精品解析：吉林省长春市第十七中学2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题

长春市第十七中学 2024—2025学年度下学期期中考试 高一数学试题 （满分150分，时间120分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数相等的条件可求. 【详解】，而为实数，故， 故选：B. 2. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin(A+B)=,a=3,c=4,则sin A=(　　). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 由正弦定理得： . 故选B. 3. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【详解】如图可知， 四边形的周长为，四边形的面积为. 故选:D. 4. 在等腰三角形中，，，若P为边上的动点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，再利用向量数量积的坐标表示计算可得结果. 【详解】取的中点为，连接， 因为等腰三角形，所以； 分别以的正方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，如下图所示： 易知，由可得； 设，则; 因此. 故选：A 5. 如图，有A，B，C三艘渔船在海岛D附近作业，D在A的东北方向，D在B的东偏北方向，C在B的东偏北方向，B在A的正东方向，已知A，B相距，B，C相距，则（ ） A. D在C的北偏西方向 B. C. D，C相距 D. D，B相距 【答案】C 【解析】 【分析】根据方位角，画出图形，利用正弦定理及勾股定理求解. 【详解】如图所示， 又， 所以在中，解得， 在中，， 所以，则， 所以在的北偏西方向，且,相距． 故选：C. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 若a、b是两条直线，、是两个平面，且，，则a、b是异面直线 B. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C. 四边形可以确定一个平面 D. 已知两条相交直线a、b，且平面，则b与的位置关系是相交 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系，分别判断各选项正误. 【详解】 如图所示，当，被第三个面所截，截得交线为，此时，，不满足a、b是异面直线，所以A错误. 如图所示，三条直线两两相交不公点，形成不在一条直线上的三个点，这三个点确定一个平面，这三条线每条线有两个点在面上，则这三条线也在面上，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，所以B正确. 如图所示，四边形有四个顶点，当第四个点不在前面三个点形成的平面上时，四边形不能确定一个面，所以C错误. 如图所示，当两条相交直线a、b形成的平面平行平面时，有平面，b平面，所以D错误. 故选：B. 7. 已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用棱台的体积公式计算得解. 【详解】正三棱台的上底面积，下底面积， 所以此三棱台的体积. 故选：B 8. 在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，平面截正方体外接球所得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体的几何性质确定外接球半径，设球心为，求解到截面的距离，从而可得截面圆的面积. 【详解】取正方体的中心为，连接， 由于正方体的棱长为2，所以正方体的面对角线长为，体对角线长为， 正方体外接球球心为点，半径， 又易得，且， 所以三棱锥为正四面体，如图所示，取底面正三角形的中心为， 即点到平面的距离为，又正三角形的外接圆半径为， 由正弦定理可得，即，所以， 即正方体外接球的球心到截面的距离为， 所以截面被球所截圆的半径， 则截面圆的面积为. 故选：A. 二、多选题（本题共3道小题，每小题6分，共18分，部分选对得部分分，选错得0分） 9. 已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数z满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于第一象限 D. 已知复数满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项利用复数的乘方进行化简即可求解；B选项理解复数中实部和虚部的概念即可判断；C选项利用复数的除法运算求出复数，即可判断对应的点所在的象限；D选项利用复数的模的运算公式化简即可判断. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，复数的虚部为，故B错误； 对于C选项，，， ，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故C错误； 对于D选项，设复数， 则，， ，化简得，， 在复平面内对应的点的轨迹为直线，故D正确. 故选：AD. 10. （多选题）已知四面体的四个面都是边长为2的正三角形，则以下正确的是（ ） A. 四面体的高 B. 四面体表面积为 C. 四面体体积为 D. 四面体的内切球半径为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正四面体的定义和性质,结合勾股定理和面积、体积公式，计算可得结论. 【详解】四面体的四个面都是边长为2的正三角形， 则该四面体的表面积为，故B正确； 由正四面体的高和侧棱与侧棱在底面的射影组成一个直角三角形， 则高，故A错误； 正四面体的体积为，故C正确； 设四面体内切球的半径为r，由，得，故D正确. 故选：BCD 11. （多选题）已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示，夹角公式可判断AB，由投影向量计算公式可判断D，由共线定理可判断C. 【详解】对于A：， 由，得，解得：，错误； 对于B：，正确； 对于C：由，确定，正确； 对于D：在上的投影向量为，正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3道小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数，则实数的值为________. 【答案】3 【解析】 【分析】由题意知为实数，实部大于或等于，虚部等于，即可求解. 【详解】因为复数不能比较大小，所以为实数， 可得解得 所以实数的值为， 故答案为： 13. 一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转弧度，形成的几何体的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出草图，得到形成的几何体为一个圆锥切割的几何体，再根据表面积为，计算即可. 【详解】将一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转弧度， 所得几何体为一个圆锥切割的几何体， 由题意可知，圆锥的底面半径为2，高为2，则母线长为， 圆锥表面积为， ， 所以形成的几何体的表面积为. 故答案为：. 14. 如图甲，在梯形中，，，E、F分别为、的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确的结论是________． ①平面；②平面；③平面． 【答案】①③ 【解析】 【分析】结合已知条件，利用线面平行的判定方法逐个分析判断即可. 