（网络 收集版）2025年高考北京数学高考真题文档版（含答案）

2025年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学 本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题   共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 3. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ） A. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D. 纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 5. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 18 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 9. 一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ） A. 2h B. 4h C. 20h D. 40h 10. 在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题   共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 12. 已知，则________；________． 13. 已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 14. 某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为________． 15. 关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是________． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，． （1）求c的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 17. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． （1）若分别为的中点，求证：平面PAB； （2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 18. 某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. （1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 （2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； （3）假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 19. 已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. （1）求椭圆E的方程； （2）设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 20. 已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． （1）求的最大值； （2）当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； （3）设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 21. 已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． （1）对于第1项为的K列，写出它的第2项． （2）设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； （3）证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 2025年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学 本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题   共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】D 第二部分（非选择题   共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 【13题答案】 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】②③ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1）6 （2）选①，不存在；选②，高为；选③，高为. 【17题答案】 【答案】（1） 取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）， （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2）证明：因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增 故，从而命题得证； （3） 【21题答案】 【答案】（1）或 （2）不能，理由如下： 假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前. 显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的， 所以从到必定要向下一项走奇数次. 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. （3）证明： 法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项， 这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个， 而，因为只能6由2来，3只能由7来， 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， 即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列． 法2：假设全体元素构成一个K列，则. 设， . 则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中. 如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于. 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和， 否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时. 从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于. 如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况. 这意味着必定存在， 使得. 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反， 故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）. 但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点， 所以，得. 从而有. 这就得到. 再设， . 则同理有. 这意味着. 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以由M的全部元素组成的序列都不是K列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 2025年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学 本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题   共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.D 2.B 3.B 4.A 5.C 6.C 7.A 8.C 9.B 10.D 第二部分（非选择题   共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 12. ①. ②. 13. ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 14. 15.②③ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.（1）6 （2）选①， 不存在；选②，高为；选③，高为. 17.（1） 取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与 为等腰直角三角形且 ， 不妨设 ，. . E、F分别为BC、PD的中点， ，且 . ， ， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB， 平面PAB， 平面PAB； （2） 18.（1） （2） ， （3） 19.（1） （2） 20.（1） （2）证明：因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而 ， 所以，当 时， ，单调递减， 当 时， ，单调递增，且 ， 而当 时， ，所以总有，单调递增 故，从而命题得证； （3） 21.（1）或 （2）不能，理由如下： 假设二者同时出现在 中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前. 显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的， 所以从到必定要向下一项走奇数次. 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在 中，所以从到必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在 中. （3）证明： 法1：若 中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项， 这样的项共有 个，由题知其下一项为 ，共计16个， 而 ，因为只能6由2来，3只能由7来， 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， 即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列． 法2：假设全体元素构成一个K列，则 . 设， . 则和都包含 个元素，且中元素的相邻项必定在中. 如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于. 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如 和 ， 否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时 . 从而这个序列的前 项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后 项中，第奇数项属于，第偶数项属于. 如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在 或 的特殊情况. 这意味着必定存在， 使得. 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反， 故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是 和 （不一定对应）. 但容易验证，和都包含 个横纵坐标之和为奇数的点和 个横纵坐标之和为偶数的点， 所以 ，得 . 从而有. 这就得到. 再设， . 则同理有. 这意味着. 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以由M的全部元素组成的序列都不是K列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $