相加；②同分母的分数先加；③能凑成整数、整十、整百的数先加；④互为相反数的两个数先加；⑤带分数可拆成整数和真分数两部分来相加；⑥既有分数又有小数相加时，可统一为分数或小数后再相加． 练3 简便计算： （1）12＋（－13）＋8＋（－7）； （2）． 【思路分析】 （1） 可以将两个正数和两个负数分别相加； （2） 由于0.75与、（＋0.125）与相加得整数，可将相加得整数的数先相加． 【解】 （1）原式＝（12＋8）＋[（－13）＋（－7）]＝20＋（－20）＝0； （2） ． 题型二 多个有理数相加的简便计算 例4 计算：． 【思路分析】观察可知，这些加数的分子相同，分母均为前一个分数的分母的2倍，所以每个加数都等于前一个加数与该数的差，由此可进行简便计算． 【解】 ． 【总结提示】本题的求解过程给我们两点启示：一是对于本题之类的问题，肯定不能利用常规方法求解，必须寻找一个简便计算的方法；二是为寻找简便计算的方法，必须先找到各加数之间隐藏的规律，如本题中相邻的两个加数是2倍的关系，在此基础上通过把加数拆项，为利用有理数加法的运算律简便计算提供了方便． 练4 绝对值不大于2018的所有整数的和是（ ）． A．－4036 B．0 C．2018 D．4036 【思路分析】先根据“绝对值不大于2018的所有整数的和”列出算式，然后根据有理数加法的运算律简便计算． 【解】根据题意，得： 1＋2＋3＋…＋2017＋2018＋0＋（－1）＋（－2）＋（－3）＋…＋（－2017）＋（－2018） ＝0＋[1＋（－1）]＋[2＋（－2）]＋[3＋（－3）]＋···＋[2017＋（－2017）]＋[2018＋（－2018）] ＝0＋0＋0＋···＋0＋0 ＝0，故选B． 题型三 有理数相加的实际应用 例5 为了有效控制酒后驾车，某市城管的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，如果规定向东为正，向西为负，从出发点开始所走的路程为： ＋2，－3，＋2，＋1，－2，－1，－2（单位：千米） （1）此时，这辆城管的汽车司机如何向队长描述他的位置？ （2）如果队长命令他马上返回出发点，这次巡逻（含返回）共耗油多少升？（已知每千米耗油0.2升） 【思路分析】先明确题目中“正”和“负”所表示的意义，然后根据记录把汽车行驶的路程相加，根据计算结果的符号可确定汽车最后的位置在出发点的哪一侧，根据计算结果的绝对值可确定汽车最后的位置与出发点之间的距离． 【解】 （1）因为（＋2）＋（－3）＋（＋2）＋（＋1）＋（－2）＋（－1）＋（－2）＝－3千米，所以这辆汽车在出发点的以西且距离出发点3千米． （2）|＋2|＋|－3|＋|＋2|＋|＋1|＋|－2|＋|－1|＋|－2|＋|－3|＝16千米，16×0.2＝3.2（升）． 答：这次巡逻（含返回）共耗油3.2升． 【总结提示】本题之类的题目利用数轴的知识也能解决，但远不如本题的解法简单，这也告诉我们，知识学得越多，解决问题的方法越多、越方便． 练5 王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作＋1，向下一楼记作－1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：＋6，－3，＋10，－8，＋12，－7，－10． （1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼． （2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？ 【思路分析】（1）把上下楼层的记录相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果等于0则能回到1楼，否则不能；（2）求出上下楼层所走过的总路程，然后乘以0.2即可得解． 【解】 （1） （＋6）＋（－3）＋（＋10）＋（－8）＋（＋12）＋（－7）＋（－10） ＝6－3＋10－8＋12－7－10 ＝0， ∴王先生最后能回到出发点1楼． （2） 王先生走过的路程是 3×（|＋6|＋|－3|＋|＋10|＋|－8|＋|＋12|＋|－7|＋|－10|） ＝3×（6＋3＋10＋8＋12＋7＋10）＝3×56＝168（m）， ∴他办事时电梯需要耗电168×0.2＝33.6（度）． 知识点三 有理数的减法法则 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 易错警示： （1）有理数减法法则的核心是“两变”，即运算符号由“－”变为“＋”号，同时减数变为其相反数．注意这两个转变必须同时进行； （2）在有理数的减法运算中，即：一个数减去一个正数，所得的差小于被减数；一个数减去0，所得的差等于被减数；一个数减去一个负数，所得的差大于被减数； （3）有理数减法运算没有运算律，但在把有理数的减法转化为加法之后，可以按照有理数加法的运算律简便计算． 题型一 有理数的减法运算 例6 计算下列各题： （1）6－（－8）； （2）（－2）－3； （3）（－2.8）－（－1.7）； （4）0－4； （5）5－（－3）－（－2）； （6）（－5）－（－2.4）－（－1）． 【思路分析】观察可知，各题均可按照有理数的减法法则计算，其中（5）（6）中，应先计算前两个数的差，再把所得的差减去第三个数． 【解】 （1）6－（－8）＝6＋（＋8）＝＋（6＋8）＝＋14． （2）（－2）－3＝（－2）＋（－3）＝－（2＋3）＝－5． （3）（－2.8）－（－1.7）＝（－2.8）＋（＋1.7）＝－（2.8－1.7）＝－1.1． （4）0－4＝0＋（－4）＝－4． （5）5－（－3）－（－2）＝5＋（＋3）＋（＋2）＝8＋（＋2）＝10． （6）（－5）－（－2.4）－（－1）＝（－5）＋（＋2.4）＋（＋1）＝（－2.6）＋（＋1）＝－1.6． 【总结提示】计算有理数减法的基本方法可分为两步，即：先根据有理数的减法法则，把有理数的减法转化为有理数的加法，然后按照有理数加法法则或运算律计算． 练6 计算下列各题: （1）（－3）－（－5）； （2）0－7； （3）； （4）． 【思路分析】先把有理数的减法转化为有理数的加法，然后进行计算． 【解】 （1）（－3）－（－5）＝（－3）＋5＝2； （2）0－7＝0＋（－7）＝－7； （3）； （4）． 题型二 有理数减法的实际应用 例7 下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数）： （1）如果现在的北京时间是中午12∶00，那么东京时间是多少？ （2）如果小颖在北京时间下午14∶00给远在纽约的舅舅打电话，你认为合适吗？ 【思路分析】 （1） 要计算出东京时间，我们可用北京时间减去北京与东京的时差； （2）可先计算出纽约时间，用北京时间减去北京与纽约的时差． 【解】 （1）因为东京与北京的时差为＋1，所以北京与东京的时差为－1．12－（－1）＝13（点） 答：东京时间是13∶00． （2） 由于纽约与北京的时差为－13，所以北京与纽约的时差为13．14－13＝1（点）．由于 （3） 此时是纽约时间的凌晨1点，根据人们的生活习惯舅舅可能正在睡觉，所以不合适给舅舅打电话． 【总结提示】北京与东京的时差是用“北京时间－东京时间”得到的，而东京与北京的时差是用“东京时间－北京时间”得到的，我们计算另一个城市时间，可用“北京时间－北京与另一城市的时差”来求得． 练7 矿井下A，B，C三处的标高分别是－37.4m，－129.8m，－71.3m，点A比点B高多少米？点B比C高多少米？ 【思路分析】根据有理数的减法，用点A的标高减去点B的标高，则得到点A比点B高多少米，同理可得点B比C高多少米． 【解】点A处比B处高：－37.4－（－129.8）＝－37.4＋（＋129.8）＝92.4（米）． 点B比C高：－129.8－（－71.3）＝－129.8＋（＋71.3）＝－58.5（米）． 知识点四 有理数的加减混合运算 （1）有理数的加减混合运算中，是指既有有理数加法又有有理数减法的算式，其运算顺序可按照从左到右的顺序计算，有括号时可先计算括号里面的． （2）为了方便的书写有理数加减混合运算的算式，可把算式简化为省略加号与括号的形式，以（－9）－（＋12）＋（－3）－（－7）＝－9－12－3＋7为例，省略加号与括号的有理数加减运算算式通常有两种读法，按算式的运算结果可读作“负9，负12，负3，正7的和”，按算式所表示的意义可读作负9减12减3加7． （3）进行有理数加减混合运算时，应先把有理数加减混合运算统一为加法运算，能利用有理数加法的运算律简便计算的，要简便计算． 减法及加减法混合运算：http://v.leleketang.com/dat/ms/ma/k/video/18373.mp4 有理数的加减混合运算：http://v.leleketang.com/dat/ms/ma/k/video/27635.mp4 题型一 化简有理数的加减混合运算的算式 例8 把10＋（＋8）－（－6）－（＋4）写成省略括号和加号的形式并把它读出来． 【思路分析】先把加减法统一写成加法的形式，然后省略括号前的加号．如果和中的第一个加数是正数，则正号可以省略不写． 【解】10＋（＋8）－（－6）－（＋4）＝10＋（＋8）＋（＋6）＋（－4）＝10＋8＋6－4．读作“正10、正8、正6、负4的和”或“正10加正8加正6减4”． 【总结提示】在今后的学习中，最常见的有理数加减混合运算的算式是省略括号和加号的算式，因此一定要理解算式的化简方法与算式所表示的意义． 练8 把（－5）－（＋3）－（－7）＋（－2）写成省略加号和括号的形式，正确的是（　　）． A．－5－3＋7－2 B．5－3－7－2 C．5－3＋7－2 D．5＋3－7－2 【思路分析】先把原式中的减法运算转化为加法运算，然后省略括号与加号，即可得到结果． 【解】原式＝（－5）＋（－3）＋（＋7）＋（－2）＝－5－3＋7－2，故选C． 题型二 有理数的加减混合运算 例9 计算下列各题： （1）－20＋（－14）－（－18）－（＋13）； （2）（－0.8）＋（－2.4）－（＋1.2）＋（－0.6）； （3）； （4）． 【思路分析】各式均需先统一为有理数的加法运算，再简化算式，然后按照有理数加法的运算律计算，其中（1）可把负加数归类；（2）可把能凑为整数的两个加数分别归类；（3）可把互为相反数的两个加数归类；（4）先把小数化为分数，再把互为相反数的加数归类． 【解】 （1）原式＝－20＋（－14）＋（＋18）＋（－13） ＝－20－14＋18－13 ＝（－20－14－13）＋18 ＝－47＋18 ＝－29． （2）原式＝（－0.8）＋（－2.4）＋（－1.2）＋（－0.6） ＝－0.8－2.4－1.2－0.6 ＝（－0.8－1.2）＋（－2.4－0.6） ＝－2－3 ＝－5． （3）原式＝ ． （4）原式＝ ． 【总结提示】实际上，简便计算有理数的加减混合运算，与简便计算有理数的加法运算大同小异，所谓的“同”，是指运算的依据都是加法的交换律与结合律，且交换或结合的方法也相同；所谓的“异”，是指有理数的加减混合运算增加了一步解题步骤，即增加了把有理数的加减混合运算统一为有理数的加法运算． 练9 计算: （1）－12－（－25）＋（－32）－（＋4）＋10； （2）． 【思路分析】有理数混合运算一般先把减法统一成加法，省略括号，运用加法运算律，把正数、负数分别相加，有时还需要把：①相加得整数的；②分母相同或易于通分的；③互为相反数的结合在一起相加，在交换加数位置时，要连同前面的符号一起交换． 【解】 （1） －12－（－25）＋（－32）－（＋4）＋10 ＝－12＋25－32－4＋10 ＝－12－32－4＋25＋10 ＝－48＋35 ＝－13； （2） ． 题型三 有理数加减法的实际应用 例10 甲、乙两商场上半年经营情况如下（“＋”表示盈利，“－”表示亏本，以百万元为单位） 月份 一 二 三 四 五 六 甲商场 ＋0.8 ＋0.6 －0.4 －0.1 ＋0.1 ＋0.2 乙商场 ＋0.7 ＋0.4 －0.6 －1.1 ＋0.4 －0.1 （1）三月份乙商场比甲商场多亏损多少元？ （2）六月份甲商场比乙商场多盈利多少元？ （3）甲、乙两商场上半年平均每月分别盈利或亏损多少元？ 【思路分析】 （1） 三月份乙商场的亏损减甲商场的亏损，即为乙商场比甲商场多亏损的金额； （2） 六月份甲商场的盈利减乙商场的盈利，即为甲商场比乙商场多盈利的金额； （3） 各商场上半年各月的盈亏之和，即为上半年的盈利（或亏损）的金额，除以6即为本题的答案． 【解】 （1）0.6－0.4＝0.2（百万元）， 答：三月份乙商场比甲商场多亏损0.2百万元． （2）0.2－（－0.1）＝0.2＋0.1＝0.3（百万元）， 答：六月份甲商场比乙商场多盈利0.3百万元． （3）因为（百万元）， （百万元）． 答：甲商场上半年平均每月盈利0.2百万元，乙两商场上半年平均每月亏损0.05百万 元． 【总结提示】本题（3）中要注意对计算结果的理解，根据题目中的记录方法可知，计算结果的符号表示盈利或亏损，即结果为正表示盈利，结果为负表示亏损，计算结果的绝对值表示盈利或亏损的金额；本题容易出现的错误是对数学符号的理解，如甲商场三月份的记录为－0.4百万元，表示亏损0.4百万元，但不能理解为亏损－0.4百万元，因为亏损－0.4百万元表达的意义是盈利0.4百万元． 练10 有一批水果，包装质量为每筐25千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）：27，24，23，28，21，26，22，27，为了求得8筐样品的总质量，我们可以选取的一个恰当的基准数进行简化运算． （1）你认为选取的一个恰当的基准数为 ； （2）根据你选取的基准数，用正、负数填写上表； （3）这8筐水果的总质量是多少？ 【思路分析】 （1） 观察可知，选取标准包装质量作为基准数即可； （2） 将8筐样品的质量分别减去基准数，将所得的结果填入表中即可； （3） 利用基准数求和，可根据和＝基准数×个数＋浮动数，来得出8筐水果的总重量． 【解】 （1）25；故填25． （2）如下表所示： 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 ＋2 －1 －2 ＋3 －4 ＋1 －3 ＋2 （3）这8筐水果的总质量为： 25×8＋（＋2－1－2＋3－4＋1－3＋2）＝200＋（－2）＝198（千克）． 附加题 1．“△”表示一种新的运算符号，已知：2△3＝2－3＋4，7△2＝7－8，3△5＝3－4＋5－6＋7，…；按此规则，计算： （1）10△3＝ ． （2）若x△7＝2003，则＝ ． 【思路分析】 （1）根据题目中给的例子可得第一个数表示从整数几开始，后面的数表示几个连续整数相加减，依此列式可求10△3的结果； （2）根据x△7＝2003，得到关于的方程，再解方程即可求解． 【解】 （1）10△3＝10－11＋12＝11； （2）∵x△7＝2003， ∴x－（x＋1）＋（x＋2）－（x＋3）＋（x＋4）－（x＋5）＋（x＋6）＝2003， 解得x＝2000． 故填11；2000． 【总结提示】此题主要考查了有理数的加减混合运算，关键是正确理解题目中所给的例子的含义． 2．一名潜水员在水下80米处发现一条鲨鱼在离他不远处的上方25米的位置往下追逐猎物，当鲨鱼向下42米追上猎物后，此时猎物作垂死挣扎，立刻反向上方游过去，鲨鱼紧紧尾随，又游了10米后才捕获到猎物． （1）求鲨鱼捕获到猎物时所在的位置． （2）与刚开始潜水员发现鲨鱼的位置相比，鲨鱼的位置有怎样的变化？ （3）设潜水员的位置为A点，鲨鱼的初始位置为B点，鲨鱼追上猎物时的位置为C点，鲨鱼捕获到猎物时的位置为D点，请你以10米为一个单位长度画出数轴，并按下列要求在数轴上标出A，B，C，D的位置：①以水面为“0”点；②以A点为“0”点． 【思路分析】 （1）根据向上为正，向下为负列式，然后根据有理数的加减混合运算的方法进行运算即可； （2）先表示出鲨鱼开始时的位置，然后减去吃掉猎物时的位置，再根据有理数加减混合运 算的方法进行计算，结果是正数则表示向上游，负数则下游； （3）根据数轴的定义画出相应的数轴． 【解】 （1）设向上的高度为正数，向下的高度为负数， 则：－80＋25－42＋10＝（－80－42）＋（25＋10）＝－122＋35＝－87． 答：鲨鱼追到猎物时所在的位置在水下87米处． （2）鲨鱼原来的位置是－80＋25＝－55（米），则－87－（－55）＝－32（米）． 答：鲨鱼的位置与刚开始相比向下游了32米． （3）画出的数轴分别如图1、图2所示． 【总结提示】本题（1）（2）中，由于“0”点的位置与鲨鱼的运动的正方向都不需要求出，所以“0”点的位置与鲨鱼的运动的正方向可任意规定，但要注意，在符合题意的前提下，你的规定应尽量方便解题． 3．先阅读并填空，再解答问题： 我们知道，，，那么 ， ，用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律： ，并依此计算：． 【解】 ，， 发现的规律：． ． 故填；；；． 一课一练 1．下列运算正确的是（　　）． A．（－4）－（＋2）＋（－6）－（－4）＝－4 B．（－4）－（＋2）＋（－6）－（－4）＝－12 C．（－4）－（＋2）＋（－6）－（－4）＝－8 D．（－4）－（＋2）＋（－6）－（－4）＝－10 【解】 （－4）－（＋2）＋（－6）－（－4） ＝（－4）＋（－2）＋（－6）＋（＋4） ＝－4－2－6＋4 ＝－8， 故选项A、B、D错误，只有选项C正确．故选C． 2．计算（－9）－（－3）的结果是（　　）． A．12 B．－6 C．＋6 D．12 【解】（－9）－（－3）＝－9＋3＝－6，故选B． 3．两个有理数的差是7，被减数是－2，那么减数是（ ）． A．5 B．9 C．－9 D．－2 【解】－2－7＝－2＋（－7）＝－（2＋7）＝－9．故选C． 4．下列各式中，与3－19＋5的值相等的是（　　）． A．3＋（－19）－（－5） B．－3＋（－19）＋（－5） C．－3＋（－19）＋5 D．3－（＋19）－（＋5） 【解】 A、原式＝3－19＋5，相等； B、原式＝－3－19－5，不相等； C、原式＝－3－19＋5，不相等； D、原式＝3－19－5，不相等， 故选A． 5．若|m|＝3，|n|＝5，且m－n＞0，则m＋n的值是（　　）． A．－2 B．－8或－2 C．－8或8 D．8或－2 【解】 ∵|m|＝3，|n|＝5， ∴m＝3或－3，n＝5或－5． ∵m－n＞0，即m＞n， ∴m＝3，n＝－5或m＝－3，n＝－5． 则m＋n＝－2或－8．故选B． 6．