专题2 圆柱和圆锥-2025年小升初数学暑假专项提升（人教版）

专题2 圆柱和圆锥-2025年小升初数学暑假专项提升 【要点梳理】 【要点一】圆柱的形成及各部分的名称 1.圆柱的形成：圆柱是以 的一边为轴旋转而得到的；圆柱也可以由长方形卷曲而得到。 2.圆柱的组成：圆柱由 三个面组成。 3.圆柱的高：圆柱的两个底面之间的距离为高，圆柱有 高。 4.圆柱的侧面：圆柱的侧面是一个曲面，沿着 展开，展开图形是 。 长方形的长= ，长方形的宽= ；当圆柱底面的周长=圆柱的高时，沿着高展开图形就是正方形。不沿着高展开，展开图形是 或不规则图形。无论如何展开都得不到梯形。 【要点二】圆柱的侧面积及表面积 1. 圆柱的侧面积= ，用字母表示为 2.圆柱的表面积：圆柱的表面积= ，用字母表示为 【要点三】圆柱的切割问题 1. 横切：切面是圆，表面积增加2个底面积，即S增= 2.竖切(过直径):切面是长方形(如果h=2R,切面为正方形),该长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即S增= 3.细切：把一个圆柱体切分成若干份拼成一个近似的长方体，在这个过程中，形状发生了变化，体积没有发生变化，表面积增加了 【要点四】圆柱的体积 圆柱的体积：圆柱体积= ，用字母表示为 注意：h=÷=÷(πr²) =÷h 【要点五】圆锥的形成及各部分的名称 1.圆锥的形成：以 的一条 所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。直角三角形卷曲不能形成圆锥 2.圆锥各部分： (1)圆锥的底面：圆锥只有一个底面，底面是个 。 (2)圆锥的侧面：圆锥的侧面是个 ，把圆锥的侧面展开得到一个 。 (3)圆锥的高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，只有 条。(圆柱有无数条) 3.测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。 【要点六】圆锥的体积及切割 1.圆锥的体积：等于与它等底等高的圆柱体积的 。 用字母表示为： 反推：圆锥的高=圆锥体积×3÷底面积 圆锥的底面积=圆锥体积×3÷高 2.圆锥的切割： (1)横切：切面是圆 (2)竖切(过顶点和直径):切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是圆锥的高，底是圆锥的底面直径，表面积增加两个等腰三角形的面积。 【要点七】圆柱和圆锥的体积关系 1.圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的 。 2.圆柱与圆锥等底等体积，圆锥的高是圆柱高的 。 3.圆柱与圆锥等高等体积，圆锥的底面积(注意是底面积而不是底面半径)是圆柱的 。 4.圆柱体积比等底等高圆锥体积多 。 【要点八】浸水问题 水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积，等于盛水容器的底面积乘水面上升的高度 【易错点拨】 【易错点一】表面积和侧面积计算混淆 常见的圆柱解决问题：1.需要计算侧面积+两个底面积：油桶、米桶、罐桶类 2.需要计算侧面积+一个底面积：玻璃杯、水桶、笔筒、帽子、游泳池 3.只求侧面积：烟囱、灯罩、排水管、漆柱、通风管、压路机、卫生纸中轴、薯片桶侧面 4.求底面周长：压路机压过路面长度 5.求表面积的一半：蔬菜大棚 【易错点二】没有正确的理解圆柱和圆锥的体积关系 1.计算圆锥的体积时，常常忘记乘。 2.在等底等高的前提下，圆柱的体积是圆锥体积的三倍。做题时，忘记前提条件。 【易错点三】对导致的问题理解不透彻。 瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以空气的体积也不变及瓶中空气的体积就是喝掉了水的体积。 拓展：3类实际问题 第一类：切 横切：一刀成两段，表面积增加两个底面面积,也就是2πr² 竖切：表面积增加两个长方形的面积，也就是2dh 第二类：削 正方体和长方体削成圆柱或圆锥，dan解决这个问题首先要确定直径和高。底面较短边为直径，除底面外的另一条边是高。 第三类：熔铸 将长方体，正方体熔铸成圆柱体和圆锥体，解决这类问题主要是利用熔铸前后体积相等进行计算。 【温故知新】 一、填空题 1．一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面积也相等，如果圆锥的高是12cm，则圆柱的高是( )cm。 2．一个圆柱的体积是32立方厘米，高是4厘米，底面积是( )平方厘米。 3．一个圆柱体，侧面积是37.68cm2，高是6cm，底面周长是( )cm，体积是( )cm3。 4．如下图，一根长2米的直圆柱木料，横着截去2分米，剩下的圆柱形木料的表面积减少12.56平方分米，原来圆柱形木料的底面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。      5．如图，果汁瓶的底面积与玻璃杯口的面积相等。把瓶子里的果汁全部倒入玻璃杯中，最多可以倒满 杯。（瓶子与杯子的壁厚忽略不计） 6．用一个底面直径是4cm，高为9cm的圆柱木块，削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )cm3，削成最大圆锥的体积是削去木块体积的( )。 7．把一根长4米的圆柱形木料锯了4次后分成若干段，表面积比原来增加了120平方分米，这根木料的横截面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 二、判断题 8．一个圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，则圆柱的高和底面直径相等。( ) 9．沿圆柱的底面直径剖开将圆柱分成相等的两部分，剖面一定是长方形。( ) 10．一个圆锥，底面积不变，高扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的9倍。( ) 11．分别以如图三角形的两条直角边为轴旋转一周，所形成的两个圆锥的体积相等。( ) 12．如果圆柱体积是圆锥体积的3倍，那么它们一定等底等高。( ) 三、计算题 13．计算下面图形的表面积和体积。 四、解答题 14．要想富，先修路，某村最近正在积极修建公路。一台压路机正在施工，压路机的滚筒是一个圆柱形，它的横截面周长是3.14米，长是1.5米，每滚一周能压多大的路面？如果转100周，压过的路面有多大？ 15．人民大会堂壮观巍峨，建筑平面呈“山”字形，两翼略低，中部稍高，四面开门。人民大会堂正门面对天安门广场，正门门额上镶嵌着中华人民共和国国徽，正门迎面有十二根浅灰色大理石门柱，正门柱每根直径2米，高25米。建造这十二根大理石门柱共用石材多少立方米？ 16．有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），底面半径是4厘米。现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为14厘米，倒放时空余部分的高度是5厘米，如图所示。饮料瓶的容积是多少毫升？ 17．一个圆锥形麦堆，底面半径是2米，高是1.5米。如果每立方米小麦重750千克，这堆小麦重多少千克？ 18．乐乐在一个底面直径是，高是的圆柱形琉璃杯内装入高的水，然后放入一个高是的圆锥形铅锤，水面上升到，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【暑期培优】 1．一个圆柱和一个圆锥底面直径之比是2∶3，它们体积之比是5∶6，圆柱和圆锥高之比是（     ）。 A．5∶9 B．3∶8 C．5∶8 D．4∶9 2．在正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形，恰好围成一个圆锥（如图），如果圆的直径为，扇形的半径为，那么等于（     ）。 A． B． C． D． 3．一根圆柱形木块平均切成三块（如图1）表面积增加了50.24平方厘米，平均切成四块（如图2），表面积增加了192平方厘米，这根木块体积是多少立方厘米？ 参考答案 【要点梳理】 【要点一】长方形 上、下两个底面和侧面 无数条 高 长方形 圆柱底面的周长 圆柱的高 平行四边形 【要点二】底面的周长×高 =C×h=πdh 侧面积+底面积×2 =+×2 【要点三】2πr² 4rh 2rh 【要点四】底面积×高 =×h=πr²×h 【要点五】直角三角形 直角边 圆 曲面 扇形 一 【要点六】 =×底面积×高=××h 【要点七】3倍 3倍 3倍 2倍 【温故知新】 1．4 【分析】根据等底等高圆锥的体积是圆柱体积的，已知圆锥和圆柱等底等体积，圆锥的高是12cm，那么圆柱的高是圆锥高的，由此解答。 【详解】12×＝4（cm） 圆柱的高是4cm。 【点睛】此题解答关键是理解和掌握等底等高圆锥的体积和圆柱体积的关系。 2．8 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，底面积＝圆柱的体积÷高，据此代入数据解答。 【详解】（平方厘米） 底面积是8平方厘米。 3． 6.28 18.84 【分析】根据圆柱底面周长＝侧面积÷高，底面半径＝底面周长÷π÷2，体积＝底面积×高，列式计算即可。 【详解】37.68÷6＝6.28（cm） 3.14×（6.28÷3.14÷2）2×6 ＝3.14×12×6 ＝3.14×1×6 ＝18.84（cm3） 底面周长是6.28cm，体积是18.84cm3。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱体积公式，通过侧面积先求出底面周长和底面半径。 4． 3.14 62.8 【分析】根据题意可知，表面积减少12.56平方分米，也就是侧面减少了一些面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝Ch，用12.56÷2即可求出圆柱形木料的底面周长，再根据周长公式，用12.56÷2÷3.14÷2即可求出底面半径，然后根据圆柱的底面积公式：S＝πr2，代入数据即可求出圆柱形木料的底面积；最后根据圆柱的体积公式：V＝Sh，代入数据解答即可。 【详解】12.56÷2÷3.14÷2 ＝6.28÷3.14÷2 ＝1（分米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方分米） 2米＝20分米 3.14×20＝62.8（立方分米） 原来圆柱形木料的底面积是3.14平方分米，体积是62.8立方分米。 【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式、表面积公式、体积公式的灵活应用，关键是明确表面积减少了哪些面。 5．5 【分析】根据题意，可以设果汁瓶的底面积与玻璃杯口的底面积都是10cm2；根据V柱＝Sh，V锥＝Sh，分别求出果汁瓶和玻璃杯的体积；再用果汁瓶的体积除以玻璃杯的体积，即可求出最多可以倒满的杯数。 【详解】设果汁瓶的底面积与玻璃杯口的底面积都是10cm2； 果汁瓶的体积： 10×（9＋6） ＝10×15 ＝150（cm3） 玻璃杯的体积： 10×9× ＝90× ＝30（cm3） 150÷30＝5（杯） 最多可以倒满5杯。 6． 37.68 【分析】分析题目，削成的最大的圆锥和圆柱是等底等高的，即圆锥的底面直径就等于圆柱的底面直径，圆锥的高就等于圆柱的高，据此结合圆锥的体积＝π（d÷2）2h代入数据求出圆锥的体积即可；圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，则削去的木块的体积是圆柱体积的（1－），据此用除法求出削成最大圆锥的体积是削去木块体积几分之几即可。 【详解】3.14×（4÷2）2×9× ＝3.14×22×9× ＝3.14×4×9× ＝12.56×9× ＝113.04× ＝37.68（cm3） ÷（1－） ＝÷ ＝× ＝ 用一个底面直径是4cm，高为9cm的圆柱木块，削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是37.68cm3，削成最大圆锥的体积是削去木块体积的。 7． 15 600 【分析】圆柱形木料锯4次，增加了4×2个截面，增加的表面积÷增加的截面个数＝截面面积，根据圆柱体积＝截面面积×长，列式计算即可。 【详解】120÷（4×2） ＝120÷8 ＝15（平方分米） 4米＝40分米 15×40＝600（立方分米） 这根木料的横截面积是15平方分米，体积是600立方分米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱体积公式。 8．× 【分析】一个圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，长方形的长和宽分别对应圆柱的底面周长和高，如果圆柱的底面周长和高相等，则圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，据此分析。 【详解】一个圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，则圆柱的高和底面周长相等，原题说法错误。 故答案为：× 9．√ 【分析】沿圆柱的底面直径剖开将圆柱分成相等的两部分，增加了两个长方形剖面，长方形的底和高分别对应圆柱底面直径和高，据此分析。 【详解】 如图，沿圆柱的底面直径剖开将圆柱分成相等的两部分，剖面一定是长方形，当底面直径＝高时，剖面是正方形，正方形也是特殊的长方形。 故答案为：√ 【点睛】关键是熟悉圆柱特征，具有一定的空间想象能力。 10．× 【分析】假设圆锥原来的底面积是3，高是1，高扩大到原来的3倍，即，根据，分别求出原来的圆锥的体积和扩大后的圆锥的体积，再用扩大后的圆锥体积除以原来的圆锥体积得到扩大到原来的几倍，再判断。 【详解】假设圆锥原来的底面积是3，高是1。 原来体积： 扩大后的体积： 一个圆锥，底面积不变，高扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的3倍。原题说法错误。 故答案为：× 11．× 【分析】以如图三角形的直角边为轴旋转一周，为轴的直角边长度是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径，根据圆锥体积＝×底面积×高，求出以不同直角边为轴的圆锥的体积，据此判断即可。 【详解】×π×42×3 ＝×π×16×3 ＝16π（cm3） ×π×32×4 ＝×π×9×4 ＝12π（cm3） 16π≠12π 所以原题说法错误。 故答案为：× 12．× 【分析】因为等底等高的圆柱体的体积是圆锥体体积的3倍，所以如果圆柱体积是圆锥体积的3倍，那么它们的底和高度的乘积是相等的，但是底和高不一定相等。据此解答即可。 【详解】例如圆柱的底面积为6平方厘米、高为3厘米、体积为6×3＝18立方厘米； 圆锥的底面积为3平方厘米、高为6厘米、体积为： 3×6× ＝18× ＝6（立方厘米） 此时圆柱的体积是圆锥体积的3倍，但它们并不是等底等高，故原题说法错误。 故答案为：× 13．表面积：188.4cm2；体积：178.98 cm3 【分析】观察图形可知，该立体图形的表面积等于下方圆柱的表面积加上上方圆柱的侧面积，根据圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋πdh，圆柱的侧面积公式：S＝πdh，据此代入数值进行计算即可；该立体图形的体积等于下方圆柱的体积加上上方圆柱的体积，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可。 【详解】表面积： ＝ ＝ ＝188.4（cm2） 体积： ＝ ＝ ＝178.98（cm3） 14．4.71平方米；471平方米 【分析】压路的面积等于这个圆柱的侧面积，横截面周长×长＝滚一周压路面积的大小。转100周压过的路面＝滚一周压路面积×100；据此列式解答。 【详解】3.14×1.5＝4.71（平方米） 4.71×100＝471（平方米） 答：每滚一周能压4.71平方米的路面，如果转100周，压过的路面为471平方米。 15．942立方米 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此求出1根大理石门柱所用石材的体积，再乘12即可求出建造这十二根大理石门柱共用石材多少立方米。 【详解】3.14×（2÷2）2×25×12 ＝3.14×12×25×12 ＝3.14×1×25×12 ＝3.14×25×12 ＝78.5×12 ＝942（立方米） 答：建造这十二根大理石门柱共用石材942立方米。 16．954.56毫升 【分析】从图中可知：无论饮料瓶是正放还是倒放，瓶内空余部分的体积不变。因此通过将饮料瓶正放和倒放两个空余部分替换，饮料瓶的容积就相当于（14＋5）厘米高的圆柱形饮料瓶的容积。