2025年广西初中学业水平模拟卷（二）数学试卷

数学　 模拟卷 (二) 　 第 1　 页 (共 8 页) 2025 年广西初中学业水平考试模拟卷 (二) 数　 学 (全卷满分: 120 分, 考试时间: 120 分钟) 一、 选择题 (共 12 小题, 每小题 3 分, 共 36 分, 在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合要求的) 1. 2025 年是春意盎然, 生机勃勃的 “双春年”, 2025 的倒数是 (　 　 ) A. -2025 B. 1 2025 C. 2025 D. - 1 2025 2. 下列消防安全标志中, 是轴对称图形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 3. 一个正方体的表面展开图如图所示, 六个面上各有一字, 连 起来的意思是 “祝你考试顺利”, 把它折成正方体后, 与 “祝” 相对 的字是 (　 　 ) A. 考 B. 试 C. 顺 D. 利 4. 金秋十月, 小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶, 如图所 示, 他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小, 能正确解释这 一现象的数学知识是 (　 　 ) A. 两点确定一条直线 B. 两点之间, 线段最短 C. 垂线段最短 D. 经过一点有无数条直线 5. 若式子 x-1在实数范围内有意义, 则 x 的取值范围可表示为 (　 　 ) A. x>1 B. x<1 C. x≤1 D. x≥1 6. 某城市绿化部门将一种树苗移植成活的情况绘 制成右侧的统计图, 由此可估计这种树苗移植成活的 概率约为 (　 　 ) A. 0. 92 B. 0. 94 C. 0. 96 D. 0. 98 数学　 模拟卷 (二) 　 第 2　 页 (共 8 页) 7. 计算: x +1 x-1 - 2 x-1 的结果等于 (　 　 ) A. 1 B. x-1 C. 1 x-1 D. 1 x2 -1 8. 如图所示, 某汽车车门的底边长为 1 m, 车门侧开后的最大角度为 72°, 若将一扇车门侧开, 则这扇车门底边扫过区域的最大面积是 (　 　 ) A. π 10 m2 B. π 5 m2 C. 2π 5 m2 D. 4π 5 m2 9. 随机抽取一组数据, 根据方差公式得: s2 = (40 -40) 2 +(39. 8-40) 2 ×4+(40. 1-40) 2 ×2+(40. 2-40) 2 ×3 10 , 则关于抽取的这组数据, 下列说法错误的是 (　 　 ) A. 样本容量是 10 B. 平均数是 40 C. 39. 8 的权数是 4 D. 中位数是 39. 8 10. 小明将三角形纸片按下列图示方式折叠, 则纸片有一部分会重叠四层, 将这部分 图形完全展开, 得到的平面图形一定是 (　 　 ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 菱形 D. 正方形 11. 小花用洗衣机洗涤衣服时经历三个连续过程: 注水、 清洗、 排水 . 若洗衣服前洗 衣机内无水, 清洗时停止注水, 则在这三个过程中洗衣机内水量 y (升) 与时间 x (分) 之间的函数关系对应的图象大致为 (　 　 ) A. B. C. D. 12. 《孙子算经》 中记载了一道题, 大意是: 有 100 匹马恰好拉了 100 片瓦, 已知 1 匹大马能拉 3 片瓦, 3 匹小马能拉 1 片瓦, 问有多少匹大马, 多少匹小马? 若设大马有 x 匹, 小马有 y 匹, 解得 x, y 的值分别是 (　 　 ) A. x= 70 y= 30{ B. x= 45 y= 55{ C. x= 40 y= 60{ D. x= 25 y= 75{ 二、 填空题 (共 4 小题, 每小题 3 分, 共 12 分, 请将答案填在答题卡上) 13. 因式分解: a2 +4a= . 数学　 模拟卷 (二) 　 第 3　 页 (共 8 页) 14. 在平面直角坐标系中, 点 A (1, 3) 关于 x 轴对称的点是 . 15. 如图所示, 将三个数 3 , 7 , 18表示在数轴上, 则被图中表示的解集包含的数 是 . 16. 如图所示, 点 A, B 的坐标分别为 A (2, 0), B (0, 2), 点 C 为坐标平面内一 点, BC= 1, 点 M 为线段 AC 的中点, 连接 OM, 则 OM 的最大值为 . 第 15 题图 　 　 　 第 16 题图 三、 解答题 (本大题共 7 题, 共 72 分, 请将解答过程写在答题卡上) 17. (8 分) 对于分式方程 2 x+1 = x x+1 +1 的求解过程, 小叶同学的解答如下. 解: 方程两边同乘 (x+1), 得(x+1) 2 x+1 = (x+1) x x+1 +1, 第一步………………… 　 　 　 　 2 = x+1, 第二步…………………………… 　 　 　 　 x= 1. 第三步………………………………… 检验, 当 x= 1 时, x+1 = 2≠0, 所以, x= 1 是分式方程的解. 第四步…………………………………………………… 小芳同学发现小叶的解法有错误, 请你回答: (1) 小叶的解法从第 步开始出现错误; (2) 请写出正确的解答过程. 数学　 模拟卷 (二) 　 第 4　 页 (共 8 页) 　 18. (10 分) 如图所示, Rt△ABC 中, ∠B= 90°. (1) 尺规作图: 作 AC 边上的中线 BO (保留作图痕迹, 不写作法); (2) 在 (1) 所作的图中, 延长 BO 至点 D, 使 BO=DO, 连接 AD, CD. 求证: 四边形 ABCD 是矩形. 19. (10 分) 为弘扬中华优秀传统文化, 某校组织 “诗词大会” 比赛, 其中一个环节 的题目涵盖 “豪放” “婉约” “咏物” “咏怀” 四大类 (分别写在 4 张卡片上), 一位比赛 选手随机抽取一张卡片, 记下题目类别后, 放回洗匀后由下一位选手抽取 . (1) 求甲选手抽到 “婉约” 的概率; (2) 用画树状图或列表的方法求乙、 丙两位选手抽到同类别题目的概率 . 数学　 模拟卷 (二) 　 第 5　 页 (共 8 页) 20. (10 分) 综合与实践 【问题背景】 小明从科普读物中了解到, 光从真空射入介质发生折射时, 入射角 α 的 正弦值与折射角 β 的正弦值的比值sin α sin β 叫作介质的 “绝对折射率”, 简称 “折射率” . 它 表示光在介质中传播时, 介质对光作用的一种特征 . 【初步探究】 (1) 若光从真空射入某介质, 入射角为 α, 折射角为 β, 且 sin α= 3 4 , β = 30°. 求该 介质的折射率; 【解决问题】 (2) 现有一块与 (1) 中折射率相同的长方体介质, 如图 1 所示, 点 A, B, C, D 分 别是长方体棱的中点, 若光线经真空从矩形 A1D1D2A2 对角线交点 O 处射入, 其折射光线 恰好从点 C 处射出, 如图 2 所示, 已知 α= 60°, CD= 8, 求截面 ABCD 的面积. 图 1 　 　 图 2 数学　 模拟卷 (二) 　 第 6　 页 (共 8 页) 21. (10 分) 如图所示, 在△ABC 中, ∠ACB = 90°, AO 平分∠BAC, 交 BC 于点 O. 以 O 为圆心, OC 为半径作☉O, 分别交 AO, BC 于点 E, F. (1) 求证: AB 是☉O 的切线; (2) 延长 AO 交☉O 于点 D, 连接 CD, CE, 若 AD= 9, AC= 6, 求 tan D 的值 . 数学　 模拟卷 (二) 　 第 7　 页 (共 8 页) 22. (12 分) 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一, 也是中国文化的重要组成部 分, 九 (1) 班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时, 通过收集到的素材进行了方 案探究和任务性学习. 【设计方案求碗里水面的宽度】 素材 1 如图 1 所示是一个竖直放置在水平 桌面 MN 上的瓷碗, 图 2 是其截面 图, 瓷碗高度 GF = 9 cm, 碗口宽 CD= 16 cm, CD∥MN, 碗体 DEC 呈 抛物线状 (碗体厚度不计), 当碗 中盛满水时的最大深度 GE= 8 cm. 图 1 　 图 2 素材 2 如图 3 所示, 把瓷碗绕点 B 缓缓倾 斜, 倒出碗中的部分水, 当水面 CH 与碗口的夹角为 45°时停止倾斜 . 图 3 【问题解决】 问题 1 如图 4 所示, 以碗底 AB 的中点 F 为 原点 O, 以 MN 为 x 轴, AB 的中垂 线 FG 为 y 轴, 建立平面直角坐标 系, 求碗体 DEC 的抛物线解析式; 图 4　 问题 2 根据图 2 位置, 当把碗中的水喝掉一部分后, 发现水面的最大深度 TE 为 6 cm, 求此时水面宽度 PQ 的长; 问题 3 如图 3 所示, 当碗停止倾斜时, 求此时碗里水面的宽度 CH. 数学　 模拟卷 (二) 　 第 8　 页 (共 8 页) 23. (12 分) 探究与证明 【问题背景】 在四边形 ABCD 中, ∠EAF = 1 2 ∠BAD (E, F 分别为边 BC, CD 上的动 点), AF 的延长线交 BC 延长线于点 M, AE 的延长线交 DC 延长线于点 N, 连接 AC. 【构建联系】 (1) 如图 1, 若四边形 ABCD 是正方形, 求证: △ACN∽△MCA; (2) 如图 2 所示平面直角坐标系, 在△ABC 中, ∠BAC = 45°, 点 A 坐标为 ( - 3, -3), B, C 分别在 x 轴和 y 轴上, 且反比例函数 y= k x (x>0) 图象经过 BC 上的点 D, 且 BD ∶ DC= 1 ∶ 2, 求 k 的值. 【深入探究】 (3) 如图 3, 若四边形 ABCD 是菱形, 连接 MN, 当 MN=MA 且∠EAF= 60°时, 求CE BE 的值. 图 1 　 　 　 图 2 　 　 　 图 3 数学　 模拟卷 (二) 参考答案　 第 1　 页 (共 4 页) 2025 年广西初中学业水平考试模拟卷 (二) 数　 学 参考答案 一、 选择题 (共 12 小题) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C B D C A B D C A D 　 　 二、 填空题 (共 4 小题) 13. a (a+4) 　 　 14. (1, -3) 　 　 15. 7 　 　 16. 2 + 1 2 三、 解答题 (共 7 小题) 17. (1) 一 2 分………………………………………………………………………… (2) 解: (x+1) 2 x+1 = (x+1) ( x x+1 +1), 3 分…………………………………… 2 = 2x+1, 5 分…………………………………………………… x= 1 2 . 6 分……………………………………………………… 检验, 当 x= 1 2 时, x+1 = 3 2 ≠0, 7 分………………………………………………… 所以, x= 1 2 是分式方程的解. 8 分…………………………………………………… 18. (1) 解: 如图所示, 线段 BO 为所求; 5 分……… (2) 证明: ∵ 点 O 是 AC 的中点, ∴ AO=CO, 6 分…………………………………………… ∵ BO=DO, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形, 8 分…………………… ∵ ∠ABC= 90°, ∴ 四边形 ABCD 是矩形. 10 分………………………………………………………… 19. 解: (1) P (婉约) = 1 4 , 2 分…………………………………………………… 答: 甲选手抽到 “婉约” 的概率为 1 4 ; (2) 把四类卡片分别用 A, B, C, D 代替, 用列表法表示所有可能出现的结果如下: 　 　 丙 乙　 　 A B C D A AA BA CA DA B AB BB CB DB C AC BC CC DC D AD BD CD DD 6 分…………………………………… 数学　 模拟卷 (二) 参考答案　 第 2　 页 (共 4 页) 共有 16 种可能出现的情况, 其中乙、 丙两位选手抽到同类别题目的有 4 种, 8 分 … ……………………………………………………………………………………… 所以乙、 丙同类概率 P= 4 16 = 1 4 . 10 分……………………………………………… 20. 解: (1) ∵ β= 30°, ∴ sin β= sin 30° = 1 2 , 1 分………………………………… ∴ 折射率为: sin α sin β = 3 4 1 2 = 3 2 . 3 分……………………………………………………… (2) 由题意可得 α= 60°, 折射率为 3 2 , ∴ sin α sin β = sin 60° sin β = 3 2 , ∴ sin β= 3 3 , 4 分…………………………………………… ∵ 四边形 ABCD 是矩形, 点 O 是 AD 中点, ∴ AD= 2OD, ∠D= 90°, 又∵ ∠OCD=β, ∴ sin∠OCD= sin β= 3 3 , 5 分……………………………………… 在 Rt△ODC 中, 设 OD= 3x, OC=3x, 由勾股定理得, CD= (3x)2- ( 3x)2 = 6x, ∴ tan β=OD CD = 2 2 , ∴ OD= 8× 2 2 = 4 2 , 7 分……………………………………………………………… ∴ AD= 2OD= 8 2 , 8 分………………………………………………………………… ∴ 截面 ABCD 的面积为: AD×CD= 8 2 ×8 = 64 2 . 10 分…………………………… 21. (1) 证明: 作 OH⊥AB 于点 H, 1 分…………………………………………… ∵ ∠ACB= 90°, ∴ OC⊥AC 于点 C, 2 分…………………………………………… ∵ AO 平分∠BAC, OH⊥AB, OC⊥AC, ∴ OH=OC, 3 分……………………………………………… ∵ OC 是☉O 的半径, ∴ 点 H 在☉O 上, ∵ OH 是☉O 的半径, 且 AB⊥OH 于点 H, 4 分…………… ∴ AB 是☉O 的切线 . 5 分…………………………………… (2) 解: ∵ DE 是☉O 的直径, ∴ ∠ECD= ∠ACB= 90°, ∴ ∠ACE= ∠OCD= 90°-∠OCE, ∵ OD=OC, ∴ ∠OCD= ∠D, ∴ ∠ACE= ∠D, 7 分…………………………………………………………………… ∵ ∠EAC= ∠CAD, ∴ △EAC∽△CAD, 8 分………………………………………… ∵ AD= 9, AC= 6, ∴ CE DC = AC AD = 2 3 , 9 分……………………………………………… ∴ tan D=CE DC = 2 3 , ∴ tan D 的值为 2 3 . 10 分………………………………………… 数学　 模拟卷 (二) 参考答案　 第 3　 页 (共 4 页) 图 1 22. 解: 问题 1, 以碗底 AB 的中点 F 为原点 O, 以 MN 为 x 轴, AB 的中垂线 FG 为 y 轴, 建立平面直角坐标系, 如 图所示. 1 分………………………………………………… 瓷碗高度 GF= 9 cm, 碗口宽 CD = 16 cm, 碗体 DEC 呈 抛物线状 (碗体厚度不计), 碗中盛满水时的最大深度 GE= 8 cm, 由题意得 D ( -8, 9), C (8, 9), 2 分…………… ∴ EF=GF-GE= 1 cm, ∴ E (0, 1), 设抛物线的解析式为 y=ax2 +1, 3 分………………………………………………… 将点 C 的坐标代入得 64a+1 = 9, 解得 a= 1 8 , ∴ 抛物线解析式为 y= 1 8 x2 +1; 4 分…………………………………………………… 问题 2, ∵ 碗中液面高度 (离桌面 MN 距离) 为 6 cm, EF= 1 cm, ∴ 这时液面的纵坐标为 6+1 = 7, 当 y= 7 时, 1 8 x2 +1 = 7, 解得 x1 = 4 3 , x2 = -4 3 , 5 分…………………………… 则液面宽度为 8 3 cm; 6 分…………………………………………………………… 图 2 问题 3, 以 AB 为 x 轴, AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐 标系, 倾斜后如图 2 所示, 记 y 轴交 HC 于点 S, 交 AB 于点 P, 由题知, CD∥AB, GP= 9 cm, ∴ CD⊥y 轴, 又∵ ∠GCS= 45°, ∴ ∠GSC= 45° = ∠GCS, ∴ GS=GC= 8 cm, 7 分………………………………………… ∴ PS= 1cm, ∴ S (0, 1), 设直线 CH 的解析式为 y= kx+b, 则 8k+b= 9, b= 1,{ 解得 k= 1, b= 1,{ ∴ y= x+1, 联立方程组 y= x+1, y= 1 8 x2 +1, ì î í ï ï ïï 解得 x= 0, y= 1{ 或 x= 8, y= 9{ (舍), ∴ H (0, 1), 8 分……………………………………………………………………… ∴ CH= (8-0) 2 + (9-1) 2 = 8 2 cm. 10 分…………………………………………… 图 1 23. (1) 证明: 如图 1 所示, ∵ 四边形 ABCD 是正方 形, ∴ ∠BAD= 90°, ∠ACB= ∠ACD= 45°, ∵ ∠EAF= 1 2 ∠BAD, ∴ ∠EAF= 45°, 即∠CAN+∠CAM= 45°, ∵ ∠CAN+∠N= ∠ACD= 45°, ∴ ∠N= ∠CAM, 1 分…………………………………………………………………… 数学　 模拟卷 (二) 参考答案　 第 4　 页 (共 4 页) ∵ ∠ACN= 180°-∠ACD= 135°, ∠ACM= 180°-∠ACB= 135°, ∴ ∠ACN= ∠ACM, 2 分……………………………………………………………… ∴ △ACN∽△MCA; 3 分……………………………………………………………… (2) 解: 如图 2 所示, 过点 A 作 AE⊥x 轴于 E, 作 AF⊥y 轴于 F, 过点 D 作 DG⊥ y 轴于 G, 作 DH⊥x 轴于 H, 连接 AO, 则∠AEO= ∠AFO= ∠EOF= 90°, ∵ A ( -3, -3), ∴ AE=AF=OE=OF= 3, OA= 2OE= 3 2 , 5 分…………………………………… 由 (1) 知△ABO∽△CAO, ∴ OA OB =OC OA , ∴ OB·OC=OA2 = (3 2 ) 2 = 18, 6 分………………………………………………… ∵ DG⊥y 轴, OC⊥y 轴, 图 2 ∴ DG∥OC, ∴ DG OC =BD BC , 同理可得DH OB =CD BC , ∵ BD ∶ DC= 1 ∶ 2, ∴ BD BC = 1 3 , CD BC = 2 3 , ∴ DG OC = 1 3 , DH OB = 2 3 , ∴ DG= 1 3 OC, DH= 2 3 OB, ∴ DG·DH= 1 3 OC· 2 3 OB= 2 9 ×18 = 4, 7 分…………………………………………… ∴ k=DG·DH= 4; 8 分………………………………………………………………… 图 3 (3) 如图 3 所示, ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∠EAF=60°, ∠EAF= 1 2 ∠BAD, ∴ AC 平分∠BAD, BC=AB, ∴ ∠BAD= 120°, ∠BAC= ∠DAC= 60°, ∵ MN=MA, ∴ △AMN 和△ABC 是等边三角形, 9 分……………………………………………… 易证△ACN∽△MCA, ∴ CN AC = AC CM = AN AM = 1, 10 分…………………………………………………………… ∵ AB∥CD, ∴ △CEN∽△BEA, ∴ CE BE =CN AB , 11 分……………………………………………………………………… ∵ AB=AC, ∴ CE BE = 1. 12 分…………………………………………………………………………