精品解析：2024年江苏省惠山区中考三模考试数学试题

2024年春学期九年级中考适应性练习 数学试卷 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上，考试时间为120分钟，试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗、描写清楚． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 的倒数为（ ） A. B. C. 4 D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 给出下列图形：①等边三角形，②平行四边形，③正五角星边形，④正六边形，⑤圆．其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（　　） A. ①③ B. ②④ C. ④⑤ D. ②④⑤ 4. 体育课上，甲、乙两名同学分别进行了6次立定跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 5. 五边形的外角和等于（） A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° 6. 一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为 （ ） A 1：2 B. ：2 C. 1： D. ：1 7. “践行垃圾分类•助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，以为直径的半圆分别与交于点D，E．若，，则的长为 （　　） A. B. π C. D. 9. 如图，在四边形中，，对角线、交于点O，且．若，则的最小值为（ ） A. 16 B. 4 C. 9 D. 2 10. 如图，，，点M是线段上一个动点，连接，将线段沿直线进行翻折，点A落在点N处，连接，以为斜边在直线的左侧（或者下方）构造等腰直角三角形，当M从点A运动到点C时，点D的运动总路径长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡上相应的位置．） 11 因式分解：____________． 12. 函数y＝中，自变量x的取值范围是_____． 13. 第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示是____________． 14. 一个圆锥的底面直径是，母线长是，则它的侧面积是__________ ． 15. 某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为，已知，，则左视图的面积是____________． 16. 已知一次函数图像不过第三象限，则方程的根的个数为______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，点B是x轴正半轴上一点，，双曲线过点A，交AB于点C，连接OC，若，则的值是______． 18. 已知抛物线，交y轴交于点，则____________，抛物线与x轴正半轴交于点B，点M为抛物线对称轴l上的一点，点N为抛物线上的一点，当直线垂直平分时，点M的坐标为____________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 计算： （1）； （2）； 20. （1）解方程：； （2）解不等式组： 21. 如图，在中，，，D是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接． （1）求证：； （2）若时，求的长． 22. 为深入贯彻习近平总书记关于劳动教育的重要论述，坚持“五育并举”，培养学生勤俭、奋斗、创新、奉献的劳动精神，某校开设了“劳以启智、动以润心”劳动教育课程、小明对其中的A种植、B烹饪、C陶艺、D木工4门课程都很感兴趣，若每门课程被选中的可能性相等． （1）小明从4门课程中随机选择一门学习，恰好选中B烹饪的概率为________； （2）小明从4门课程中随机选择两门学习，用画树状图或列表的方法，求他恰好选中B烹饪、C陶艺的概率． 23. 随着科幻电影的崛起，层出不穷的“硬核科技”元素也引起人们的热烈讨论，例如太空电梯，数字生命，重核聚变行星发动机，超级量子计算机，人工智能，机械外骨骼等．强大的科技会促使科幻走进现实，为激发学生对科技的热情，某校七、八年级举办了青少年科技创新大赛，赛后从两个年级中各随机抽取50名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．七年级学生成绩的频数分布直方图如图所示．（数据分为5组：，，，，） b．七年级学生成绩在这一组是：，，，，，，，，，，，，，，，； c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如表： 年级统计量 平均数 中位数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中的值为 ； （2）小佳此次大赛的成绩为分，在被抽取的名学生中，他的成绩超过了一半以上的同学，请判断小佳是哪个年级的学生，并说明理由； （3）若成绩分及以上为优秀，七年级共有学生名，估计本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数． 24. 如图，已知（）， （1）尺规作图：请在图1中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点N，使得：将沿着过点N的某一条直线折叠，点B能落在边上的点D处，且．（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则的外接圆与重叠部分的面积为____________（如需画草图，请使用试题中的图2） 25. 如图，内接于，的平分线交于点G，过G作∥BC分别交，的延长线于点D，E． （1）求证：是的切线； （2）已知，，点I为的内心，求的长． 26. 某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价P（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场～第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场～第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据： x（场） 3 10 25 P（万元） 10.6 12 14.2 （1）求P与x之间满足的函数关系式； （2）在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 27. 【教材呈现】如图，在中，点D、E分别是与的中点．则与的关系是，； 【感知】如图1，在矩形中，点O为的中点，点M为边上一动点，点N为的中点，连结、、．，与的数量关系是____________． 【应用】如图2，在中，，，、是的中线，M、N分别是和的中点，求的长； 【拓展】如图3，在平行四边形中，点E为边上一点，连接，点P在上，，点G是的中点，连接交于点F，若点F为的中点，，连接，求的值． 28. 如图，二次函数与x轴交于两点，顶点为C，连接、，若点B是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点A落在点的位置，线段与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合． （1）求二次函数的表达式； （2）在线段上是否存在这样的点B，使得的值最小，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由； （3）当时，直线与二次函数的交点的横坐标为____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春学期九年级中考适应性练习 数学试卷 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上，考试时间为120分钟，试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗、描写清楚． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 的倒数为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了倒数，乘积为1的两个数互为倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 根据倒数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数为， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂的乘方法则、同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则，逐个计算得结论． 【详解】解：∵（x3）4=x12≠x7， x2•x3=x5， x4÷x=x3≠x4， x+x3≠x4， ∴选项B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘除法、合并同类项法则等知识点，题目比较简单，掌握整式的相关运算法则是解决本题的关键． 3. 给出下列图形：①等边三角形，②平行四边形，③正五角星边形，④正六边形，⑤圆．其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（　　） A. ①③ B. ②④ C. ④⑤ D. ②④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：①等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形； ②平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形； ③正五角星边形，是轴对称图形，不是中心对称图形； ④正六边形，既是轴对称图形，又是中心对称图形； ⑤圆，既是轴对称图形，也是中心对称图形； 因此，既是轴对称图形又是中心对称图形的有④⑤． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 4. 体育课上，甲、乙两名同学分别进行了6次立定跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与其平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生立定跳远成绩的方差． 故选D． 5. 五边形的外角和等于（） A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的外角和等于360°解答． 【详解】解：五边形的外角和是360°． 故选B． 【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°． 6. 一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为 （ ） A. 1：2 B. ：2 C. 1： D. ：1 【答案】C 【解析】 【分析】坡度是坡角的正切值． 【详解】因为tan30°=，即坡度为1：． 故选C． 考点：坡度角 7. “践行垃圾分类•助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组；根据米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”列出方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 8. 如图，在中，以为直径的半圆分别与交于点D，E．若，，则的长为 （　　） A. B. π C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出，再根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为：， 故选：B． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键． 9. 如图，在四边形中，，对角线、交于点O，且．若，则的最小值为（ ） A. 16 B. 4 C. 9 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线将条件集中在同一个三角形中求解． 作交的的延长线于，作于，设，表示出，解斜三角形，进而求得结果． 【详解】解：如图，作交的的延长线于，作于， ∵， ， ∵， 四边形是平行四边形， ，， ， 设，则， 在中，，， ，， ， 在中， ， 当时，，即 ． 故选：D． 10. 如图，，，点M是线段上一个动点，连接，将线段沿直线进行翻折，点A落在点N处，连接，以为斜边在直线的左侧（或者下方）构造等腰直角三角形，当M从点A运动到点C时，点D的运动总路径长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，由，可得N在以B为圆心，2为半径的圆上运动（从A运动到N′），可证明，从而得出，故点D在以A为圆心，为半径的圆上运动，当点M从点A运动到点C时，点D运动，进一步求得结果． 【详解】解：如图，连接，， 由折叠得：， 点N在以B为圆心，2为半径的圆上运动（从A运动到）， ， ，, 同理：，, ， ， ， ， ， ， ， 点D在以A为圆心，为半径的圆上运动， 当点M从点A运动到点C时，点D运动， ， 点D运动路径长为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及圆的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡上相应的位置．） 11. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 函数y＝中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≠1 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件即可解答. 【详解】函数y＝中，自变量x的取值范围是x﹣1≠0，即x≠1， 故答案为x≠1． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0． 13. 是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示是____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 一个圆锥的底面直径是，母线长是，则它的侧面积是__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的侧面积的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，圆锥的侧面积：． 根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的底面直径是，则圆锥的底面周长为：， 所以圆锥的侧面积＝母线长底面周长． 故答案为：． 15. 某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为，已知，，则左视图的面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确解答的前提．根据这个几何体的三视图，得出这个三棱柱，高为，设，由求出的值，进而确定，即可解答． 【详解】解：过点A作，由简图可知，这个几何体是三棱柱，高为，设， ， ∵，， 解得， ∴， 则， ∴左视图长方形的长为2，宽为1，所以左视图的面积是2． 故答案：． 16. 已知一次函数的图像不过第三象限，则方程的根的个数为______． 【答案】1或2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像，一元二次方程根的情况，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 由一次函数的图像不过第三象限，得，分类讨论，当时，方程为一元一次方程，有1个根；当时，方程为一元二次方程，根据判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图像不过第三象限， ∴， 当时，，方程为一元一次方程，所以方程根的个数为1个； 当时，，由于， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1或2． 故答案为：1或2． 17. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，点B是x轴正半轴上一点，，双曲线过点A，交AB于点C，连接OC，若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数—几何综合题，解题关键是掌握“铅锤法”作直角三角形，过点C作，得，设线段可得点坐标，由点A 点C在反比例函数上即可的的比值，最后通过求解即可． 【详解】解：过点C作，如图： 则 ， ， ， ， 设可得： 点， 双曲线过点A，点C， ， ， ， 解得：或（舍去）， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 已知抛物线，交y轴交于点，则____________，抛物线与x轴正半轴交于点B，点M为抛物线对称轴l上的一点，点N为抛物线上的一点，当直线垂直平分时，点M的坐标为____________． 【答案】 ①. ②. ， 【解析】 【分析】先把代入，即可求得；得抛物线解析式为，得到抛物线对称轴为直线和点，再用待定系数法求得直线的解析式为，设，直线与对称轴的交于点H，与交于G，证明是等腰直角三角形，从而可求得，再根据直线垂直平分，得G点是的中点，利用中点坐标公式求得，然后代入抛物线解析式得，求解即可． 【详解】解：把代入，得 ，解得：， ∴， ∴抛物线对称轴为直线， 令，则， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， 设，直线与对称轴的交于点H，与交于G， 令时，则， ∴， ， ，当直线垂直平分时， 是等腰直角三角形， ∵，， ∴点G的纵坐标为， ∵点G过直线， ∴，解得， 则， 直线垂直平分， 点是的中点， ， ∵点N为抛物线上， ， 解得或． 故答案：；或． 【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，线段垂直平分线性质，等腰直角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，整式混合运算，熟练掌握零指数幂、负整指数幂运算法则，特殊角三角函数值，平方差与完全平方公式是解题的关键． （1）先计算乘方与开方，并把特殊角三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先运用平方差与完全平方公式计算，再去括号，合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】(1)；(2) 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程及一元一次不等式组，熟练掌握解方程及不等式组的方法是解题的关键． （1）将原方程整理后利用因式分解法解方程即可； （2）解各不等式后即可求得不等式组的解集． 【详解】解：（1）由原方程得：， 得， 得， 解得， （2） 由①得， 由②得． ∴不等式的解集为． 21. 如图，在中，，，D是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接． （1）求证：； （2）若时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由等腰三角形三角形的性质可得的长，由角度关系可求，可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在与中 ， ∴． 【小问2详解】 解：在中，，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ． 22. 为深入贯彻习近平总书记关于劳动教育的重要论述，坚持“五育并举”，培养学生勤俭、奋斗、创新、奉献的劳动精神，某校开设了“劳以启智、动以润心”劳动教育课程、小明对其中的A种植、B烹饪、C陶艺、D木工4门课程都很感兴趣，若每门课程被选中的可能性相等． （1）小明从4门课程中随机选择一门学习，恰好选中B烹饪的概率为________； （2）小明从4门课程中随机选择两门学习，用画树状图或列表的方法，求他恰好选中B烹饪、C陶艺的概率． 【答案】（1） （2）见解析， 【解析】 【分析】（1）根据概率公式即可求解， （2）列表得出所以可能的情况，及恰好选中B烹饪、C陶艺的情况数量，应用概率公式，即可求解， 本题考查了，列表法或树状图法求概率，用概率公式求概率，解题的关键是：熟练掌握列表法、树状图法求概率． 【小问1详解】 解：根据题意得，恰好选中B烹饪的概率为：， 故答案为：， 小问2详解】 解：列表如下： A B C D A B C D 由表可知，总共有12种情况，其中恰好选中B烹饪、C陶艺的情况有2种， ∴好选中B烹饪、C陶艺的概率为：， 故答案为：． 23. 随着科幻电影的崛起，层出不穷的“硬核科技”元素也引起人们的热烈讨论，例如太空电梯，数字生命，重核聚变行星发动机，超级量子计算机，人工智能，机械外骨骼等．强大的科技会促使科幻走进现实，为激发学生对科技的热情，某校七、八年级举办了青少年科技创新大赛，赛后从两个年级中各随机抽取50名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．七年级学生成绩的频数分布直方图如图所示．（数据分为5组：，，，，） b．七年级学生成绩在这一组的是：，，，，，，，，，，，，，，，； c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如表： 年级统计量 平均数 中位数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中的值为 ； （2）小佳此次大赛的成绩为分，在被抽取的名学生中，他的成绩超过了一半以上的同学，请判断小佳是哪个年级的学生，并说明理由； （3）若成绩分及以上为优秀，七年级共有学生名，估计本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数． 【答案】（1） （2）七年级 （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，平均数、中位数，样本估计总体； （1）根据中位数的定义，即可求解； （2）根据中位数意义，即可求解； （3）根据样本估计总体，用乘以七年级优秀人数的占比，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，第和个数分别为为， ∴ 【小问2详解】 解：小佳是七年级的学生， 理由：他的成绩超过了一半以上的同学，七年级的成绩的中位数为， ∴小佳是七年级的学生； 【小问3详解】 解：估计本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数为（人） 24. 如图，已知（）， （1）尺规作图：请在图1中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点N，使得：将沿着过点N的某一条直线折叠，点B能落在边上的点D处，且．（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则的外接圆与重叠部分的面积为____________（如需画草图，请使用试题中的图2） 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）作过点B作直线，交的延长线于点E，作的平分线，交于点N，过点N作的垂线m，垂足为D，直线即为求作的线段，点D即为所求作的点； （2）先证明，根据外接圆知识得到的外接圆直径为，连接，作，垂足为F，求出，，，进而求出，根据勾股定理求出，即可求出的外接圆与重叠部分的面积为． 【小问1详解】 解：如图，①作过点B作直线，交的延长线于点E， ②作的平分线，交于点N， ③过点N作的垂线m，垂足为D， 直线即为求作的线段，点D即为所求作的点； 证明：由作图得为的平分线，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴和关于直线对称； 【小问2详解】 解：如图2，由题意得， ∴， ∵， ∴的外接圆直径为， 连接，作，垂足为F， ∵， ∴，， ∴ ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴的外接圆与重叠部分的面积为． 故答案为： 【点睛】本题考查了尺规作图-过一点作已知直线的垂线、作已知角的角平分线，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的推论，扇形面积求法，勾股定理，直角三角形性质等知识，综合性强，理解相关知识并灵活应用是解题关键． 25. 如图，内接于，的平分线交于点G，过G作∥BC分别交，的延长线于点D，E． （1）求证：是的切线； （2）已知，，点I为的内心，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形三线合一得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）连接， ，根据角平分线定义得到，，推出，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接，，， ∵的平分线交于点G， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接，， ∵点I为的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（负根舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，点I为的内心，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握． 26. 某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价P（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场～第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场～第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据： x（场） 3 10 25 P（万元） 10.6 12 14.2 （1）求P与x之间满足的函数关系式； （2）在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）当且x为正整数时，P与x之间满足的函数关系式为；当且x为正整数时， （2）在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元． 【解析】 【分析】（1）设基本价为b，第1场—第20场，且x为正整数，设P与x的函数关系式为，依题意得：，计算求解进而可得一次函数解析式；第21场—第40场，即且x为正整数时，设P与x的函数关系式为，即，依题意得：，计算求解进而可得反比例函数解析式； （2）设每场获得的利润为w万元．当，且x为正整数时，，由二次函数的图象与性质求最值即可；当，且x为正整数时，由反比例函数的图象与性质求最值即可，然后进行比较，作答即可． 【小问1详解】 解：设基本价为b，第1场一第20场，且x为正整数， 设P与x的函数关系式为， 依题意得：， 解得：， ∴． 第21～第40场，即且x为正整数时， 设P与x的函数关系式为， 即． 依题意得：， 解得， ∴， ∴当且x为正整数时，P与x之间满足的函数关系式为； 当且x为正整数时，． 【小问2详解】 解：设每场获得的利润为w万元． 当，且x为正整数时， ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，w最大，最大利润为（万元）． 当，且x为正整数时，， ∵w随x的增大而减小， ∴当时，w最大，最大利润为（万元）， ∵， ∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，反比例函数的应用，反比例函数的图象与性质，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． 27. 【教材呈现】如图，在中，点D、E分别是与的中点．则与的关系是，； 【感知】如图1，在矩形中，点O为的中点，点M为边上一动点，点N为的中点，连结、、．，与的数量关系是____________． 【应用】如图2，在中，，，、是的中线，M、N分别是和的中点，求的长； 【拓展】如图3，在平行四边形中，点E为边上一点，连接，点P在上，，点G是的中点，连接交于点F，若点F为的中点，，连接，求的值． 【答案】感知： 应用： 拓展： 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，从而证得四边形是平行四边形，继而说不得四边形是矩形，则，即可得； （2）连接，并延长交于点F，先由勾股定理求得，利用三角形中位线的性质可证得，由勾股定理求得，从而得，由三角形中位线的性质可求得； （3）连接，作交延长线于H，是等边三角形，利用等边三角形的性质与解直角三角形求得，再证明是等边三角形，是直角三角形，求得，代入即可求解． 【详解】解：感知：如图， ∵点O为的中点，点N为的中点， ∴，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， 故答案为：． 【定理应用】如图，连接，并延长交于点F， ∵，， ∴，， ∵、是的中线， ∴，， ∵点M、N分别是和的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 【拓展】连接，作交延长线于H，如图， ∵， ∴P是的中点， ∵若点F为的中点， ∴，， ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴， 在中，，， 在中，， 由勾股定理得，， ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质．本题属四边形的综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 28. 如图，二次函数与x轴交于两点，顶点为C，连接、，若点B是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点A落在点的位置，线段与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合． （1）求二次函数的表达式； （2）在线段上是否存在这样的点B，使得的值最小，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由； （3）当时，直线与二次函数的交点的横坐标为____________． 【答案】（1）； （2）存在，； （3）或． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）证明，得，由，得到，则的最小值就是的最小值，当时，求得最小，则最小，即的值最小，再求出，代入即可求解； （3）根据相似三角形的性质求得，则，如图2，作抛物线对称轴交x轴于P，连接，过点作于G，延长交于H，证明，得到，则，设，则，，由勾股定理，得：，解得：，（舍去），则，，从而求得，然后用待定系数法求出直线的解析式为，最后联立直线与抛物线的解析式，求解即可． 【小问1详解】 解：把，分别代入，得 ，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵二次函数与x轴交于两点，顶点为C， 根据抛物线的对称性，∴，， 由翻折可得：， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的最小值就是的最小值， ∵ ∴ ∴ ∴当时，最小，则最小，即的值最小， ∴的最小值 ∴的最小值为． 【小问3详解】 解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 如图2，作抛物线对称轴交x轴于P，连接，过点作于G，延长交于H， ∵， ∴，， ∴， 由翻折可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，（舍去）， ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为， 把 ，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得，则 解得：， ∴直线与二次函数的交点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质，求二次函数与一次函数交点坐标，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，本题属二次函数综合题目，难度较大． 用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$