【详解】对于①，因为，平面，平面， 所以平面，所以①正确， 对于②，延长到，使，连接，如图， 因为为的中点，所以， 因为与平面交于点，所以与平面不平行，所以②不正确； 对于③，连接交于，连接，如图， 因为，为的中点，所以， 因为，所以四边形为平行四边形，所以为的中点， 因为为的中点，所以，又平面，平面， 所以平面，所以③正确， 故答案为：①③ 四、解答题（本题共5道小题，共77分） 15. （1）计算：； （2）已知复数，，求. 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算法则计算即可； （2）先计算，再用复数模的公式计算． 【详解】（1）． （2），，则， ∴． 16. 已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求证：直线、、三线共点． 【答案】（1） （2）证明：由于且，故直线相交，设交于， 则， 同理可得直线相交于点，则， 故与重合，故直线三线相交于点O， 故直线三线交于一点． 【解析】 【分析】（1）由等体积法结合棱锥的体积公式计算可得；（2）先证明直线相交，设交于，同理可得直线相交于点，再由可得三线共点. 【小问1详解】 【小问2详解】 略 17. 已知，其中，，． （1）求的单调递增区间； （2）在中，角，，所对的边分别为，，，，，且向量与共线，求边长和的值． 【答案】（1）;（2）． 【解析】 【分析】（1）化简得，，整体代换结合余弦函数的单调性，即可得出结论； （2）由求出，与共线,结合余弦定理，建立关系，即可求解. 【详解】（1） , 在上单调递增, 令, 得, 的单调递增区间. （2）， ，又, ，即. ,由余弦定理得. 因为向量与共线, 所以,由正弦定理得， . 【点睛】本题主要考查了三角恒等变形，向量的数量积，正弦定理，余弦定理，考查了运算能力，属于中档题. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求C； （2）若，求外接圆的半径； （3）若，求周长的取值范围 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理由边化角和两角和的正弦公式，对题干条件进行化简，求出目标角的余弦值，求出结果. （2）根据正弦定理可知，为三角形外接圆半径，根据余弦定理解三角形，使用正弦定理求出半径. （3）根据余弦定理和基本不等式，以及三角形三边之间的关系，求出另外两边和的范围，最终求出三角形周长的范围. 【小问1详解】 已知，则由正弦定理可得， 化简得， 变形得， 三角形内角和可知，代入得， 因为，所以. 解得，因为，所以. 【小问2详解】 已知，， 所以，得， 所以，所以外接圆半径. 【小问3详解】 已知，，代入， 得， 解得，当且仅当时等号成立， 因为三角形任意两边之和大于第三边，所以，所以. 则，所以三角形周长范围为. 19. 如图，在正方体中，M为的中点． （1）求证：平面； （2）若N为的中点，求证：平面平面； （3）求三棱锥与正方体的外接球半径之比． 【答案】（1）证明：连接交于点，连接， 在正方体中，底面为正方形，所以为的中点， 又为中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）证明：连接，由（1）有平面， 由为中点，为中点， 所以，且， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，证明，利用线面平行的判定定理即可求证； （2）连接，证明，得平面，结合（1）由面面平行的判定定理即可求证； （3）将棱锥放入长方体中即可求外接球半径，在正方体中利用体对角线求出外接球半径即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设正方体外接球半径为，所以外接球的直径为， 由，解得， 设三棱锥的外接球半径为， 分别取的中点，连接， 由， 所以三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 其外接球的直径等于长方体的对角线的长， 由， 所以，解得， 所以， 所以三棱锥与正方体的外接球半径之比. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第十七中学 2024—2025学年度下学期期中考试 高一数学试题 （满分150分，时间120分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin(A+B)=,a=3,c=4,则sin A=(　　). A. B. C. D. 3. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 4. 在等腰三角形中，，，若P为边上的动点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 0 5. 如图，有A，B，C三艘渔船在海岛D附近作业，D在A的东北方向，D在B的东偏北方向，C在B的东偏北方向，B在A的正东方向，已知A，B相距，B，C相距，则（ ） A. D在C的北偏西方向 B. C. D，C相距 D. D，B相距 6. 下列命题正确的是（ ） A. 若a、b是两条直线，、是两个平面，且，，则a、b是异面直线 B. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C. 四边形可以确定一个平面 D. 已知两条相交直线a、b，且平面，则b与的位置关系是相交 7. 已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，平面截正方体外接球所得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3道小题，每小题6分，共18分，部分选对得部分分，选错得0分） 9. 已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数z满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于第一象限 D. 已知复数满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线 10. （多选题）已知四面体的四个面都是边长为2的正三角形，则以下正确的是（ ） A. 四面体的高 B. 四面体表面积为 C. 四面体体积为 D. 四面体的内切球半径为 11. （多选题）已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 在上的投影向量为 三、填空题（本题共3道小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数，则实数的值为________. 13. 一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转弧度，形成的几何体的表面积为________． 14. 如图甲，在梯形中，，，E、F分别为、的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确的结论是________． ①平面；②平面；③平面． 四、解答题（本题共5道小题，共77分） 15. （1）计算：； （2）已知复数，，求. 16. 已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求证：直线、、三线共点． 17. 已知，其中，，． （1）求的单调递增区间； （2）在中，角，，所对的边分别为，，，，，且向量与共线，求边长和的值． 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求C； （2）若，求外接圆的半径； （3）若，求周长的取值范围 19. 如图，在正方体中，M为的中点． （1）求证：平面； （2）若N为的中点，求证：平面平面； （3）求三棱锥与正方体的外接球半径之比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $