精品解析：安徽省太和中学2024-2025学年高二下学期5月教学质量检测数学试题

太和中学高二年级教学质量检测试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册~选择性必修第三册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 为了解某地区某种水果的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：万元/吨）的影响，对近五年该水果的年产量和价格统计如下表： x 300 350 400 450 500 y 1.8 1.7 1.5 1.4 1.1 若y关于x的回归直线方程为，则（ ） A. 2.82 B. 2.86 C. 2.88 D. 2.92 3. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. 240 B. C. D. 60 4. 已知为抛物线的焦点，过的直线交于，两点，若弦的中点的横坐标为4，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 5. 在中，，且，则的值为（ ） A. -18 B. -16 C. -14 D. -12 6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知高为的正三棱台的外接球的表面积为，且，则正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，过点可向曲线引3条切线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为6 B. 面积的最大值为 C. 的取值范围为 D. 的最小值为 11. 已知函数，则（ ） A. 是的周期 B. 的最大值为4 C. 没有对称中心 D. 在上单调递减 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量的概率分布密度函数，若.则________. 13. 已知等差数列的前项和为，且，则__________. 14. 设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在一个不透明的箱子里有8个大小相同的小球，其中5个黑球，3个红球.从中不放回地依次摸出3个小球. （1）求前两次摸出的球均为黑球的概率； （2）记表示摸出的小球中红球的数量，求的分布列及其数学期望. 16. 如图，在直三棱柱中，为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在锐角中，内角所对的边分别为，且. （1）求角的值； （2）求的取值范围. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，若存在零点，求实数的取值范围； （3）证明：. 19. 我们把等轴双曲线的一部分与半圆合成的曲线称作“羽毛球型”曲线，其中是焦距为8的等轴双曲线的一部分，如图所示. （1）求与的方程； （2）已知为“羽毛球型”曲线上的动点，求线段长度的最小值； （3）若直线与“羽毛球型”曲线有3个公共点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太和中学高二年级教学质量检测试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册~选择性必修第三册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合，再由集合的交运算求结果. 【详解】由，得，则，所以． 故选：D 2. 为了解某地区某种水果的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：万元/吨）的影响，对近五年该水果的年产量和价格统计如下表： x 300 350 400 450 500 y 1.8 1.7 1.5 1.4 1.1 若y关于x的回归直线方程为，则（ ） A. 2.82 B. 2.86 C. 2.88 D. 2.92 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性回归直线必过样本点中心即可求解． 【详解】由题意，得,， 所以，解得． 故选：B． 3. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. 240 B. C. D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 令，解得， 所以，即展开式中的常数项为. 故选：D 4. 已知为抛物线的焦点，过的直线交于，两点，若弦的中点的横坐标为4，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线焦点弦公式结合中点坐标公式即可求解. 【详解】设， 则，所以， 由抛物线的焦点弦公式可得. 故选：C. 5. 在中，，且，则的值为（ ） A. -18 B. -16 C. -14 D. -12 【答案】A 【解析】 【分析】由化简运算得，再利用，两边进行平方化简计算可求. 【详解】因为， 所以， 所以，因为， 所以 ， 解得. 故选：A. 6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数性质分析可知在上单调递减，且在上恒成立，进而列式求解. 【详解】因为在上单调递增，且在上单调递减， 可知在上单调递减，且在上恒成立， 可得，解得， 所以实数的取值范围为． 故选：B． 7. 已知高为的正三棱台的外接球的表面积为，且，则正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出外接球的半径，利用勾股定理求得球心到下底面的距离与上底面外接圆半径的关系，再利用勾股定理可求出上底面外接圆的半径，进而可求出，再根据台体的体积公式即可得解. 【详解】如图，设正三棱台上下底面三角形的外接圆圆心分别为， 外接球的球心为，则， 设外接圆的半径为，正三棱台的外接球的半径为， 则外接圆的半径为， ，解得， 设， 当点在线段上时， 则有，解得， 故，解得， 此时，符合题意， 由正弦定理得，所以， 所以， 则， 所以正三棱台的体积为； 当点在线段的延长线上时， 则有，解得， 因为，所以， 此时，故这种情况不符题意，舍去， 综上所述，正三棱台的体积为. 故选：D. 8. 已知函数，过点可向曲线引3条切线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设切点后由导数的意义得到切线方程，代入转化为三次方程有三个不同实数根问题，构造函数求导得到极值点和极值，再根据三次方程有三个不同根的条件计算. 【详解】设切点为， 由可得，所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 由点在切线上代入可得， 即三次方程有三个不同的实数根， 令，则， 所以极值点为和， 又极值点处函数值为， 三次方程有三个不同实数根的充要条件是极值点处函数值异号， 所以，解得. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】取特殊值判断A、D；应用复数乘法的几何意义及共轭复数的性质判断B、C. 【详解】对于A，取，显然满足，但，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，取，满足，但，所以，故D错误． 故选：BC 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为6 B. 面积的最大值为 C. 的取值范围为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据椭圆定义，可得的周长得到选项A，当为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大可得到选项B，根据椭圆定义得到选项C，由，结合C选项的范围可排除D. 【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 则，，， 对于A：因为椭圆的方程为为椭圆上任意一点， 所以，，则的周长为6，故A正确； 对于B：当为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，此时面积为，故B正确； 对于C：因为，所以的取值范围为，故C正确； 对于D：因为，所以， 又，所以，故D错误， 故选：ABC. 11. 已知函数，则（ ） A. 是的周期 B. 的最大值为4 C. 没有对称中心 D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，验证与是否相等即可；画出的图象即可判断B，C，D. 【详解】对于A，因为，可知是的周期，故A正确； 令，即， 则，解得； 令，即0， 则，解得； 结合周期性可取和， 若，则； 若，则； 综上所述： 可得一个周期的图象如图1所示，结合周期性可得：的图象如图2所示， 对于B，由的图象可知，的最大值为，故B错误； 对于C，由的图象可知，没有对称中心，故C正确； 对于D，由图1可知在上单调递减，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量的概率分布密度函数，若.则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可得，再根据正态分布的对称性即可得解. 【详解】因为随机变量的概率分布密度函数， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知等差数列的前项和为，且，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据等差数列和的性质及项的性质计算求解. 【详解】由等差数列的性质可知，即， 由，得， 即，又， 所以. 故答案为：4. 14. 设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，转化为有三个解，令，利用导数求出的单调性和极值可得答案. 【详解】，设，则， 所以，，所以， 因为与的图象若恰有3组对称点， 所以有三组解，可得即有三个解， 令，即函数与的图象有3个不同的交点， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 所以，， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键点是转化为有三个解，然后构造函数结合图象. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在一个不透明的箱子里有8个大小相同的小球，其中5个黑球，3个红球.从中不放回地依次摸出3个小球. （1）求前两次摸出的球均为黑球的概率； （2）记表示摸出的小球中红球的数量，求的分布列及其数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为 【解析】 【分析】（1）求出每次为黑球的概率，在相乘即可； （2）写出随机变量的所有取值，再求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】 由题意，前两次摸出的球均为黑球的概率； 【小问2详解】 由题意，可取， 则， ， ， ， 所以的分布列为 . 16. 如图，在直三棱柱中，为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 设，连接， 在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以是的中点， 又为的中点，所以. 又平面，平面， 所以直线平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线性质以及线面平行判定定理证明可得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，平面， 又，平面，所以，， 又， 所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 因为，，，所以， 则，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，令1，得，， 所以平面的一个法向量为，又， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 在锐角中，内角所对的边分别为，且. （1）求角的值； （2）求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先对等式左边通分，结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理、诱导公式，可对等式进行化简，又为锐角三角形，化简可得，进而可求得角； （2）由正弦定理，可得，代入整式，结合三角恒等变换化简可得，又为锐角三角形，可得，结合三角函数定区间求值域即可求得其取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以， 又为锐角三角形，所以，所以且， 所以由，得，即，所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 由正弦定理，得， 所以 ， 又为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以，即. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，若存在零点，求实数的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1）当时， 在为单调递减函数； 当时，时，为单调递减函数；时，为单调递增函数. （2） （3）由（2）可得，当时，， 令，则， 所以 ， 即， 两边同时取指数可得， 又上式中，所以. 【解析】 【分析】（1）求导后分和讨论可得； （2）求导后分析单调性和最值，再结合零点可得； （3）当时，令，结合（2）的结论和对数的运算性质以及等差数列的求和公式得到，再两边同时取指数运算可得. 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，因，所以恒成立，即在为单调递减函数； 当时，令，所以当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数， 综上，当时， 在为单调递减函数； 当时，时，为单调递减函数；时，为单调递增函数. 【小问2详解】 当时，，，， 则， 令， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 因为存在零点，所以， 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 我们把等轴双曲线的一部分与半圆合成的曲线称作“羽毛球型”曲线，其中是焦距为8的等轴双曲线的一部分，如图所示. （1）求与的方程； （2）已知为“羽毛球型”曲线上的动点，求线段长度的最小值； （3）若直线与“羽毛球型”曲线有3个公共点，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对于曲线方程，根据等轴双曲线的性质和焦距求出参数，进而得到方程； （2）对于线段长度最小值，分点在不同曲线上的情况，利用两点间距离公式表示出，再根据函数性质求出最小值并比较. （3）通过分析直线与“羽毛球型”曲线的不同部分（双曲线和圆）的位置关系，根据直线斜率的不同取值范围，联立直线与曲线方程，利用判别式判断交点个数，进而确定满足直线与曲线有个公共点时的取值范围. 【小问1详解】 因为是焦距为8的等轴双曲线的一部分， 所以，解得 所以的方程为的方程为. 【小问2详解】 设，当时，， 因为，所以当时，； 当时，， 当时，. 又，所以， 即线段长度的最小值为. 【小问3详解】 易知直线与“羽毛球型”曲线有公共点， 联立，解得，或， 设. ①当时，又，所以直线与有2个公共点， 又的渐近线为，且中，所以与没有公共点， 即时，直线与“羽毛球型”曲线有2个公共点，不符合题意. ②当时，可知，则直线与只有1个公共点， 联立得，此时， 若，解得， 又，所以，此时与相切于第一象限，只有1个公共点； 若，解得或， 又，所以，此时与在第一象限有2个公共点. 所以时，直线与“羽毛球型”曲线有2个公共点，不符合题意，时，直线与“羽毛球型” 曲线有3个公共点，符合题意. ③当时，易知直线与没有公共点，与只有1个公共点，所以直线与“羽毛球型”曲线有1个公共点，不符合题意. 根据“羽毛球型”曲线的图象关于轴对称，可知当时，直线与“羽毛球型”曲线有3个公共点. 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $