专题01 相交线与平行线期末高频必刷题汇编-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版2024）

专题01 相交线与平行线期末高频必刷题汇编 一、单选题 1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在的网格中，可通过平移其中一个三角形得到另一个三角形．则下列各种平移过程，不正确的是（　　） A．将先向右平移3格，再向上平移2格得到 B．将先向上平移2格，再向右平移3格得到 C．将先向右平移3格，再向下平移2格得到 D．将先向下平移2格，再向左平移3格得到 3．如图，直线，被直线所截，下列条件中能判定的是（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，D是直线上一点，，，则下列结论中错误的是（   ） A．与互补 B．与互余 C．与相等 D．平分 5．如图是小周同学在校运会上投掷实心球的场景，当投掷完毕时，测量员选取的长度作为小周的成绩，其依据是（  ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6．如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和不一定相等的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，直线，相交于点，平分，，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（    ） A．两点之间直线最短 B．如果，那么的补角的度数为 C．如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小 D．相等的两个角是对顶角 9．如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，则下列结论中正确的是（　　） ①线段的长度是点P到直线l的距离；②线段是A点到直线的距离；③在三条线段中，最短；④线段的长度是点P到直线l的距离 A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④ 10．如图，当光线从空气进入水中时，会发生折射，满足入射角与折射角的度数比为，如图，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面夹角分别为，，在水中两条折射光线的夹角为，则，，三者之间的数量关系为（  ）    A． B． C． D． 11．如图，下列条件中不能判定的是（　　） A． B． C． D． 12．方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（    ） A．105° B．120° C．130° D．145° 13．如图，下列条件中：①；②；③；④．其中能判断的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 14．如图，已知∥，，分别平分和，且交于点，则(    ) A． B． C． D． 15．数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（    ） A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角 C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角 16．绍兴市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，当为（     ）度时，与平行．    A．61 B．66 C．86 D．114 17．小强在科学课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验，如图，老师在该厂房房檐处安装一平面镜，与墙面所成的角为，房顶与水平地面平行，小强在点M的正下方C处观察平面镜，恰能在M点看到水平地面上的点D．则的度数为（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 18．如图，直线与相交于点B，，，则的度数是 ． 19．为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图数学问题：已知 ，，，则 ．    20．如图，将沿方向平移得到，如果四边形的周长是，则的周长是 ． 21．如图，长方形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且ab，∠1＝50°，则∠2的度数为 ． 22．如图，将三角形ABC沿水平方向向右平移到三角形DEF的位置．已知点A，D之间的距离为1，CE＝2，则BF的长为 ． 23．如图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成图2，再沿折叠成图3；用α表示图3中的大小为 24．两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，．接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间 秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 25．如图，已知直线，点，分别在直线，上，点为，之间一点，且点在的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点……以此类推，若，则的值是 ． 三、解答题 26．如图，直线与直线交于点，射线在 内部，是的平分线，且． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 27．“苍南1号”是我国第一个平价海上风电项目，服务于国家“双碳”战略，具有显著的环境效益和经济效益．如图1所示，风电机的塔架垂直于海平面，叶片，，可绕着轴心旋转，且． (1)如图2，当时，求的度数． (2)叶片从图3位置（与重合）开始绕点顺时针旋转，若旋转后与互补，则旋转的最小角度是多少度？ 28．如图，三角尺的直角顶点P在直线上，其中，．    (1)如图①，若，求的度数． (2)如图②，若，平分，求的度数． (3)在（1）的条件下，将三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，旋转t秒后得到三角尺，如图③，当时，求t的值． 29．（1）如图1，已知直线，且和分别交于两点，点在上，则的等量关系是________．如图2，点A在B处北偏东方向，在C处的北偏西方向，则________． （2）如图3，和的平分线交于交于点，试说明：；并探究与的数量关系． 30．