2025年中考数学专项复习讲义 平行四边形存在性问题

专题10 平行四边形存在性 一、关于平行四边形的基础知识 1、什么是平行四边形？ 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 2、平行四边形具有哪些性质？ 边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 二、平行四边形存在性问题的解题策略 1、由平行四边形的对边平行且相等，我们可以将点A、D看成是由B、C两点移动得到的，且移动的路径完全相同，如图所示： 所以可以得到； 2、由平行四边形的对角线互相平分我们可以得到AC的中点与BD的中点是重合的，如图所示： 点O就是AC的中点，也是BD的中点，所以. 上述两种情况所得到的方程进行变形，会发现所得到的方程是一样的，过程如下： 于是，我们又可以得到，当AC、BD为平行四边形ABCD的对角线时，则有（对应横、纵坐标相加）. 三、平行四边形存在性问题的考法 1、三定一动类（三个定点，一个动点） 例：如图，已知A（1，3）、B（6，4）、C（3，5），试在平面内找一点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形. 【方法一】平移法 当BC∥AD时，点C平移到点D：向右平移3个单位，向下平移1个单位，则点D坐标为（4，2） 当AC∥BD时，点A平移到点C：向右平移2个单位，向上平移2个单位，则点D坐标为（8，6） 当AB∥CD时，点B平移到点A：向左平移5个单位，向下平移1个单位，则点D坐标为（-2，4） 【方法二】设D（m，n），通过对角线互相平分，分类讨论： ①当BC为对角线时，则有，此时D坐标为（8，6） ②当AC为对角线时，则有，此时D坐标为（-2，4） ③当AB为对角线时，则有，此时D坐标为（4，2） 2、两动两定 例：如图，已知A（1，1）、B（3，2），点C在轴上，点D在轴上，若以A、B、C、D为顶点的四边形刚好是平行四边形，求点C、D的坐标. 【解析】设C（m，0）、（0，N），通过对角线互相平分，分类讨论： ①当AB为对角线时，则有∴ ②当AC为对角线时，则有∴ ③当AD为对角线时，则有∴. 【典型例题】 例题1．（2024春•婺城区校级月考）抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点，分别是直线与抛物线上的点，若点，，，围成的四边形是平行四边形，则点的坐标为 　　． 例题2．（2025•姑苏区校级二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为，且． （1）求抛物线的表达式； （2）若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标； （3）一次函数的图象交二次函数于，两点，当抛物线的顶点到一次函数的图象的距离最大时，在这条直线上是否存在一点，满足，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 【巩固练习】 1．（2025•绥中县二模）将函数在轴一侧的部分沿轴对折，对折后的图象与对折前的图象构成一个新的函数图象，我们将这样的函数图象称为“偶函数图象”，对应的函数称为“偶函数”，图象上关于轴对称的点称为“对偶点”．求一个“偶函数图象”的表达式，一般情况我们可以先求轴一侧部分的表达式，然后找出部分点，求出其“对偶点”，最后根据待定系数法求出轴另一侧部分的表达式即可．例如：如图1，函数图象在左边经过点，，则点，的“对偶点”分别为，，设左边部分的表达式为，右边部分的表达式为．将点，，，，分别代入，解得，，，． “偶函数图象”的表达式为． （1）如图2，当时，该图象为反比例函数图象的一部分，若函数图象经过点，求“偶函数图象”的表达式． （2）若点，与点是一个“偶函数”上的“对偶点”，求的值． （3）如图3，若“偶函数”位于轴左侧的表达式为． ①求该“偶函数”位于轴右侧的表达式． ②记该“偶函数图象”的两个最高点分别为，，与轴的交点为，判定△的形状． ③在②的条件下，在象限内（不含坐标轴上的点）是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025•铁东区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，对称轴是直线，连接，． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，若点为直线上方的抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交直线于点，求的最大值； （3）如图2，点是抛物线上一点，点在轴上，若平面内以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求出点的坐标． 3．（2025•汉阳区模拟）已知，如图1，为平面直角坐标系的原点，过定点的直线与抛物线交于点，（点在点左侧）． （1）若，则求直线的解析式； （2）若，试探究在平面直角坐标系中，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明原因； （3）如图2，分别过点，作与抛物线均有唯一公共点的直线，，直线，的交点为，若，求的值． 4．（2025•大庆二模）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． （1）如图①，若，则的值为 　　 ； （2）在（1）的条件下，点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，若以为边，，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； （3）如图②，过点作直线的平行线交抛物线于另一点，交轴于点，若，求的值． 5．（2025•海伦市三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，过作轴，交直线于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标； （3）抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2025•肇州县模拟）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）当点在线段上运动时，求线段的最大值； （3）当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； （4）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 7．（2025•舞阳县模拟）等腰直角三角形对称、美丽，若抛物线与轴有两个交点，且该抛物线的顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则称这种抛物线为“美丽抛物线”． （1）已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与轴的两个交点坐标为，，则此抛物线的顶点是 　或　； （2）如图，抛物线是“美丽抛物线”，顶点，与轴交于，两点，在轴上方的抛物线上找一点，且，请求出点的坐标； （3）在（2）的条件下，点是平面内一点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2025•合肥二模）如图，抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点． （1）求、两点的坐标； （2）在抛物线第三象限的图象上有一点，作轴于，交于点，连接，若点关于的对称点恰好落在轴上，求点的坐标； （3）点是抛物线上的动点，点是抛物线上的动点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求、两点的坐标（直接写出答案即可）． 9．（2025•罗湖区二模）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线上的一个动点． ①如图1，若点在第一象限内，连接交直线于点，设△的面积为，△面积为，若，求点坐标； ②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 参考答案 【典型例题】 例题1．（2024春•婺城区校级月考）抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点，分别是直线与抛物线上的点，若点，，，围成的四边形是平行四边形，则点的坐标为 　或或　． 【分析】根据二次函数与轴的负半轴交于点，与轴交于点．先求出，的坐标，再根据平行四边形的性质和平移分情况求出点的坐标． 【解答】解：当时，解得，， 抛物线与轴的负半轴交于点， 当时，， 抛物线与轴交于点， 由题意知当为平行四边形的边时，，且， 线段可由线段平移得到． 点在直线上， ①当点的对应点为时，如图，需先将向左平移2个单位长度， 此时点的对应点的横坐标为，将代入， 得， ； ②当点的对应点为时，同理，先将向右平移1个单位长度，可得点的对应点的横坐标为1， 将代入得， ； ③当为平行四边形的对角线时，可知的中点坐标为， 在直线上， 根据对称性可知的横坐标为，将代入， 得， ， 综上所述，点的坐标为或或． 【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了特殊点的坐标的确定，平行四边形的性质，解本题的关键是数形结合和分类讨论． 例题2．（2025•姑苏区校级二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为，且． （1）求抛物线的表达式； （2）若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标； （3）一次函数的图象交二次函数于，两点，当抛物线的顶点到一次函数的图象的距离最大时，在这条直线上是否存在一点，满足，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据三角形面积公式得出的长，进而得出点坐标，将点和点坐标代入抛物线的解析式得出方程组，进一步得出结果； （2）先直线的解析式，进而设，进而表示出，进而根据平行四边形的性质得出，将其代入抛物线的解析式，从而求得的值，进一步得出结果； （3）作轴于，交直线于，作于，可求得直线过定点，连接，当直线时，顶点到一次函数的图象的距离最大，根据和点坐标，得出直线的解析式，从而设出点坐标，根据直角三角形的性质得出，进而得出一元二次方程，进一步得出结果． 【解答】解：（1）由题意得， ， ， 由得， ， ， ， ， ， ， 抛物线的解析式为：； （2），， 直线的解析式为：， 设， ， ， ，四边形是平行四边形， ， ， 整理得， ， ， 点的横坐标是或； （3）如图， 直线上不存在点，使，理由如下： 作轴于，交直线于，作于， ， 直线过点， 连接，当直线时，顶点到一次函数的图象的距离最大， ，， ， ， ， ， 直线的解析式为：， 设， ， ， ， 整理得， ， △， 原方程无解， 直线上不存在点使． 【点评】本题考查了求二次函数和一次函数的解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，一元二次方程根的判别式等知识，解决问题的关键是掌握有关基础知识． 【巩固练习】 1．（2025•绥中县二模）将函数在轴一侧的部分沿轴对折，对折后的图象与对折前的图象构成一个新的函数图象，我们将这样的函数图象称为“偶函数图象”，对应的函数称为“偶函数”，图象上关于轴对称的点称为“对偶点”．求一个“偶函数图象”的表达式，一般情况我们可以先求轴一侧部分的表达式，然后找出部分点，求出其“对偶点”，最后根据待定系数法求出轴另一侧部分的表达式即可．例如：如图1，函数图象在左边经过点，，则点，的“对偶点”分别为，，设左边部分的表达式为，右边部分的表达式为．将点，，，，分别代入，解得，，，． “偶函数图象”的表达式为． （1）如图2，当时，该图象为反比例函数图象的一部分，若函数图象经过点，求“偶函数图象”的表达式． （2）若点，与点是一个“偶函数”上的“对偶点”，求的值． （3）如图3，若“偶函数”位于轴左侧的表达式为． ①求该“偶函数”位于轴右侧的表达式． ②记该“偶函数图象”的两个最高点分别为，，与轴的交点为，判定△的形状． ③在②的条件下，在象限内（不含坐标轴上的点）是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意，当时，设函数表达式为，利用待定系数法代入确定，再由对偶点的定义得出的对偶点为，代入即可确定函数解析式； （2）根据题意得出，，求解即可； （3）①先将二次函数化为顶点式，确定顶点坐标为，根据题意得：当时，函数的顶点坐标为，图象的形状与开口方向不变，即可确定函数解析式；②由①得，，，利用两点之间的距离公式及勾股定理判定即可；③根据平行四边形的性质求点的坐标即可． 【解答】解：（1）当时，该图象为反比例函数图象的一部分，函数图象经过点，设函数表达式为，将点的坐标代入得： ， 解得：， 的对偶点为， 当时，函数表达式为， “偶函数图象”的表达式为：； （2）点，与点是一个“偶函数”上的“对偶点”， 依题意得：，， 解得：，， 或； （3）①， 顶点坐标为， 当时，函数的顶点坐标为，图象的形状与开口方向不变， 当时，； ②在象限内（不含坐标轴上的点）存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形；点的坐标为或．理由如下： 如图，由①得，，， ， ， △是以为直角顶点的等腰直角三角形； ③存在，理由如下： 由②得，，， 设点， 当为对角线时，点与点关于对称， 在轴上，不符合题意，舍去； 当为对角线时， 的中点坐标为：即， ， 解得：，， 符合题意； 当为对角线时， 的中点坐标为：即， ， 解得：，， 符合题意； 综上所述，在象限内（不含坐标轴上的点）存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形；点的坐标为或． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数及反比例函数的性质，新定义理解，特殊四边形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 2．（2025•铁东区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，对称轴是直线，连接，． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，若点为直线上方的抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交直线于点，求的最大值； （3）如图2，点是抛物线上一点，点在轴上，若平面内以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求出点的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式得：，即，当或为对角线时，同理可得：或，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）由抛物线的表达式知，点、的坐标分别为：、， 则，则， 则， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 即的最大值为6； （3）设点，，点， 当为对角线时，由中点坐标公式得：，即， 当或为对角线时，同理可得：或， 综上，或， 即， 解得：（舍去）或03或， 故点或，或，． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 3．（2025•汉阳区模拟）已知，如图1，为平面直角坐标系的原点，过定点的直线与抛物线交于点，（点在点左侧）． （1）若，则求直线的解析式； （2）若，试探究在平面直角坐标系中，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明原因； （3）如图2，分别过点，作与抛物线均有唯一公共点的直线，，直线，的交点为，若，求的值． 【分析】（1）将代入，求出即可； （2）先求出定点，联立抛物线和直线，得到，则，，由得到，则，那么直线，，，，则，再按照对角线分三种情况，结合平行四边形的性质求解； （3）设，，联立直线与抛物线得到一元二次方程，则，，设直线，与抛物线联立得到，由点，作与抛物线均有唯一公共点，则，，那么直线，同理可得直线，联立两直线求得，则，由，结合两点间距离公式求解即可． 【解答】解：（1）存在，理由如下： 由题意得将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）由得， 直线过定点， ， 解得：， ， 联立得：， ， ，， ， ， 解得：， 直线， ，，， ， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ①，为对角线时， ， ， ； ②，为对角线时， 则，， ，直线， ， ； ③，为对角线时， 则，， ， ， ； 综上所述：存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或； （3）设，， 联立得：， ， ，， 设直线， 联立， 整理得：， 点，作与抛物线均有唯一公共点， ，， 直线， 同理可得直线， 联立得：， 解得：， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，． 