专题2 长方体和正方体-2025年五升六数学暑假专项提升（人教版）

专题2 长方体和正方体-2025年五升六数学暑假专项提升 【要点一】长方体的特征 (1)长方体有 个面， 个顶点和 条棱。 (2)长方体相对的面一般是两个 (特殊情况有两个相对的面是正方形)。 (3)长方体相对的4条棱 【要点二】正方体的特征 (1)正方体有 个面， 个顶点和 条棱。 (2)正方体的6个面是 (3)正方体的12条棱 【要点三】长方体和正方体的棱长总和 (1)长方体的棱长总和= (2)正方体的棱长总和= 【要点四】长方体和正方体的表面积 (1)长方体的表面积= (2)正方体的表面积= 【要点五】长方体和正方体的体积 (1)长方体的体积= ，用字母表示： (2)正方体的体积= ，用字母表示： (3)长方体(或正方体)的体积= ，用字母表示： 【要点六】体积和体积单位，容积和容积单位 (1)体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。 (2)常用的体积单位有 (3)容积的意义：容器所能容纳物体的体积，通常叫作它的容积。 (4)计量容积，一般用体积单位。计量液体的体积，常用容积单位 【要点七】体积(容积)单位间的进率及换算 (1)进率：1m³= dm³ 1dm³= cm³ 1L= mL 1cm³= mL 1dm³ = L (2)高级单位小数点向右移低级单位，低级单位小数点向左移高级单位。 【易错点一】对长方体或正方体的特征认识不准确 (1)误认为长方体的6个面一定都是长方形。特殊情况有两个相对的面是正方形。 (2)误认为长方体最多只有4条棱长度相等，相交于同一个顶点的三条棱的长度一定不相等。特殊情况长方体可能有8条棱长度相等，如宽等于高时。 【易错点二】关于长方体或正方体表面积的认识或应用错误 (1)计算长方体的表面积时，计算出相交于同一个顶点的3个面的面积和后，一定不要忘记乘2。 (2)误认为长方体的长、宽或高中的一个量变化后，表面积也会有相同的变化。实际上，一个量的变化只引起长方体的4个面发生变化，另外2个面是不受影响的。例如，长变为原来的2倍后，只影响长和宽、长和高围成的4个面的面积，宽和高围成的2个面的面积是不变的。 (3)未根据实际情况灵活运用表面积计算公式。 例如，通风管、无盖鱼缸等物体的表面积并不是6个面的面积和。 (4)误认为长方体或正方体拼接后，表面积不变。实际上，拼接后的图形的表面积只包括露在外面的面的面积，要减去重合部分的面积。 【易错点三】对体积、容积及相应单位的理解不准确 (1)误认为物体形状改变后，体积也变了。实际上物体的体积是物体所占空间的大小，形状改变后体积并不会变化。 (2)混淆体积和容积，计算容器的体积要从外部测量数据，计算容器的容积要从内部测量数据。通常情况下，容器的体积要比容积大。 (3)混淆体积单位、面积单位、长度单位的进率。常用的相邻长度单位间的进率是10,常用的相邻面积单位间的进率是100,常用的相邻体积单位间的进率是1000。 (4)误认为计量容积只能用升和毫升作单位。实际上计量容积一般用体积单位，即体积单位适用于计量容积。计量液体的体积常用容积单位升和毫升。 拓展：3类实际问题 第一类：长方体或正方体表面积的实际运用 (1)计算长方体或正方体物体的表面积时，要明确物体包含哪些面。像无盖的水缸、无底的罩子等只需计算5个面的面积和；像通风管、水管等只需计算4个面的面积和。 (2)将物体拼接后，表面积会变小：将物体分割后，表面积会变大。变化的表面积是接触面或截面面积的2倍。 第二类：长方体或正方体体积的实际应用 (1)已知长方体物体的长、宽、高(或正方体物体的棱长)可直接计算它的体积 (2)将水倒入长方形或正方形容器后，用水的体积除以容器的底面积求水面高度。 第三类：求不规则物体的体积 方法一：等积变形。将不规则物体转化成长方体或正方体来计算体积，本方法适用于橡皮泥等易变形的物体。 方法二：排水法。将物体完全没入水中，根据“物体体积一总体积一水的体积”计算。 一、填空题 1．一个正方体的一个侧面的面积是16cm2，则这个正方体的表面积为( )cm2。 2．一根铁丝正好做成一个长4cm、宽3cm、高2cm的长方体框架，这根铁丝长( )cm，如果把它做成一个正方体框架，棱长最长是( )cm。 3．一个长方体木块，从上部和底部分别截去高为4cm的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了160cm2，原来长方体的体积是( )dm3。 4．将正方体的棱长扩大到原来的3倍，则表面积扩大到原来的( )倍；体积扩大到原来的( )倍。 5．下图是用绸带捆扎的长方体礼品盒，打结用去15cm，共用绸带( )cm。 6．把一块石头完全浸没在一个底面积是80cm2的长方体鱼缸中，水面由12cm上升到15cm（水没有溢出），这块石头的体积是( )cm3。 7．一根长方体木料，长2m，宽0.5m，厚2dm，把它锯成4段，表面积最少增加( )dm2。 二、判断题 8．棱长是6厘米的正方体，表面积和体积相等。( ) 9．一个杯子里盛满了牛奶，牛奶的体积等于杯子的容积。( ) 10．存在一个长方体，它的4个面是完全一样的长方形。( ) 11．体积单位之间的进率是1000。( ) 12．将一个长方体橡皮泥捏成一个正方体，形状变了，体积不变。( ) 三、计算题 13．求出下面组合图形的表面积和体积（单位：cm）。 四、解答题 14．一个长、宽、高分别为40厘米、30厘米、20厘米的小纸箱，在所有的棱上粘上一圈胶带，至少需要多长的胶带？ 15．一块长方形铁皮（如图），长30厘米，宽25厘米。从四个角各剪掉一个边长为5厘米的正方形，然后做成一个无盖盒子，这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？ 16．教学楼门前有一根长方体柱子，高3.6m，底面是边长0.4m的正方形。如果要给这根柱子的四周刷油漆，每平方米需要油漆0.3kg，一共需要油漆多少千克？ 17．有一个长方体容器，长50厘米，宽25厘米，水深24厘米。现在在里面沉入一块棱长是15厘米的正方体铁块，这时水深多少厘米？ 18．一个长方体，如果高增加3厘米，就变成了一个正方体，表面积就比原来增加60平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 19．如图是A、B、C、D四个正方体中（    ）的平面展开图。 A． B． C． D． 20．一个长60cm、宽20cm、高30cm的长方体玻璃缸里有一些水，现将一头抬高如图所示，AB＝4cm。这些水的体积是( )cm3。 21．如下图，一个长、宽、高分别为30厘米、16厘米、21厘米的长方体容器中水位高度是10厘米，如果将另一个长方体（长、宽、高分别为16厘米、10厘米、36厘米的铁块竖直）放入左边的容器中（贴底面齐平），那么这个容器中的水会溢出吗？如果不溢出，那么容器中水位将上升至多少高度？如果溢出，那会溢出多少立方厘米的水量？ 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 【要点梳理】 【要点一】6 8 12 完全相同的长方形 长度相等 【要点二】6 8 12 完全相同的正方形。 长度都相等 【要点三】长×4十宽×4十高×4或(长十宽十高)×4 棱长×12 【要点四】长×宽×2+宽×高×2十长×高×2或(长×宽十宽×高十长×高)×2 棱长×棱长×6 【要点五】长×宽×高 V=abh 棱长×棱长×棱长 V=a³ 底面积×高 V=Sh 【要点六】立方厘米(cm³) 立方分米(dm³)和立方米(m³) 升(L)和毫升(mL) 【要点七】1000 1000 1000 1 1 【温故知新】 1．96 【分析】正方体有6个面，6个面的面积相等，据此用16乘6即可求出这个正方体的表面积。 【详解】16×6＝96（cm2），则这个正方体的表面积是96cm2。 2． 36 3 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出这根铁丝的长度；如果把这根铁丝刚好能围成一个正方体框架，棱长总和不变，根据正方体的棱长＝棱长总和÷12，即可求出正方体框架的棱长，据此解答。 【详解】（4＋3＋2）×4 ＝9×4 ＝36（cm） 36÷12＝3（cm） 一根铁丝正好做成一个长4cm、宽3cm、高2cm的长方体框架，这根铁丝长36cm，如果把它做成一个正方体框架，棱长最长是3cm。 3．0.325 【分析】根据题意可知，从上部和底部分别截去高为4cm的长方体，就相当于从上部截去高为8cm的长方体。减少的表面积是高为8cm的长方体的侧面积，且长方体的底面是正方形，所以截去的长方体的侧面相当于是4个完全一样的长方形，则增加的表面积÷4＝一个侧面的面积，一个侧面的面积÷8＝原来长方体的底面边长，所以原来长方体的高是底面边长加上8cm，最后根据长方体的体积公式求体积即可。 【详解】减少的长方体的高：4＋4＝8（cm） 一个侧面面积：160÷4＝40（cm2） 底面边长：40÷8＝5（cm） 原来长方体体积：5×5×（5＋8） ＝5×5×13 ＝325（cm3） ＝0.325（dm3） 原来长方体的体积是0.325dm3。 【点睛】本题考查长方体的表面积和体积，需掌握长方体的表面积和体积计算公式。解答本题的关键是求出长方体底面边长。 4． 9 27 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，假设原来正方体的棱长为a，则扩大后的棱长为3a；分别求出变化前后的表面积、体积，进而得出表面积、体积的变化情况；据此解答。 【详解】假设原来正方体的棱长为a，则扩大后的棱长为3a 原来的表面积：a×a×6＝6a2 现在的表面积：3a×3a×6＝54a2 原来的体积：a×a×a＝a3 现在的体积：3a×3a×3a＝27a3 54a2÷6a2＝9 27a3÷a3＝27 表面积扩大到原来的9倍；体积扩大到原来的27倍。 5．125 【分析】从图中可知：所用绸带的长度=长×2＋宽×2＋高×4＋打结长度，代入数据计算即可。 【详解】20×2＋15×2＋10×4＋15 =40＋30＋40＋15 =125（cm） 共用绸带125cm。 