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线    和一块含角的直角三角尺（，）”为主题开展数学活动．    (1)如图1，三角尺的角的顶点G在上．若，则的度数为　　． (2)如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在和上，请你探索与之间的数量关系． (3)如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E在上．若，，请直接写出与的数量关系（用含，的式子表示） 31．如图，点在的延长线上，连接，作的角平分线分别交线段，于点，点，已知，．    (1)试说明； (2)若，，求的度数． 32．如图1，，，，是线段上一点，过点分别作，，分别交于点，点．      (1)求的度数． (2)点为直线上的一个动点，连接． ①如图2，当点在点的左侧，且时，判断与的位置关系，并说明理由． ②在整个运动过程中，是否存在点，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 33．如图，已知，．    (1)求的值； (2)若平分，交于点，且，求的度数． 34．如图，，F为上一点，且平分，过点F作于点G，作交于点P，．    (1)求证：． (2)若平分，求证：． 35．如图，已知，．    (1)如图①，求证：； (2)如图②，连接，若点E，F在线段上，且满足，并且平分，求的度数；（用含m的代数式表示） (3)如图③，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，求的度数．（用含的代数式表示） 36．【问题提出】 如图，在三角形中，D是上一点交于点E，F是线段延长线上的一点，连接，且。 (1)如图1，试说明； 【问题探究】 (2)如图2，连接，若： ①求的度数； ②点G是延长线上的一点，若，求的度数． 37．如图，在平面内有三个点A，B，C，按下列要求画出图形． (1)连接，并延长至点D，使得B为线段中点； (2)画出A，C两点之间最短的线： (3)画射线，并在射线上找一点E，使线段的长度最短． 38．【原题】已知直线ABCD，点P为平行线AB，CD之间的一点，如图1，若∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP． (1)则∠P=______，∠E=______． (2)【探究】如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP=α，∠CDP=β，∠ABP和∠CDP的平分线交于点，∠ABE1与的角平分线交于点，∠ABE与∠CDE的角平分线交于点，…以此类推，求∠E的度数，并猜想∠E的度数． (3)【变式】如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，试直接写出∠P与∠E的数量关系． 39．课题学习：平行线的“等角转化”功能．    (1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求的度数． 阅读并补充下面推理过程 解：过点A作 ，_________________． __________________ 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图2，已知，求证：提示：过点C作． (3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，平分，DE平分，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数。 ②如图4，点B在点A的右侧，且，若，则的度数为___________． 40．如图，已知直线射线CD，．P是射线EB上一动点，过点P作交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF． (1)若点P，F，G都在点E的右侧． ①求∠PCG的度数； ②若，求∠CPQ的度数． (2)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由． 41．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）： (1)①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为 ； ②若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数； (2)由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由； (3)当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由． 42．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，且a、b满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即//，且 (1)求a、b的值； (2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达之前．若射出的光束交于点C，过C作交于点D，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线与平行线期末高频必刷题汇编 一、单选题 1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用平移设计图案，熟练掌握图形平移不变性的性质是解答此题的关键．由题意根据图形平移的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：由图可知B不是平移得到，C不是平移得到，D不是平移得到， A是利用图形的平移得到． 故选：A． 2．如图，在的网格中，可通过平移其中一个三角形得到另一个三角形．则下列各种平移过程，不正确的是（　　） A．将先向右平移3格，再向上平移2格得到 B．将先向上平移2格，再向右平移3格得到 C．将先向右平移3格，再向下平移2格得到 D．将先向下平移2格，再向左平移3格得到 【答案】C 【分析】本题考查图形变换−平移．根据平移前后的图形，确定平移方式即可求解． 【详解】解：由图可得， 将先向右平移3格，再向上平移2格得到， 或将先向上平移2格，再向右平移3格得到； 将先向下平移2格，再向左平移3格得到， 或将先向左平移3格，再向下平移2格得到； 综上所述，只有选项C错误，符合题意． 故选：C． 3．如图，直线，被直线所截，下列条件中能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能得到，不符合题意； B、，不能得到，不符合题意； C、，对顶角相等，不能得到，不符合题意； D、，内错角相等，两直线平行，能得到，符合题意； 故选D． 4．如图所示，D是直线上一点，，，则下列结论中错误的是（   ） A．与互补 B．与互余 C．与相等 D．平分 【答案】C 【分析】本题主要考查余角和补角以及垂线的定义，解决此题的关键是熟练掌握这些知识点并灵活运用． A．利用补角的定义即可得到答案；B．利用余角的定义即可得到答案；C．没有可以验证相等的条件；    D．利用等角的补角相等即可得出答案． 【详解】解：A ∴，故本选项不符合题意； B．∵，     ∴，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．∵， 同理可得， ∴平分，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．如图是小周同学在校运会上投掷实心球的场景，当投掷完毕时，测量员选取的长度作为小周的成绩，其依据是（  ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】此题考查了垂线段最短的性质的运用．由点到直线的距离的定义及投掷实心球比赛的规则作出判断． 【详解】解：投掷完毕时，测量员选取的长度作为小周的成绩，其依据是垂线段最短， 故选：A． 6．如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和不一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余角和对顶角的性质，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．根据对顶角和余角的性质即可判断． 【详解】解：A、∠α与∠β互余，但不一定相等，故本选项符合题意； B、根据同角的余角相等，则和一定相等，故本选项不合题意； C、根据等角的余角相等，则和一定相等，故本选项不合题意； D、根据对顶角相等，则和一定相等，故本选项不合题意； 故选：A． 7．如图，直线，相交于点，平分，，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角，角平分线的定义，垂线的定义；熟练掌握“对顶角相等；一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线”是解题的关键． 根据对顶角的性质可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据垂直的定义可得，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 8．下列说法正确的是（    ） A．两点之间直线最短 B．如果，那么的补角的度数为 C．如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小 D．相等的两个角是对顶角 【答案】C 【分析】根据线段的性质、补角和余角、对顶角等知识进行解答即可，此题考查了线段的性质、补角和余角、对顶角的性质等知识，熟练掌握相关性质和定义是解题的关键． 【详解】解：A．两点之间线段最短，故选项错误，不符合题意； B．如果，那么的补角的度数为，故选项错误，不符合题意； C．如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小，故选项正确，符合题意； D．相等的两个角不一定是对顶角，故选项错误，不符合题意． 故选：C 9．如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，则下列结论中正确的是（　　） ①线段的长度是点P到直线l的距离；②线段是A点到直线的距离；③在三条线段中，最短；④线段的长度是点P到直线l的距离 A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离及垂线段最短等知识点．点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离．熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：∵于点B， ∴线段的长度是点P到直线l的距离，故①正确，④错误； ∵， ∴线段的长度是A点到直线的距离，故②错误； 根据垂线段最短，在三条线段中，最短，故③正确； 故选：C． 10．如图，当光线从空气进入水中时，会发生折射，满足入射角与折射角的度数比为，如图，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面夹角分别为，，在水中两条折射光线的夹角为，则，，三者之间的数量关系为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过，，分别作水平线的垂线，则，依据平行线的性质以及光的折射原理，即可得到，，三者之间的数量关系． 【详解】解：过，，分别作水平线的垂线，如图所示：   ， ， 由题可得，，， ，， ，即， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 11．如图，下列条件中不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，不能判定，则此项符合题意； B、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），则此项不符合题意； C、∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），则此项不符合题意； D、∵， ∴（同位角相等，两直线平行），则此项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的判定，能灵活运用平行线的判定进行推理是解题关键． 12．方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（    ） A．105° B．120° C．130° D．145° 【答案】A 【分析】由矩形的性质可知，由此可得出∠BFE=∠DEF=25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数． 【详解】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴， ∴∠BFE＝∠DEF＝25°． 由翻折的性质可知：图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°， ∴图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°． 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠CFE=180°-3∠BFE．