【点评】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与直线的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的性质，两点间距离公式等知识点，难度大，计算复杂． 4．（2025•大庆二模）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． （1）如图①，若，则的值为 　　 ； （2）在（1）的条件下，点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，若以为边，，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； （3）如图②，过点作直线的平行线交抛物线于另一点，交轴于点，若，求的值． 【分析】（1）根据抛物线与轴的交点可得，，再利用完全平方公式变形代入可得方程，解之可得值； （2）求出、坐标，设出点坐标，利用平行四边形对角线互相平分性质，分类讨论点坐标，分别代入抛物线解析式，求出点坐标； （3）设出点坐标，利用相似表示，再由一元二次方程根与系数关系表示，得到点坐标，进而找到与关系，代入抛物线求、即可． 【解答】解：（1）抛物线与轴交于，两点， ，， ，即， ， 解得：； （2）由（1）当时， 解得，， ，， ，， 抛物线对称轴为直线， 设点坐标为，， 由平行四边形性质可知， 当、为平行四边形对角线时，点坐标为，， 代入， 解得， 则点坐标为 当、为为平行四边形对角线时，点坐标为，， 代入， 解得，则坐标为， 综上点坐标为，； （3）设点坐标为， ， 则，， ， △△， ， ， ， 由一元二次方程根与系数关系， ， ， 将点，，代入， ， 解得或（舍去）， 则． 【点评】本题是代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四边形的性质，解答关键是综合运用数形结合分类讨论思想． 5．（2025•海伦市三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，过作轴，交直线于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标； （3）抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）求出直线解析式为，设，则，由，知当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，故，即可解得的横坐标为或或1或3； （3）过作于，过作轴，过作于，过作于，设，当在右侧时，证明△△，有，，故，解得，可求出，得直线解析式为，联立，即可解得，；当在左侧时，同理可得． 【解答】解：（1）把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由，得直线解析式为， 设，则， ， 当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， 或， 解得或或或， 的横坐标为或或1或3； （3）抛物线上存在点，使，理由如下： 过作于，过作轴，过作于，过作于， 设， 当在右侧时，如图： ， △是等腰直角三角形， ，， ， ， △△， ，， ， ， 解得， ， 由，可得直线解析式为， 联立， 解得（此时，重合，舍去）或， ，； 当在左侧时，如图： 同理可得，直线解析式为， 联立， 解得或（舍去）， ； 综上所述，的坐标为，或． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 6．（2025•肇州县模拟）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）当点在线段上运动时，求线段的最大值； （3）当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； （4）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【分析】（1）由、两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）用可分别表示出、的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （3）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出点坐标，代入抛物线解析式可求得的值； （4）由条件可得出，结合（2）可得到关于的方程，可求得的值． 【解答】解： （1）抛物线过、两点， 代入抛物线解析式可得，解得， 抛物线解析式为， 令可得，，解，， 点在点右侧， 点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， 直线解析式为； （2）轴，点的横坐标为， ，， 在线段上运动， 点在点上方， ， 当时，有最大值，的最大值为； （3）轴， 当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， 点纵坐标为3， ，解得或， 当时，则、重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ； （4）轴， ， 当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则有， 当点在线段上时，则有， ，此方程无实数根， 当点不在线段上时，则有， ，解得或， 综上可知当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（2）中用表示出的长是解题的关键，在（3）中确定出是解题的关键，在（4）中由平行四边形的性质得到是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 7．（2025•舞阳县模拟）等腰直角三角形对称、美丽，若抛物线与轴有两个交点，且该抛物线的顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则称这种抛物线为“美丽抛物线”． （1）已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与轴的两个交点坐标为，，则此抛物线的顶点是 　或　； （2）如图，抛物线是“美丽抛物线”，顶点，与轴交于，两点，在轴上方的抛物线上找一点，且，请求出点的坐标； （3）在（2）的条件下，点是平面内一点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由新定义知，，的中垂线为，则，即可求解； （2）求出抛物线的表达式为：，由，则直线的表达式为：，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【解答】解：（1）设抛物线与轴的两个交点坐标为，，顶点为， 则，的中垂线为，则，即点或， 故答案为：或； （2）由新定义知，的中垂线为直线，，则点、的坐标分别为、， 则抛物线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：，则， 则抛物线的表达式为：， ，则直线的表达式为：， 联立和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或2，即点； （3）存在，理由： 设点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：，即点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或， 综上，或或． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、平行四边形的性质、解直角三角形等，分类求解是解题的关键． 8．（2025•合肥二模）如图，抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点． （1）求、两点的坐标； （2）在抛物线第三象限的图象上有一点，作轴于，交于点，连接，若点关于的对称点恰好落在轴上，求点的坐标； （3）点是抛物线上的动点，点是抛物线上的动点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求、两点的坐标（直接写出答案即可）． 【分析】（1）由对称可求得、的值，则可求得两函数的对称轴，可求得的值，则可求得两抛物线的函数表达式；由的函数表达式可求得、的坐标； （2）可判定四边形是菱形，然后根据的条件，列出方程求解； （3）由题意可知可能为平行四边形的边或对角线，利用平行四边形的性质，可设出点坐标和点坐标，代入的函数表达式可求得、的坐标． 【解答】解：（1）、关于轴对称， 与的交点一定在轴上，且与的形状、大小均相同， ，， 的对称轴为， 的对称轴为， ， 的函数表示式为，的函数表达式为； 在的函数表达式为中，令可得， 解得或， ，； （2）点、关于直线对称， ，，． 平行于轴， ， ， ， ， 即四边形是菱形． 当四边形是菱形存在时，由直线解析式，， 设，， ，， ， 解得（舍去），， ，； （3）存在． 的中点为，且点在抛物线上，点在抛物线上， 当为平行四边形的一边时， 且， 由（2）可知， ， 设，则或， ①当时，则， 解得， ， ，； ②当时，则， 解得， ， ，， 当为平行四边形的对角线时，设，， 则且， 解得，或，， ，，，或，，，， 综上可知，存在满足条件的点、，其坐标为，或，或，，，或，，，． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、对称的性质、函数图象与坐标轴的交点、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．需要注意的是，用点的坐标表示线段长度的代数式要注意符号． 9．（2025•罗湖区二模）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线上的一个动点． ①如图1，若点在第一象限内，连接交直线于点，设△的面积为，△面积为，若，求点坐标； ②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意可得，，代入即可求得抛物线的表达式； （2）①求出直线的表达式为，过和作轴垂线与直线交于和点，可以证得△△，即可解决问题； ②根据等腰直角三角形的性质求得的点坐标为，分为边和为对角线两种情况讨论，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：， 则，则， 则抛物线的表达式为； （2）①， 点坐标为， 由点、的坐标得，直线的表达式为． 过作轴交于，过作轴交于，如图1， ， △△， ，即， 设，则， ， ， ， ， ， 或2， 点的坐标为或； ②存在，理由如下：过点作于，如图2， 的对称轴为， ， ，， ， 又， △是等腰直角三角形， ，， △是等腰直角三角形， ， 点的坐标为， 当为边时， 四边形为平行四边形， ，轴， 点的横坐标与点的横坐标同为2， 当时，， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 根据对称性当时，时，四边形也是平行四边形． 当为对角线时，如图 四边形为平行四边形， ，轴， 同理求得：点的坐标为， ， 点的坐标为； 综上，点的坐标为：或或． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及平行四边形的性质，（3）注意要分是对角线与边两种情况讨论． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$