6．240 【分析】往长方体玻璃缸里放入一块石头后，水面升高了，升高了的水的体积就是这块石头的体积，升高的部分是一个底面积是80cm2的长方体，根据长方体的体积计算公式列式解答，然后再换算单位即可。 【详解】80×（15－12） ＝80×3 ＝240（cm3） 这块石头的体积是240cm3。 【点睛】此题主要考查特殊物体体积的计算方法，将物体放入或取出水中，水面上升或下降的体积就是物体的体积；也考查了长方体的体积。 7．60 【分析】根据题意，把一根长方体木料锯成4段，要锯4－1＝3次；每锯一次增加2个截面，锯3次增加6个截面； 要使表面积增加的最少，也就是平行与长方体的最小面锯开，根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个最小截面的面积，再乘6即可。注意单位的换算：1m＝10dm。 【详解】2m＝20dm 0.5m＝5dm 5×2＜20×2＜20×5 （4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 5×2×6＝60（dm2） 表面积最少增加60dm2。 【点睛】掌握长方体切割的特点，明白要使表面积增加最少，要平行于长方体的最小面锯开。 8．× 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，表面积的单位是面积单位，体积的单位是体积单位，面积和体积不是同类量，二者无法比较大小，据此解答。 【详解】表面积：6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 体积：6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 所以，棱长是6厘米的正方体，表面积是216平方厘米，体积是216立方厘米，二者计量单位不相同无法比较大小。 故答案为：× 9．√ 【分析】容积是指容器能容纳物质的体积，例如：一个盛满水的杯子，说明这个杯子的容积就是杯子中水的体积，据此解答即可。 【详解】根据分析可知，一个杯子里盛满了牛奶，牛奶的体积等于杯子的容积，这个说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题考查容积的定义：容积是指容器能容纳物质的体积。 10．√ 【分析】如图这样的长方体，前后左右4个面是完全一样的长方形。 【详解】根据分析，存在一个长方体，它的4个面是完全一样的长方形，所以原题说法正确。 【点睛】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 11．× 【分析】根据“相邻两个体积单位间的进率是1000”进行判断。 【详解】如：1立方米＝1000立方分米 1立方米＝1000000立方厘米 所以，相邻两个体积单位间的进率是1000。 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查体积单位的进率，解题的关键是“相邻”二字。 12．√ 【分析】把一个正方体的橡皮泥捏成长方体，长方体和正方体的体积都是这块橡皮泥的体积，据此分析。 【详解】由分析可知： 将一个长方体橡皮泥捏成一个正方体，形状变了，体积不变。说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查正方体和长方体的体积，明确体积的定义是解题的关键。 13．表面积428cm2；体积365cm3 【分析】观察图形可知，正方体与长方体有重合的部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的上面；这样长方体的表面积是6个面的面积之和，而正方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积； 组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4，代入数据计算，即可求出这个组合图形的表面积。 组合图形的体积＝长方体的体积＋正方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算，即可求出这个组合图形的体积。 【详解】表面积： （12×10＋12×2＋10×2）×2＋5×5×4 ＝（120＋24＋20）×2＋5×5×4 ＝164×2＋25×4 ＝328＋100 ＝428（cm2） 体积： 12×10×2＋5×5×5 ＝240＋125 ＝365（cm3） 组合图形的表面积是428cm2，组合图形的体积是365cm3。 14．360厘米 【分析】求至少需要的胶带长度，就是求这个长方体的棱长总和，根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。 【详解】（40＋30＋20）×4 ＝（70＋20）×4 ＝90×4 ＝360（厘米） 答：至少需要360厘米长的胶带。 15．