2026届高中数学思想方法大合集-德摩根公式讲义

公式定理2德摩根公式 【地位作用】德摩根公式由英国著名逻辑学家DeMorgan（1806-1871）提出，它在集合运算中应用广泛． 【内容展示】德摩根（DeMorgan）公式：已知为全集，对任意两个集合，均有和． 【证明过程】 证法一： 如图1阴影部分即，图2阴影部分即，图3阴影部分即，图4阴影部分即或，所以，同理可证成立． 证法二：由补集的定义： ， 所以， 由两式定义等价，得：； 由补集的定义：， 所以 由两式定义等价，得：. 【内涵外延】德摩根公式可以进一步得到推广形式： 已知为全集，对任意个集合，有 ， ． 灵活应用一 德摩根公式的正用 典例1 设全集为，则图中的阴影部分可以表示为（ ） A．     B． B．     D． 【详细解析】依题意，阴影部分不在集合中，也不在集合中，因此不在集合中， 则阴影部分表示为，A正确，BCD错误. 故选：A 【题后反思】通过韦恩图分析阴影部分位置，理解补集与并集、交集的关系，正确应用集合运算排除无关区域，巩固图形与代数表达的联系. 【举一反三】 1． 已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为全集的是（   ） A． B． C． D． 灵活应用二 德摩根公式的逆用 典例2 若为全集，则下列命题中正确的是_____． 1 若，则． 2 若，则或． 3 若，则． 4 若，则． 【详细解析】①正确，由德摩根公式可知，． 5 错误，，集合不一定为空集，只需两个集合无公共元素即可． 6 正确，由德摩根公式可知，． 7 正确，，即集合均无元素，可得． 综上，答案为①③④． 【题后反思】本题需灵活运用德摩根公式，注意空集与逻辑或的区别，验证时需明确全集定义及集合间关系. 【举一反三】 2． 设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 灵活应用三 德摩根公式的变形用 典例3‌ 设全集 U={a，b，c，d，e，f}，集合 ={a，b}，={b，c}，={c，d}.求：∁U(∪∪). 【详细解析】因为∁U ={c，d，e，f}，∁U= {a，d，e，f}，∁U={a，b，e，f}， 所以∁U(∪∪)=∁U∩∁U∩∁U={e，f}. 【题后反思】本题通过多集合补集运算实例，巩固德摩根公式推广形式的应用.关键在于将并集补集转化为各补集的交集，需注意符号转换的严谨性，避免遗漏全集定义域.通过此类练习，可深化对集合运算逻辑关系的理解，提升复杂运算的拆解能力. 【举一反三】 3． 全集 ，集合.求：. 灵活应用四 德摩根公式的综合用 典例4‌ 设全集，求． 【详细解析】因为平面内除点（2，3）以外的点， 所以 【题后反思】本题是以直线方程为背景的集合试题，思维要求较高，通过德摩根公式转化补集运算，注意符号与交并逻辑关系，验证时需明确全集定义. 【举一反三】 4． 某系统中，事件 A 表示“设备故障”（概率 ），事件 B 表示“电源异常”（概率），事件 C 表示“网络中断”（概率）.求：系统正常运行的概率（即三个事件均不发生）. （正用公式） 5． 已知全集，则（    ） A． B． B． D． （逆用公式） 6． 已知全集，集合M，N满足，则下列结论正确的是（） A． B． B． D． （公式变形） 7． 设全集 ，集合，，，.求：. （逆用公式） 8． 已知全集为不大于20的质数}，是的两个子集，且满足，求集合和． （逆用公式） 9． 已知集合中有10个元素，中有6个元素，全集有18个元素，.设集合中有个元素，则的取值范围是（    ） A． B． B． D． （综合应用） 10． （多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． B． D． （逆用公式） 11． 已知全集，集合或，，求、； （正用公式） 12． 从符号“”“”“”中选择适当的一个填空： （1） ； （2） . （综合应用） 13． 某学生参加三个社团，加入文学社的概率为 ，加入科技社的概率为 ，加入体育社的概率为 .假设各社团加入情况相互独立.求：该学生至少不加入其中一个社团的概率. （公式变形） 14． 定义集合运算 ，其中 U 为全集.已知全集 ，集合 ，.求：的结果（其中 ）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 公式定理2德摩根公式 【地位作用】德摩根公式由英国著名逻辑学家DeMorgan（1806-1871）提出，它在集合运算中应用广泛． 【内容展示】德摩根（DeMorgan）公式：已知为全集，对任意两个集合，均有和． 【证明过程】 证法一： 如图1阴影部分即，图2阴影部分即，图3阴影部分即，图4阴影部分即或，所以，同理可证成立． 证法二：由补集的定义： ， 所以， 由两式定义等价，得：； 由补集的定义：， 所以 由两式定义等价，得：. 【内涵外延】德摩根公式可以进一步得到推广形式： 已知为全集，对任意个集合，有 ， ． 灵活应用一 德摩根公式的正用 典例1 设全集为，则图中的阴影部分可以表示为（ ） A．     B． B．     D． 【详细解析】依题意，阴影部分不在集合中，也不在集合中，因此不在集合中， 则阴影部分表示为，A正确，BCD错误. 故选：A 【题后反思】通过韦恩图分析阴影部分位置，理解补集与并集、交集的关系，正确应用集合运算排除无关区域，巩固图形与代数表达的联系. 【举一反三】 1． 已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为全集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，结合交并补的运算即可判断每个选项的正误. 【详解】 如图，因为，所以，故A错误； 因为，故B错误； 因为，所以，，故C错误； 因为，所以，，故D正确. 故选：D. 灵活应用二 德摩根公式的逆用 典例2 若为全集，则下列命题中正确的是_____． 1 若，则． 2 若，则或． 3 若，则． 4 若，则． 【详细解析】①正确，由德摩根公式可知，． 5 错误，，集合不一定为空集，只需两个集合无公共元素即可． 6 正确，由德摩根公式可知，． 7 正确，，即集合均无元素，可得． 综上，答案为①③④． 【题后反思】本题需灵活运用德摩根公式，注意空集与逻辑或的区别，验证时需明确全集定义及集合间关系. 【举一反三】 2． 设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交并补的混合运算求解即得. 【详解】由，得，而全集， 所以. 故选：B 灵活应用三 德摩根公式的变形用 典例3‌ 设全集 U={a，b，c，d，e，f}，集合 ={a，b}，={b，c}，={c，d}.求：∁U(∪∪). 【详细解析】因为∁U ={c，d，e，f}，∁U= {a，d，e，f}，∁U={a，b，e，f}， 所以∁U(∪∪)=∁U∩∁U∩∁U={e，f}. 【题后反思】本题通过多集合补集运算实例，巩固德摩根公式推广形式的应用.关键在于将并集补集转化为各补集的交集，需注意符号转换的严谨性，避免遗漏全集定义域.通过此类练习，可深化对集合运算逻辑关系的理解，提升复杂运算的拆解能力. 【举一反三】 3． 全集 ，集合.求：. 【答案】 【分析】根据德摩根公式结合集合的混合运算可得. 【详解】根据德摩根公式：，得： ， 又 ，所以. 灵活应用四 德摩根公式的综合用 典例4‌ 设全集，求． 【详细解析】因为平面内除点（2，3）以外的点， 所以 【题后反思】本题是以直线方程为背景的集合试题，思维要求较高，通过德摩根公式转化补集运算，注意符号与交并逻辑关系，验证时需明确全集定义. 【举一反三】 4． 某系统中，事件 A 表示“设备故障”（概率 ），事件 B 表示“电源异常”（概率），事件 C 表示“网络中断”（概率）.求：系统正常运行的概率（即三个事件均不发生）. 【答案】0.82035 【分析】系统正常运行等价于三个事件均不发生，利用对立事件和独立事件即可求解. 【详解】系统正常运行 三个事件均不发生 . 根据德摩根公式对并集补集的推广得：). 假设事件独立，则：，，， 所以系统正常运行的概率为 . （正用公式） 5． 已知全集，则（    ） A． B． B． D． 【答案】D 【分析】求出，根据即可求解. 【详解】. 故选：D. （逆用公式） 6． 已知全集，集合M，N满足，则下列结论正确的是（） A． B． B． D． 【答案】C 【分析】画出韦恩图，然后根据图形逐一判断即可. 【详解】全集,集合满足,绘制韦恩图如图所示, 对于A，，错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. （公式变形） 7． 设全集 ，集合，，，.求：. 【答案】 【分析】由并集与补集定义计算求解． 【详解】因为全集 ，集合，，，. 所以， 所以. （逆用公式） 8． 已知全集为不大于20的质数}，是的两个子集，且满足，求集合和． 【答案】 【分析】方法一：由题意分析集合和集合中元素，对于不能确定的元素分情况讨论即可得解；方法二：画韦恩图，把能确定的元素表示出来，逐步分析即可. 【详解】（方法一）由题意得， 由得，且， 由得，且， 由得，且． 下面讨论11和13． 情形一：，但，与矛盾． 情形二：，但，与矛盾． 情形三：，且，与矛盾． 情形四：，且，经检验符合题意． 同理可得，且． 综上可得． （方法二）结合韦恩图（如图）， 将条件，所涉及的元素填入，得． （逆用公式） 9． 已知集合中有10个元素，中有6个元素，全集有18个元素，.设集合中有个元素，则的取值范围是（    ） A． B． B． D． 【答案】A 【分析】分析可得至少有 个元素，至多有个元素，由，由补集的定义即可求解. 【详解】集合中有10个元素，中有6个元素，因为， 至少有 个元素，至多有个元素， 所以至多有个元素，至少有个 元素， 集合有个元素，则且为正整数. 即的取值范围是， 故选：. （综合应用） 10． （多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． B． D． 【答案】BC 【分析】作出韦恩图，结合德摩根公式逐项判断即可. 【详解】因为，画出韦恩图如图． 对于选项A，结合韦恩图可知，当时A错误； 对于选项B，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，，即，故B正确； 对于选项C，由德摩根公式可知，故C正确； 对于选项D，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，当时，D错误． 故选：BC． （逆用公式） 11． 已知全集，集合或，，求、； 【答案】，或. 【分析】根据集合的基本运算即可求解. 【详解】因为全集，集合或，， 所以 或 所以 或. （正用公式） 12． 从符号“”“”“”中选择适当的一个填空： （1） ； （2） . 【答案】 【分析】利用并集、交集、补集的定义即可推出. 【详解】（1）若，则，则且， 则且，则， 故； 若，则且，则且， 则，则， 故； 综上所述，. （3） 若，则，则或， 则或，则， 故； 若，则或，则或， 则，则， 故； 综上所述，. 故答案为：； （综合应用） 13． 某学生参加三个社团，加入文学社的概率为 ，加入科技社的概率为 ，加入体育社的概率为 .假设各社团加入情况相互独立.求：该学生至少不加入其中一个社团的概率. 【答案】 【分析】设 表示“不加入文学社”， 表示“不加入科技社”， 表示“不加入体育社”，则“至少不加入其中一个社团”对应事件，由，利用独立事件即可求解. 【详解】设 表示“不加入文学社”，则 ， 表示“不加入科技社”，则 ， 表示“不加入体育社”，则 ， “至少不加入其中一个社团”对应事件. 根据德摩根公式可知：， 由于各社团加入独立，所以：， 所以. （公式变形） 14． 定义集合运算 ，其中 U 为全集.已知全集 ，集合 ，.求：的结果（其中 ）. 【答案】 【分析】根据新定义，利用德摩根公式即可求解. 【详解】根据定义，. 由德摩根公式的推广形式得：， 因为， 所以 所以，. 因为，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$