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键． 13．如图，下列条件中：①；②；③；④．其中能判断的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】分析：根据平行线的判定定理求解，即可求得答案． 【详解】①∵∠1=∠4， ∴； ②∵∠2=∠3， ∴； ③∵， ∴； ④∵， ∴； ∴能得到的条件是②④. 故选择：D 【点睛】本题考查了平行线的判定， 掌握平行线的三种判定方法是解此题的关键. 14．如图，已知∥，，分别平分和，且交于点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，利用平行线的性质可证得，可以得到与的关系 【详解】解：过点作，如图： ， ∴CD∥EM ， ∴ ∵ 的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 整理得：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意数形结合思想的运用． 15．数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（    ） A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角 C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角 【答案】D 【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可． 【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知 第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角． 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们． 16．绍兴市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，当为（     ）度时，与平行．    A．61 B．66 C．86 D．114 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】解：∵，都与地面l平行， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 17．小强在科学课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验，如图，老师在该厂房房檐处安装一平面镜，与墙面所成的角为，房顶与水平地面平行，小强在点M的正下方C处观察平面镜，恰能在M点看到水平地面上的点D．则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平行线的性质得到，然后利用平面镜的特点得到． 【详解】∵， ∴ ∵小强在点M的正下方C处观察平面镜，恰能在M点看到水平地面上的点D ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 二、填空题 18．如图，直线与相交于点B，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线的定义、对顶角相等、几何图中角度的计算，根据两直线垂直，可得的度数，根据对顶角的性质，可得的度数，根据角的和差，可得答案． 【详解】解：， ． 与是对顶角， ． 由角的和差，得 ， 故答案为： 19．为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图数学问题：已知 ，，，则 ．    【答案】/30度 【分析】过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论、平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得． 【详解】解：如图，过点作，   ，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 20．如图，将沿方向平移得到，如果四边形的周长是，则的周长是 ． 【答案】22 【分析】根据平移的性质，得到AD=BE=3cm，AB=DE，AC=DF，结合三角形的周长表示计算即可． 【详解】∵沿方向平移得到， ∴AD=BE=3cm，AB=DE，AC=DF． ∵四边形的周长是， ∴AD+AB+BF+DF=28， ∴AD+DE+ BE +EF+DF=28， ∴3+DE+3 +EF+DF=28， ∴DE+EF+DF=22， ∴的周长是22cm， 故答案为：22cm． 【点睛】本题考查了平移的性质，图形的周长，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 21．如图，长方形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且ab，∠1＝50°，则∠2的度数为 ． 【答案】50° 【分析】作BF∥a，得到∠3＝∠1，利用长方形四个角的特征，得到∠4＝40°，再利用BF∥b，得到∠5＝∠4，即可求解． 【详解】解：作BF∥a， ∴∠3＝∠1＝50°， ∵四边形ABCD是长方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠4＝40°， ∵BF∥a，a∥b， ∴BF∥b， ∴∠5＝∠4＝40°， ∴∠2＝180°﹣∠5﹣90°＝50°， 故答案为：50°． 【点睛】本题考查平行线的性质．关键在于添加辅助线，利用“两直线平行，内错角相等”解题． 22．如图，将三角形ABC沿水平方向向右平移到三角形DEF的位置．已知点A，D之间的距离为1，CE＝2，则BF的长为 ． 【答案】4 【分析】根据平移的性质，得到BE和CF的长度，再根据，即可求出． 【详解】解：∵平移，点A，D之间的距离为1， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查平移的距离：对应点间线段的长度即为平移的距离． 23．如图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成图2，再沿折叠成图3；用α表示图3中的大小为 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由四边形为长方形，利用平行线的性质可得出和，再结合图2中及图3中，即可求出． 【详解】图1中，∵四边形为长方形，， ∴， ∴， ∴， ∴图2中，， ∴图3中，， ∴． 故答案为：． 24．两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，．接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间 秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 【答案】2或3或5 【分析】分三种情况：①当 AB时，②当 AC时，③当 AB时，分别根据平行线的性质求出∠的度数，进而解答即可． 【详解】解：分三种情况： ①当 AB时，如图： ∴∠＝∠BAC＝45°， ∴15t＝45， ∴t＝3； ②当 AC时，如图， ∴∠＝∠＝30°， ∴15t＝30， ∴t＝2； ③当 AB时，如图，过点C作CEAB，则CEAB ， ∴∠ACE＝∠A，∠＝∠， ∴∠＝∠ACE＋∠＝∠A＋∠＝75°， ∴15t＝75， ∴t＝5． 综上所述，当旋转时间t＝2或3或5秒时，三角板有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行． 故答案为：2或3或5． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 25．如图，已知直线，点，分别在直线，上，点为，之间一点，且点在的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点……以此类推，若，则的值是 ． 【答案】4 【分析】作EF//AB则AB//CD//EF，根据平行线的性质得出∠MEN=∠BME+∠DME=128°，同理∠ME1N=(∠BME+∠DME) =64°，∠ME2N=(∠BME1+∠DME1) =32°，可归纳规律∠MEnN=(∠BMEn-1+∠DMEn-1) =，依此建立方程=8°求解即可解答． 【详解】解：如图：作EF//AB ∵AB//CD ∴AB//CD//EF ∴∠FEM=∠BME, ∠FEN=∠DNE, ∴∠MEN=∠BME+∠DME=∠FEM +∠FEN =∠MEN= 128° 同理：ME1N=(∠BME+∠DME) =64°， ∠ME2N=(∠BME1+∠DME1) =32° … ∠MEnN=(∠BMEn-1+∠DMEn-1) = 由题意得：=8°，解得n=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了平行线的性质、探索图形规律、角平分线的定义等知识点，正确的识别图形、归纳图形规律是解答本题的关键． 三、解答题 26．如图，直线与直线交于点，射线在 内部，是的平分线，且． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂线、角平分线的定义以及角的计算、解一元一次方程，解决本题的关键是熟练运用这些知识点建立等量关系式． （1）先求，再求即可求出答案； （2）设，根据题意列出方程式，再根据补角的定义即可解决问题， 【详解】（1）解：， ， ， ， 是的平分线， ， ， ． （2）解：设，则， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 27．“苍南1号”是我国第一个平价海上风电项目，服务于国家“双碳”战略，具有显著的环境效益和经济效益．如图1所示，风电机的塔架垂直于海平面，叶片，，可绕着轴心旋转，且． (1)如图2，当时，求的度数． (2)叶片从图3位置（与重合）开始绕点顺时针旋转，若旋转后与互补，则旋转的最小角度是多少度？ 【答案】(1) (2)旋转的最小角度是 【分析】本题考查了余角和补角定义的应用，角的计算，认识图形，正确进行角的计算是解题的关键． （1）根据题意，得到，根据垂直的定义，结合图形，得到的度数； （2）根据题意，设旋转的最小角度是，由与互为补角，求出的值，得到结果． 【详解】（1）解：因为， 又因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． （2）解：设旋转的最小角度是，则，， 因为与互补， 所以，即， 解得， 所以旋转的最小角度是． 28．如图，三角尺的直角顶点P在直线上，其中，．    (1)如图①，若，求的度数． (2)如图②，若，平分，求的度数． (3)在（1）的条件下，将三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，旋转t秒后得到三角尺，如图③，当时，求t的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据平角的定义和已知角求解即可； （2）根据平行线的性质得到,由平分得到，即可得到答案； （3）根据t的取值范围分别进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2） ， , 平分， ∴， ∴； （3）由得 当时，， 解得，（舍）； 当时，， 解得，； 当时，， 解得（舍）； 当时，， 解得，， 综上所述，或． 29．（1）如图1，已知直线，且和分别交于两点，点在上，则的等量关系是________．如图2，点A在B处北偏东方向，在C处的北偏西方向，则________． （2）如图3，和的平分线交于交于点，试说明：；并探究与的数量关系． 【答案】（1）；（2）；(3)证明见解析，． 【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，正确添加辅助线是解决问题的关键． （1）在图1中，作，利用平行线的判定和性质即可证明； （2）作即可得到，代入求得的度数． （3）和的平分线交于，且，可得，可得，得到，将等角代换，即可得出． 【详解】解：（1）如图1中，作，则 ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 作，则， ∵点A在B处北偏东方向，在C处的北偏西方向， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵平分， ∴， ∵∠ ∴， ∴； ∴， ∴， ∴． 30．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线    和一块含角的直角三角尺（，）”为主题开展数学活动．    (1)如图1，三角尺的角的顶点G在上．若，则的度数为　　． (2)如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在和上，请你探索与之间的数量关系． (3)如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E在上．若，，请直接写出与的数量关系（用含，的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平行线的性质求得，根据，列式计算即可求解； （2）过点F作 ，证明，据此即可求解； （3）利用平行线的性质求得，再根据，，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，过点F作，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线并且熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 31．如图，点在的延长线上，连接，作的角平分线分别交线段，于点，点，已知，．    (1)试说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质得出，根据平行线的性质可得； （2）根据平行线的性质可得，根据平行线的性质得出，，根据（1）的结论得出，，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵ ∴， （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 32．如图1，，，，是线段上一点，过点分别作，，分别交于点，点．      (1)求的度数． (2)点为直线上的一个动点，连接． ①如图2，当点在点的左侧，且时，判断与的位置关系，并说明理由． ②在整个运动过程中，是否存在点，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②存在，或 【分析】（1）根据平行线的性质得出，，．则，根据即可求解； （2）①根据题意可得，根据平行线的性质可得，求得，即可得出结论； ②当点在点的左侧时．当点在点的右侧时．分别画出图形，根据平行线的性质结合图形，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ． ．                        ， ． ．     ．                          （2）①．                                                               理由如下： ， ． ， ． ． ．                                                     ②存在点，使得． 下分两种情况： Ⅰ．如图，当点在点的左侧时． ， ． ， ． ， ， ．                          Ⅱ．如图，当点在点的右侧时． ， ． ， ． ， ， ．                            【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 33．如图，已知，．    (1)求的值； (2)若平分，交于点，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平行线的性质即可得到的值； （2）作，由平行线的性质可得，则，再根据可得，则，由角平分线的性质可得，则，最后在根据平行线的性质进行计算即可得到答案 ． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：作，如图，   ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 34．如图，，F为上一点，且平分，过点F作于点G，作交于点P，．    (1)求证：． (2)若平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，得，利用平行线的性质及垂直的性质，结合平角可得，，进而可得结论； （2）利用角平分线的定义求得，，进而求得，即可得，进而证得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴．    【点睛】本题考查平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义，理解相关性质及定义是解决问题的关键． 35．如图，已知，．    (1)如图①，求证：； (2)如图②，连接，若点E，F在线段上，且满足，并且平分，求的度数；（用含m的代数式表示） (3)如图③，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，进而推出，即可证明； （2）先由平行线的性质得到，再根据已知条件可证明； （3）证明，再由，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． 36．【问题提出】 如图，在三角形中，D是上一点交于点E，F是线段延长线上的一点，连接，且。 (1)如图1，试说明； 【问题探究】 (2)如图2，连接，若： ①求的度数； ②点G是延长线上的一点，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据可得，再由已知条件推出，即可证明； （2）①如图，过点作，可得，继而证明，可得，根据求解即可； ②根据题意，则．根据，列一元一次方程解方程求解即可得，根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图，过点作， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ②∵，， ∴． ∵， ∴设，则． ∵， ∴，． ∵， ∴， 解得， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，根据平行线的性求角度，一元一次方程的应用，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 37．如图，在平面内有三个点A，B，C，按下列要求画出图形． (1)连接，并延长至点D，使得B为线段中点； (2)画出A，C两点之间最短的线： (3)画射线，并在射线上找一点E，使线段的长度最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据题意结合线段的作图方法作图即可； （2）根据两点之间线段最短，只需要连接，即为所求； （3）先画出射线，再根据点到直线的距离垂线段最短作出交于E即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 【点睛】本题主要考查了画线段，射线，垂线，两点之间线段最短，点到直线的距离，垂线段最短等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 38．【原题】已知直线ABCD，点P为平行线AB，CD之间的一点，如图1，若∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP． (1)则∠P=______，∠E=______． (2)【探究】如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP=α，∠CDP=β，∠ABP和∠CDP的平分线交于点，∠ABE1与的角平分线交于点，∠ABE与∠CDE的角平分线交于点，…以此类推，求∠E的度数，并猜想∠E的度数． (3)【变式】如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，试直接写出∠P与∠E的数量关系． 【答案】(1)110°，55° (2)∠E的度数为，∠E的度数为 (3)∠DEB=90°-∠P 【分析】（1）过E作EFAB，而ABCD，根据平行线的性质和角平分线的性质即可求解； （2）根据平行线的性质和角平分线的性质即可求解； （3）过E作EGAB，而ABCD，根据平行线的性质和角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）如图1，过E作EFAB，而ABCD， ∴ABCDEF， ∴∠ABE=∠FEB，∠CDE=∠FED， ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE， 又∵∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP， ∴∠ABE=∠ABP=25°，∠CDE=∠CDP=30°， ∴∠BED=25°+30°=55°， 同理：∠BPD=110°． 故答案为：110°，55°； （2）如图2，∵∠ABP和∠CDP的平分线交于点， ∴∠ABE=∠ABP=α，∠CDE=∠CDP=， ∵ABCD， ∴∠CDF=∠AFE=， ∴∠E=∠AFE-∠ABE=， ∵∠ABE与∠CDE的角平分线交于点E， ∴∠ABE=∠ABE=，∠CDE=∠CDE=， ∵ABCD， ∴∠CDG=∠AGE=， ∴∠E=∠AGE-∠ABE=， 同理可得，∠E=， 以此类推，∠E的度数为； （3）∠DEB=90°-∠P．理由如下： 如图3，过E作EGAB，而ABCD， ∴ABCDEG， ∴∠MBE=∠BEG，∠FDE=∠GED， ∴∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE， 又∵∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E， ∴∠FDE=∠PDF=(180°-∠CDP)，∠ABQ=∠ABP， ∴∠DEB=∠ABP+(180°-∠CDP)=90°-(∠CDP-∠ABP)， ∵ABCD， ∴∠CDP=∠AHP， ∴∠DEB=90°-(∠CDP-∠ABP)=90°-(∠AHP-∠ABP)=90°-∠P． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和平分线的性质，解决本题的关键是掌握以上的性质并熟练的运用． 39．课题学习：平行线的“等角转化”功能．    (1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求的度数． 阅读并补充下面推理过程 解：过点A作 ，_________________． __________________ 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图2，已知，求证：提示：过点C作． (3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，平分，DE平分，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数。 ②如图4，点B在点A的右侧，且，若，则的度数为___________． 【答案】(1)∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC (2)见详解 (3)①55°；②160 【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论； （2）过C作CFAB，根据平行线的性质得到∠D+∠FCD＝180°，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论； （3）①过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数； ②∠BED的度数改变．过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，进而可求∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°． 【详解】（1）如图1，过点A作EDBC，    ∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC， ∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°， 故答案为：∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC； （2）如图2，过C作CFAB，   ， ∵ABDE， ∴CFDE， ∴∠D+∠FCD＝180°， ∵CFAB， ∴∠B＝∠BCF， ∵∠D+∠BCD＝180°+∠BCF， ∴∠D+∠BCD＝180°+∠B， 即∠D+∠BCD﹣∠B＝180°； （3）①如图3，过点E作EFAB，    ∵ABCD， ∴ABCDEF， ∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝50°，∠ADC＝60°， ∴∠ABE∠ABC＝25°，∠CDE∠ADC＝30°， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝25°+30°＝55°； ②如图4，过点E作EFAB，    ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝100°，∠ADC＝60°， ∴∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°， ∵ABCD， ∴ABCDEF， ∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°， 故答案为：160． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线． 40．如图，已知直线射线CD，．P是射线EB上一动点，过点P作交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF． (1)若点P，F，G都在点E的右侧． ①求∠PCG的度数； ②若，求∠CPQ的度数． (2)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在，或 【分析】（1）①根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义即可得到的度数；②根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到，再根据即可得出； （2）设，则，分两种情况讨论：①当点在点的右侧时，②当点在点的左侧时，根据平行线的性质和角平分线的定义，得出等量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵，平分， ∴ ∴； ②∵，， ∴，， ∴， 又， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ， ， ∵， ∴． （2）解：设，则， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当点在点的右侧时， ∵， ， ， ∵， ， ∵平分， ， ， ∵， ∴， ∵，   ，即， 解得， ∴； ②如图，当点在点的左侧时，    ∵， ， ， ∵， ， ∵平分， ， ， ∵，   ∴， ∵， ，即， 解得， ∴； 综上，存在这样的情形，使，此时的度数为或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键． 41．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）： (1)①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为 ； ②若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数； (2)由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由； (3)当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①135°；②40° (2)∠ACB+∠DCE=180°，理由见解答过程； (3)存在，∠ACE的度数为30°或45°或120°或135°或165°． 【分析】（1）①根据∠DCE和∠ACD的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠BCE求得∠ACB的度数；②根据∠BCE和∠ACB的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠ACD求得∠DCE的度数； （2）根据∠ACE=90°-∠DCE以及∠ACB=∠ACE+90°，进行计算即可得出结论； （3）分五种情况进行讨论：当CBAD时，当EBAC时，当CEAD时，当EBCD时，当BEAD时，分别求得∠ACE的度数． 【详解】（1）解：①∵∠DCE=45°，∠ACD=90°， ∴∠ACE=45°， ∵∠BCE=90°， ∴∠ACB=90°+45°=135°， 故答案为：135°； ②∵∠ACB=140°，∠ECB=90°， ∴∠ACE=140°-90°=50°， ∴∠DCE=90°-∠ACE=90°-50°=40°， 故答案为：40°； （2）解：猜想：∠ACB+∠DCE=180°， 理由如下：∵∠ACE=90°-∠DCE， 又∵∠ACB=∠ACE+90°， ∴∠ACB=90°-∠DCE+90°=180°-∠DCE， 即∠ACB+∠DCE=180°； （3）解：存在，30°、45°、120°、135°、165°． 理由：当CBAD时，如图1所示： ∴∠DCB=∠D=30°， ∴∠ACE=∠DCB=30°； 当EBAC时，如图2所示： ∴∠ACE=∠E=45°； 当CEAD时，如图3所示： ∴∠DCE=∠D=30°， ∴∠ACE=90°+30°=120°； 当EBCD时，如图4所示： ∴∠DCE=∠E=45°， ∴∠ACE=90°+45°=135°； 当BEAD时，延长AC交BE于F，如图5所示： ∴∠CFB=∠A=60°， ∵∠ECF+∠E +∠CFE=180°，∠CFB +∠CFE =180°， ∴∠ECF =15°， ∴∠ACE=180°-∠ECF=180°-15°=165°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 42．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，且a、b满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即//，且 (1)求a、b的值； (2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达之前．若射出的光束交于点C，过C作交于点D，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围． 【答案】(1)a=3，b=1 (2)当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行 (3)不变，2∠BAC=3∠BCD 【分析】（1）根据非负数的性质列方程组求解即可； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况：①在灯A射线到达AN之前；②在灯A射线到达AN之后，分别列出方程求解即可； （3）设A灯转动时间为t秒，则∠CAN＝180°−3t，∠BAC＝∠BAN−∠CAN＝3t−135°，过点C作CF∥PQ，则CF∥PQ∥MN，得出∠BCA＝∠CBD＋∠CAN＝180°−2t，∠BCD＝∠ACD−∠BCA＝2t−90°，即可得出结果． 【详解】（1）∵|a-3b|+（a+b-4）²=0， ∴， 解得：， 故a=3，b=1； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①在灯A射线到达AN之前，由题意得：3t＝（20＋t）×1， 解得：t＝10， ②在灯A射线到达AN之后，由题意得：3t−180°＝180°−（20＋t）×1， 解得：t＝85， 综上所述，A灯转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行； （3）∠BAC与∠BCD的数量关系不发生变化，2∠BAC＝3∠BCD； 理由：设A灯转动时间为t秒，则∠CAN＝180°−3t， ∴∠BAC＝∠BAN−∠CAN＝45°−（180°−3t）＝3t−135°， ∵PQ∥MN， 如图2，过点C作CF∥PQ，则CF∥PQ∥MN， ∴∠BCF＝∠CBD，∠ACF＝∠CAN， ∴∠BCA＝∠BCF＋∠ACF＝∠CBD＋∠CAN＝t＋180°−3t＝180°−2t， ∵CD⊥AC， ∴∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝∠ACD−∠BCA＝90°−（180°−2t）＝2t−90°， ∴2∠BAC＝3∠BCD． 【点睛】本题考查了非负数的性质、解二元一次方程组、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$