650平方厘米；1500立方厘米 【分析】这个盒子用的铁皮面积等于长方形面积减去4个角的正方形的面积；这个无盖长方体的长是（30－5×2）厘米，宽是（25－5×2）厘米，高是5厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【详解】30×25－5×5×4 ＝750－100 ＝650（平方厘米） 30－5×2 ＝30－10 ＝20（厘米） 25－5×2 ＝25－10 ＝15（厘米） 20×15×5 ＝300×5 ＝1500（立方厘米） 答：这个盒子用了650平方厘米铁皮，它的容积是1500立方厘米。 【点睛】本题考查长方体的表面积和体积，解答本题的关键是掌握长方体的表面积和体积计算公式。 16．1.728千克 【分析】当长方体的底面是正方形时，则其前后面和左右面完全相同，用3.6×0.4求出一个面的面积，再乘4即可求出前后左右四个面的面积，再乘每平方米需要油漆的质量即可。 【详解】3.6×0.4×4×0.3 ＝5.76×0.3 ＝1.728（千克）； 答：一共需要油漆1.728千克。 【点睛】本题较易，关键是先求出前后左右四个面的面积和。 17．26.7厘米 【分析】根据题意，往水深24厘米的长方体容器里放一块正方体铁块，水面会上升，水上升部分的体积等于这块正方体铁块的体积；根据正方体的体积V＝a3，求出铁块的体积； 长方体容器的底面是一个长50厘米、宽25厘米的长方形，根据长方形的面积S＝ab求出底面积；然后根据长方体的高h＝V÷S，即可求出水上升的高度，再加上原来的水深，就是这时水的高度。 【详解】15×15×15 ＝225×15 ＝3375（立方厘米） 3375÷（50×25） ＝3375÷1250 ＝2.7（厘米） 2.7＋24＝26.7（厘米） 答：这时水深26.7厘米。 【点睛】本题考查正方体体积、长方体体积公式的灵活运用，明确往水中放入物体，水上升部分的体积等于放入物体的体积。 18．50立方厘米 【解析】根据题意可知，一个长方体如果高增加3厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比高大3厘米，因此增加的60平方厘米是4个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的长＝（60÷4）÷3＝5厘米，由于长比高多2厘米，那么高＝5－3＝2厘米，由此解答。 【详解】增加的1个面的面积：60÷4＝15（平方厘米） 长方体的长（宽）：15÷3＝5（厘米） 长方体的高：5－3＝2（厘米） 体积：5×5×2＝50（立方厘米） 答：原来长方体的体积是50立方厘米。 【点睛】理解增加的60平方厘米是4个同样的长方形的面积和，并知道长方体的体积公式是解决此题的关键。 【暑期培优】 19．C 【分析】根据三个符号的位置，逐项分析。 【详解】A．根据展开图中符号的位置，□应该在这个正方体的上面，则不是这个正方体的展开图； B．根据展开图中符号的位置，○应该在这个正方体的下面，则不是这个正方体的展开图； C．根据展开图中符号的位置，□应该在这个正方体的左侧面，●应该在这个正方体的下面，则是这个正方体的展开图； D．根据展开图中符号的位置，○应该在这个正方体的上面，则不是这个正方体的展开图。 故答案为：C 【点睛】本题考查正方体的展开图。要根据展开图中三个符号的位置关系，运用空间想象力解答此类问题。 20．15600 【分析】通过观察图形可知，长方体玻璃缸的高是30cm，AB＝4cm，那么左面的水的高是（30－4）cm，可以求出玻璃缸内水的高是（30－4）cm的体积，然后除以2即可。 【详解】60×20×（30－4）÷2 ＝1200×26÷2 ＝31200÷2 ＝15600（cm3） 【点睛】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 21．不会溢出；15厘米 【分析】根据题意可知，长方体容器中水是一个长30厘米、宽16厘米、高10厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积； 放入铁块后，水面会上升，底面积由（30×16）平方厘米变成了（30×16－16×10）平方厘米，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时容器内水的高度； 用此时容器内水的高度与长方体容器的高度进行比较，如果小于或等于容器的高度，则水不会溢出；反之，水的高度大于容器的高度，水会溢出，进而求出溢出水的体积。 【详解】容器内水的体积： 30×16×10 ＝480×10 ＝4800（立方厘米） 放入铁块后水深： 4800÷（30×16－16×10） ＝4800÷（480－160） ＝4800÷320 ＝15（厘米） 15＜21 答：这个容器中的水不会溢出，容器中水位将上升至15厘米。 【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变是解题的关键，掌握放入的物体没有完全浸没时，水上升高度的求法。 7 学科网（北京）股份有限公司 $$