精品解析：江苏省淮安市盱眙县2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

盱眙县2024-2025学年度第二学期期中质量监测试卷 九年级数学 （满分150分，时间120分钟，闭卷） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每题的四个选项中，只有一个符合题意，请把符合题意的选项填在下表中） 1. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 教育兴则国家兴，教育强则国家强．中国近年持续加大教育投入，2024年江苏省财政教育支出约为亿元，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A，B间的距离不可能是（ ）     A. 40米 B. 32米 C. 13米 D. 25米 4. 位于淮安市洪泽区县道米处的二河闸桥，由于桥梁主体结构老化，存在较大安全隐患，因此交通部门在此设立了如图限高标志，则通过该桥的车高的范围可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，会发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若在反比例函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. B. C. D. 8. 公元3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了如图的模型．已知矩形，，，点E是边上的动点，过点E作的垂线交边于点F，连接并延长交延长线于点G，下列说法正确的是（ ） A. 的长度随着的增大而增大 B. 当时，点F为中点 C. 当时， D. 面积的最小值为12 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案直接填在题中的横线上） 9. 分解因式：a2-4a+4=___ 10. 的整数部分为______． 11. 杜甫在《春夜喜雨》诗中写道“随风潜入夜，润物细无声”，如果用数学的眼光看诗句中描述的事件是________（填“必然”或“随机”）事件． 12. 将半径为6的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_________． 13. 如图，，若，．则________ 14. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表．则的值是__． x … 0 … y … … 15. 如图是小明根据推磨原理制作的简易风扇的示意图，以为轴将矩形木板垂直固定在水平面上，用长为的连杆将点与滑轨上的推拉点相连（大小可变），当点在轨道上来回滑动时可带动矩形木板绕着轴转动（不考虑矩形木板与水平面的摩擦），从而起到吹风的效果，固定杆，，，如图为简易风扇的俯视图．矩形木板转动过程中，的取值范围是________ 16. 如图，将矩形纸片沿所在直线翻折，点的对应点是边的中点，点的对应点为点，经过边的中点，连接，若，则______ 三、解答题（本题共11小题，共102分．解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 17. （1）计算： （2）解方程组： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，为的中点，过点且分别交、于点、．求证：． 20. 盱眙龙虾有多种口味，每一种都有其独特的风味和制作方法，小雨同学打算从2个咸口味的（A．十三香龙虾；B．蒜泥龙虾）中随机选取一个吃，再从3个甜口味的（C．秘制小龙虾D．冰糖话梅龙虾E．白灼清蒸龙虾）中随机选取一个． （1）小雨同学从咸口味中选中十三香龙虾的概率是________ （2）用画树状图或列表的方法，求小雨吃的是十三香龙虾和白灼清蒸龙虾的概率 21. 为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某校组织七、八年级各名学生对相关知识进行学习并组织定时测试．现分别在七、八两个年级中各随机抽取了名学生，统计这部分学生的测试成绩，相关数据整理如下： 七年级：，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，． （1）分别计算两组数据的平均数、中位数、众数、方差，填入下表（部分结果已填入）： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 ①________ 八年级 ②________ ③________ （2）通过上述分析你认为哪个年级的学生环保知识掌握的更好，请说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 22. 十四届全国人大三次会议于2025年3月5日上午正式开幕，徐老师和陈老师作为人大代表打算从淮安出发到北京参加会议，徐老师乘坐高铁比陈老师乘坐客车早到了7小时，已知从淮安到北京路程约为840千米．高铁的平均速度是客车平均速度的3倍．求客车的平均速度； 23. 如图是正六边形． （1）请仅用无刻度的直尺分别在上确定点G、H，使得四边形是以为对角线的菱形；（保留作图痕迹，不写作法．） （2）若正六边形的边长为4，则菱形的面积为________． 24. 坐落在盱眙县都梁公园杨大山山顶的都梁阁设计理念先进，建筑造型美观，鲜明的秉承了明清南派建筑风格．兴趣小组利用所学知识开展以“测量都梁阁的高度”为主题的活动，报告如下： 项目 测量都梁阁高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如右图所示，兴趣小组先用无人机从地面上的点D处竖直上升到达点C处，在点C处使用无人机上的测角仪测得阁顶B的俯角为，然后操控无人机向阁顶方向水平飞行至点E处，在点E处测得阁顶B和点D的俯角均为．点A，D在同一水平线上，都梁阁． 参考数据 ，， 项目任务 求都梁阁的高度（结果精确到）． 25. 如图，是等腰三角形，以为直径作交底边于点，交于点，过点作于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 26. 阅读理解：在平面直角坐标系中，若函数图象上存在某点P到x轴的距离是到y轴距离的一半，则称点P为该函数的“盱美点”，此函数称为“盱美函数”．如点是函数图象上的点，即函数是“盱美函数”，点是该函数的“盱美点”．根据以上材料，完成下列问题： （1）已知点、、是二次函数图像上的三点，其中是“盱美点”的有________．（填字母）二次函数表达式为________________． （2）求证：函数图像上不存在“盱美点” （3）已知“盱美函数”，存在t使得该函数恰好有四个“盱美点”，直接写出t的取值范围． 27. 小明在研究构造相似三角形的问题时发现：若已经有一组等角，只要再构造一组等角就可以构造出相似三角形．例如：如图，中，点D在边上，在边上找一点E，使得以点A、D、E为顶点的三角形与相似．可以过点D作的平行线交边于点E，则，或直接作交边于点E （1）如图1，已知 ①若，，当以点A、D、E为顶点三角形与相似时，________ ②连接，若平分，则________ （2）如图2，是等边三角形，边长，延长到D，，延长至点F，作，使得且，求的长． （3）如图3，四边形是矩形，连接，点F在边上，以点F为顶点作交延长线于点G，交平行线于点E，即，若，，直接写出的值（用含m，n的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盱眙县2024-2025学年度第二学期期中质量监测试卷 九年级数学 （满分150分，时间120分钟，闭卷） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每题的四个选项中，只有一个符合题意，请把符合题意的选项填在下表中） 1. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义．根据只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：D． 2. 教育兴则国家兴，教育强则国家强．中国近年持续加大教育投入，2024年江苏省财政教育支出约为亿元，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，表现形式为的形式，其中，为正整数，据此即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 3. 如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A，B间的距离不可能是（ ）     A. 40米 B. 32米 C. 13米 D. 25米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，根据三角形的三边关系定理得出不等式，即可得出选项． 【详解】解：设米， 根据题意，得， ∴， 观察各选项，选项A不符合， 故选：A． 4. 位于淮安市洪泽区县道米处的二河闸桥，由于桥梁主体结构老化，存在较大安全隐患，因此交通部门在此设立了如图限高标志，则通过该桥的车高的范围可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，根据题意列出不等式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：通过该桥的车高的范围可表示为， 故选：． 5. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，再由，两式相加进行计算即可得到答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 由得，， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的邻角互补是解题的关键． 6. 光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，会发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质．根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，光线在空气中也平行， ∵ ． ． 故选：B． 7. 若在反比例函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据反比例函数的增减性求参数，掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据在反比例函数图象的任一支上，都随的增大而减小，得出，即可求解． 【详解】解：∵根据在反比例函数图象的任一支上，都随的增大而减小， ∴， A．，故该选项正确，符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C，D选项中的点在坐标轴上不在反比例函数图象上，不合题意， 故选：A． 8. 公元3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了如图的模型．已知矩形，，，点E是边上的动点，过点E作的垂线交边于点F，连接并延长交延长线于点G，下列说法正确的是（ ） A. 的长度随着的增大而增大 B. 当时，点F为中点 C. 当时， D. 面积的最小值为12 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意证明出，得到，然后代入表示出，然后根据二次函数的性质即可判断A；将代入，即可判断B；当时，，然后证明出，得到，代数求出，进而得到即可判断C；首先表示出，然后表示出面积，然后根据二次函数的性质即可判断D． 【详解】A．∵矩形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴是关于的二次函数， ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故A错误； B．当时， ∵ ∴，即点F不是中点，故B错误； C．当时， ∵ ∴ ∴，即 解得 ∴，故C正确； D．∵， ∴ ∴面积 ∵ ∴抛物线开口向上 ∴当时，面积的最小值为，故D错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，矩形的性质，求正切值，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案直接填在题中的横线上） 9. 分解因式：a2-4a+4=___ 【答案】（a-2）2． 【解析】 【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式． 【详解】解：a2-4a+4=（a-2）2． 故答案为：（a-2）2． 10. 的整数部分为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的无理数的整数部分的含义，先确定，从而可得的整数部分，掌握无理数的估算方法是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为， 故答案为：． 11. 杜甫在《春夜喜雨》诗中写道“随风潜入夜，润物细无声”，如果用数学的眼光看诗句中描述的事件是________（填“必然”或“随机”）事件． 【答案】随机 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件，可能发生，也有可能不发生的事件叫做随机事件，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，用数学的眼光看诗句中描述的事件是随机事件， 故答案为：随机． 12. 将半径为6的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算．易得圆锥的母线长为6，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， 故答案：3 13. 如图，，若，．则________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确运用定理找准对应关系是解题的关键． 由已知线段得出，根据平行线分线段成比例定理即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案：． 14. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表．则的值是__． x … 0 … y … … 【答案】 【解析】 【分析】根据表格可求出该二次函数的对称轴为，然后求出关于的对称点坐标，即可求出的值． 【详解】解：由表格可知：与是关于对称轴对称的， ∴该二次函数的对称轴为， 设二次函数图象上的点为，， 由对称性可知：， ∴， ∴与关于对称， 由表格可知：时，， 令代入， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质和二次函数图象上点的特征，解题的关键是求出该二次函数的对称轴． 15. 如图是小明根据推磨原理制作的简易风扇的示意图，以为轴将矩形木板垂直固定在水平面上，用长为的连杆将点与滑轨上的推拉点相连（大小可变），当点在轨道上来回滑动时可带动矩形木板绕着轴转动（不考虑矩形木板与水平面的摩擦），从而起到吹风的效果，固定杆，，，如图为简易风扇的俯视图．矩形木板转动过程中，的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的三边关系，圆的性质，连接，由题意可得，由三角形三边关系可得点在线段上时，取最大值；点在线段的延长线上时，取最小值，进而求出的最大值和最小值即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：连接，由题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， 即点在线段上时，取最大值，此时取最大值，如图， ∴； 又∵， 即点在线段的延长线上时，取最小值，此时取最小值，如图， ∴； 综上，的取值范围是， 故答案为：． 16. 如图，将矩形纸片沿所在直线翻折，点的对应点是边的中点，点的对应点为点，经过边的中点，连接，若，则______ 【答案】## 【解析】 【分析】连接，延长交的延长线于点，设，则，，由折叠得，，，，可证，得到，即得，得到，进而得，解得，得到，，即得，又由得，，最后证明，由解答即可求解． 【详解】解：连接，延长交的延长线于点，则， 设， ∵点是的中点，四边形是矩形， ∴，， 由折叠得，，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去负值）， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本题共11小题，共102分．解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 17. （1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，加减消元法解二元一次方程组，涉及负整数指数幂和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再进行加减计算； （2）整理后，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：整理得， 得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后把的值代入计算即可．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 如图，在中，为的中点，过点且分别交、于点、．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解答本题的关键． 根据题意：为的中点，四边形是平行四边形，得到，，由此通过证明． 【详解】证明：根据题意得： 为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在与中， ， ． 20. 盱眙龙虾有多种口味，每一种都有其独特风味和制作方法，小雨同学打算从2个咸口味的（A．十三香龙虾；B．蒜泥龙虾）中随机选取一个吃，再从3个甜口味的（C．秘制小龙虾D．冰糖话梅龙虾E．白灼清蒸龙虾）中随机选取一个． （1）小雨同学从咸口味的中选中十三香龙虾的概率是________ （2）用画树状图或列表的方法，求小雨吃的是十三香龙虾和白灼清蒸龙虾的概率 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式、用列表法或树状图法求概率，熟练掌握概率公式以及列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中小雨同学从咸口味的中选中十三香龙虾的结果有种，利用概率公式可得答案； （2）用列表或画树状图法得出所有等可能的结果数以及小雨吃的是十三香龙虾和白灼清蒸龙虾的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有种等可能的结果，其中小雨同学从咸口味的中选中十三香龙虾的结果有种， 小雨同学从咸口味的中选中十三香龙虾的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有种等可能得结果，其中小雨吃的是十三香龙虾和白灼清蒸龙虾的结果有种， 小雨吃的是十三香龙虾和白灼清蒸龙虾的概率为． 21. 为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某校组织七、八年级各名学生对相关知识进行学习并组织定时测试．现分别在七、八两个年级中各随机抽取了名学生，统计这部分学生的测试成绩，相关数据整理如下： 七年级：，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，． （1）分别计算两组数据的平均数、中位数、众数、方差，填入下表（部分结果已填入）： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 ①________ 八年级 ②________ ③________ （2）通过上述分析你认为哪个年级的学生环保知识掌握的更好，请说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 【答案】（1）①，②，③； （2）八年级学生环保知识掌握的更好，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平均数、中位数、众数定义，运用中位数、方差做决策，解题关键是熟练掌握中位数、方差的意义． （1）根据平均数、中位数、众数定义求解即可； （2）根据中位数和方差意义求解即可． 【小问1详解】 解：根据平均数、中位数、众数、方差定义进行计算： 七年级数据从低到高排列：，，，，，，，，，， 则中位数为； 八年级数据平均数为； 八年级数据中出现最多的数为， 众数是． 故答案为：①，②，③． 【小问2详解】 解：八年级学生环保知识掌握的更好，理由如下： 结合（1）题可得，八年级数据的中位数七年级数据的中位数， 八年级数据的方差七年级数据的方差， 八年级学生环保知识的高分人数多于七年级且成绩更加稳定， 八年级学生环保知识掌握的更好． 22. 十四届全国人大三次会议于2025年3月5日上午正式开幕，徐老师和陈老师作为人大代表打算从淮安出发到北京参加会议，徐老师乘坐高铁比陈老师乘坐客车早到了7小时，已知从淮安到北京路程约为840千米．高铁的平均速度是客车平均速度的3倍．求客车的平均速度； 【答案】客车的平均速度为千米/小时． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设客车的平均速度为千米/小时，则高铁的平均速度为千米/小时，依题意列出方程，求解即可，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设客车的平均速度为千米/小时，则高铁的平均速度为千米/小时，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是， 答：客车平均速度为千米/小时． 23. 如图是正六边形． （1）请仅用无刻度的直尺分别在上确定点G、H，使得四边形是以为对角线的菱形；（保留作图痕迹，不写作法．） （2）若正六边形的边长为4，则菱形的面积为________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是结合了几何图形的性质和基本作图的方法，涉及到的知识点有菱形的性质和判定，勾股定理，含角的直角三角形，解题的关键在于熟悉菱形的几何性质和正六边形的几何性质，将复杂作图拆解成基本作图． （1）利用正六边形的对称性找到的垂直平分线，即可作出图形． （2）根据正六边形的内角等于度，利用等边三角形或30度直角三角形、勾股定理求出另一条对角线长，由面积菱形面积公式，求解即可． 【小问1详解】 解：作图如图 【小问2详解】 由题意及图，有 ，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 在菱形中，， ∴． 故答案为． 24. 坐落在盱眙县都梁公园杨大山山顶的都梁阁设计理念先进，建筑造型美观，鲜明的秉承了明清南派建筑风格．兴趣小组利用所学知识开展以“测量都梁阁的高度”为主题的活动，报告如下： 项目 测量都梁阁的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如右图所示，兴趣小组先用无人机从地面上的点D处竖直上升到达点C处，在点C处使用无人机上的测角仪测得阁顶B的俯角为，然后操控无人机向阁顶方向水平飞行至点E处，在点E处测得阁顶B和点D的俯角均为．点A，D在同一水平线上，都梁阁． 参考数据 ，， 项目任务 求都梁阁的高度（结果精确到）． 【答案】都梁阁的高度为． 【解析】 【分析】此题考查解直角三角形的应用，如图，延长交的延长线于点，则，求出，然后令，解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，则， 根据题意，， 在中，， ， 在Rt中，， ， 在中，，令， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， 答：都梁阁的高度为． 25. 如图，是等腰三角形，以为直径作交底边于点，交于点，过点作于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，利用半圆（直径）所对的圆周角是直角、三线合一、圆周角定理得到，，即可证得，根据平行线的判定与性质得到，再利用圆的切线判定定理解答即可； （2）利用弧、弦、圆心角的关系得到，利用勾股定理解答即可得出结论． 【小问1详解】 证明：连接， 是的直径， ， ， 等腰三角形中，， ， ， ， ， ， ， 即， 为的半径， 直线是的切线； 【小问2详解】 解：连接， 由（1）得，， ， ， ，，， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是半圆（直径）所对的圆周角是直角、三线合一、圆周角定理、平行线的判定与性质、证明某直线是圆的切线、利用弧、弦、圆心角的关系求证、勾股定理，解题关键是添加正确的辅助线． 26. 阅读理解：在平面直角坐标系中，若函数图象上存在某点P到x轴的距离是到y轴距离的一半，则称点P为该函数的“盱美点”，此函数称为“盱美函数”．如点是函数图象上的点，即函数是“盱美函数”，点是该函数的“盱美点”．根据以上材料，完成下列问题： （1）已知点、、是二次函数图像上的三点，其中是“盱美点”的有________．（填字母）二次函数表达式为________________． （2）求证：函数的图像上不存在“盱美点” （3）已知“盱美函数”，存在t使得该函数恰好有四个“盱美点”，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）A、B， （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象与性质，一次函数与二次函数的交点问题等知识，解题的关键是： （1）根据“盱美点”的定义判断即可；根据待定系数法求解即可； （2）假设点是函数的图像的“盱美点”， 根据“盱美点”的定义可得出，整理得或，然后判断两个方程无解即可说明假设不成立； （3）分别画出；与有唯一交点；在；与有唯一交点对应的图象，然后数形结合即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴A到x轴的距离是1，到y轴的距离是2 ， ∵， ∴点A到x轴的距离是到y轴距离的一半， ∴点A是“盱美点”； ∵， ∴B到x轴的距离是2，到y轴的距离是4 ， ∵， ∴点B到x轴的距离是到y轴距离的一半， ∴点B是“盱美点”； ∵， ∴C到x轴的距离是11，到y轴的距离是2 ， ∵， ∴点C到x轴的距离不等于到y轴距离的一半， ∴点C是“盱美点”； ∴“盱美点”有A、B， 把、、代入， 得， 解得， ∴， 故答案为：A、B，； 【小问2详解】 证明：假设点是函数的图像的“盱美点”， 根据题意，得， ∴或， 整理得或， ∴，， ∴或均无解， ∴假设不成立， ∴函数的图像上不存在“盱美点”； 【小问3详解】 解：∵“盱美点”到x轴的距离是到y轴距离的一半， ∴“盱美点”在直线或上， 观察图象发现：时，如图， 与直线和恰有三个交点，即“盱美函数”恰有三个“盱美点”， 如图， 当与有唯一交点时， 方程，即有两个相等的实数根， ∴， ∴， 此时，与直线和恰有五个交点，即“盱美函数”恰有五个“盱美点”， 当时，， 如图， 当在时，， 此时与直线和恰有五个交点，即“盱美函数”恰有五个“盱美点”， 如图， 当与有唯一交点时， 方程，即有两个相等的实数根， ∴， ∴， 此时，与直线和恰有五个交点，即“盱美函数”恰有五个“盱美点”， ∴当或时，“盱美函数”，恰好有四个“盱美点”． 27. 小明在研究构造相似三角形的问题时发现：若已经有一组等角，只要再构造一组等角就可以构造出相似三角形．例如：如图，中，点D在边上，在边上找一点E，使得以点A、D、E为顶点的三角形与相似．可以过点D作的平行线交边于点E，则，或直接作交边于点E （1）如图1，已知 ①若，，当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，________ ②连接，若平分，则________ （2）如图2，是等边三角形，边长，延长到D，，延长至点F，作，使得且，求的长． （3）如图3，四边形是矩形，连接，点F在边上，以点F为顶点作交延长线于点G，交的平行线于点E，即，若，，直接写出的值（用含m，n的代数式表示）． 【答案】（1）①或3；② （2）11 （3） 【解析】 【分析】（1）①分，两种情况讨论即可； ②过B作交的延长线于F，证明，根据相似三角形的性质可得出，根据角平分线的定义，平行线的性质可得出，根据等角对等边得出，即可求解； （2）过E作交于G，设、相交于O，则可证四边形是平行四边形，得出，， 根据等边三角形的性质可求出，，，，根据平行线的性质求出，结合已知可得出，根据三角形的内角和定理可得出，证明，根据相似三角形的性质可求出，，然后根据线段的和差即可求解； （3）设，则，，根据矩形的性质和勾股定理可得出，，，，过F作于W，交于V，过D作于H，设交于I，与相交于O，类似（2）可证明，得出，证明，求出，证明，求出，证明四边形是矩形，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴，， 当时，， 即， ∴， 当时，， ， 即， ∴， ∴的长为或3， 故答案为：或3； ②过B作交的延长线于F， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过E作交于G，设、相交于O， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：设，则，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 过F作于W，交于V，过D作于H，设交于I，与相交于O， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $