精品解析：四川省南充高级中学2024-2025学年高一下学期第二次月考（5月）数学试题

南充高中高2024级第二学期第二次月考 数 学 试 卷 （考试时间：120分钟 总分：150分 ） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出复数，再利用复数虚部的定义求解即可. 【详解】因为复数， 所以， 则的共轭复数的虚部为 故选：D. 2. 下列函数中，是最小正周期为的奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的奇偶性与周期性判断即可得出结论. 【详解】对于A选项，函数是最小正周期为的奇函数，A不满足要求； 对于B选项，函数是最小正周期为的偶函数，B不满足要求； 对于C选项，函数是最小正周期为的奇函数，C满足要求； 对于D选项，设，该函数的定义域为， 因为， ， 所以函数的最小正周期为， 因为，即函数为奇函数，D不合乎要求. 故选：C. 3. 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理逐一判断各选项即可. 【详解】A：，，，为钝角且，有一解，故A错误； B：，，，为锐角，，则无解，故B错误； C：，，，为钝角且，则无解，故C错误； D：，，，为锐角，，因，故有两解，故D正确. 故选：D 4. 2025年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人的记忆．剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ） A. 68m B. 70m C. 72m D. 74m 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直角三角形的边角关系列式，结合差角的正切公式求解. 【详解】令直线的延长线交于点，则. 依题意，，， 而, 所以，解得， 又， 所有， 而， 所以. 故选：C. 5. 向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由投影向量公式求解即可. 【详解】在上投影向量为. 故选：D. 6. 如图所示，水平放置的三角形的直观图是一个边长为的等边三角形，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出原图中到的距离后可求原图的面积. 详解】 过作轴的平行线，交轴于，过作垂直于轴于， 则，而，故， 设对应的原图为，故，且到的距离为， 故其面积. 故选：D . 7. 如图，点D、E分别在的边BC、AC上.且，，BE与AD交于点M，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据，可得，再利用向量相等得到方程组，求的值，再求，，即可． 【详解】因，所以， 所以， 又，则 设， 设， 则， 所以， 又因为不共线， 所以， 故， 所以，所以． 故选：A. 8. 复数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的模长公式可得出，设，，利用三角恒等变换结合正弦型函数的有界性可求得的取值范围. 【详解】因为，则， ，则， 设，，则，， 所以 ，为锐角，且. 因此，的取值范围是. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 长方体是平行六面体 B. 正四棱柱是正方体 C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D. 棱台的侧面是梯形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据各个几何体的结构特征，逐项进行分析即可. 【详解】对于A，平行六面体的定义是六个面均为平行四边形的棱柱，长方体的每个面都是矩形（属于平行四边形），且侧棱与底面垂直，因此长方体是特殊的平行六面体，故A正确. 对于B，正四棱柱要求底面为正方形且侧棱与底面垂直，但未限定侧棱长度必须等于底面边长.若侧棱长度与底面边长相等，则为正方体，否则仅为长方体.因此，正四棱柱不一定是正方体，故B错误. 对于C，侧面均为相交于一点的三角形，底面为多边形的几何体为棱锥，根据底面的边数，分为三棱锥、四棱锥等.若某棱锥有一个面为平行四边形，由棱锥定义可知，该面一定为棱锥的底面，因此有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故C正确. 对于D，棱台由平行于棱锥底面的平面截棱锥而得到，原棱锥的侧面为三角形，截后变为梯形，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知点在所在平面内，则下列叙述正确的有（ ） A. 若，则点是的外心 B. 若，则点是的外心 C. 若，则点是的垂心 D. 若，则点是的内心 【答案】AC 【解析】 【分析】由到三个顶点的距离相等可得A正确；由中线的性质可得B错误；由向量垂直可得C正确；数量积的运算律结合内心的性质可得D错误. 【详解】对于A，若，则到三个顶点的距离相等，所以点是的外心，故A正确； 对于B，若，则若，这里为边中点， 所以所在的直线经过的中点，与中线共线， 同理可得分别与的中线共线， 所以点是三条中线的交点，即为重心，故B错误； 对于C，若，则若，即，即， 所以， 同理可得另外两向量都与相应边垂直， 所以点是的垂心，故C正确； 对于D，若， 即若，即，即， 所以， 所以点不在的角平分线上，故D错误. 故选：AC. 11. 下列选项中，正确的有（ ） A. 为第二象限角，则. B. . C. . D. 的值与的大小无关. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用同角的三角函数的基本关系式化简后可判断A的正误，利用二倍角公式化简三角函数式后可判断BC的正误，利用两角和的余弦公式结合平方关系可判断D的正误. 【详解】对于A，， 而为第二象限角，故即，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，原式 ， 故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法公式，即可计算结果. 【详解】. 故答案为： 13. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式化简，再利用商数关系弦化切，代入求解即可. 【详解】， 故答案为：. 14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则面积的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用余弦定理得，再利用基本不等式和三角形面积公式得到，最后借助辅助角公式求出最大值. 【详解】 由余弦定理知，所以， 即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以. 设的面积为S，所以， 令，可得， 当且仅当时，上式等号成立， 即有，解得或（舍去）， 则，所以， 故面积的最大值为. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：利用基本不等式得到面积，通过取倒数从而设，借助于辅助角公式求出的最小值，即可得到的最大值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，且是实数． （1）求； （2）在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算结合复数的定义，列式计算求得即可得； （2）利用复数的加法运算及复数的几何意义，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 因为 所以 由实数，得， ∴， 【小问2详解】 由（1）知， ∴， ∵复数对应的点在第四象限， ∴，解得 实数m的取值范围是. 16. 已知，，且与共线. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由与共线得，进而得，利用诱导公式即可求解； （2）由（1）知，由得，即可求解. 【小问1详解】 由与共线得：，则， ， ， 则. 【小问2详解】 由（1）知，，则 故或，或 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，边角互化以及的取值范围即可求解； （2）先根据正弦定理求出外接圆的半径，再进行边角互化，根据角的范围即可求解. 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 即， 即， 即， 即， 即， ∵， ∴， ∴， 故； （2）∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 即周长的取值范围为. 18. 已知两点、是函数图象上相邻的最高点和最低点. （1）求函数的解析式； （2）用“五点法”画出函数在一个周期内的简图； （3）将函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，求的最小值. 【答案】（1） （2）图形见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出、的值，求出函数的最小正周期，可求出的值，由为函数图象的一个最高点，结合的取值范围可得出的值，由此可得出函数的解析式； （2）利用列表、描点、连线，可作出函数在一个周期内的图象； （3）求出平移后的函数解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可得出正实数的最小值. 【小问1详解】 由已知有，解得，， 由题意可知，函数的最小正周期为，故， 因为点是函数图象上的最高点，则， 所以， 因为，所以，故. 【小问2详解】 用“五点法”画函数在一个周期内的简图， 令，则，列表如下 【小问3详解】 将函数的图象向右平移个单位长度所得函数为 ，其图象关于轴对称， 则，所以， 又，所以，即的最小值为. 19. 对于常数集合和变量，定义为相对集合的“n元余弦方差”. （1）若集合，求相对集合的二元余弦方差. （2）当集合时，求相对集合的三元的余弦方差. （3）在直角坐标系中，已知为相对集合的一元余弦方差，函数，且，请问在y＝φ(x)的图象上，是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据余弦方差的计算公式，结合特殊角的三角函数值，直接计算，即可求解；. （2）由余弦方差的计算公式，得到，结合余弦的倍角公式和三角恒等变换的公式，进行化简求值，即可得到答案； （3）由余弦方差的计算公式，求得，得到，得到，设，根据，化简得，结合余弦函数的值域和二次函数的性质，得到当且仅当时，方程成立，进而求得点 的坐标，得到答案. 【小问1详解】 因为集合， 由余弦方差的计算公式，可得. 【小问2详解】 因为集合时， 由余弦方差的计算公式，可得 . 【小问3详解】 当时，可得一元余弦方差为， 则， 可得， 又点在的图象上，故设点， 可得， 由，可得， 即，所以， 可得， 因，，可得， 而，故要成立，当且仅当时，，此时，， 即当点时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充高中高2024级第二学期第二次月考 数 学 试 卷 （考试时间：120分钟 总分：150分 ） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 下列函数中，是最小正周期为的奇函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 2025年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人的记忆．剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ） A 68m B. 70m C. 72m D. 74m 5. 向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，水平放置的三角形的直观图是一个边长为的等边三角形，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点D、E分别在的边BC、AC上.且，，BE与AD交于点M，若，则（ ） A. B. C D. 8. 复数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 长方体是平行六面体 B. 正四棱柱是正方体 C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D. 棱台的侧面是梯形 10. 已知点在所在平面内，则下列叙述正确的有（ ） A. 若，则点是的外心 B. 若，则点是的外心 C. 若，则点是的垂心 D. 若，则点是的内心 11. 下列选项中，正确的有（ ） A. 第二象限角，则. B. . C. . D. 的值与的大小无关. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算_______. 13. 已知，则__________. 14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则面积的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，且是实数． （1）求； （2）在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 16. 已知，，且与共线. （1）求的值； （2）若，求的值. 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，求周长的取值范围. 18. 已知两点、是函数图象上相邻的最高点和最低点. （1）求函数的解析式； （2）用“五点法”画出函数在一个周期内的简图； （3）将函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，求的最小值. 19. 对于常数集合和变量，定义为相对集合的“n元余弦方差”. （1）若集合，求相对集合的二元余弦方差. （2）当集合时，求相对集合三元的余弦方差. （3）在直角坐标系中，已知为相对集合的一元余弦方差，函数，且，请问在y＝φ(x)的图象上，是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $