2026届高中数学思想方法大合集-子集个数计算公式讲义

公式定理3子集个数计算公式 【地位作用】子集个数的实际应用涉及数学、计算机科学、金融、生物学等多个领域．了解并掌握子集个数的计算方法和规律，对于解决相关问题具有重要的指导意义． 【内容展示】子集个数计算公式：已知集合，则集合的子集的个数为． 【证明过程】 证法一： 作出韦恩图如图所示，记集合为集合的子集．中的元素要么在集合对应的区域内，要么就在对应的区域内中．下面考虑把集合的个元素分别填入集合中，每个元素可填充在区域中，各有2种填法，情况总数为．每种填法都会对应不同的子集，所以集合的子集的个数为． 证法二：每个元素有“属于子集”或“不属于子集”两种选择，n个元素独立选择，根据乘法原理总数为2×2×……×2=2ⁿ. 证法三：从n个元素里取元素构成新的集合: 一个不取是空集，子集为个； 取一个元素，子集为个； 取2个元素，子集为个； …… 取n个元素，子集为个. 所以子集个数等于. 由二项式定理，令，则有， 【内涵外延】子集计算公式的变形有：已知，真子集的个数为，非空子集的个数为，非空真子集的个数为． 灵活应用一 子集个数计算公式的正用 典例1 已知，且，这样的集合有_____个． 【详细解析】由题意可得，显然符合题意的集合共有个，所以集合共有4个． 【题后反思】这本题通过交集条件锁定元素1，剩余元素4、5构成自由变量，运用子集个数公式快速求解，体现集合运算与子集计数的综合应用. 【举一反三】 1． 已知集合，，则满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 灵活应用二 子集个数计算公式的逆用 典例2 （多选）已知集合恰有4个子集，则实数a的值可以是（ ） A．2          B．1           C．0          D．1 【详细解析】由题设，易知集合中有2个元素，故，即且， 所以符合要求. 故选：AB 【题后反思】本题考查集合子集个数与方程解的关系，核心在于理解子集个数与元素个数的对应关系. 【举一反三】 2． 已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 灵活应用三 子集个数计算公式的变形用 典例3‌ 已知全集，，，则集合中非空子集个数为（ ） A．    B．    C．    D． 【详细解析】，，， 则，所以， 则集合的非空子集的个数为. 故选：C. 【题后反思】本题主要考查集合的非空子集个数计算，需掌握子集公式并排除空集情况，容易因为忽略“非空”条件，直接套用公式2ⁿ而忘记减1. 【举一反三】 3． 集合的非空真子集个数为（    ） A．14 B．15 C．30 D．31 灵活应用四 子集个数计算公式的综合用 典例4‌ 已知全集，集合是的子集． （1） 若，则符合题意的有序集合组的个数为_____； （2） 若，则符合题意的有序集合组（A，B）的个数为_____； （3） 若，则符合题意的有序集合组的个数为_____． ‌【详细解析】（1）作韦恩图如图．考虑2，4在区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ中的填法，2，4可填充在区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ中，各有3种选择，故有种情况，所以有序集合组的个数为9． （4） 由题意可知2，4可填充在区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ中，有种情况．1，3可填充在区域中，有种情况，所以有序集合组的个数为． （5） 由题意可知2，4可填充在区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ中，有种情况．1，3可填充在区域中，但不允许都在区域中，故有种情况，所以有序集合组的个数为． 【题后反思】 韦恩图是解决子集个数问题的有效手段．通过韦恩图解题需要关注到集合组是有序的，这样集合组和韦恩图中元素的填法有一一对应关系． 【举一反三】 4． 设集合，若I的非空子集满足，我们称有序集合对为I的“互斥集合对”，则集合I的“互斥集合对”的个数为 .（用数字作答） （正用公式） 5． 已知集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．7 C．8 D．9 （正用公式） 6． 设为两个实数集，定义集合，若，则的子集个数为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 （逆用公式） 7． 已知集合有且仅有两个子集，则的最小值是 . （逆用公式） 8． 已知满足的有序集合组的个数为8，则 ． （逆用公式） 9． 已知满足（且）的有序集合组（A，B）的个数为32，则 ． （公式变形） 10． 已知，这样的集合有 个． （综合应用） 11． 已知全集，集合是的子集，且满足，则符合题意的有序集合组的个数为 ． （公式变形） 12． 集合，那么的真子集个数有（    ） A． B． C． D． （综合应用） 13． 若规定由整数组成的集合，，的子集为E的第k个子集，其中，则E的第2024个子集是 . （逆用公式） 14． 若集合的真子集个数为15，写出一个满足条件的的取值 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 公式定理3子集个数计算公式 【地位作用】子集个数的实际应用涉及数学、计算机科学、金融、生物学等多个领域．了解并掌握子集个数的计算方法和规律，对于解决相关问题具有重要的指导意义． 【内容展示】子集个数计算公式：已知集合，则集合的子集的个数为． 【证明过程】 证法一： 作出韦恩图如图所示，记集合为集合的子集．中的元素要么在集合对应的区域内，要么就在对应的区域内中．下面考虑把集合的个元素分别填入集合中，每个元素可填充在区域中，各有2种填法，情况总数为．每种填法都会对应不同的子集，所以集合的子集的个数为． 证法二：每个元素有“属于子集”或“不属于子集”两种选择，n个元素独立选择，根据乘法原理总数为2×2×……×2=2ⁿ. 证法三：从n个元素里取元素构成新的集合: 一个不取是空集，子集为个； 取一个元素，子集为个； 取2个元素，子集为个； …… 取n个元素，子集为个. 所以子集个数等于. 由二项式定理，令，则有， 【内涵外延】子集计算公式的变形有：已知，真子集的个数为，非空子集的个数为，非空真子集的个数为． 灵活应用一 子集个数计算公式的正用 典例1 已知，且，这样的集合有_____个． 【详细解析】由题意可得，显然符合题意的集合共有个，所以集合共有4个． 【题后反思】这本题通过交集条件锁定元素1，剩余元素4、5构成自由变量，运用子集个数公式快速求解，体现集合运算与子集计数的综合应用. 【举一反三】 1． 已知集合，，则满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合、，利用集合子集个数公式可得结果. 【详解】因为， ， 由可得， 由于每个符合条件的集合都包含元素、， 所以，集合的个数即为集合的子集个数， 故集合的个数为. 故选：C. 灵活应用二 子集个数计算公式的逆用 典例2 （多选）已知集合恰有4个子集，则实数a的值可以是（ ） A．2          B．1           C．0          D．1 【详细解析】由题设，易知集合中有2个元素，故，即且， 所以符合要求. 故选：AB 【题后反思】本题考查集合子集个数与方程解的关系，核心在于理解子集个数与元素个数的对应关系. 【举一反三】 2． 已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1. 当时，解为，满足题意； 2. 当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3. 当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 灵活应用三 子集个数计算公式的变形用 典例3‌ 已知全集，，，则集合中非空子集个数为（ ） A．    B．    C．    D． 【详细解析】，，， 则，所以， 则集合的非空子集的个数为. 故选：C. 【题后反思】本题主要考查集合的非空子集个数计算，需掌握子集公式并排除空集情况，容易因为忽略“非空”条件，直接套用公式2ⁿ而忘记减1. 【举一反三】 3． 集合的非空真子集个数为（    ） A．14 B．15 C．30 D．31 【答案】C 【分析】先得到有5个元素，再结合公式求解即可. 【详解】解不等式，得，又，所以，共5个元素， 所以集合的非空真子集个数为， 故选：C. 灵活应用四 子集个数计算公式的综合用 典例4‌ 已知全集，集合是的子集． （1） 若，则符合题意的有序集合组的个数为_____； （2） 若，则符合题意的有序集合组（A，B）的个数为_____； （3） 若，则符合题意的有序集合组的个数为_____． ‌【详细解析】（1）作韦恩图如图．考虑2，4在区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ中的填法，2，4可填充在区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ中，各有3种选择，故有种情况，所以有序集合组的个数为9． （4） 由题意可知2，4可填充在区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ中，有种情况．1，3可填充在区域中，有种情况，所以有序集合组的个数为． （5） 由题意可知2，4可填充在区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ中，有种情况．1，3可填充在区域中，但不允许都在区域中，故有种情况，所以有序集合组的个数为． 【题后反思】 韦恩图是解决子集个数问题的有效手段．通过韦恩图解题需要关注到集合组是有序的，这样集合组和韦恩图中元素的填法有一一对应关系． 【举一反三】 4． 设集合，若I的非空子集满足，我们称有序集合对为I的“互斥集合对”，则集合I的“互斥集合对”的个数为 .（用数字作答） 【答案】602 【分析】通过讨论中元素个数，对应的为的补集的非空子集.即可求解. 【详解】若中只有一个元素，有种选择，此时对应的为的补集中个元素的非空子集有个，故有， 若中只有2个元素，有种选择，此时对应的为的补集中4个元素的非空子集有个，故有， 若中只有3个元素，有种选择，此时对应的为的补集中3个元素的非空子集有个，故有， 若中只有4个元素，有种选择，此时对应的为的补集中2个元素的非空子集有个，故有， 若中只有5个元素，有种选择，此时对应的为的补集中1个元素的非空子集有个，故有， 所以共有， 故答案为：602 （正用公式） 5． 已知集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据题意先求出集合，利用集合的交集运算得到，再根据交集中元素的个数计算其子集的个数. 【详解】由题意得， 所以，所以的子集个数为. 故选：C. （正用公式） 6． 设为两个实数集，定义集合，若，则的子集个数为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】B 【分析】由集合新定义确定，即可求解. 【详解】由题意， 所以的子集个数为， 故选：B （逆用公式） 7． 已知集合有且仅有两个子集，则的最小值是 . 【答案】 【分析】集合有个元素，由根的判别式得到方程，求出，变形得到，由基本不等式求出最小值. 【详解】有且仅有两个子集，故集合仅有个元素， 则，即， 因为，所以，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： （逆用公式） 8． 已知满足的有序集合组的个数为8，则 ． 【答案】5 【分析】根据题设及韦恩图知，集合的组数即为共个元素的填法数有种，即可得. 【详解】由题意，作出韦恩图如如下，    集合的组数等同于共个元素的填法数． 每个元素必填在区域或区域内，都有2种情况，共种情况， 所以，解得． 故答案为：5 （逆用公式） 9． 已知满足（且）的有序集合组（A，B）的个数为32，则 ． 【答案】3 【分析】由题意作出韦恩图，根据集合的运算，结合计数原理解题即可. 【详解】由题意作出韦恩图如图，因为， 所以全集中不属于交集的元素有个， 剩余的元素属于集合或，但不能同时属于两者， 每个剩余元素有两种选择，因此总分配方式为， 所以，解得． 故答案为：3 （公式变形） 10． 已知，这样的集合有 个． 【答案】7 【分析】分析题意可得里一定包含元素，并将其看为与另一个从里抽取元素的集合取并集构成，再结合真子集的性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 对于由个元素的集合，真子集个数为个， 则由真子集性质得集合共有个，故集合共有7个． 故答案为：7 （综合应用） 11． 已知全集，集合是的子集，且满足，则符合题意的有序集合组的个数为 ． 【答案】192 【分析】利用韦恩图和集合之间的基本关系，计算得出结果. 【详解】作出韦恩图如图．由题意可得1，5可填充在区域Ⅱ，Ⅲ中，有种情况． 3 可填充在区域Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，有3种情况． 4 4可填充在区域中，有种情况， 所以有序集合组的个数为． 故答案为：192. （公式变形） 12． 集合，那么的真子集个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到，即可求解. 【详解】当时，，又，易知， 当时，，当时，，当时，，当时，， 当时，， 所以，所以的真子集个数为， 故选：D. （综合应用） 13． 若规定由整数组成的集合，，的子集为E的第k个子集，其中，则E的第2024个子集是 . 【答案】 【分析】把写成2的自然数幂的和即可得． 【详解】， 所以E的第2024个子集是． 故答案为：． （逆用公式） 14． 若集合的真子集个数为15，写出一个满足条件的的取值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据集合A的真子集个数得集合元素个数，解对数不等式得，从而解不等式即可得解. 【详解】设集合中元素个数为，由集合的真子集个数为15可得， ，解得，由可得，，， 即，所以，即， 故可取（答案不唯一，满足均可）． 故答案为：（答案不唯一） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$