精品解析：2025年陕西省商洛市商南县中考三模数学试题

2025年陕西省初中学业水平考试压轴卷（A） 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. －5的相反数是( ) A. B. C. 5 D. -5 2. 如图，，且，那么图中与相等的角（不包括）有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 地球绕太阳公转的轨道是椭圆形，因此地球与太阳之间的距离在一年中会发生变化，已知太阳和地球之间的平均距离约为149600000千米，数据149600000用科学记数法表（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，平分交于点，点在边上，且，连接，点为的中点，连接，则的长为（ ） A. 1.5 B. 2.5 C. 3 D. 4 6. 如图，已知点在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在边长为5的正方形中，点在边上，，交于点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 已知二次函数（a为常数，且），下列结论中正确是（ ） A. 对称轴在轴左侧 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象一定不经过第三象限 D. 图象与轴一定有两个交点 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 如果整数a满足，则a的值是____． 10. 如图，是正六边形内的一点，连接，若平分，，则______． 11. 如图，以三角形纸片内部的点与三角形的3个顶点为顶点剪三角形．当三角形纸片内部有1个点时，剪出的三角形个数是3，当三角形纸片内部有2个点时，剪出的三角形个数是5，当三角形纸片内部有3个点时，剪出的三角形个数是7……，按照此规律，当三角形纸片内部有10个点（均不重合）时，剪出的三角形个数为___________ 12. 如图，已知A，B是函数（x＞0）图象上的两点，点B位于点A的左侧，AM，BN均垂直于x轴，垂足为点M，N，连接AO，交BN于点E，若，四边形AMNE的面积为2，则k的值为__________． 13. 如图，在中，，，点N在直线上运动，以为边向的右侧作菱形，且，M为中点，连接，则点N在运动过程中，的最小值为________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 解方程 17. 如图，已知在中，，请用尺规作，使圆心P在上，且与、两边都相切．（要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明） 18. 如图，在中，点是对角线的中点，点在的延长线上，连接，并延长交的延长线于点，求证：． 19. 我区某中学举办一年一届的科技文化艺术节活动，需搭建一个舞台，请来两名工人.已知甲单独完成需4小时，乙单独完成需6小时.现由乙提前做1小时，剩下的工作由甲、乙两人合做，问再合做几小时可以完成这项工作？ 20. 某班举行“红领巾寻访”展示活动，活动设计的项目及要求如下：A-讲一讲革命故事，B-说一说家乡变化，C-写一写美好愿望，D-画一画宏伟蓝图．人人参加，每人从中任意选一项．为公平起见，班委会制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）． （1）任意转动转盘一次，选到“A-讲一讲革命故事”的概率是_____________； （2）甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率． 21. 项目主题：阳光综合实践小组为学校图书馆设计无障碍通道． 研究步骤： ①查阅资料得知，无障碍通道有三种类型：直线形、直角形、折返形； ②实地测量图书馆门口场地的大小； ③为了方便师生出入图书馆，并尽量减少通道对师生其他通行的影响，研讨认为设计折返形无障碍通道比较合适． 设计方案：小组为该校图书馆设计的无障碍通道如图所示，其中为地面所在水平线，和是无障碍通道，并且，立柱均垂直于地面，米，米． 解决问题：若原台阶坡道（线段）的长度为5米，坡角的度数为，求无障碍通道和的总长．（参考数据：，） 22. 在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻（单位：）与温度（单位：）之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻进行了记录，如表： 10 15 20 25 ．．． 8 95 11 12.5 ．．． （1）求关于的函数表达式； （2）当温度为时，求该导体的电阻． 23. 蔬菜种植是农业经济的重要组成部分，其产量的数据分析可优化农业种植决策，促进农业的可持续发展．某社团对2024年下半年某省其中20个乡镇蔬菜产量进行了调查，获得了各乡镇疏未开里（蔬菜产量用表示，单位：吨）的数据，并对数据进行统计整理，绘制了如下统计图表．下面给出了部分信息：组的数据：51，56，56，54，55，58． 级别 蔬菜产量/吨 组内平均数/吨 A 35 B 43 C 55 D 68 E 74 2024年下半年蔬菜产量频数分布直方图 请根据以上信息完成下列问题： （1）补全频数分布直方图，这20个乡镇2024年下半年蔬菜产量中位数是___________； （2）求这20个乡镇2024年下半年蔬菜的平均产量； （3）若该省有800个乡镇，由于天气原因每个乡镇2025年下半年的蔬菜产量可能比2024年下半年的蔬菜产量少，请估计这800个乡镇2025年下半年的蔬菜总产量． 24. 如图，是的直径，点为上一点，延长至点，连接，且为的切线．过点作，交延长线于点． （1）求证：平分； （2）若，求的值． 25. 现要修建一条隧道，其截面为抛物线形，如图所示，线段表示水平的路面，点为的中点，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度米，该抛物线的顶点到的距离为9米． （1）求该隧道截面所在抛物线的函数表达式； （2）如图，现需在隧道上方安装一块高度为1米，宽度为3米的长方形电子显示屏，确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少6米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求． 26. 问题提出】 （1）如图①，是半圆的直径，点是半圆上的两点，且与交于点．若，求的长； 问题解决】 （2）如图②，是一个规划中的花园示意图，其中浇灌花园的水管为的直径，长800米，现计划在水管的上方种植芍药，需要为其设计灌溉系统，要求设计两个出水口，考虑到花园的整体布局，要求其中一个出水口点在水管上，，垂足为，交于点，连接．且水管米，在右侧作的切线，切点为，且，则点为另一个出水口，求水管的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年陕西省初中学业水平考试压轴卷（A） 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. －5的相反数是( ) A. B. C. 5 D. -5 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义解答即可． 【详解】-5的相反数是5． 故选C． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键． 2. 如图，，且，那么图中与相等的角（不包括）有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了平行线的性质．根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴图中与相等的角有3个． 故选：B 3. 地球绕太阳公转的轨道是椭圆形，因此地球与太阳之间的距离在一年中会发生变化，已知太阳和地球之间的平均距离约为149600000千米，数据149600000用科学记数法表（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，据此即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 先求出、的值，再根据图象找到对应的直线，观察图象可得当时，直线的图象在直线的图象下方，由交点即可得出不等式的解集． 【详解】解：直线与直线交于点， 当，时，解得：，， 直线和直线图象如图： 根据图象，可得：当时，． 故选：A． 5. 如图，在中，，平分交于点，点在边上，且，连接，点为的中点，连接，则的长为（ ） A. 1.5 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质得到，得到是的中位线，利用三角形中位线定理解答即可． 本题考查了等腰三角形的三线合一性质，三角形中位线定理，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，平分交于点，， ∴，， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴； 故选：B． 6. 如图，已知点在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理.先根据垂径定理得到，然后根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图，在边长为5的正方形中，点在边上，，交于点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质、正方形的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据正方形的性质得到，进而求出，利用勾股定理求出，证明，由相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是边长为5的正方形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8. 已知二次函数（a为常数，且），下列结论中正确的是（ ） A. 对称轴在轴左侧 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象一定不经过第三象限 D. 图象与轴一定有两个交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点位置是解题的关键． 由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴，即对称轴在轴右侧，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴的右侧时，随的增大而增大；在对称轴的左侧时，随的增大而减小， 即当时，随的增大而增大，故B选项错误，不符合题意； 当时，， ∴抛物线与y轴交于点，位于y轴正半轴， ∴图象一定不经过第三象限，故C选项正确，符合题意； ∵， ∵， ∴无法确定的正负， 即无法确定图象与轴的交点的个数，故D选项错误，不符合题意； 故选：C 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 如果整数a满足，则a的值是____． 【答案】3 【解析】 【分析】找到被开方数左右两边相邻的可以开方的数，然后进行判断即可； 【详解】解：∵， ∴ ∵且a为整数， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查无理数的估算．熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 10. 如图，是正六边形内的一点，连接，若平分，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和、三角形内角和定理、角平分线的定义．先求出，再根据角平分线的性质及三角形内角和定理求得，根据即可求解． 【详解】解：六边形是正六边形， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 11. 如图，以三角形纸片内部的点与三角形的3个顶点为顶点剪三角形．当三角形纸片内部有1个点时，剪出的三角形个数是3，当三角形纸片内部有2个点时，剪出的三角形个数是5，当三角形纸片内部有3个点时，剪出的三角形个数是7……，按照此规律，当三角形纸片内部有10个点（均不重合）时，剪出的三角形个数为___________ 【答案】21 【解析】 【分析】此题考查了图形类规律题，根据所给图形依次求出三角形的个数，发现规律：当三角形内部由个点时，最多可剪出三角形个数为：个，即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 当三角形内部由1个点时，最多可剪出三角形个数为：， 当三角形内部由2个点时，最多可剪出三角形个数为：， 当三角形内部由3个点时，最多可剪出三角形个数为：， …… ∴当三角形内部由个点时，最多可剪出三角形个数为：个， 当时，， 即当三角形纸片内部有10个点（均不重合）时，可最多剪出个三角形． 故答案为： 12. 如图，已知A，B是函数（x＞0）图象上的两点，点B位于点A的左侧，AM，BN均垂直于x轴，垂足为点M，N，连接AO，交BN于点E，若，四边形AMNE的面积为2，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】, 过点A，B，E作轴，轴，轴，垂足分别为，根据反比例函数比例系数的几何意义结合列方程求解即可． 【详解】如图所示，过点A，B，E作轴，轴，轴，垂足分别为 ∵点A，B都在函数图象上， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 解得， 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义，解答本题的关键是熟练掌握基础知识． 13. 如图，在中，，，点N在直线上运动，以为边向的右侧作菱形，且，M为中点，连接，则点N在运动过程中，的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短问题．设Q是的中点，连接，先证得，得出，根据点到直线的距离可知当时，最小，然后根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：设Q是的中点，连接， ∵四边形菱形，且， ∴， ∴， ∴，即， ∵，M为中点，Q是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵点N在直线上运动， ∴当时，最小， ∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值是为． 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，零指数幂，负整数指数幂，解题关键是要注意运算顺序． 先计算零指数幂，负整数指数幂，二次根式的乘法，再方运算加减． 【详解】解： ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．原式利用完全平方公式，多项式乘多项式法则进行化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 当时， 原式． 16. 解方程 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键，特别是注意验根． 根据解分式方程的基本步骤解答即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，去分母得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的根． 17. 如图，已知在中，，请用尺规作，使圆心P在上，且与、两边都相切．（要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作的平分线交线段于点P，以点P为圆心，为半径画圆即可． 【详解】解：如图，即为所求． 【点睛】本题考查的是尺规作图一复杂作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键． 18. 如图，在中，点是对角线的中点，点在的延长线上，连接，并延长交的延长线于点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，再证明得到即可证的结论． 【详解】解：∵在中，点是对角线的中点， ∴，，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了平行四边形性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答的关键． 19. 我区某中学举办一年一届科技文化艺术节活动，需搭建一个舞台，请来两名工人.已知甲单独完成需4小时，乙单独完成需6小时.现由乙提前做1小时，剩下的工作由甲、乙两人合做，问再合做几小时可以完成这项工作？ 【答案】还需2小时可以完成这项工作. 【解析】 【分析】甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，则师傅每天完成，徒弟每天完成，设再合做小时可以完成这项工作，再根据总共量为“1”列出方程求解即可． 【详解】解：设再合做小时可以完成这项工作，根据题意，得： 解得． 答：还需2小时可以完成这项工作． 【点睛】此题考查列一元一次方程解应用题的知识与方法，对于没有具体总工作量的工程问题，应将总工作量看作“1”，正确表示每人的工作效率是解题的关键． 20. 某班举行“红领巾寻访”展示活动，活动设计的项目及要求如下：A-讲一讲革命故事，B-说一说家乡变化，C-写一写美好愿望，D-画一画宏伟蓝图．人人参加，每人从中任意选一项．为公平起见，班委会制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）． （1）任意转动转盘一次，选到“A-讲一讲革命故事”的概率是_____________； （2）甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 将圆形转盘四等分并标上字母、、、， 任意转动转盘一次，选到“、讲一讲革命故事”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 由树状图知，共有16种等可能的结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有12种， 甲和乙选到不同活动项目的概率为． 21. 项目主题：阳光综合实践小组为学校图书馆设计无障碍通道． 研究步骤： ①查阅资料得知，无障碍通道有三种类型：直线形、直角形、折返形； ②实地测量图书馆门口场地的大小； ③为了方便师生出入图书馆，并尽量减少通道对师生其他通行的影响，研讨认为设计折返形无障碍通道比较合适． 设计方案：小组为该校图书馆设计的无障碍通道如图所示，其中为地面所在水平线，和是无障碍通道，并且，立柱均垂直于地面，米，米． 解决问题：若原台阶坡道（线段）的长度为5米，坡角的度数为，求无障碍通道和的总长．（参考数据：，） 【答案】无障碍通道和的总长为米 【解析】 【分析】延长，，交于点H，过点B作于点T，证明四边形为矩形，得出，解直角三角形求出（米），得出，根据等腰三角形的性质得出米，根据勾股定理求出（米），得出结果即可． 【详解】解：如图，延长，两线交于点，过点作于点，则． ， ． ， ． ． 四边形为矩形． ． 米，， （米）． 米 ． ． ． ， 米． （米）． 在Rt中，（米） （米）． 无障碍通道和的总长为米． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 22. 在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻（单位：）与温度（单位：）之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻进行了记录，如表： 10 15 20 25 ．．． 8 9.5 11 12.5 ．．． （1）求关于的函数表达式； （2）当温度为时，求该导体的电阻． 【答案】（1） （2）当温度为时，该导体的电阻为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用等知识点，正确求出一次函数的解析式是解决此题的关键． （1）设关于的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中解析式计算即可． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， 将和分别代入关于的函数表达式得 解得， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 答：当温度为时，该导体的电阻为． 23. 蔬菜种植是农业经济的重要组成部分，其产量的数据分析可优化农业种植决策，促进农业的可持续发展．某社团对2024年下半年某省其中20个乡镇蔬菜产量进行了调查，获得了各乡镇疏未开里（蔬菜产量用表示，单位：吨）的数据，并对数据进行统计整理，绘制了如下统计图表．下面给出了部分信息：组的数据：51，56，56，54，55，58． 级别 蔬菜产量/吨 组内平均数/吨 A 35 B 43 C 55 D 68 E 74 2024年下半年蔬菜产量频数分布直方图 请根据以上信息完成下列问题： （1）补全频数分布直方图，这20个乡镇2024年下半年蔬菜产量的中位数是___________； （2）求这20个乡镇2024年下半年蔬菜的平均产量； （3）若该省有800个乡镇，由于天气原因每个乡镇2025年下半年的蔬菜产量可能比2024年下半年的蔬菜产量少，请估计这800个乡镇2025年下半年的蔬菜总产量． 【答案】（1）图见解析，56 （2）这20个乡镇2024年下半年蔬菜的平均产量是吨 （3）这800个乡镇2025年下半年的蔬菜总产量约为38352吨 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和频数分布直方图的相关知识，涉及求画频数分布直方图，求中位数和平均数，熟练掌握知识点，并能够从题目中获取信息是解题的关键． （1）用总个数减去其余几组个数得到D组的个数，补全频数直方图即可；根据中位数的定义可得出中位数为第10和11个数的平均数，第10和11个数均在C组，求解即可； （2）根据加权平均数的求解方法计算即可． （3）根据每个乡镇2025年下半年的蔬菜产量可能比2024年下半年的蔬菜产量少，求出每个乡镇2025年下半年的蔬菜产量，再根据用样本估计总体解答即可． 【小问1详解】 解：的乡镇个数个， 补全频数分布直方图如下， 20个数据最中间的数字是第10和第11个，， 组的数据从小到大排列为：51，54，55，56，56，58． 故第10和第11个数字是56和56， 故中位数56． 【小问2详解】 解：吨， 答：这20个乡镇2024年下半年蔬菜的平均产量是吨． 【小问3详解】 解：（吨）， 答：这800个乡镇2025年下半年的蔬菜总产量约为38352吨． 24. 如图，是的直径，点为上一点，延长至点，连接，且为的切线．过点作，交延长线于点． （1）求证：平分； （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质和相似三角形的判定与性质，正确作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键． （1）连接，由切线的性质得，证明，得，再证明，可得结论； （2）连接．求出，分别证明和，运用相似三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接 为的切线． ． ． ， ． ． ． ， ． ． 平分． 【小问2详解】 解：如图，连接． 为的直径，， ． ， ． 由（1）知， ， ． ，即． ． ． ， ． ， 即． ． ． 25. 现要修建一条隧道，其截面为抛物线形，如图所示，线段表示水平的路面，点为的中点，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度米，该抛物线的顶点到的距离为9米． （1）求该隧道截面所在抛物线的函数表达式； （2）如图，现需在隧道上方安装一块高度为1米，宽度为3米的长方形电子显示屏，确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少6米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求． 【答案】（1） （2）满足安装设计要求，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法解二次函数的解析式，矩形的性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设抛物线的解析式为，再结合抛物线底面宽度米，且O为的中点，得出，代入求解即可作答． （2）先作图：延长交抛物线于一点H，然后令，则，把代入，得，求出点到地面距离为米，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得抛物线的顶点为， 设该隧道截面所在抛物线的函数表达式为， ， ． 将代入，得， 解得． 该隧道截面所在抛物线的函数表达式为， 【小问2详解】 解：满足安装设计要求，过程如下． 依题意米，米． 如图，延长交抛物线于点． 当米时，则． 把代入，得． 点到地面距离为（米）． ， 满足安装设计要求． 26. 【问题提出】 （1）如图①，是半圆的直径，点是半圆上的两点，且与交于点．若，求的长； 【问题解决】 （2）如图②，是一个规划中的花园示意图，其中浇灌花园的水管为的直径，长800米，现计划在水管的上方种植芍药，需要为其设计灌溉系统，要求设计两个出水口，考虑到花园的整体布局，要求其中一个出水口点在水管上，，垂足为，交于点，连接．且水管米，在右侧作的切线，切点为，且，则点为另一个出水口，求水管的最小值． 【答案】（1）4；（2）水管的最小值为300米 【解析】 【分析】（1）利用半圆直径所对圆周角为直角，结合勾股定理求出，再由平行线得三角形相似，根据相似比求，进而算出； （2）通过延长线段构造图形，利用圆周角性质、相似三角形判定与性质，结合二次函数性质求最小值 ． 【详解】解：（1）是半圆的直径，， ． ． ， ． ， 即． ． ． （2）如图②，延长交于点，连接． 是的直径， ． ， ． ． ． ． ． ． 设，则， ． 为的直径，， ． 连接． 与相切于点， ． ． ． ． ， ． ． 设 ， 的最小值为90000，即的最小值为 水管的最小值为300米． 【点睛】本题主要考查了圆的性质（直径所对圆周角为直角、切线性质）、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数最值，熟练掌握圆的性质和相似三角形等知识，灵活运用二次函数求最值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$