2025年中考数学专项复习讲义 平行四边形存在性问题

专题10  平行四边形存在性

一、关于平行四边形的基础知识

1、什么是平行四边形？

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.

2、平行四边形具有哪些性质？

边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；

角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；

对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；

平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.

二、平行四边形存在性问题的解题策略

1、由平行四边形的对边平行且相等，我们可以将点A、D看成是由B、C两点移动得到的，且移动的路径完全相同，如图所示：

所以可以得到；

2、由平行四边形的对角线互相平分我们可以得到AC的中点与BD的中点是重合的，如图所示：

点O就是AC的中点，也是BD的中点，所以.

上述两种情况所得到的方程进行变形，会发现所得到的方程是一样的，过程如下：

于是，我们又可以得到，当AC、BD为平行四边形ABCD的对角线时，则有（对应横、纵坐标相加）.

三、平行四边形存在性问题的考法

1、三定一动类（三个定点，一个动点）

例：如图，已知A（1，3）、B（6，4）、C（3，5），试在平面内找一点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形.

【方法一】平移法

当BC∥AD时，点C平移到点D：向右平移3个单位，向下平移1个单位，则点D坐标为（4，2）

当AC∥BD时，点A平移到点C：向右平移2个单位，向上平移2个单位，则点D坐标为（8，6）

当AB∥CD时，点B平移到点A：向左平移5个单位，向下平移1个单位，则点D坐标为（-2，4）

【方法二】设D（m，n），通过对角线互相平分，分类讨论：

①当BC为对角线时，则有，此时D坐标为（8，6）

②当AC为对角线时，则有，此时D坐标为（-2，4）

③当AB为对角线时，则有，此时D坐标为（4，2）

2、两动两定

例：如图，已知A（1，1）、B（3，2），点C在轴上，点D在轴上，若以A、B、C、D为顶点的四边形刚好是平行四边形，求点C、D的坐标.

【解析】设C（m，0）、（0，N），通过对角线互相平分，分类讨论：