精品解析：2025年江苏省仪征市实验中学东区校九年级中考第三次涂卡训练数学试卷

仪征市实验中学东区校九年级第三次涂卡训练 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. 8cm B. 13cm C. 8cm或13cm D. 11cm或13cm 6. 如图，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形，，，的顶点，，，在x轴上．顶点，，，在直线上，若，，则（ ） ①点坐标为； ②直线的表达式为； ③； ④点的横坐标为，其中说法正确的为（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ②③ 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．） 9. 2025年“五一”假期期间，无锡动物园迎来了大熊猫“渝宝”和“加悦悦”的亮相，期间接待的游客数量约66700人次，数据66700用科学记数法表示为__________ 10. 分解因式：__________． 11. 已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是__________． 12. 已知点P（m+2，2m﹣4）在y轴上，则点P的坐标是 ___． 13. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在的延长线上，以A为圆心，为半径画弧，交的延长线于点F，且弧经过点C，则弧的长为__________． 14. 已知一组数据：，，，，．当的值为___________时，这组数据的方差最小． 15. 《九章算术》中的数学问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他各买了多少亩好田和坏田？设买了好田为亩，坏田为亩，根据题意列方程组得________． 16. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，，若，则______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数的图象上，点B在函数的图象上．若，则k的值为_____． 18. 如图，在矩形中，，，点P从点A向点C运动，点Q同时从点C以相同的速度向点D运动，当点Q到达点D时，两个点同时停止运动．在运动过程中，的最小值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 计算或化简 （1）计算：； （2）化简：． 20. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 21. 如图，在中，分别为边的中点，连接． （1）求证：． （2）若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论． 22. 月日是世界读书日，某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了一部分九年级学生最近一周的读书时间，并进行了统计，绘制出如下统计图和图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生人数为__________，图中的值为__________； （2）本次调查的这组数据的中位数是__________； （3）若学校有名学生，试估计读书时间不少于小时的学生有多少人？ 23. 百度的“文心一言”（甲款）、抖音的“豆包”（乙款）和（丙款）是当前较受关注的三款聊天机器人． （1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是__________； （2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择一款进行体验测评，请用列表或画树状图的方法，求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 24. 近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用________元； （2）若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元： ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 25. 如图，矩形中，，，是边上的一点，点在边上，且满足． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若，试确定的长． 26. 如图，是的直径，点D在直径上（D与A，B不重合），且，连接，与交于点F，在上取一点E，使与相切． （1）求证：； （2）若D是的中点，，求的长． 27. 如图，在正方形中，是边上一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是中点，连接． （1）求的度数； （2）连接，请用等式表示，，三条线段之间的数量关系，并证明； （3）若正方形的边长为，请直接写出的面积最大值． 28. 如图，抛物线与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仪征市实验中学东区校九年级第三次涂卡训练 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，绝对值的运算及相反数运算，根据几个定义逐个求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 是负数，符合题意， 是正数，不符合题意， 是正数，不符合题意， 是正数，不符合题意， 故选：A． 2. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，分式有意义，分母不等于0的条件，根据分式有意义时，分母不等于0的条件求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故选：B． 3. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项等知识，根据同底数幂相乘法则，合并同类项法则，积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，原计算正确，符合题意； B．，故原计算错误，不符合题意； C． ，故原计算错误，不符合题意； D．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 5. 若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. 8cm B. 13cm C. 8cm或13cm D. 11cm或13cm 【答案】D 【解析】 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当3是腰时， ∵3＋3＞5， ∴3，3，5能组成三角形， 此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm）， 当5是腰时， ∵3＋5＞5， 5，5，3能够组成三角形， 此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm）， 则三角形的周长为11cm或13cm． 故选：D 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 6. 如图，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理求出，平角的定义，求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 7. 已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，都在抛物线上，且， ∴； 故选A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形，，，的顶点，，，在x轴上．顶点，，，在直线上，若，，则（ ） ①点坐标为； ②直线的表达式为； ③； ④点的横坐标为，其中说法正确的为（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，利用正方形的性质求出点和的坐标即可判断①；利用待定系数法得出直线的函数解析式即可判断②；利用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可判断③；再依次求出点，…，的纵坐标，发现规律即可判断④． 【详解】解：分别过点作x轴的垂线，垂足分别为M和N， ∵四边形和四边形是正方形，且， ∴点的坐标为，点的坐标为，故①正确； 将和的坐标代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为，故②正确； 由题意可知， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 过点作x轴的垂线，垂足为P， 设 ∴点坐标可表示为， 将点坐标代入直线函数解析式得， ， 解得， ∴点的纵坐标为． 同理可得，点的纵坐标为， …， ∴点的纵坐标为， 代入，即可求得， ∴点的横坐标为，故④正确． 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．） 9. 2025年“五一”假期期间，无锡动物园迎来了大熊猫“渝宝”和“加悦悦”的亮相，期间接待的游客数量约66700人次，数据66700用科学记数法表示为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式．先提出公因式，再利用平方差公式分解因式即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程的解求参数．一元二次方程的一个根是，把代入一元二次方程中，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根是， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 已知点P（m+2，2m﹣4）在y轴上，则点P的坐标是 ___． 【答案】（0，−8） 【解析】 【分析】直接利用y轴上横坐标为0，进而得出m的值即可得出答案． 【详解】解：∵点P（m＋2，2m−4）在y轴上， ∴m＋2＝0， 解得：m＝−2， 故2m−4＝−8， 故点P的坐标为：（0，−8）． 故答案为：（0，−8）． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，根据y轴上点的横坐标为0得出关于m的方程是解题关键． 13. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在的延长线上，以A为圆心，为半径画弧，交的延长线于点F，且弧经过点C，则弧的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求出，求出，再根据弧长公式求出答案即可． 【详解】解：如图，连接， 则， 弧长． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质和弧长计算等知识点，注意：一条弧所对的圆心角是，半径为，那么这条弧的长度是． 14. 已知一组数据：，，，，．当的值为___________时，这组数据的方差最小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差的定义，根据方差的定义，当数据波动最小时，方差最小，即可求解． 【详解】解：数据中的、、、的平均数为， 时，这组数据的方差最小， 故答案为：． 15. 《九章算术》中的数学问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他各买了多少亩好田和坏田？设买了好田为亩，坏田为亩，根据题意列方程组得________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系是解题关键． 设买了好田为亩，坏田为亩，根据7亩坏田是500元可得每亩坏田的价格，根据好田坏田一共是100亩，花费了10000元列方程组即可得答案． 【详解】解：设买了好田为亩，坏田为亩， 根据题意得，， 故答案为：． 16. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数的图象上，点B在函数的图象上．若，则k的值为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，表示出点的坐标是解题的关键．作于，由等腰三角形三线合一的性质得出，利用平行四边形的性质可知，故设，则，代入即可求得的值． 【详解】解：作于， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， 设，则， 点在函数的图象上． ， 故答案为：12． 18. 如图，在矩形中，，，点P从点A向点C运动，点Q同时从点C以相同的速度向点D运动，当点Q到达点D时，两个点同时停止运动．在运动过程中，的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，对称的性质，解直角三角形等知识．作关于对称的对称点，连接，在上截取，过点G作交延长线于点H，连接，证明，得到，当点B，点Q，点G三点共线时，有最小值为的长，解直角三角形求出，，进而求出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作关于对称的对称点，连接，在上截取，过点G作交延长线于点H，连接， ∵点P、Q分别从点A、C同时出发以相同的速度运动， ∴， 由对称的性质得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点B，点Q，点G三点共线时，有最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理可得：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 计算或化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，掌握实数和分式的运算法则是解题的关键． （）根据负整数指数幂、算术平方根的定义、零指数幂分别计算，再合并即可求解； （）根据分式的性质和运算法则计算即可求解； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】， 在数轴上表示解集如下： 【解析】 【分析】本题主要考查解不等式和不等式组的基本技能，熟练掌握解不等式和不等式组的基本步骤是解题的关键．分别求出每个不等式的解集，再根据“大小小大夹中间”即可确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为 21. 如图，在中，分别为边的中点，连接． （1）求证：． （2）若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论． 【答案】（1） 证明：在平行四边形中，，，  ， 、分别为、的中点，  ∴，，   在和中，    ； （2） 解：若，则四边形是菱形．  证明：在平行四边形中，，，，分别为边，的中点，  且，  四边形是平行四边形， 又，  是直角三角形，且， 是的中点，  ， 平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据四边形的性质可知，，，结合、分别为边、的中点，这样就具备了全等三角形判定中的，由此可证得结论； （2）先根据平行四边形的性质，利用对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形是平行四边形，然后根据直角三角形中，是斜边上的中线，得到，即可得出四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 月日是世界读书日，某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了一部分九年级学生最近一周的读书时间，并进行了统计，绘制出如下统计图和图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生人数为__________，图中的值为__________； （2）本次调查的这组数据的中位数是__________； （3）若学校有名学生，试估计读书时间不少于小时的学生有多少人？ 【答案】（1）人， （2） （3）估计读书时间不少于小时的学生有人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、中位数、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）利用读书时间为小时的人数除以其所占的百分比即可得本次调查的学生人数，利用读书时间为小时的人数除以本次调查的学生人数即可得，由此即可得； （2）根据中位数的定义求解即可得； （3）利用该学校的学生总人数乘以读书时间不少于小时的学生人数所占的百分比即可得． 【小问1详解】 解：本次调查的学生人数为（人）， ， 则， 故答案为：人，； 【小问2详解】 解：将这组数据按从小到大进行排序后，第个数和第个数的平均数即为中位数， ，， 按从小到大进行排序后，第个数是，第个数是， 其中位数为， 故答案为：． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计读书时间不少于小时的学生有人． 23. 百度的“文心一言”（甲款）、抖音的“豆包”（乙款）和（丙款）是当前较受关注的三款聊天机器人． （1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是__________； （2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择一款进行体验测评，请用列表或画树状图的方法，求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 【答案】（1）抽到丙款的概率是； （2）两人选择的聊天机器人互不相同的概率是． 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先用树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择的聊天机器人互不相同的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵有甲、乙、丙三款聊天机器人， ∴随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图，如图， 共有6种等可能的结果数，其中两人选择的聊天机器人互不相同的有4种， ∴两人选择的聊天机器人互不相同的概率是． 24. 近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用________元； （2）若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元： ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】（1） （2）①燃油车每千米行驶费用为0.75元，纯电动车的每千米行驶费用为0.11元；②购买纯电动车年费用更低 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，有理数四则混合运算的应用，列代数式等知识，根据题意准确列分式方程是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）①纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元，据此列出分式方程，解方程并检验即可；②分别计算燃油车年费用和纯电动车年费用，计算后即可得到答案． 【小问1详解】 纯电动汽车的每千米行驶费用为：（元） 【小问2详解】 ①由题意得： 经检验：是该分式方程的根； 燃油车每千米行驶费用为：（元）； 纯电动车的每千米行驶费用为：（元） 答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电动车的每千米行驶费用为元． ②当行驶里程为时， 燃油车年费用为：（元） 纯电动车年费用为：（元） 选纯电动车年费用更低． 答：它们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买纯电动车年费用更低． 25. 如图，矩形中，，，是边上的一点，点在边上，且满足． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若，试确定的长． 【答案】（1）如图所示，点P即为所求： （2）1或4 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，以为直径画圆，交于点和，根据，， 即可得，则点和即为所求； （2）根据矩形性质和，可以证明∽，对应边成比例进而可得的长． 【小问1详解】 解：连接，作的垂直平分线，以为直径画圆，交于点和， ∵，， ∴， 则点和即为所求； 【小问2详解】 解：∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，， ∴， ∴ 解得，， ∴的长为1或4． 26. 如图，是的直径，点D在直径上（D与A，B不重合），且，连接，与交于点F，在上取一点E，使与相切． （1）求证：； （2）若D是的中点，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， 是的半径，是的切线， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，由切线的性质得，继而得到，即可解答； （2）连接，根据已知可得，，从而在中，利用勾股定理求出，，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而可证，进而利用相似三角形的性质可求出的长，最后进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：解：连接， ， ， 是的中点， ， ， 在中，， ， 是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 27. 如图，在正方形中，是边上一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是中点，连接． （1）求的度数； （2）连接，请用等式表示，，三条线段之间的数量关系，并证明； （3）若正方形的边长为，请直接写出的面积最大值． 【答案】（1）45° （2） 结论：， 证明：如图，作交的延长线于， ， 在正方形中，，， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）证明和，可得； （2）作辅助线，构建全等三角形，证明，得，从而得是等腰直角三角形，可得结论； （3）先作高线，确定的面积中底边为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当在上时，最大，其的面积最大，并求此时的面积． 【小问1详解】 解：由对称得：，， 在正方形中，，， ， 是的中点， ，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 理由如下：如图，过作于，则， 中，， ，即为定值， 当最大时，的面积最大， 连接，交于，当在上时，最大，此时与重合， ，， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 28. 如图，抛物线与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）点坐标为 （3）存在，点坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线和平行线，圆的知识的综合，掌握待定系数法求解析，二次函数与几何图形的综合运用，圆的基础知识，数形结合分析思想是解题的关键． （1）用待定系数法，把点代入中，求出，即可得到表达式． （2）过作的垂线，得对应线段成比例，再找出各坐标之间的关系，列方程，求点坐标． （3）添加过三点的圆，利用度圆周角，得到度圆心角，利用勾股定理，找到各线段的长，求出半径，设的坐标，既在抛物线上又在圆上，列方程，求出的坐标． 【小问1详解】 解：把点代入中， ∴， 解得，， ∴． 【小问2详解】 解：作于，于， 当时，， ∴点坐标为， 设解析式为：， ， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， 设点坐标为， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， 解得， ∴点坐标为． 【小问3详解】 解：作过三点的圆，连接，作于， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴点坐标为， ∴， ∴， 设点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，（不合题意舍去），， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $