河南省驻马店市九师联盟2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水答字笔在答题卡上各题的答题区城内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知复数x满足z(1十i)=3十i,则x= A.1-i B.1+i C.2-i D.2+i 2.函数f(x)=x十cosx在区间[一受，x]上的最大值为 A.π B受+1 c D.x-1 3.已知幂函数f(x)=(m2+m一1)x”的图象与坐标轴无公共点，则m= A.-2 B.1 C.-2或1 D.-1或2 4,有3对双胞胎孩子站成一排拍照，则每对双胞胎必须相邻的排法有 A.12种 B.24种 C.48种 D.96种 5.小明和小强两人计划假期到南京游玩，他们分别从“夫子庙”“钟山风景区”“玄武湖”三个景区中随机选 择一个游玩.记事件A=“两人中至少有一人选择夫子庙”，事件B=“两人选择的景区不同”，则 P(BA)= A号 R号 c D号 【高二摸底联考·数学第1页（共4页）】 6.已知函数f(x)=2sim(r一晋)(w>0)在区间(0，)上怡有3个极值点，则w的取值范围为 A[骨] (骨 C.(3,4幻 D得] 7.已知点P为曲线y=x十9上的动点，则点P到直线x十y=0的距离的最小值为 A.3√2 B.6 C 2 D.9 8.已知点P为空间一定点，圆锥SO(O为底面的中心)表面上的所有点到点P的距离均不超过3，则当该 圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为 A.83π B.92π C.122 D.16π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题正确的是 A.“Vx>0,lnx>0”的否定为“3x>0,lnx≤0” B.“x2>1”是“x>1”的必要条件 C.若log4·loga=2,则b=2 D.Va∈R,sin(x十a)≠sin xsin a十cos xcos a 10.记事件M中的样本点个数为‖M‖.对于一个古典概型试验的样本空间2和事件E,F,G,H,已知 E二2，F二2，G二2，HC2,I2‖=80，‖EI=40,∥FI=30,IG‖-20，∥HI=50,IEUFI =70,IENGI=10,IEUH‖=80，则 A.E与H互斥 B.E与F互斥 C.E与G相互独立 D.E与H相互独立 11.已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x十6)为奇函数.若实数a,b满足不等式f(a2一6a)+f(b -86+36)≤0，则 A.a十b的取值范围为[4√2,5√2] B.a-b的取值范围为[-1-√2，-1+√2] C.若a,b∈Z,则满足条件的点(a,b)共有5个 D.a2+b2的取值范围为[16,36] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合A={xx3-x-2≤0}，B={-2,-1,0,2,3},则A∩B= 13.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=6,D(X)=2,则当k= 时，P(X=k)取得最大值。 14.已知函数f(z)=ae+xih兰-x+父(a∈R),若Vx∈[1，+oo),f(x)≥0，则a的取值范围为 【高二摸底联考·数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 如图，在三棱锥P-ABC中，PA=6,PB=3W6,PC=62,AB=BC=3V2,AB⊥BC, (1)求证：PA⊥平面ABC: (2)若点D满足PD=2D心，求平面ABD与平面ACD的夹角的余弦值. 16.(本小题满分15分) 用随机抽样的方法，从某学校抽取400名学生的数学和语文期末考试成绩，并对两科成绩是否优秀进 行统计与整理，得到如下列联表： 语文不优秀 语文优秀 合计 数学不优秀 75 280 数学优秀 40 合计 400 (1)完善上面2×2列联表，并依据a=0.001的独立性检验，能否认为数学成绩是否优秀与语文成绩 是否优秀有关联？ (2)现从数学成绩优秀的样本中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取12人组成一个小组，再从 该小组中随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中语文成绩优秀的人数X的分布列和数学期望. n(ad-bc)2 附：X=a+b+ac)6+dn=a+b+c+d 0.010 0.050 0.001 3.841 6.635 10.828 17.(本小题满分15分) 已知熊圆E专+兰=1(。>6>0)的离心率为分，依次连接E的四个顶点构成的四改形的面积为5。 (1)求E的方程； (2)已知A为E的左顶点，不过点A的直线L与E交于P,Q两点，直线l,AP,AQ的斜率分别为k, k1,k2,若k(1十k2)=一3，证明：l过定点. 【高二摸底联考·数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 已知数列a,)的前n项和为S.a,≠0，a=是，S,=aa: (1)求{an}的通项公式： (2)若b=1,且6+1+bn=4a+1,求数列(b.}的通项公式： (3)在(2的条件下，若e,=1一m）·2,求e}的前n项和T b 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)的定义域为D,f(x)为其导函数.若Vx∈D,f(x)>f(x),则称f(x)为D上的“优 导函数”. (1)判断f(x)=E+cos受是否是[0，x]上的“优导函数"？ (2)已知g(x)=ae红一3x为R上的“优导函数”，求实数a的取值范围； (3)已知h(x)为R上的优导函数”，且h(1)=e,若存在唯一正数t,使得h(lnt十1一mt)=e+1, 求实数m的取值范围， 【高二摸底联考·数学第4页（共4页）】 高二数学参考答案、提示及评分细则 1.C由题意，得：-名书得号-号-2-i故选C 2D由f)=十c0s,得了)=1-血>0.所以fx)在[-受，]上单调递增，所以f(x=f()=-1. 故选D. 3.A因为f(x)为幂函数，所以㎡2十m一1=1，即m+m一2=0，解得m=一2或m=1.当m=一2时，f(x)=x2,符合 题意；当m=1时，f(x)=x,不合题意.综上，m=一2.故选A 4.C将每对双胞胎孩子捆绑在一起，然后再排列，有AA量AA=48种排法.故选C 5A由题意，得PA)=1-一淡等-号，PAB)-淡等音，所以P(BA)-票-号故选N 6B当rE0,x)时一看∈（一看m一看），由题意，得受<om一吾<受解得号<w<},即w的取值范围为 (停号]故选8 7.B 法一：设P(,+),则P到直线x+y=0的距离d= ++_2+ 211+ 2 9 2W2t· √2 =6,当且仅当21t小= ,即1=士3号时，等号成立，所以P到直线x十y=0的距离的最小值为6 故选B 法二：设确线y=计号在数卫，处的切线与直线十y=0平行，由了=1是=-1，得=士号则R(色号，2) 或P(一要，-婴)，则动点P到直线x十y=0的距离的最小值为 32+9 2 2 =6.故选B. 8.A因为圆锥SO表面上所有点到点P的距离均不超过3，所以圆锥S)表面上所有点均在以定点P为球心，3为半径 的球内或球面上，要使圆锥S)的体积最大，则圆锥SO的顶点及底面圆周上的所有点均在球 面上，且球心P在圆锥的内部，此时圆锥SO的轴截面如图所示.设圆锥S)的底面圆周的半径为 r,球心P到圆锥底面的距离为x,则SP=BP=3,OP=x,OB=r,所以x2+子=9，圆锥SO的体 积Vx)=号(x+3)=号x(9-t)(x+3)0<<3).则V()=号(-2z)x+3)+ (9-x)]=-π(x十3)(x-1).由V(x)>0,得0<x<1:由V(x)<0,得1<x<3,所以A V(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，所以当x=1,r=√9-下-22时，V(x)=V(1)-3,此时该圆 3 锥的母线长为1=√(3+1)2+(2√2)=2√6，从而其侧面积S=πr1=83元.故选A 9.ABC对于A,由含有一个量词的命题的否定，知A正确：由x>1,可得x2>1,所以“x>1”是“x>1”的必要条件，故B 正确：6g4·oea-宽。×g君忌b-2.解得6=2.故C正确：对于D.当a-受时，a(+子)=血os受十 cos sin平=sin sin于十cosx0os平，故原命题的否定为直命题，故D错误.故选ABC. 【高二摸底联考·数学参考答案第1页（共6页）】 10,BC由题意及古典概型的概率求法，得P(E)=合，P(F)=冬，P(G)=子，P(H)=号，P(EUF)=名，P(EnG =名，P(EUHD=1.因为P(EnH)=P(E)+P(HD-P(EUD=是+；-1=名≠0，所以EnH≠，且 P(EnH)≠是=P(E)P(H,所以E与H既不互斥也不独立，故A,D错误：因为P(EnP)=P(E)+PF)- P(EUP)=令+号一名=-0，所以EnF=②，E与F互斥，放B正确：因为P(EnG=令-P(EP(G),所以E与 G相互独立，故C正确.故选BC 11.BCD因为f(x十6)为奇函数，所以f(6-x)=-f(6+x),又f(a2一6a)+f(一8b+36)≤0，所以f(a2-6a)≤ 一f(:-8b+36)=f(6-(?-8b+30)),因为f(x)在R上单调递增，所以a2-6a≤6-(6-8b+30),整理得 (a-3)2+(b-4)2≤1，记2={(a,b)1(a-3)2+(b-4)2≤1}，则(a,b)∈2.设a十b=t,则点(a,b)在直线x+y-1 =0上，由题意，知直线x十y-4=0与圆(x-3)2+(y一4)2=1有公共点，所以3+41≤1，解得7-2≤1≤7+ 2 √2，故a+b的取值范围为[7-2,7+√2]，同理可求得a一b的取值范围为[-1一√2，-1十2]，故A错误，B正确： 由(a,b)∈2且a,b∈Z.得满足条件的点(a,b)有(2,4)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,4)，共5个点，故C正确：a+ 表示2内的点P(a,b)到原点O的距离的平方，易求得4≤OP≤6，所以a2+的范围为[16,36]，故D正确.故 选BCD. 12.{一2，一1,0)将B中元素-2，-1,0,2,3分别代入不等式x3一x一2≤0，仅有一2，一1,0适合该不等式，所以A∩B ={-2,-1,0}. n=9 np=6, 13.6因为X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=2,所以 解得 np(1-p)=2, p= ,所以P= 3 g(学)”(1-号) c()(1-) -器P>1,解得<号令P<1解得>号又=01， P(X=k) …,8,所以P(X=0)<P(X=1)<<P(X=6)>P(X=7)>…>P(X=9),所以当k=6时，P(X=k)取得最 大值。 14[日，十o∞）由题意，得f1)=ae+ina≥0，显然g(x)=cr+lhx为增函数，且g()=0,所以由ae+lna>0,得 ga)>g()从而a≥，这是Vx∈[1，+∞)，f(x)≥0”为真的必要条件.当a>是时，ae十h只-x+r≥ e1-xnx-2x+x2,令h(x)=e-xlnx-2x+xr2(x≥1)，则h(1)=0:令h'(x)=e1-lnx-3+2.x=m(x), 则m(x）=e1-+2>e-1-+2=2>0,所以(xD在，十o∞)上单调递增，所以M(D>≥N1)=0,所以 h(x)在[1，十o∞)上单调递增，所以h(x)≥h(1)=0,所以当a≥。时，Yx∈[1，十∞)，f(x)≥0故a的取值范围 为[是+∞)： 15.(1)证明：在△PAB中，PA=6,PB=3/6,AB=3√2， 所以AB+PA=18+36=54=(3√6)=PB,所以PA⊥AB.…1分 在△ABC中，AB=BC=3W2,AB⊥BC,所以AC=√2AB=6,…2分 在△PAC中，PA=AC=6,PC=6V2,所以PC=PA+AC,所以PA⊥AC.… …3分 又因为PA⊥AB,AB∩AC=A,AB,ACC平面ABC, 【高二摸底联考·数学参考答案第2页（共6页）】 所以PA⊥平面ABC. …5分 (2)解：取线段AC的中点O,连接OB,则OB⊥AC. 由(1)得平面PAC⊥平面ABC,又平面PAC∩平面ABC=AC,OBC平面ABC,所以OB⊥ 平面PAC.以O为坐标原点，直线OB,OC分别为x轴，y轴，过O与平面ABC垂直的直线 为：轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,一3,0)，B(3,0,0),C(0,3,0),因为P币 =2DC,所以D(0,1,2),所以AD=(0,4,2).AB=(33.0).… …7分 n…Ad=0,m4y+2x=0. 设平面ABD的一个法向量n=(x,y之)，则 即 令x=1,解得y n.Ai=0,3x+3y=0. 一1，之=2，故=(1，一1,2)*9分 易知平面ACD的一个法向量m=O克=(1,0,0)，…… 10分 设平面ABD与平面ACD的夹角为0，则 cos 0=lcos(n.m)-m.mx16 n·m 1_6 即平面ABD与平面ACD夹角的余弦值为气。 t***n*tt+中 13分 16.解：(1)2×2列联表如下： 语文不优秀 语文优秀 合计 数学不优秀 205 75 280 数学优秀 40 80 120 合计 245 155 400 小…1分 零假设H:数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀无关联 X-400c205X80-40X75 280×120×245×155 ≈56.290>10.828=xa0t· …4……444…4440444444444444…4……444…+444… 4分 根据。=0.001的独立性检验，推断H。不成立，即认为数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀有关联，此推断犯错误 的概率不大于0.00L. …5分 (2)在数学优秀的样本中所抽取的12人中，语文不优秀的人数为40× 12=4(人 120 语文优秀的人数为80X是=8（人）。 …7分 所以X的可能取值为0,1,2,3，则 PX=-0)-悬-P(X=1D-e-号 C255 …10s分 P(X=2)= e-第PX=3)-是-晶 C214 C 13分 故X的分布列为： X 0 1 3 12 丽 器 装 所以E(X)=0×需+1×是+2X器+3X装-2 55 55 15分 【高二摸底联考·数学参考答案第3页（共6页）】 a 2 17.(1)解：设E的半焦距为c,由题意得 号×2a×2b=4W3, …2分 a2=8+c2, fa=2, 解得6=厅，所以E的方程为号+芳=1 4分 c=1, (2)证明：由(1)知，A(一2,0)，设l的方程为y=kx十m,P(工1，)，Q(x2边)，…5分 +苦-1 由 消去y并整理，得(3+4)x2+8kmx+4m2-12=0, y=kx十m, 则△=64km2-4(3+4k)(4m2-12)>0,即4k2+3-m2>0, 且x1十x= 3+4依西=4m-12 8km 32,44 …7分 由题意知一产2一并 十2 8分 所以c+)=(牛2+年2)=.十m2m士2 (0+2)(x2+2) 8km-24-(2k+m)·3干4+4m =k.2km西+(2km)(十)+4m-=k.3+4状 x1x2+2(1+)+4 +4 12mk-24k2 3mk-6k2 厂0716km十16Em2=k0+46二—3，… 11分 所以2k2-3km十m2=0,解得m=2k,或m=k,…13分 当m=2k时，l的方程为y=kx十2k=k(x十2)，过点A,不合题意，舍去： 当m=k时，4k+3一m2=3k+3>0,满足4>0，此时1的方程为y=kx+k=k(x+1), 故1过定点（一1,0）. 综上所述，直线l过定点（一1,0），… 15分 18.解：(1)由S。=aa+1,得S。1=am-1a(n>2), 以上两式相减，得S。一S,-1=an(a+1一a-1),即aw=an(a+1一an-1), 因为以≠0，所以a+1一以n-1=1,… …1分 所以，4…a-1…是公差为1的等差数列，从而a-1=之十(k-1DX1=2张， 由S1=a1a,解得ag=1: ,“,一是公差为1的等差数列，从雨ua=1十使-1》X1一尝。 所似a=受 …5分 (2)法1：由6十h=4a2,得61十h=4×(空）广=(+1D,… 6分 令cn=(-1)bn,则cm+1-c.=(-1)+6+1-(-1)bn=(-1)+1(b-1十bn)=(-1)+1(n十1)”，…7分 所以-c1=22,c%-c2=-3,c1-c9=4,…,c。-cw-1=(-1)n2(n≥2)， 各式两边分别相加，得cm一0=22一32十…十（一1）2，… …8分 【高二摸底联考·数学参考答案第4页（共6页）】 令A.-1=2-32+…十(-1)"n2(≥2)， 当n为大于1的奇数时，A-1=(22-3)+(4-5)十…+[(n-1)2-m]=(2-3)(2+3)+(4-5)(4+5)+ +[(m-1)-m][(n-1D+m]=-[2+3+4+5+…+(n-1)+m]=-n=1）,2+D2=-心±-2，…10分 2 2 当m为偶数时，A.1=A-(-1)1(n十1D=-m+1)+,n+1)=2+(n+1)=++2, 2 2 十n一2，n为奇数， 2 所以cn一G (≥2)，+ …11分 心十n十2，n为偶数 2 十”，n为奇数， 又0=(-1)1×1=-1，所以c= 十，n为偶数. 2 心十”，n为奇数 2 又h=(一1)"e.,所以b= 即6=力十n 004..........00............ 十”，n为偶数， 2· 12分 2 法2：因为6+1十=(n十1)，所以61+h.=n+1)n+22+n(n十1卫 2 2 …7分 所以1-nt1),n+22=- 6-nn+1)7 2 …9分 因为b=1,所以h-1X20,……, 2 10分 所以数列6-nn,1}为常数列，且6-nn1=0, 2 2 =0n十12 2 12分 法3：因为b+1十bn=(十1)2，b=1,所以归=3，…6分 由6+1+b.=(n十1)2，所以b+2+b.+1=(n十2)2， 所以bw+2一6=2列十3，… …7分 当n为奇数时，b,=(6一bn-2)十(b.-g一b-+)+(b.-4一b)+…+(6一b)+b =[2(n-2)+3]+[2(n-4)+3]+[2(n-6)+3]+…+(2×1+3)+1 =2[1+3+5+…+(m-4)+(m-2)]+3m2D+1 2 (n-1)·” =2× 2 2+3m1+1=+” 9分 2 2 当n为偶数时，因为b+1十b=(n十1)， 所以6=(n十1D2-6+1=(+1)2-n+1D)2+(n+12=+n 2 综上所述，6=广十” 2 12分 (3)由(2)知6=nn+1D. 2 所以6=1n),2=2_2 n(n十1) 14分 所以工=（保-号）+（号一号）+（写-翠）++（保一第） 【高二摸底联考·数学参考答案第5页（共6页）】 n+=2-2 =-号+号-号+-+…+- +1 17分 19.解：1)由fx)=e+cos受，得∫(x)=e-im壹，所以fx)-f(x)=os受+2sin受 因为x∈[0]，所以号∈[0.受]，所以cos受≥0.sin号>0.且cos受sin号不同时为0.……2分 所以f(x)-f(x)>0,所以f(x)>f(x), 所以f(x)为[0，π]上的“优导函数” …4分 (2)由g(x)=ae2-3xr,得g'(x)=2ae2-3, 所以g(x)一g(.江)=一a2-3x十3，…5s分 又g(x)为R上的“优导函数”，所以Hx∈R,g(x)一g(x)=-ae-3x+3>0, 所以Hx∈R,a<3-3 。……6分 令9x)=3,则p(x)-6。 令g(0=9>0,得>号令g)=6<0.得rK号 e27 所以9(x)在(-©，号)上单调递减，在（侵，十o心）上单调递增，…8分 所以px)==(侵)=一是，所以a<-2是 即实数a的取值范围为（一©，一是）》】 小小小小小小小小小小小小…10分 (3)令u=lnt+1-mt,则h(u)=e, 因为h(x)为R上的“优导函数”，则h(x)>h'(x), 令Hx=hC卫，则H(=r)-h2<0. 所以H(x)在R上单调递减， 又H1)=hD=1,H0)=h0=1,即H阳)=H0,所以u=1. e 12分 令F)=ln+1一mt-1=h一m.则F)有唯一正零点，F(=一m=1m(>0). 当m<0时，F>0.所以F在0，十o)上单测递增，又F1)=m心>0，取正数m一品}则F(<0, 故存在唯一ta∈(b,1),使得F(to)=0, 即F(t)在(0，十0∞)有唯一零点，满足题意；……14分 当m=0时，显然符合题意： 当m>0时，令F)=>0.得0<令FP)=<0.得>品 t 所以F()在(0，)上单调递增，在（品，十∞）上单调递减， 所以F()s=F(）=h-1=-hm-1.… 16分 又t0时，F(t)一oo,当t→+o∞时，F(t)→一∞， 要使F(t)在(0，十∞)上有唯一零点，必有-lnm-1=0,解得m=1 故实数m的取值范围为mm≤0，或m=1》 e …17分 【高二摸底联考·数学参考答案第6页（共6页）】