如图，乐乐将－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a、b、c分别标上其中的一个数，则a－b＋c的值为（　　）． A．－2 B．0 C．1 D．3 【思路分析】根据三个数的和为依次列式计算即可求解． 【解】 ∵5＋1－3＝3，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴a＋5＋0＝3 3＋1＋b＝3 c－3＋4＝3， ∴a＝－2，b＝－1，c＝2， ∴a－b＋c＝－2＋1＋2＝1， 故选C． 【总结提示】本题考查了有理数的加法，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口． 7．石家庄市的107路公交车的上行路线是从解放广场开往宫家庄，从解放广场上车的乘客有20人，达到第二站长途汽车站时有8人上车，并没有人下车，当到达第三站艺术中心时，有3人上车，有5人下车，则此时107路公交车上的乘客有 人． 【解】20＋8＋3－5＝26（人）．故填26． 8．某检修站，甲小组乘一辆汽车，约定向东为正，从A地出发到收工时，行走记录为（单位：千米）：＋15，－2，＋5，－1，＋10，－3，－2，＋12，＋4，－5，＋6．同时，乙小组也从A地出发，沿南北方向的公路检修线路，约定向北为正，行走记录为：－17，＋9，－2，＋8，＋6，＋9，－5，－1，＋4，－7，－8． （1）分别计算收工时，甲、乙两组各在A地的哪一边，分别距A地多远？ （2）若每千米汽车耗油0.25升，求出发到收工时两组各耗油多少升？ 【解】 （1）∵（＋15）＋（－2）＋（＋5）＋（－1）＋（＋10）＋（－3）＋（－2）＋（＋12） ＋（＋4）＋（－5）＋（＋6）＝39， ∴收工时，甲组在A地的东边，且距A地39千米． ∵（－17）＋（＋9）＋（－2）＋（＋8）＋（＋6）＋（＋9）＋（－5）＋（－1）＋ （＋4）＋（－7）＋（－8）＝－4， ∴收工时，乙组在A地的南边，且距A地4千米； （2） 从出发到收工时，甲组耗油为 [|＋15|＋|－2|＋|＋5|＋|－1|＋|＋10|＋|－3|＋|－2|＋|＋12|＋|＋4|＋|－5|＋ |＋6|]×0.25 ＝（15＋2＋5＋1＋10＋3＋2＋12＋4＋5＋6）×0.25＝16.25（升）， 乙组耗油为：[|－17|＋|＋9|＋|－2|＋|＋8|＋|＋6|＋|＋9|＋|－5|＋|－1|＋|＋4| ＋|－7|＋|－8|]×0.25 ＝（17＋9＋2＋8＋6＋9＋5＋1＋4＋7＋8）×0.25＝19（升）． 家庭作业 1．计算：－3＋4的结果等于（　　）． A．7 B．－7 C．1 D．－1 【解】－3＋4＝1． 故选C． 2．比小的数是（ ）． A．13 B．14 C． D．－14 【解】． 故选C． 3．计算：（－73）＋9.1－（－7）＋（－9），正确的结果是（　　）． A．－79.9 B．61.9 C．－65.9 D．65.9 【解】原式＝（－73）＋9.1＋（＋7）＋（－9）＝－63.9＋（＋7）＋（－9）＝－56.9＋（－9）＝－65.9． 故选C． 4．在一次数学游园活动中，有一个抽卡片游戏，游戏规则如下：连续抽取四张牌，如果抽到形如的卡片，那么加上卡片上的数字；如果抽到形如的卡片，那么减去卡片上的数字，从而通过计算求得最终结果．佳佳在本次游戏中，抽到了以下四张卡片：，请你帮忙算一算，按照以上游戏规则，正确的结果是（ ）． A． B． C． D． 【解】根据题意，得． 故选D． 5．计算＝ ． 【解】原式＝．故填4.5． 6．规定图形表示运算a－b＋c，图形表示运算x＋z－y－w．则＋＝　　　　． 【解】根据题中的新定义得1－2＋3＋4＋6－5－7＝0．故填0． 7．计算： （1）25.3＋（－7.3）＋（－13.7）＋7.7； （2）； （3）10082＋（－10068）＋（＋10094）＋（－10086）＋（＋10079）＋（－10082）； （4）． 【解】 （1）原式＝（25.3＋7.7）＋（－7.3－13.7）＝33＋（－21）＝12； （2）原式＝[33.1＋（＋22.9）]＋[（－10.7）＋（－2.3）]＝56＋（－13）＝56－13＝43； （3）原式＝10000＋82＋（－10000）＋（－68）＋（＋10000）＋（＋94）＋（－10000） ＋（－86）＋（＋10000）＋（＋79）＋（－10000）＋（－82） ＝[10000＋（－10000）＋（＋10000）＋（－10000）＋（＋10000）＋（－10000）] ＋[82＋（－68）＋（＋94）＋（－86）＋（＋79）＋（－82）] ＝0＋[82＋（＋94）＋（＋79）]＋[（－68）＋（－86）＋（－82）] ＝（＋255）＋（－236） ＝19． （4）原式＝ ． 【总结提示】 （1） 中，25.3与7.7的和为33，而－7.3与－13.7的和为－21，可先将这些数结合相加； （2） 中，33.1与22.9的和为56，－10.7与的和为－13，可先结合相加； （3）通过拆分把大数分成整百、整千等数与一个较小数的和；（4）分开的整数部分与分数部分必须保留原分数的符号． 8．已知有理数，，，． （1）求这四个数中的最大数减其他三个数的和的绝对值； （2）求这四个数中的最小数的绝对值减其他三个数的和． 【解】这四个数中的最大数是，最小数是． （1）． （2）． 9．股民小胡上星期五以每股13.10元的价格买进某种股票1000股，该股票本周的涨跌情况如下表（单位：元）： （1）星期五收盘时，每股是 元； （2）本周内最高价是每股 元，最低价是每股 元； （3）如果小胡在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【解】 （1）星期五收盘时，每股是13.10－0.29＋0.06－0.12＋0.24＋0.06＝13.05（元）； 故填13.05． （2）周一每股是：13.10－0.29＝12.81元， 周二每股是：12.81＋0.06＝12.87元， 周三每股是：12.87－0.12＝12.75元， 周四每股是：12.75＋0.24＝12.99元， 周五每股是：12.99＋0.06＝13.05元， 则本本周内最高价是每股13.05元，最低价是每股12.75元； 故填13.05，12.75． （3）小胡在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益为： （13.05－13.10）×1000＝－50（元）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲 有理数的加减法 课程目标 1．理解有理数的加法法则与减法法则，能根据有理数的加法法则与减法法则进行有理数的加减运算； 2．理解有理数加法的运算律，能灵活运用加法运算律进行有理数加减的简便运算； 3．能利用有理数的加减法解决一些简单的实际问题，并在解题实践中提高数学的应用意识． 课程内容 知识点一 有理数的加法法则 类型 法则 举例 同号两数相加 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 2＋3＝5； （－2）＋（－3）＝（－5） 异号两数相加 绝对值相等时 异号两数相加，绝对值相等时，和为0 2＋（－2）＝0 绝对值不等时 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 2＋（－3）＝－（3－2）＝－1； 3＋（－2）＝＋（3－2）＝1 其中一个加数为0 任意一个数与零相加，仍得这个数 3＋0＝3；－2＋0＝－2 规律总结：计算有理数的加法时，应先确定和的符号，再确定和的绝对值，并且计算和的绝对值的方法，与我们小学所学的加法运算基本相同． 题型一 两个有理数相加 例1 计算下列各题： （1）（＋8）＋（＋5）； （2）（＋2.5）＋（－2.5）； （3）； （4）． 练1 计算： （1）（－1.1）＋（－2.9）；（2）（＋2.7）＋（－3）； （3）（－0.78）＋0； （4）3.78＋（－3.78）． 题型二 两个以上的有理数相加 例2 计算： （1）；（2）；（3）． 练2 计算的结果是_____． 知识点二 有理数加法的运算律 运算律 内容 符号表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b＝b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 （a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 易错警示： （1）应用有理数加法运算律的主要目的是简便计算； （2）有理数加法的运算律可以推广到多个有理数相加； （3）因为有理数由符号与绝对值两部分组成，因此在利用有理数加法的交换律交换某两个加数的位置时，要把有理数的符号同时交换． 题型一 几个有理数相加的简便计算 例3 计算下列各式： （1）（－1.25）＋（＋5.25）＋（－7）＋（－2）； （2）； （3）0.36＋（－7.4）＋0.5＋0.14＋（－0.6）； （4）． 练3 简便计算： （1）12＋（－13）＋8＋（－7）； （2）． 题型二 多个有理数相加的简便计算 例4 计算：． 练4 绝对值不大于2018的所有整数的和是（ ）． A．－4036 B．0 C．2018 D．4036 题型三 有理数相加的实际应用 例5 为了有效控制酒后驾车，某市城管的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，如果规定向东为正，向西为负，从出发点开始所走的路程为： ＋2，－3，＋2，＋1，－2，－1，－2（单位：千米） （1）此时，这辆城管的汽车司机如何向队长描述他的位置？ （2）如果队长命令他马上返回出发点，这次巡逻（含返回）共耗油多少升？（已知每千米耗油0.2升） 练5 王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作＋1，向下一楼记作－1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：＋6，－3，＋10，－8，＋12，－7，－10． （1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼． （2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？ 知识点三 有理数的减法法则 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 易错警示： （1）有理数减法法则的核心是“两变”，即运算符号由“－”变为“＋”号，同时减数变为其相反数．注意这两个转变必须同时进行； （2）在有理数的减法运算中，即：一个数减去一个正数，所得的差小于被减数；一个数减去0，所得的差等于被减数；一个数减去一个负数，所得的差大于被减数； （3）有理数减法运算没有运算律，但在把有理数的减法转化为加法之后，可以按照有理数加法的运算律简便计算． 题型一 有理数的减法运算 例6 计算下列各题： （1）6－（－8）； （2）（－2）－3； （3）（－2.8）－（－1.7）； （4）0－4； （5）5－（－3）－（－2）； （6）（－5）－（－2.4）－（－1）． 练6 计算下列各题: （1）（－3）－（－5）； （2）0－7； （3）； （4）． 题型二 有理数减法的实际应用 例7 下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数）： （1）如果现在的北京时间是中午12∶00，那么东京时间是多少？ （2）如果小颖在北京时间下午14∶00给远在纽约的舅舅打电话，你认为合适吗？ 知识点四 有理数的加减混合运算 （1）有理数的加减混合运算中，是指既有有理数加法又有有理数减法的算式，其运算顺序可按照从左到右的顺序计算，有括号时可先计算括号里面的． （2）为了方便的书写有理数加减混合运算的算式，可把算式简化为省略加号与括号的形式，以（－9）－（＋12）＋（－3）－（－7）＝－9－12－3＋7为例，省略加号与括号的有理数加减运算算式通常有两种读法，按算式的运算结果可读作“负9，负12，负3，正7的和”，按算式所表示的意义可读作负9减12减3加7． （3）进行有理数加减混合运算时，应先把有理数加减混合运算统一为加法运算，能利用有理数加法的运算律简便计算的，要简便计算． 题型一 化简有理数的加减混合运算的算式 例8 把10＋（＋8）－（－6）－（＋4）写成省略括号和加号的形式并把它读出来． 练8 把（－5）－（＋3）－（－7）＋（－2）写成省略加号和括号的形式，正确的是（　　）． A．－5－3＋7－2 B．5－3－7－2 C．5－3＋7－2 D．5＋3－7－2 题型二 有理数的加减混合运算 例9 计算下列各题： （1）－20＋（－14）－（－18）－（＋13）； （2）（－0.8）＋（－2.4）－（＋1.2）＋（－0.6）； （3）； （4）． 练9 计算: （1）－12－（－25）＋（－32）－（＋4）＋10； （2）． 题型三 有理数加减法的实际应用 例10 甲、乙两商场上半年经营情况如下（“＋”表示盈利，“－”表示亏本，以百万元为单位） 月份 一 二 三 四 五 六 甲商场 ＋0.8 ＋0.6 －0.4 －0.1 ＋0.1 ＋0.2 乙商场 ＋0.7 ＋0.4 －0.6 －1.1 ＋0.4 －0.1 （1）三月份乙商场比甲商场多亏损多少元？ （2）六月份甲商场比乙商场多盈利多少元？ （3）甲、乙两商场上半年平均每月分别盈利或亏损多少元？ 练10 有一批水果，包装质量为每筐25千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）：27，24，23，28，21，26，22，27，为了求得8筐样品的总质量，我们可以选取的一个恰当的基准数进行简化运算． （1）你认为选取的一个恰当的基准数为 ； （2）根据你选取的基准数，用正、负数填写上表； （3）这8筐水果的总质量是多少？ 附加题 1．“△”表示一种新的运算符号，已知：2△3＝2－3＋4，7△2＝7－8，3△5＝3－4＋5－6＋7，…；按此规则，计算： （1）10△3＝ ． （2）若x△7＝2003，则＝ ． 2．一名潜水员在水下80米处发现一条鲨鱼在离他不远处的上方25米的位置往下追逐猎物，当鲨鱼向下42米追上猎物后，此时猎物作垂死挣扎，立刻反向上方游过去，鲨鱼紧紧尾随，又游了10米后才捕获到猎物． （1）求鲨鱼捕获到猎物时所在的位置． （2）与刚开始潜水员发现鲨鱼的位置相比，鲨鱼的位置有怎样的变化？ （3）设潜水员的位置为A点，鲨鱼的初始位置为B点，鲨鱼追上猎物时的位置为C点，鲨鱼捕获到猎物时的位置为D点，请你以10米为一个单位长度画出数轴，并按下列要求在数轴上标出A，B，C，D的位置：①以水面为“0”点；②以A点为“0”点． 3．先阅读并填空，再解答问题： 我们知道，，，那么 ， ，用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律： ，并依此计算：． 一课一练 1．下列运算正确的是（　　）． A．（－4）－（＋2）＋（－6）－（－4）＝－4 B．（－4）－（＋2）＋（－6）－（－4）＝－12 C．（－4）－（＋2）＋（－6）－（－4）＝－8 D．（－4）－（＋2）＋（－6）－（－4）＝－10 2．计算（－9）－（－3）的结果是（　　）． A．12 B．－6 C．＋6 D．12 3．两个有理数的差是7，被减数是－2，那么减数是（ ）． A．5 B．9 C．－9 D．－2 4．下列各式中，与3－19＋5的值相等的是（　　）． A．3＋（－19）－（－5） B．－3＋（－19）＋（－5） C．－3＋（－19）＋5 D．3－（＋19）－（＋5） 5．若|m|＝3，|n|＝5，且m－n＞0，则m＋n的值是（　　）． A．－2 B．－8或－2 C．－8或8 D．8或－2 6．如图，乐乐将－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a、b、c分别标上其中的一个数，则a－b＋c的值为（　　）． A．－2 B．0 C．1 D．3 7．石家庄市的107路公交车的上行路线是从解放广场开往宫家庄，从解放广场上车的乘客有20人，达到第二站长途汽车站时有8人上车，并没有人下车，当到达第三站艺术中心时，有3人上车，有5人下车，则此时107路公交车上的乘客有 人． 8．某检修站，甲小组乘一辆汽车，约定向东为正，从A地出发到收工时，行走记录为（单位：千米）：＋15，－2，＋5，－1，＋10，－3，－2，＋12，＋4，－5，＋6．同时，乙小组也从A地出发，沿南北方向的公路检修线路，约定向北为正，行走记录为：－17，＋9，－2，＋8，＋6，＋9，－5，－1，＋4，－7，－8． （1）分别计算收工时，甲、乙两组各在A地的哪一边，分别距A地多远？ （2）若每千米汽车耗油0.25升，求出发到收工时两组各耗油多少升？ 家庭作业 1．计算：－3＋4的结果等于（　　）． A．7 B．－7 C．1 D．－1 2．比小的数是（ ）． A．13 B．14 C． D．－14 3．计算：（－73）＋9.1－（－7）＋（－9），正确的结果是（　　）． A．－79.9 B．61.9 C．－65.9 D．65.9 4．在一次数学游园活动中，有一个抽卡片游戏，游戏规则如下：连续抽取四张牌，如果抽到形如的卡片，那么加上卡片上的数字；如果抽到形如的卡片，那么减去卡片上的数字，从而通过计算求得最终结果．佳佳在本次游戏中，抽到了以下四张卡片：，请你帮忙算一算，按照以上游戏规则，正确的结果是（ ）． A． B． C． D． 5．计算＝ ． 6．规定图形表示运算a－b＋c，图形表示运算x＋z－y－w．则＋＝　　　　． 7．计算： （1）25.3＋（－7.3）＋（－13.7）＋7.7； （2）； （3）10082＋（－10068）＋（＋10094）＋（－10086）＋（＋10079）＋（－10082）； （4）． 8．已知有理数，，，． （1）求这四个数中的最大数减其他三个数的和的绝对值； （2）求这四个数中的最小数的绝对值减其他三个数的和． 9．股民小胡上星期五以每股13.10元的价格买进某种股票1000股，该股票本周的涨跌情况如下表（单位：元）： （1）星期五收盘时，每股是 元； （2）本周内最高价是每股 元，最低价是每股 元； （3）如果小胡在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 学科网（北京）股份有限公司 $$