根据圆柱的体积（容积）公式：圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可求出饮料瓶的容积，再把单位换算成毫升。 【详解】3.14×42×（14＋5） ＝3.14×42×19 ＝3.14×16×19 ＝954.56（立方厘米） 954.56立方厘米＝954.56毫升 答：饮料瓶的容积是954.56毫升。 17．4710千克 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝Sh，据此代入数值进行计算可求出圆锥麦堆的体积，然后再乘每立方米小麦的重量即可。 【详解】×3.14×22×1.5×750 ＝×3.14×4×1.5×750 ＝×18.84×750 ＝6.28×750 ＝4710（千克） 答：这堆小麦重4710千克。 【点睛】本题考查圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。 18．58.875平方厘米 【分析】已知圆柱的底面直径10厘米，水高是10厘米，放入圆锥后，水面升到12厘米，水面升高部分的体积就是圆锥的体积，求出2厘米高的圆柱的体积，也就是圆锥的体积，圆锥的高已知，根据圆锥体的体积公式，求出圆锥的底面积，即可解答。 【详解】3.14×（10÷2）2×（12－10）×3÷8 ＝3.14×25×2×3÷8 ＝78.5×2×3÷8 ＝157× 3÷8 ＝471÷8 ＝58.875（平方厘米） 答：这个铅锤的底面积是58.875平方厘米。 【点睛】本题考查圆柱体的体积和圆锥体的体积，灵活运用圆柱体和圆锥体的体积公式解答。 【暑期培优】 1．C 【分析】根据r＝d÷2，S＝πr2可知，圆柱和圆锥底面直径之比是2∶3，那么圆柱和圆锥的底面半径之比是2∶3，圆柱和圆锥的底面积之比是半径的平方比，即4∶9，由此设圆柱的底面积是4，则圆锥的底面积是9；已知圆柱和圆锥的体积之比是5∶6，由此设圆柱的体积是5，则圆锥的体积是6。然后根据圆柱的h＝V÷S，圆锥的高h＝3V÷S，分别求出圆柱和圆锥的高，再根据比的意义，写出圆柱和圆锥高的比，化简比即可。 【详解】圆柱和圆锥的半径之比是2∶3； 圆柱和圆锥的底面积之比是22∶32＝4∶9； 设圆柱的底面积是4，则圆锥的底面积是9；圆柱的体积是5，则圆锥的体积是6。 圆柱的高：5÷4＝ 圆锥的高：6×3÷9＝2 ∶2 ＝（×4）∶（2×4） ＝5∶8 圆柱和圆锥高之比是5∶8。 故答案为：C 【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，先根据圆柱和圆锥的底面直径之比，求出它们的底面积之比，然后运用赋值法，直接计算出圆柱、圆锥的高，再求它们的比，更直观。 2．A 【分析】根据题意可知，圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长即小圆的周长，分别用含a和b的式子表示出扇形的弧长和圆锥的底面周长，进而找出a和b的比。 【详解】扇形圆弧的长：×2πb＝πb； 小圆周长：πa 则有πb＝πa 所以a∶b＝1∶2 故选择：A 【点睛】此题考查了比的意义以及对圆锥的认识，找出小圆和扇形之间的关系是解题关键。 3．150.72立方厘米 【分析】如图1，把一根圆柱形木块平均切成三块，那么增加的表面积是4个底面积，用增加的表面积除以4，即可求出圆柱的底面积；然后根据S底＝πr2，得出圆柱的底面半径； 如图2，把一根圆柱形木块平均切成四块，那么增加的表面积是8个以底面半径和高分别为长、宽的长方形，用增加的表面积除以8，求出一个切面的面积，再除以底面半径，即可求出圆柱的高； 最后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出这根木块的体积。 【详解】圆柱的底面积：50.24÷4＝12.56（平方厘米） 底面半径的平方：12.56÷3.14＝4（平方厘米） 因为4＝2×2，所以圆柱的底面半径是2厘米。 圆柱的高： 192÷8÷2 ＝24÷2 ＝12（厘米） 圆柱的体积： 12.56×12＝150.72（立方厘米） 答：这根木块体积是150.72立方厘米。 【点睛】掌握圆柱切割的特点，明确不同的切割方式，增加的表面积不相同，找出表面积增加的是哪些面的面积，以此为突破口，利用公式列式计算。 6 学科网（北京）股份有限公司 $$